【高中教育】最新高一数学12月月考试题
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。
江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2024学年高一上学期
12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A ．()00
f =B ．若()f x 在[0,)+¥上有最小值1-，则()f x 在(,0]-¥上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+¥上为增函数，则()f x 在(,1]-¥-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x
=--10．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A ．1
B ．4
C ．2
D ．3
11．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）
六、问答题
20．已知函数44()log (1)log (3)f x x x =++-．
(1)求f (x )的定义域及单调区间．
(2)求f (x )的最大值，并求出取得最大值时x 的值．
(3)设函数4
()log [(2)4]g x a x =++，若不等式f (x )£g (x )在(0,3)x Î上恒成立，求实数a。
湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。
湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。
河南省新乡市原阳县2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷（答案在最后）总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A .(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥D.4+≥11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,312.设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．16.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】解指数不等式化简集合N ，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.【详解】依题意，21111{|()()(}{|12}222x N x x x -=<<=-<<，而{}1M x x =<，对于A ，{|2}M N x x ⋃=<，因此(){|2}U M N x x =≥ ð，A 是；对于B ，{|1}U M x x =≥ð，因此(){|1}U N M x x =>- ð，B 不是；对于C ，{|11}M N x x ⋂=-<<，因此(){|1U M N x x =≤- ð或1}x ≥，C 不是；对于D ，{|1U N x x =≤-ð或2}x ≥，因此(){|1U M N x x =< ð或2}x ≥，D 不是.故选：A 2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为221log log 103a =<=，300221-<<=，即01b <<，ln20331c =>=，所以a b c <<.故选：A3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1a ≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A.(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃【答案】D 【解析】【分析】由题意化简0213x x <<，直接求解即可.【详解】因为a b ad bc cd=-，所以2133x xx =-，所以2032x <-<，即213x <<，解得1x <<或1x <<-，故选：D5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】第一次降价后价格为(1)m x -，第二次降价后价格变为2(1)(1)(1)y m x x m x =--=-．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b << B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】771log 2log 2<=，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A.【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年【答案】C 【解析】【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.【详解】设第n 年获利y 元，则=20 1.2n y n ⨯，是正整数，2022年是第一年，故201.260n ⨯>，解得 1.2lg 3lg 3log 3== 6.03lg1.2lg 32lg 21n >≈+-故7n ≥，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据()()112212x f x x f x x x --＜0，得到()()g x xf x =在()0,∞+上递减，然后由(2)4f =，得到()28=g ，将不等式8()0f x x->转化为()(2)g x g >求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，所以()()g x xf x =在()0,∞+上递减，因为(2)4f =，所以()28=g ，因为不等式8()0f x x->，所以()80xf x x->，所以()80xf x ->，所以()8xf x >，即()(2)g x g >，所以02x <<，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-【答案】AB 【解析】【分析】根据2y x =的图象求得正确答案.【详解】画出2y x =的图象如下图所示，由24x =解得2x =±，()2f x x =的图象是函数2y x =的图象的一部分，依题意，()2f x x =的值域为[]0,4，由图可知，()f x 的定义域可以是[]0,2、[]2,1-.故选：AB10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥ D.4+≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式可得A,B,D 正误，利用1的妙用可得C 的正误.【详解】对于A ，因为42a b ≤+=，所以14ab ≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故A 正确；对于B ，2164a b +≥==，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故B 正确；对于C ，()1111114194552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a b =，即21,33a b ==时，取到等号，故C 正确；对于D，244a b +=++，2+≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故D 错误．故选：ABC .11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,3【答案】BC 【解析】【分析】根据题意求出()f x 的定义域，将()f x 的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.【详解】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()f x 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线=1x -，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()f x 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.12.设()33,0log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2【答案】AB 【解析】【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】解：作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．