高中数学等比数列人教版第一册
高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。
接下来将对这四个单元的知识点进行总结。
一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。
新人教版 高一等比数列经典总结
等比数列(1)1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示 ()0≠q . 2. 等比数列的递推公式和通项公式：已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()0≠q ，则：3. 等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，这三个数满足关系式2G ab =. 4. 等比数列的性质：（1）若数列{}n a 、{}n b 是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅也是等比数列，特别地，若{}n a 是等比数列，c 是不等于0的常数，则{}n a c ⋅也是等比数列. （2）在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a =.（3）数列{}n a 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积. （4）在等比数列{}n a 中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为1+k q .（5）当数列{}n a 是各项都为正数的等比数列时，数列{}n a lg 是公差为q lg 的等差数列. （6）当()*,,,,N p n m p n m ∈成等差数列时，p n m a a a ,,成等比数列.例1. （1）已知{}n a 为等比数列，且2,875==a a ，该数列的各项都为正数，求n a ；（2）若等比数列{}n a 的首项31891==n a a ，末项，公比32=q ，求项数n ；（3）若等比数列{}n a 中q a a n ，求公比44=+.例2. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0，d a 91=，若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则k 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8例3. 已知数列{}n a 为等比数列. （1）若0＞n a ，且362645342=++a a a a a a ，求53a a +的值；（2）若7321=++a a a ，8321=a a a ，求数列{}n a 的通项公式.例4. 在22738和之间插入三个数，使这5个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积.例5. 已知数列{}n a 满足12111+==+n n a a a ，.（1）求证：数列{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【课堂训练】1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数, 且a 3a 11=16, 则a 5=( )A. 1B. 2C. 4D. 82. 已知各项均为正数的等比数列{a n }, a 1a 2a 3=5, a 7a 8a 9=10, 则a 4a 5a 6=( )A. 52B. 7C. 6D. 42 3. 若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n , 则公比为( )A. 2B. 4C. 8D. 164. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=1, S n =2a n+1, 则S n =( )A. 2n-1B. 123-⎪⎭⎫⎝⎛n C. 132-⎪⎭⎫⎝⎛n D.121-n 5. 设{a n }是由正数组成的等比数列, 公比q=2, 且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230, 则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( )A. 210B. 220C. 216D. 2156. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3, a 2+a 3=6, 则a 7=( )A. 64B. 81C. 128D. 2437. 在数列{a n }中, 若a 1=1, a n+1=2a n +3(n ∈N *), 则数列{a n }的通项a n = .8. 若b 既是a 和c 的等差中项, 又是a 和c 的等比中项, 则数列a, b, c 的公比为 . 9. 等比数列{a n }中, 若a 2, a 9是方程3x 2-11x+6=0的两根, 则log 2(a 1a 2…a 10) = . 10. 在等比数列{a n }中, 已知a 9+a 10=a(a≠0), a 19+a 20=b, 则a 99+a 100= . 11 已知递增的等比数列{a n }中, a 2+a 8=3, a 3·a 7=2, 则1013a a = . 12. 在等比数列{}n a 中，（1）n a a a ，求，8274==； （2）n a a a a a n ，求，，19186352==+=+.13. (1) 若2a+2是a 与3a+3的等比中项, 求a 的值;(2) 若a, b, c 成等差数列, 且a+1, b, c 与a, b, c+2都成等比数列, 求b 的值.14. 有四个实数, 前三个数依次成等比数列, 它们的积为-8, 后三个数依次成等差数列, 它们的积为-80, 求这四个数.15. 在各项为负数的数列{a n }中, 已知2a n =3a n+1, 且a 2·a 5=278. (1) 求证: 数列{a n }是等比数列, 并求出通项公式; (2) 试问8116-是否为该数列的项? 若是, 是第几项? 若不是, 请说明理由.【强化训练】1. 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *), 且a 2+a 4+a 6=9, 则()97531log a a a ++的值为( )A. -5B. 51-C. 5D. 51 2. 数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 1=1, a n+1=3S n (n≥1), 则a 6=( )A. 3×44B. 3×44+1C. 45D. 45+13. 定义在(-∞, 0) ∪(0, +∞) 上的函数 f(x), 如果对于任意给定的等比数列{a n }, { f(a n ) }仍是等比数列, 则称 f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在(-∞, 0) ∪(0, +∞) 上的如下函数:① f(x) =x 2; ② f(x) =2x ; ③ f(x) =x ; ④ f(x) =ln|x|. 则其中是“保等比数列函数” 的 f(x) 的序号为( ) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④4. 一个蜂巢里有1只蜜蜂, 第一天, 它飞出去带回了5个伙伴; 第二天, 6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴, …, 如果这个过程继续下去, 那么第6天所有蜜蜂归巢后, 蜂巢中共有蜜蜂( )A. ()161666--只 B. 66只 C. 63只 D. 62只5. 已知等比数列{a n }为递增数列. 若a 1> 0, 且2(a n +a n+2) =5a n+1, 则数列{a n }的公比q= .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1241*1=∈+=+a N n a S n n ，，数列{}n b 满足：n n n a a b 21-=+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项公式.。
人教版新课标高一数学《等比数列》公开课PPT课件
a 0
思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么 关系？
若q>0，则各项的符号与a1相同； 若q<0，则各项的符号正负相间.
