重点高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)

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03-抛物线

【知识点】

一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：

轴轴

1.的弦，若，则

(1)+，，－

(3)弦长,，即当

(4)若，则=

（5）+=

2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.

4、弦长公式：

三、抛物线问题的基本方法

1.直线与抛物线的位置关系

2.直线，抛物线，

3.，消y得：

4.（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

5.（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0

（3

6.

直线：

①

设交点求出

，

a.

或

b.中点,，

②

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

a.在涉及斜率问题时，

b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中

点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【典型例题】

考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之

[解析]由抛物线的定义知，，点为抛

x=-1,故1.，点，在抛物线上，且

、

A．

C．

由抛物线定义，即：

2.已知点F是抛物线的焦点

M

A. B. C. D.

[解析]

，选C

考点2抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上

[解析](1)设所求的抛物线的方程为或,

∵过点(-3,2)∴

∴

∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

(2)令得，令得，

∴时

∴

对应的准线方程分别是.

3.的焦点与双曲线的右焦点重合则的值

[解析]

4.

[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且

，求此抛物线的方程

[解析]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为

，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得

补充：

是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，

则：，。

,0),，

由:∴，

当方程为，则，∴。

是过抛物线焦点，求证：

证明：设，，由抛物线的定义知：，=，

所以+=-p，且由结论一知：。

则：=

结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设，，设直线AB:

由得:,∴，，

∴。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。

例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。

则或。

（2

已知AB

相切。

(2)

，，

∴，

（2

∵，

∴∠M FN=（∠A F M+∠M FO+∠BFN+∠NFO）=90°，

∴，

∴∠PF M=∠F M P

∴∠A FP=∠A F M+∠PF M=∠F MA+∠F M P=∠P MA=90°，∴F P⊥AB

∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。

结论四：若抛物线方程为，过（

，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之

也成立。

证明：设直线AB 方程为:，由得，△>0，， ∵AO ⊥BO ，∴⊥

∴

将

，

代入得，

。∴直线AB 恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，取最小值1。

设抛物线上动点坐标为

为抛物线的顶点，显然

的几何意义为过抛物线顶点的动弦的

斜率． 例直线相交于原点和点，为抛物线上一点，

段

分别为，则，．

的坐标分别为．

1A ．2为坐标原点)A ．3121和直线l 2的距离之和的最小值是()

A ．2

B ．3C.511

D.1637

4．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为()

A.y02p

B.y0p

C.x0p

D.p x0

5．[2010·福建卷]以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为() A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0 6．[2010·山东卷]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()