【答案】9【解析】【详解】由已知得，f (6)＝8，f (3)＝－1，因为f (x )是奇函数，所以f (6)＋f (－3)＝f (6)－f (3)＝8－(－1)＝9.答案：9.14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】分两种情况0a =和0a ≠，可求出实数a 的取值范围.【详解】 关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为1<0-，该不等式在R 上恒成立；当0a ≠时，则有2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．【答案】13【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x y +的取值范围，从而求得3x y +的最大值.【详解】因为正数x ，y 满足40x y xy +-=，所以4x y xy +=，即141y x+=，则()14455549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =且141y x+=，即6,3x y ==时取等号，此时x y +取得最小值9，则3x y +的最大值为13．故答案为：1316.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据题意，推得()2021(1)f f =-，即可求得()2021f 的值，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，结合log (41)3a -=和log (61)3a -=，结合图象，即可求得a 的取值范围.【详解】由题意，函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，所以()()()()112021201920171(1)()112f f f f f -=====-=-= ；当02x <≤时，则220x -<-≤，可得()()212(12x f x f x -=-=-；当24x <≤时，则022x <-≤，可得()()412()12x f x f x -=-=-；当46x <≤时，则224x <-≤，可得()()612(12x f x f x -=-=-；当68x <≤时，则426x <-≤，可得()()812(12x f x f x -=-=-，画出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示，由log (41)3a -=，可得a =log (61)3a -=，可得=a ，由图象可知，若两个函数的图象有3a <≤，所以实数a 的取值范围为.故答案为：1；.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．【答案】（1）1252-（2）13【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：4112313221125(0.25)(2)[(2)]1)2416(1)22---⨯-+-=-⨯+--.【小问2详解】解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：1827151525lg 9lg8lg lg lg12.5log 9log 8lg lg lg 28282lg8lg 27-⎛⎫-+-⋅=++-⋅ ⎪⎝⎭18252lg 3221lg()lg1012523lg 3333=⨯⨯-=-=-=.18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）812,77a b ==-；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）根据题目条件得到2,4B A ∈∈，从而得到方程组，求出实数a ，b 的值；（2）先根据对数函数的定义域得到{}|01B x x =<<，分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）()R {2}A B ⋂=ð，(){}R 4A B ⋂=ð，故2,4B A ∈∈，故164120420a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得87127a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）由题意得20x x ->，解得01x <<，故{}|01B x x =<<，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-，当A ≠∅时，需满足12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得2a ≥或122a -<≤-，综上，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）0m =时，()()21422x x xf x +=-=-()22222x x x ⋅=-，令()0f x =可得22x =，即1x =．()f x ∴的零点是1．（2）令2x t =，显然0t >，则()22f x t t m =--．()f x 有两个零点，且2x t =为单调函数，∴方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，0440120m m m ->⎧⎪∴+>⎨⎪--<⎩，解得：10m -<<．m ∴的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上4点该厂的污水污染指数最低（2）调节参数a 应控制在2(0,]3内.【解析】【分析】（1）12a =时，令()251log 102x +-=，解得x 即可得出；（2）利用换元法()25log 1t x =+，再利用函数的单调性即可得出.【小问1详解】因为12a =，()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=，即121255x +==，解得4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.【小问2详解】设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩,()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,则有()()0313123g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤，又()0,1a ∈，故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦内.21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1a <（2）{|84}λλ-≤≤【解析】【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.【详解】（1）由题意，当11x -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则2(2)44x a x x ->-+-，因为11x -≤≤，所以224444222x x x x a x x x-+--+<==---，所以min (2)a x <-，由2y x =-单调递减，知当1x =时，min (2)1x -=，即1a <.（2）因为()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈成立，所以()2280x y y x y λ+-+≥对于任意的,R x y ∈成立.即()2280x yx y λλ-+-≥恒成立，由二次不等式的性质可得，()222224843(2)0y y y λλλλ∆=+-=+-≤，所以4)80()(λλ+-≤，解得84λ-≤≤.故实数入的取值范围为{|84}λλ-≤≤.22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．【答案】（1）0.（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据()f x ，()g x 单调性求出最小值，两个最小值相等求出m 的值.（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x 之间的关系，转化为2x 即可求解.