注意：
公比q能不能是零？
不能！！
注：(1)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 (2)公比不为0，即q≠0。
名
称
等差数列
a2 qa2 a1q a1 a 3 a1q2
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
……
a4
a1q3
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
a a ( n 1 ) d n 1
an
a1qn-1
名称
等
差
数
列
等
比
数
列
a a ( n 1 ) d n 1
法2：累加法
法2：
法
通项 公式
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
忆一忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
比一比
(1)
(2) (3)
1 ,2 ,2 ,2, ……
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数，一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
高一数学等比数列说课程课件 人教版
(三) 学法分析
(四) 教学程序分析
等 比 数 列
(一) 教材分析 (二) 教法分析 ● (三) 学法分析 (四) 教学程序分析
等 比 数 列
(一) 教材分析 (二) 教法分析
(三) 学法分析 ● (四) 教学程序分析
● (四)教学程序分析
一 复习等差数列的定义、通项公式及 其探索思路。 二 等比数列的定义和几个特例的判定。 三 等比数列通项公式的探求。 四 等比数列通项公式一般形式的探求。 五 等比数列通项公式的简单运用。
4、增强学生的应用意识。
等 比 数 列
(一) 教材分析 一 本节教材的地位和作用 二 教学内容 三 教学目标 四 教学重点和难点
●
●
四 教学重点和难点
本节重点: 等比数列的定义和通项公式 的探求及运用。 本节难点: 等比数列的通项公式的探求。
等 比 数 列
(一) 教材分析 ● (二) 教法分析
3、会用等比数列的通项公式解决
一些简单的问题。
三 教学目标
●
能力目标:
通过对等比数列的定义和通项公式
的探求,引导学生运用观察、类比、分
析、归纳的推理方法,提高学生的逻辑
思维能力,培养学生的良好思维品质。
三 教学目标
●
教育目标:
1、 培养学生的发现意识。
2、提高学生的创新意识。
3、提高学生的逻辑思维能力。
等比数列
等 比 数 列
(一) 教材分析 (二) 教法分析
(三) 学法分析
(四) 教学程序分析
等 比 数 列
● (一) 教材分析 (二) 教法分析
(三) 学法分析
(四) 教学程序分析
等 比 数 列
等比数列前n项和(精讲)
等比数列的前n项和（第一课时）（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．2.从学生认知角度看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．3.学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．4. 重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．二、目标分析知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．三、过程分析学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：1.创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点． 此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 ．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？ 探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： ．老师指出：这就是错位⋅⋅⋅⋅⋅⋅23631+2+2+2++2⋅⋅⋅⋅⋅⋅23631+2+2+2++2⋅⋅⋅236364设s =1+2+2+2++2s ⋅⋅⋅236364642=2+2+2++2+2646421s =-相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．3.类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化， 这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．对不对？这里的q 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时s n =？（这里引导学生对q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）再次追问：结合等比数列的通项公式a n =a 1q n-1,如何把s n 用a 1、a n 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．4.讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出s n 呢？根据等比数列的定义又有234n 123n-1a a a a =====q a a a a ，能否联想到等比定理从而求出s n 呢？ 设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到11-+=n n qs a s , 这其实就是关于n s 的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5.变式训练,深化认识公比为，q n 如何求前n 项和s ？