高中数学等比数列人教版第一册

等比数列

●教学目标

(一)教学知识点

1.等比中项概念.

2.等比数列定义及通项公式.

（二）能力训练要求

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.深刻理解等比中项概念.

3.掌握等比数列的性质.

（三）德育渗透目标

1.提高学生的数学素质.

2.增强学生的应用意识.

●教学重点

1.等比中项的理解与应用.

2.等比数列定义及通项公式的应用.

●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.

●教学方法

启发引导式教学法

启发引导学生自己发现知识，从而使学生掌握.

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上节课，我们主要学习了…… ［生］等比数列定义：1-n n

a a =q(q ≠0，q ≥2)

等比数列通项公式：an=a1·qn －1(a1,q ≠0)

Ⅱ.讲授新课

［师］根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?

［生］(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a=2b

a +，A 为等差中项.

［师］那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，…… ［生］则即G b a G =，即G2=ab

［师］反之，若G2=ab,则

G b a G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G2=ab (a ·b ≠0)

总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.

即G=±ab ,(a,b 同号)

［师］另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ，那么，在等比数列中呢？ 由通项公式可得：am=a1qm －1，an=a1qn －1，ap=a1qp －1，aq=a1·qq －1

不难发现：am ·an=a12qm+n －2，ap ·aq=a12qp+q －2

若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq

［师］下面看应用这些性质可以解决哪些问题?

［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5=100,求a4.

分析：由等比数列性质，若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq 可得：

解：∵在等比数列中，∴a3·a5=a42

又∵a3·a5=100,∴a4=±10.

［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an ·bn}是等比数列.

分析：由等比数列定义及通项公式求得.

解：设数列{an}的首项是a1,公比为p ；{bn}的首项为b1,公比为q.

则数列{an}的第n 项与第n+1项分别为a1pn －1,a1pn

数列{bn}的第n 项与第n+1项分别为b1qn －1,b1qn.

数列{an ·bn}的第n 项与第n+1项分别为a1·pn －1·b1·qn －1与a1·pn ·b1·qn ，即为 a1b1(pq)n －1与a1b1(pq)n ∵1111111)()(-++=⋅n n

n n n n pq b a pq b a b b a a =pq

它是一个与n 无关的常数，

∴{an ·bn}是一个以pq 为公比的等比数列.

特别地，如果{an}是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·an}是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m,G,n 为此三数

由已知得:m+n+G=14,m ·n ·G=64，

又∵G2=m ·n,

∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10

∴⎩⎨⎧==⎩

⎨⎧==2882n m n m 或 即这三个数为2，4，8或8，4，2.

评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.

Ⅲ.课堂练习

［生］(自练)课本P126练习4.

4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比.

（1）an=2n ；（2）an=41

·10n

解：（1）由an=2n 得a1=2,a2=22,∴q=12

a a =2

(2)由an=41·10n ，得a1=25

,a2=25,∴q=12a a =10.

［生］（板演）课本P128练习5

5.（1）求45与80的等比中项；

（2）已知b是a与c的等比中项，且abc=27,求b.

解：（1）由题意设45与80的等比中项为G，则G2=45×80,

∴G=±60

(2)由已知得b2=ac,又∵abc=27,∴b=3

答案：（1）45与80的等比中项为60或－60.（2）b=3

Ⅳ.课时小结

本节主要内容为：

(1)若a,G，b成等比数列，则G2=ab,G叫做a与b的等比中项.

(2)若在等比数列中，m+n=p+q,则am·an=ap·aq

Ⅴ.课后作业

（一）课本P127习题3.4 6，7，8

（二）1.预习课本P127～P128

2.预习提纲：

（1）等比数列前n项求和公式；

（2）如何推导等比数列的前n项求和公式?

●板书设计

1.定义

等比中项

（1）G2=ab a、G、b成等比数列

（2）若m+n=p+q

则am·an=ap·aq

2.例题讲解

复习回顾

课时小结