【小问1详解】由()2e ,e ,x x x x m f x x x m⎧--≤=⎨+>⎩，(],x m ∈-∞时()01e x f x '=-<-，(),x m ∈+∞时()e 10x f x '=+>则()f x 在(],m -∞单调递减，在(),m +∞单调递增，所以()f x 最小值()()min 2e mm f x f m ==--；()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩(]0,1x ∈时，()110g x x '=--<，()1,x ∈+∞时，()110g x x'=+>所以()g x 在(]0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()g x 最小值()()min 11g x g ==；()()min min 2e 1m f x m g x =--==，即2e 1e 10m m m m --=⇒+-=令()=e 1m q m m +-，()=e 10m q m '+>所以()=e 1m q m m +-在定义域上单调递增，因为0(0)e 10q =-=，所以e 10m m +-=解得0m =.【小问2详解】由（1）知0m =，即()2e ,0e ,0x x x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩；因为()()min min 1f x g x ==，所以当1b >时，考虑()f x b =与()g x b =解的个数，根据()f x ，()g x 单调性作图如下：易知x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞；0x +→时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+；则()f x b =在区间(),0∞-与()0,∞+各有一个根，()g x b =在区间()0,1与()1,+∞各有一个根，要证：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，即证：()()f x g x =在()0,1上有交点.当()0,1x ∈时，令()()()()e 2ln e ln 22x xh x f x g x x x x x x =-=+---=++-1()e 20x h x x'=++>，所以()h x 在()0,1上单调递增，(1)e>0h =，31e 3312(e 320e e h =-+-<，所以存在()00,1x ∈，使()00()f x g x =，即()()f x g x =在()0,1上有交点，得证.所以存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点.【小问3详解】如图y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，()123x x x <<，则有121222332e e 2ln ln x x x x x x x x --+=+==--，因为112ln 122122e 2ln 2e 2eln x x x x x x x x ----⇒--=-=-而()2e x f x x =--单调递减，所以12ln x x =，因为322ln 23323e ln e eln x x x x x x x x +=+⇒+=+，而()e x f x x =+单调递增，所以23ln x x =，又因为2222222e 2ln e ln 22x x x x x x x +=--⇒++=.所以212322e 222ln x x x x x x ++=++=.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.。
安徽省合肥市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
合肥2023级高一年级数学阶段性限时作业（答案在最后）一､单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合A B ､均是Z 的子集，若A B ⊆，则()Z A B ⋂=ð（）A.∅B.AC.BD.Z Bð【答案】A 【解析】【分析】根据交集，补集和包含关系定义即得.【详解】因为Z A B ⊆⊆，所以()Z A B =∅ ð故选：A .2.23πtan6=（）A. B.3-C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】23ππππtan tan 4πtan tan 66663⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B.3.不存在函数()f x ，()g x 满足（）A .定义域相同，值域相同，但对应关系不同B.值域相同，对应关系相同，但定义域不同C.定义域相同，对应关系相同，但值域不同D.定义域不同，对应关系不同，但值域相同【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，由两函数相等的条件分析判断.【详解】对于A ，如2(),[0,1],(),[0,1]f x x x g x x x =∈=∈，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A 错误，对于B ，如22(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B 错误，对于C ，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，所以不存在函数()f x ，()g x 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C 正确，对于D ，如2(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D 错误，故选：C4.已知全集U =R，集合{{}12,R x A x y B y y x +====∈∣,∣，则“()U x A B ∈⋃ð”是“{}0x xx ∈≠∣”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由{A xy ==∣可得220x x -≥，解得02x ≤≤，所以{}02,{0},{0U A xx B y y A x x =≤≤=>∴=<∣∣∣ð或(){}2},0U x A B x x >⋃=≠∣ð，故选:C .5.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x xf x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．6.已知函数()()232,1,2,3,3,N a x x f x a x x x ⎧-+=⎪=⎨>∈⎪⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.213172a <<B.213172a ≤<C.283232a << D.283232a ≤<【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】由条件可知，()3230028320282323232234a a a a a a a ⎧⎧⎪-<<<⎪⎪⎪>⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪>⎪⎪-+>⎩⎩,故选：C.7.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道宽度W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.当100SN≥时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W 变为原来的3倍，信噪比SN从1000提升到16000，则C 大约是原来的（）倍（其中lg50.7≈）A.4.1B.4.2C.4.3D.4.4【解析】【分析】由22123log 160003lg1600034lg27lg5log 1000lg1000C W C W ===+=-即可求解.【详解】解：当1000SN=时，12log 1000C W =，当16000=SN时，223log 16000C W =，则22123log 160003lg1600034lg274lg5740.7 4.2log 1000lg1000C W C W ===+=-≈-⨯=，故C 大约是原来的4.2倍.故选：B.8.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．二､多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.下列关于单调性的表述中，错误的是（）A.