2n-1n-2n 11111111s =a +a q+a q ++a q =a +q(a +a q++a q ) ⋅⋅⋅1111 例1: 求等比数列,,,, 前8项和；24816⋅⋅⋅6311111、 等比数列,,,,前多少项的和是?2481664,510⋅⋅⋅11112、 等比数列,,,,求第项到第项的和.1111{}n 1设等比数列a ,首项为a , n11n n 11n a -a q (1-q)s =a -a q s =1-q 在学生推导完成后,我再问:由得首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．6.例题讲解，形成技能设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．7.总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．8.故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．9.课后作业，分层练习必做： P129练习1、2、3、4选作： （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．四、教法分析对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．23n-11+a+a +a ++a .例2：求和 .23n x+2x +3x ++nx 思考题(1):求和五、评价分析本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．。
(完整版)等比数列求和教案
n项和（第一课时）课题：等比数列的前教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这q 这一特殊情况，学生也往往容易忽对学生的思维是一个突破，另外，对于1略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析62++22）能否逐一相加得结果？）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，, 那么我们能否利用这个关系而求出S n 呢？ ：提取公比q11212111--++++=n n qa qa q a q a a ）（21111-+++=n q a q a a q a ）（111--+=n n q a S q a学生思考，式n-1n-211111++a q =a +q(a +a q++a q )nn-1a ==a 呢？：利用等比定理==23a a 34a aa +⋅⋅⋅++3板书设计：六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。
《高一数学等比数列》课件
等比数列具有很多特点和 常用公式，包括公比的取 值范围、前 n 项和的计算 公式等。
等比数列的性质
公比
公比是等比数列相邻 两项之比的常数，用 r 表示。
前 n 项和
计算等比数列前 n 项 的和的公式为 Sn = (A1 * (r^n - 1)) / (r - 1)， 其中 Sn 表示前 n 项的 和。
• 数学相关教材 • 网络资源 • 其他相关参考资料
介绍等比数列的推广及其 在更广泛的领域中的应用， 例如指数函数和级数。
总结
重点知识点回顾
回顾等比数列的重要概念、公式和性质，并加深对它们的理解。
应用及其重要性
强调等比数列在各个领域中的广泛应用及其在问题求解中的重要性。
学习策略
分享一些学习等比数列的有效策略和技巧，帮助学生更好地掌握这一概念。
参考文献
物理学、经济学
等比数列在物理学和经济学 等领域也有广泛的应用，例 如物理学中的指数衰减和经 济学中的增长模型。
练习与拓展
1 例题练习
通过一系列的等比数列练 习题，巩固对等比数列的 理解和运用能力。
2 与其他数列的比较
将等比数列与等差数列和 斐波那契数列等其他数列 进行比较，了解它们之间 的异同。
3 拓展
《高一数学等比数列》 PPT课件
提供了全面且易于理解的高一数学等比数列PPT课件，帮助学生深入掌握等比 数列的概念、性质和应用，提升数学学习的效果。
什么是等比数列
1 定义
2 通项公式
3 性质和常用公式
等比数列是指数列的一种， 其中相邻两项之比是固定 的。
等比数列的通项公式为 An = A1 * r^(n-1) ，其中 An 表 示第 n 项，A1 表示首项， r 表示公比。
4.3等比数列(一)PPT课件(人教版)
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
这些你都记 得吗？
三、等差中项法
探究一：等比数列的定义
视察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... (3)1, 1 , 1 , 1 , 24 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q.
例 3 等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比 中项．
变式 1:若 a,2a＋2,3a＋3 成等比数列，求 实数 a 的值．
变式2：一等比数列有3项，如果把第2项加上
4，那么所得3项就成等差数列，如果把这个等
差数列的第3项加上32， 那么所得的3项又成等 比数列，求原等比数列.
例1.在等比数列 an中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12,a4 18,求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项：
（1）2,a,8； a 4
(2)a5 =4,a7 =6,求a9. a9 9
例2.已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，求n；
变式训练：{an}为等比数列，求下列各值． (1) 已知 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q. (2) a 4 · a 7 = 512，a3 + a 8 = 124,公比 q 为整数 求 a 10.
人教版高中数学必修课件等比数列
做一做，比一比
例2：
已知等比数列an，q 0, a3 3, a5 27,
则a4 __9_____
变1：
已知等比数列an，q 0, a3 3, a5 27,
则a4 __9_____
变2：
已知等比数列an，a3 3, a5 27, 则a4 ____9___
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
3.等比数列通项公式
3.等比数列通项公式：已知等比数列 a 的首 n
项为 a ，公比为q（q 0），则数列 a 的通
1
n
项公式为：a a qn1
n
1
分析：此式子从方程的角度考虑有几个量？
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
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自我测验
练3： 2 1与 2 -1的等比中项是：___1__.
练4：正项等比数列{an}中，满足a2，a5是方程
x2-7x+10=0的两根,则lga2+lga5= （ B ）
2.等比中项
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G， 使 a,G,b 成 等 比 数 列 ， 那 么 G 叫 做 a 与 b 的 _等__比__中__项_,这三个数满足关系式：
G ab
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
人教版高中数学必修5课件第二章2.4 等比数列（共21张PPT)
a a d
2
1
a a d
人教版高中数学必修第一册等比数列(1)
等比数列(1)●教学目标〔一〕教学知识点 1.等比数列的定义.2.等比数列的通项公式. 〔二〕能力训练要求 1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导. 〔三〕德育渗透目标 1.培养学生的发现意识. 2.提高学生创新意识.3.提高学生的逻辑推理能力.4.增强学生的应用意识. ●教学重点等比数列的定义及通项公式. ●教学难点灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. ●教学方法 比较式教学法采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.●教具准备幻灯片一X ：记作§内容:1.等差数列定义：a n －a n －1=d (n ≥2)(d 为常数)2.等差数列性质：〔1〕假设a ,A ,b 成等差数列，那么A =2ba +,(2)假设m +n =p +q ,那么a m +a n =a p +a q .(3)S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k …成等差数列.n 项和公式：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d●教学过程 Ⅰ.复习回顾［师］前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.〔师生共同完成以下活动〕〔打出幻灯片§3.4.1〕 Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263;① 5，25，125，625，…；②1，－81,41,21-，…；③［生］仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列①，a n =2n －1;1-n na a =2(n ≥2)对于数列②，a n =5n ;1-n na a =5(n ≥2) 对于数列③，a n =(－1)n +1·11;21--n n n a a =－21(n ≥2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.［师］也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等〞的特点.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1=q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－21.与等差数列比较，仅一字之差.总之，假设一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差〞为常数，那么为等差数列，之“比〞为常数，那么为等比数列，此常数称为“公差〞或“公比〞.注意〔1〕公差“d 〞可为0，〔2〕公比“q 〞不可为0. ［师］等比数列的通项公式又如何呢?［师］请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得：a 2=a 1q ,a 3=a 2q =(a 1q )q =a 1q 2,a 4=a 3q =(a 1q 2)q =a 1q 3,…, a n =a n －1q =a 1q n －1(a 1,q ≠0),n =1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式得：(n －1)个等式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅⋅==-q a a qa a q a a n n12312假设将上述n －1个等式相乘，便可得：11342312--=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a 即：a n =a 1·q n －1(n ≥2)当n =1时，左=a 1,右=a 1，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：a n =a 1·q n －1(a 1,q ≠0) 如：数列①,a n =1×2n －1=2n －1(n ≤64) ［生］写出数列②、③的通项公式数列②：a n =5×5n －1=5n ,数列③：a n =1×(－21)n －1=(－1)n －1121-n 与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.① ② … n －1或者，等差数列是将由定义式得到的n －1个式子相“加〞，便可求得通项公式；而等比数列那么需将由定义式得到的n －1个式子相“乘〞，方可求得通项公式.［师］下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒〔保留两个有效数字〕？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a 1=120,q =120的等比数列{a n }. 由等比数列通项公式可得：a n =a 1·q n －1=120×120n －1=120n ∴a 5=1205≈×1010. ×1010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 分析：应将条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式. 