[],x a b ∀∈，若()()0f a f b -<，则函数()f x 在区间[],a b 上单调递增B.x D ∀∈且1x D +∈，若()()10f x f x -+<，则函数()f x 在区间D 上单调递增C.12,x x D ∀∈且12x x <，若()()120f x f x -<，则函数()f x 在区间D 上单调递增D.12,x x D ∀∈，若()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在区间D 上单调递增【答案】AB【分析】根据函数单调性的定义逐一判断.【详解】对于A ：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故A 错误；对于B ：不满足两个自变量的任意性，故B 错误；对于C ：与单调递增的定义吻合，故C 正确；对于D ：()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，得()()1212f x f x x x ⎧>⎨>⎩，或()()1212f x f x x x ⎧<⎨<⎩，则函数()f x 在区间D 上单调递增，故D 正确，故选:AB .10.已知实数a b c d ､､､，则下列命题中正确的是（）A.若,a b c d ><，则a c b d ->-B.若0a b c >>>，则(1)(1)a b c c +>+C.若a b >，则11a b<D.若0a b c >>>，则()()log 1log 1a b c c +<+【答案】AB 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 、C ；结合指数函数，对数函数的单调性判断B 、D.【详解】对于A :c d c d <⇒->-，又a b >，故由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故A 正确；对于B ：011c c >⇒+>，故(1)x y c =+在R 上单调递增，又0a b >>，故(1)(1)a b c c +>+，故B 正确；对于C ：当0a b >>时，110a b>>，故C 错误；对于D ：()011ln 10c c c >⇒+>⇒+>，故()()()()ln 1ln 111log 1log 1ln ln ln ln b a c c c c aba b+++<+⇔<⇔<，又0a b >>，故ln ln a b >，结合C 可知，D 错误，故选：AB .11.下列说法正确的是（）A.若命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x-<B.若不等式220ax x c ++<的解集为{1xx <-∣或2}x >，则2a c +=C.若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--D.定义在R 上的奇函数()f x ､偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，则()()()()120f g f g -<【答案】BC 【解析】【分析】结合全称量词命题的否定，不等式的解集及函数的单调性与奇偶性依次判断即可.【详解】解：对于A ：量词任意改成存在，结论否定应是小于等于，故A 不正确；对于B ：不等式220ax x c ++<解集为{1xx <-∣或2}x >，则方程220ax x c ++=两根为12-，，且0a <，故21,2-==-ca a，则2,4,2=-=∴+=a c a c ，故B 正确；对于C ：设函数()()223f m x m x =++，则()f m 单调递增，故()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则只需()10f <，即2320,21x x x ++<-<<-，故C 正确；对于D ： 偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()1(2),g g ∴< 奇函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，()()()1(2),f g f g ∴>D 错误.故选：BC.12.已知0,0a b >>，且33a b +=，则（）A.ab 的最大值为34 B.113a b +的最大值是43C.2219a b +的最小值是8 D.12a b a b+++的最小值是3-【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式判断AC ；利用基本不等式“1”的妙用判断B ，利用消元法与基本不等式判断D.【详解】对于A ，0,0a b >> ，所以33a b +=≥，34ab ∴≤，当且仅当332a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，()1111113143223333333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即332a b ==时，等号成立，故B 错误；对于C ，34ab ≤，221964683a b ab ∴+≥≥≥⨯=，当且仅当2219a b =且3a b=，即332a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由33a b +=，得33b a =-，由0330a b a >⎧⎨=->⎩，得01a <<，()()11113332233223333a b a a a a a b a a a a ++=++-=+-=+--++---33≥-=，当且仅当()1233a a =--，即32a =±时，等号成立，此时312±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误，故选：AC.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三､填空题：本大题共4小题.13.已知幂函数()f x 过点()4,2，则不等式()()30x f x ->的解集为__________.【答案】()3,+∞【解析】【分析】代入法求出()f x =，再利用符号法则求解不等式.【详解】设()af x x =，则24a =，所以12a =，()()()(3030f x x f x x =∴->⇔-，即3030x x x ->⎧⇔>⎨>⎩，∴解集为()3,+∞.故答案为：()3,+∞14.已知函数()f x 是函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠的反函数，则()f x 过定点__________.【答案】()1,0【解析】【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解【详解】 函数()f x 是函数()()()11,0x g x a a a -=+>-≠的反函数，又函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠过定点()0,1,所以函数()f x 过定点()1,0.故答案为：()1,015.已知平面直角坐标系xOy ，点P 在半径为2的圆O 上，现点P 从圆O 与y 轴非负半轴的交点A 出发按顺时针方向运动了16圆周，则此时点P 的纵坐标为__________.【答案】1【解析】【分析】根据三角函数的定义可得.【详解】由题意，点P 顺时针转过了60 角，故130,sin 2xOP xOP ∠=∠=，sin 1P y r xOP ∴=∠=.故答案为：1.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为()*Ni x i ∈，若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是__________.（121nin i xx x x ==+++∑ ）【答案】[7,9)【解析】【分析】根据函数()f x 的类周期性作出函数()f x 的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，则当24x ≤≤时，022x ≤-≤，当23x ≤<时，021x ≤-<，此时2()2(2)2(21)x f x f x -=-=-，当34x ≤<时，122x ≤-<，此时2()2(2)2log (5)f x f x x =-=-，依次类推：作出函数()f x 的图象：()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =与12()2x h x -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和12()2(0)x h x x -=>的图象由图象知，当1x =时,()21log 21f ==,()0121h ==，即1x =是函数)(()f x h x =在[0,2]内的唯一一个根，则3x =是函数)(()f x h x =在[2,4]内的唯一一个根，5x =是函数)(()f x h x =在[4,6]内的唯一一个根，7x =是函数)(()f x h x =在[6,8]内的唯一一个根，9x =是函数)(()f x h x =在[8,10]内的唯一一个根，116nii x==∑，135716∴+++=，()()f x h x ∴=在[8,]a 内没有根，则79a ≤<，故实数a 的取值范围是[)7,9故答案为：[)7,9．四､解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()y g x =为偶函数，函数()y h x =为奇函数，()()3xg x h x +=对任意实数x 恒成立.（1）计算()3log 2g 、ln3ln9h ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）试探究()2g x 与()h x 的关系，并证明你的结论.【答案】（1）54，3（2）()()2221g x h x =+，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求函数解析式，进而可得结果；（2）根据（1）中函数解析式分析证明.【小问1详解】由()()3xg x h x +=得()()3xg x h x --+-=，因为()y g x =为偶函数，()y h x =为奇函数，则()()3xg x h x --=，即()()()()33xx g x h x g x h x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得()332x x g x -+=，()332x x h x --=，所以()33log 2log 23123352log 2224g -++===，1122ln3133ln9223h h --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知：()332x x g x -+=，()332x xh x --=，探究结果：()()2221g x hx =+.证明如下：()223322x x g x -+=，()22223333224x x x x h x --⎛⎫-+-==⎪⎝⎭，所以()()2221g x hx =+.18.已知关于x的一元二次不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，（1）计算sin cos θθ的值；（2）计算33sin cos θθ+的值.【答案】（1）25（2）25±【解析】【分析】（1）由已知，得Δ0=，所以tan 2θ=，再利用弦化切求值；（2）先求出sin cos 5θθ+=±，再因式分解33sin cos θθ+求值即可.【小问1详解】由已知，关于x 的不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，Δ84tan 0θ∴=-=，则tan 2θ=.222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5θθθθθθθθ===++.【小问2详解】29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=，sin cos 5θθ∴+=±，33sin cos θθ+()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ=++-()3sin cos 525θθ=+=±.19.已知函数()21f x ax bx =++．（1）若()10f =，()221f b >+，解关于x 的不等式()0f x ≤；（2）若()011f ≤≤，()122f ≤≤，求()1f -的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）()115f ≤-≤.【解析】【分析】（1）先转化为关于a 的不等式，然后对a 进行分类讨论即可；（2）先求出()1f 和()2f ，再应用待定系数法求出()1f -，最后应用不等式的性质相加即可.【小问1详解】因为()110f a b =++=，所以1b a =--，又因为()242121f a b b =++>+，所以0a >，所以()2010f x ax bx ≤⇒++≤，代入可得()2110ax a x -++≤，即()()()111010ax x a x x a ⎛⎫--≤⇒--≤ ⎪⎝⎭，即()110x x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭当1101a a >⇒<<时，不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当111a a=⇒=时，不等式的解集为{}1；当111a a <⇒>时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当01a <<时不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1a =时不等式的解集为{}1，当1a >时不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】()()01101110122142120421f a b a b f a b a b ⎧≤≤≤++≤-≤+≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≤≤≤++≤≤+≤⎪⎩⎩⎩，又因为()11f a b -=-+，令()()42a b x a b y a b -=+++，解得31x y =-⎧⎨=⎩，而()0330421a b a b ⎧≤-+≤⎨≤+≤⎩，两式相加可得04a b ≤-≤，所以115a b ≤-+≤，即()115f ≤-≤.20.已知常数R a ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）若3a =，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）6a >【解析】【分析】（1）然后根据对数的单调性进行求解即可.（2）函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，化简为()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上有解，对4a =和4a ≠讨论即可.【小问1详解】当3a =时，函数()21log 3,f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22112110log 30log 13102x f x x x x x +⎛⎫∴>⇔+>=⇔+>⇔>⇒<- ⎪⎝⎭或0x >，即不等式的解集为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()()2221log 4250log log 4250f x a x a a a x a x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤--+-=⇔+--+-= ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()14250a a x a x ⇔+=-+->，即()()24510a x a x -+--=且10a x +>，故()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，即()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，且10a x +>，当4a =时，=1x -，不符合题意；当4a ≠时，=1x -或14a -，111,22⎛⎫-∉- ⎪⎝⎭，所以,111224a ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭-，则40111242a a a -+>⎧⎪⇒⎨-<<⎪-⎩24011421142a a a ->⎧⎪⎪>-⎨-⎪⎪<-⎩22 46,4 6a a a a a a ⎧>⎪⇒⇒>⎨⎪⎩或或综上所述，实数a 的取值范围是6a >.21.()f x 是定义在R 上的函数，满足以下性质：①x ∀、y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，②当0x <时，()0f x <．（1）判断()f x 的单调性并加以证明；（2）不等式()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）判断出()f x 在R 上为增函数，令0x y ==，可得出()00f =，令y x =-，可得出()()f x f x -=-，然后任取1x 、2x ∈R 且12x x <，可得出()120f x x -<，利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）将已知不等式变形可得()2233x x f f a x ⎛⎫+>- ⎪+⎝⎭，利用（1）中的结论可得2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，分10a +=、10a +≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：令0x y ==，可得()()020f f =，则()00f =，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以，()()f x f x -=-，任取1x 、2x ∈R 且12x x <，则120x x -<，故()120f x x -<，所以，()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=-<，即()()12f x f x <，因此，函数()f x 在R 上为增函数.