解：设这个等比数列的首项是a 1,公比是q ,⎪⎩⎪⎨⎧==18123121q a q a 那么：②÷①得:q =23③ ③代入①得：a 1=316,∴a n =a 1·q n －1=1)23(316-⨯n ，=⨯==2331612q a a 8.答：这个数列的第1项与第2项分别是316和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式. Ⅲ.课堂练习 ［生］〔自练〕课本P 126练习1，21.求下面等比数列的第4项与第5项： 〔1〕5，－15，45，……；〔2〕1.2，2.4，4.8，……；〔3〕83,21,32，……；〔4〕,22,1,2……. 解：〔1〕∵q =515-=－3,a 1=5 ∴a n =a 1q n －1=5·(－3)n －1 ∴a 4=5·〔－3〕3=－135， a 5=5·〔－3〕4=405.(2)∵q =2.14.2=2,a 1∴a n =a 1·q n －1×2n －1 ∴a 4×23=9.6,①②a 5×24(3)∵q =21÷32,43321==a ∴a n =a 1q n －1=1)43(32-⨯n∴a 4=329)43(223=⨯,a 5=12827)43(324=⨯ (4)∵q =1÷2,2221==a ∴a n =a 1q n －1=21)2(1)21(2--=⋅n n∴a 4=42)2(1,21)2(1352===a . 2.(1) 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项. 解：由题意得a 9=94,q =－31∵a 9=a 1q 8,∴81)31(94-=a , ∴a 1=2916答：它的第1项为2916.〔2〕一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 解：由得a 2=10,a 3 ∵23a a =q =2, ∴a 1=qa 2=5,a 4=a 3q =40. 答：它的第1项为5，第4项为40. 3.{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1,a 2,…,a k ,a k +1,…那么去掉前k 项的数可列为：a k +1,a k +2,…,a n ,…可知，此数列是等比数列，它的首项为a k +1,公比为q . (2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1,a 2,a 3,…,a 2k －1,a 2k ,…,取出{a n }中的所有奇数项，分别为：a 1,a 3,a 5,a 7,…, a 2k －1,a 2k +1,…∵221211212--+=k k k k qa q a a a =q 2(k ≥1) ∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a 1,公比为q 2.(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{a n }为：a 1,a 2,…,a n ,…每隔10项取出一项的数可列为：a 11,a 22,a 33,……可知，此数列为等比数列，其公式为：111111111122q a q a a a ==.评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅳ.课时小结［师］本节课主要学习了等比数列的定义，即：1-n na a =q (q ≠0，q 为常数，n ≥2) 等比数列的通项公式：a n =a 1·q n －1(n ≥2)及推导过程. Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 127习题3.4 1〔二〕1.预习内容：课本P 125～P 126 2.预习提纲：〔1〕什么是等比中项?〔2〕等比数列有哪些性质?〔3〕怎样应用等比数列的定义式、通项公式以及重要性质解决一些相关问题.●板书设计。
人教版高一数学课件-等比数列
等比数列的性质：
1.an amqnm
2.若m n p q, 则am an a p aq
3.若m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
2
p, 则am
an
a
2 p
思考：
類比等差中項的概念，你能說出什麼 是等比中項嗎？
如果在a與b中間插入一個數G，使a, G，b成等比數列，那麼稱這個數G為a與
b的等比中項. 即 G ab (a,b同號)
3.设Sn为等差数列an的前n项和，若a1 1,
公差d 2，Sk2 - Sk 24，则k ( )
A.8
B.7 C.6
D.5
思考题：
1.有4个数，前3个成等比数列，且它们的
乘积为216，后3个数成等差数列，且它们
的和为12，求这4个数。
题答案：9，6，4，2
课堂练习：
1.在等比数列an中, a2a8 12, a3+a7 8,
要证明3个数a,b,c成等比数列,只要证ac b2 要证n个数成等比数列要用定义式
数列 an 满足an2 an1an1 , 那么 an 是等比数列吗？
等比数列的单调性
a1 0,q 1, 则an 递增 a1 0,0 q 1, 则an 递减 a1 0,q 1, 则an 递减 a1 0,0 q 1, 则an 递增
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
性 質 m+n=p+q an+am=ap+aq m+n=p+q anam=apaq
中項 構造三數
若a, b, c成等差数列， 则等差中项b a c
2
a，a+d，a+2d
高一数学最新课件-等比数列(一)人教版[原创]001 精品
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例3、拓展应用
将一张厚度为0.044mm的白纸一次以一次对 折，如果对折5次，纸的厚度是多少？如果对 折1000次（假设有可能的），纸的厚度又是 多少？相当于多少座珠穆朗玛峰的高度（参考 数据：lg2=0.3010，珠穆朗玛峰高度取 8800m，结果保留两个有效数字）？
思考题： an n - 1 an 满足 已知数列 (n 2), a n-1 n an 是等比数列吗？ 试问数列 你能求出a n吗？
三、小结
an 1、 等 比 数 列 的 定 义 ： q( q 0, n N ) an1
2、等比数列的通项公式： n1 an a1 .q (n N , q 0)
四、作业：
必做：书P1251,2,3,4,5
优化方案 P1231,2,4
选做：优化方案P1235,7,8,9,10
1、等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
题1、观察下列数列，判定它是否为等差数列， 若是，写出公比q；若不是，说理由。 1 1 1 (1)1, , , ,.....(2) 1,2,4,8,... 2 4 8 ( 3) 1,2,4,8,...(4) 1,1,1,1,.. (5)1,0,1,0,1,......( 6)0,0,0,0,.... 能否为零呢？ 问1、公比q可以是任意常数吗？ 2、首项a1能等于零吗？ 任意项可以等于零吗？ 3、q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
2、等比数列的通项公式： n1 an a1 .q (n N , q 0) 问2、已知等比数列 a1 , a2 ,...,an ,...公比为 q, 能否用 a1 , q和n表示an ?