【小问2详解】由()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭可得()()2233x x f f a f a x ⎛⎫+>-=- ⎪+⎝⎭，所以，2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，当10a +=时，即1a =-，则有330x ->，解得1x >，不合乎题意；当10a +≠时，则有()10Δ91210a a a +>⎧⎨=-+<⎩，解得12a >.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.22.已知函数()1(1)x f x a a x=->，（1）试判断函数()f x 的单调性（无需证明），若()f x 在[]3,4上的最小值为803，求a 的值；（2）证明：函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()0000log 222a x x x a x -<-.【答案】（1）增函数，3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的性质判断单调性和求参数即可.（2）先利用零点存在性定理确定范围，再证明即可.【小问1详解】当1a >时，函数x y a =是增函数，又函数1y x=-在[]2,3上也是增函数，()1x f x a x ∴=-在[]2,3上是增函数，（做出判断即可，无需证明）()f x 在[]3,4上的最小值为()8080,333f ∴=，即33180,27,333a a a -=∴=∴=.【小问2详解】()f x 定义域为()(),00,∞∞-⋃+，在()(),00,∞∞-+､上单调递增，当0x <时，()10x f x a x=->，∴函数()f x 在(),0∞-上不存在零点.当0x >时，111,1,1,a f a a a a a ⎛⎫=->∴< ⎪⎝⎭ 函数x y a =是增函数，1a a a ∴<，即10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()()110,f a f x =->在()0,∞+上单调递增，()f x ∴在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点0x ，且01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()0000010,1x x f x ax a x =-=∴=，故要证()0000log 222a x x x a x -<-，即证()020002log 20x a x x a x -+-<，即证()2002log 20a x x -+-<，设()()2log 2g x x =-，则()g x 在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()01g x g a ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，即()01log 2log 2,a a x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 当1a >时，12a a+>，()0112,log 2log 2log 1a a a a x a a a ⎛⎫∴-<∴-<-<= ⎪⎝⎭，设()22h x x =-，则()h x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()011h x h ∴<=-，即()()022*********,2log 22log 2110x a x x x a x x x α-<-∴-+-=-+-<-+=，综上所述，函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()020002log 20x a x x a x -+-<.。
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
福建省莆田第二十五中学2024_2025学年高一数学12月月考试题
福建省莆田其次十五中学2024-2025学年高一数学12月月考试题考试时间：120分钟留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、准考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题（每题5分，共60分)1、设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}3,2,1,4,2==B A ，则图中阴影部分所表示的集合（ ） A ．{}3,1B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}4 2、函数)13lg(13)(2-+-=x x x x f 的定义域是（ ） A ．(－∞，1) B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[1，+∞) D ．(1，+∞)3、“YouBike 微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．两条相交直线确定一平面C ．不共线三点确定一平面D ．两条平行直线确定一平面4、如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲乙丙相对应的标号是（ ） ①圆台 ②四棱台 ③三棱锥 ④圆柱 ⑤四棱锥甲 乙 丙A ．③②④B ．①②③C ．④②③D ．④⑤② 5、当10<<a 时，在同一坐标系中函数x a y =与x y a log =的图像是 （ ）6、下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．3)(x x f =B ．x x f 1)(-=C ．()2x f x =D ．()f x x x =-7、函数2)(22-+=x e x f x 的零点所在的区间为（ ）.A ．(-1,0)B ．(0,1)C ．(1，2)D ．(2,3)8、当a ＞0且a ≠1时，f （x ）=log a （x +3）+2的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（ ）A ．()42-，B ．()41-，C ．()22-，D ．()31-，9、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,log 1,)(32x x x x x f ，则((3))f f =（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．310、已知5.05.095,6,8log ===c b a ，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c >>bB ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>11、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为( )A ．222+B ．8C ．4D ．82 12、已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，则满意0)32(>-x f 的x 的取值范围是（）A ．()1,2B ．()2+∞，C ．()(),12,-∞⋃+∞D ．