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等比数列
●教学目标
(一)教学知识点
1.等比中项概念.
2.等比数列定义及通项公式.
（二）能力训练要求
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.深刻理解等比中项概念.
3.掌握等比数列的性质.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的数学素质.
2.增强学生的应用意识.
●教学重点
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
●教学方法
启发引导式教学法
启发引导学生自己发现知识，从而使学生掌握.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们主要学习了…… ［生］等比数列定义：1-n n
a a =q(q ≠0，q ≥2)
等比数列通项公式：an=a1·qn －1(a1,q ≠0)
Ⅱ.讲授新课
［师］根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?
［生］(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a=2b
a +，A 为等差中项.
［师］那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，…… ［生］则即G b a G =，即G2=ab
［师］反之，若G2=ab,则
G b a G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G2=ab (a ·b ≠0)
总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.
即G=±ab ,(a,b 同号)
［师］另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ，那么，在等比数列中呢？ 由通项公式可得：am=a1qm －1，an=a1qn －1，ap=a1qp －1，aq=a1·qq －1
不难发现：am ·an=a12qm+n －2，ap ·aq=a12qp+q －2
若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq
［师］下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5=100,求a4.
分析：由等比数列性质，若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq 可得：
解：∵在等比数列中，∴a3·a5=a42
又∵a3·a5=100,∴a4=±10.
［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an ·bn}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{an}的首项是a1,公比为p ；{bn}的首项为b1,公比为q.
则数列{an}的第n 项与第n+1项分别为a1pn －1,a1pn
数列{bn}的第n 项与第n+1项分别为b1qn －1,b1qn.
数列{an ·bn}的第n 项与第n+1项分别为a1·pn －1·b1·qn －1与a1·pn ·b1·qn ，即为 a1b1(pq)n －1与a1b1(pq)n ∵1111111)()(-++=⋅n n
n n n n pq b a pq b a b b a a =pq
它是一个与n 无关的常数，
∴{an ·bn}是一个以pq 为公比的等比数列.
特别地，如果{an}是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·an}是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m,G,n 为此三数
由已知得:m+n+G=14,m ·n ·G=64，
又∵G2=m ·n,
∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10
∴⎩⎨⎧==⎩
⎨⎧==2882n m n m 或 即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
［生］(自练)课本P126练习4.
4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比.
（1）an=2n ；（2）an=41
·10n
解：（1）由an=2n 得a1=2,a2=22,∴q=12
a a =2
(2)由an=41·10n ，得a1=25
,a2=25,∴q=12a a =10.
［生］（板演）课本P128练习5
5.（1）求45与80的等比中项；
（2）已知b是a与c的等比中项，且abc=27,求b.
解：（1）由题意设45与80的等比中项为G，则G2=45×80,
∴G=±60
(2)由已知得b2=ac,又∵abc=27,∴b=3
答案：（1）45与80的等比中项为60或－60.（2）b=3
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a,G，b成等比数列，则G2=ab,G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m+n=p+q,则am·an=ap·aq
Ⅴ.课后作业
（一）课本P127习题3.4 6，7，8
（二）1.预习课本P127～P128
2.预习提纲：
（1）等比数列前n项求和公式；
（2）如何推导等比数列的前n项求和公式?
●板书设计
1.定义
等比中项
（1）G2=ab a、G、b成等比数列
（2）若m+n=p+q
则am·an=ap·aq
2.例题讲解
复习回顾
课时小结。