[)02，二、填空题（每题5分，共20分)13、若幂函数()n f x mx =的图像经过点（4，2），则m n +=__________14、不等式x 21-x 93≤的解集是________________15、已知函数()f x 的定义域是（-1，2），则)12(+x f 的定义域是________16、已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若20192)()(+=+x x g x f 则________)2019(=g三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17、计算 ()e ln -4-8212232-2++⎪⎭⎫ ⎝⎛π ()()10lg log 161521225.03log 02+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++18、已知集合{}36A x x =≤<，{}131|-≤≤-=m x m x B（1）当2=m 时，分别求B A 、()A B C R ；（2）若A B A = ，求实数的取值范围.19、已知函数f(x)=log a x 经过点（3，1），其中（a>0且a ≠1）（1）求a ；（2）求函数2)()(-=x f x g 的零点；（3）解不等式12log <+）（x a20.如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面四边形ABCD 为正方形，AB=2，M ,N 分别是线段PA 、PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面ABCD ; (2)求直线MN 与BC 的位置关系，并求它们所成角的大小.21、已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积、体积；（2）在如图的正视图中，假如点为所在线段中点，点为顶点，一只蚂蚁沿着几何体的侧面从点爬到点，求蚂蚁爬行最短路径的长.22、设函数()f x 与()g x 的定义域都是{|x x R ∈且1}x ≠±,()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x +=-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）求1111(2)(3)(4)(5)5432g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.。
江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．设集合，，则（ ）{}220A x x x =--<{}1B x x =≤A B = A ．B ．C ．D ．{}11x x -<<{}11x x -<≤{}11x x -≤<{}11x x -≤≤2．命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是（ ）A ．2,230x x x ∃∈-+>R B ．2,230x x x ∀∈-+>R C ．2,230x x x ∃∈-+≥R D ．2,230x x x ∀∈-+≥R 3．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．94．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则(3)f -的值是（ ）A ．19B ．7C ．7-D ．19-5．如图所示，函数12()f x x=的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．6．已知函数()120,1x y a a a -=+>≠的图象恒过的定点A ，且A 点在直线()0,0mx y n m n -+=>上，则111m n ++的最小值为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．57．小强在研究幂函数11,2,3,,12a y x a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象和性质时得到如下结论，则其中正确的是（ ）A ．幂函数的图象必过定点()0,0和()1,1B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．幂函数12y x =为偶函数D ．幂函数1y x -=在其定义域上为减函数8．已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：()1.4e 0.12500e 0t y k k -=⋅>．自2023年初起，经过n 年后()*n ∈N ，当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n 的最小值为（参考数据：）（ ）ln5 1.6094≈A ．10B ．11C ．12D ．13二、多选题（本大题共4小题）9．下列各式中，最小值为4的是（ ）A ．82x y x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．e 4exxy -=+D．y =10．下列说法中正确的是（ ）A ．任取0x >，均有32x x>B．图象经过⎛ ⎝的幂函数是偶函数C ．在同一坐标系中，函数21x y =+与21xy -=+的图象关于y 轴对称D ．方程2log 2x x=-有两根11．下列表达式正确的是（ ）A ．若π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ=+B ．在锐角ABC 中，sin cos A B >恒成立C ．()()sin πtan cos πααα-=-+D ．α∀，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos sin cos αβαβ+<+12．已知()f x 的定义域为R 且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的1x ，()21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）A ．是偶函数B ．()f x ()20230f =C ．的图象关于对称D ．()f x ()1,071948f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题（本大题共4小题）13．已知22log 2log 21x y +=，则3x y +的最小值为.14．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是.15．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上单调递减，()()332f f +-=，则关于x 的不等式()11f x +≥的解集为.16．已知直线π02x a a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与函数()sin f x x =和函数()cos g x x =的图象分别交于,P Q 两点，若14PQ =，则线段PQ 中点的纵坐标为.四、解答题（本大题共6小题）17．（1）设全集为R ，{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求()A B⋂R ð；（2）7log 2log lg 25lg 47++．18．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,4．(1)求a 的值；(2)求函数|1|()(33)x g x a x -=-≤≤的值域．19．已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．(1)求tan α的值；(2)求2sin cos sin 1ααα-+的值．20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元()0x ≥满足关系式81ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为1036a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）(1)求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？21．已知函数()121xaf x =++为奇函数.（1）求实数a 的值，并用定义证明()f x 是R上的增函数；（2）若关于t 的不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，求实数k 的取值范围.22．已知a ∈R ，函数2()log ().f x x a =+(1)若关于x 的方程221()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值;(2)设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间11[,1t t +的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案1．【正确答案】B【详解】{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}{}111B x x x x =≤=-≤≤，则{}11A B x x ⋂=-<≤.故选B.2．【正确答案】D【详解】命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是“2,230x x x ∀∈-+≥R ”.故选D.3．【正确答案】D【详解】设半径为r ，则周长1520.5r r =+，则6r =，扇形面积210.592r ⨯=，故选D ．4．【正确答案】C【详解】因为当0x >时，()224f x x x =-+，所以()2332347f =-⨯+=，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()337f f -=-=-.故选C.5．【正确答案】A 【详解】12()f x x=的定义域为R ,1122()()f x x x f x -=-==，图象关于y 轴对称，可排除选项A,B ；又因为当0x ≥时，12()f x x == C.【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．【正确答案】B 【详解】函数()120,1x y a a a -=+>≠中，由10x -=可得1x =，3y =，即函数的图象恒过定点(1,3)A .若点A 在直线()0,0mx y n m n -+=>上，即有14m n ++=，于是得1111111[(+1)]()(2(2114+14141n m m n m n m n m n ++=++=++≥+=++，当且仅当11n mmn +=+,即2=1m n =，时取等号成立.所以21m n ==，时，111m n ++的最小值为 1.故选B.7．【正确答案】B【详解】对选项A ：1y x -=不过()0,0，错误；对选项B ：0x >时，0ay x =>，幂函数的图象不可能过第四象限，正确；对选项C ：幂函数12y x =的定义域为[)0,+∞，是非奇非偶函数，错误；对选项D ：=1x -时，1y =-；1x =时，1y =，不是定义域上减函数，错误；故选B.8．【正确答案】D【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e00e20%ety k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 5t -<，则ln 50.125ln 5,8ln 512.87520.125t t >>=≈所以，由于*n ∈N ，故n 的最小值为13.故选D.9．【正确答案】CD【详解】对于A ，当0x <时，0y <，所以82x y x =+无最小值，A 不符合题意;对于B ，由已知sin 0x >，所以4sin 4sin y x x =+≥=，当4sin sin x x =即sin 2x =时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以4sin (0)sin y x x x =+<<π 的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C，e 4e 4x x y -=+≥=，当e 4e xx-=即时，取等号，所以ln 2x =最小值为4，C 符合题意;e 4e x x y -=+对于D ，，当4y =≥==x =取等号，所以 的最小值为4，所以符合题意．y =故选CD ．【方法总结】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.10．【正确答案】ACD 【详解】对选项A ，令()3xf x =，()2xg x =，当0x >时，()3xf x =的图象恒在()2xg x =的上，则A 正确；对选项B ，设()nf x x=，则()22n f ==12n =-，则0x >，所以函数不是偶函数，故B 错误；对选项C ，函数2xy =与2x y -=的图象关于y 轴对称，往上平移1个单位就得到函数21x y =+与21x y -=+的图象，所以还关于y 轴对称，故C 正确；对选项D ，方程2log 2x x=-的根即为函数2log ,2y x y x==-图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程2log 2x x=-有两根，故D 正确；故选ACD ．11．【正确答案】BCD 【详解】A ：由题设==|sin cos |θθ=-，又π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin cos θθ=-，错；B ：由题意ππ2A B <+<且π0,2A B <<，则ππ22B A -<<，所以πsin sin()cos 2A B B>-=，对；C ：()()sin πsin tan cos πcos ααααα-==-+-，对；D ：由22sin cos (sin cos )sin (sin 1)cos (cos 1)αβαβααββ+-+=-+-，又α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0sin ,cos 1αβ<<，故22sin cos (sin cos )0αβαβ+-+<，所以22sin cos sin cos αβαβ+<+，对.故选BCD.12．【正确答案】ABC 【详解】()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于点(1,0)对称且关于直线2x =对称，故C 正确；所以(1)=(1)f x f x +--，(2)=(2)f x f x +-，(1)0f =，(2)(2)(11)=[1(1)]()f x f x f x f x f x +=-=+----=-(4)(2)=()f x f x f x +=-+，所以()f x 是周期函数，最小正周期为4．(1)(3)(21)(21)(1)0f f f f f -==+=-==，(2023)(45061)(1)0f f f =⨯-=-=，故B 正确；()(2)(2)[2(2)]=()f x f x f x f x f x -=-+=--=--，()f x 是偶函数，A 正确；对任意的()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()1212f x f x x x ->-，即1212x x <<<时，，所以在是单调递增，12()()f x f x <()f x (1,2)，，，77()=(44f f -19191913(((4)(8888f f f f -=-+=7132148>>>，所以，故D 错．713()()48f f >719()(48f f ->故选ABC ．13．【正确答案【详解】由题可知，0,0x y >>，且222log 2log 2log (22)1x y x y +=⋅=，所以1422xy xy =⇒=，3x y +≥==3x y =时等号成立，又10,0,2x y xy >>=，解得x y ==.14．【正确答案】()2f x x =【详解】()f x 是幂函数，()211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递增，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.15．【正确答案】(][),42,-∞-+∞ 【详解】由题设，易知偶函数()y f x =在(],0-∞上递减，在(0,)+∞上递增，且(3)(3)1f f =-=，所以()11(|3|)f x f +≥=±，故|1|3x +≥，可得13x +≥或13x +≤-，所以2x ≥或4x ≤-，故解集为(][),42,-∞-+∞ .16．【正确答案【详解】由题意知：1sin cos 4PQ a a =-=，()21sin cos 12sin cos 16a a a a ∴-=-=，152sin cos 16a a ∴=；设PQ 中点的纵坐标为b ，当π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0a >，cos 0a >，sin cos 02a ab +∴=>，215112sin cos 31164464a ab ++∴===，b ∴=【思路导引】由1sin cos 4PQ a a =-=，平方后可求得2sin cos a a ，再将线段PQ 中点的纵坐标求平方值，代入2sin cos a a 进行运算求解.17．【正确答案】（1）{|23x x <<或}710x ≤<（2）154【详解】（1）{|3A x x =<R ð或}7x ≥，所以()A B ⋂=R ð{|23x x <<或}710x ≤<.（2）7log 2log lg 25lg 47++()()13433log lg 25423=+⨯+()143log 3lg 2542-=+⨯+1224=-++15.4=18．【正确答案】(1)a =(2)[]1,4【详解】（1）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，则44a =，又0a >且1a ≠，所以a =（2）当33x -≤≤时，412x --≤≤，则014x -≤≤，因为1>，所以()x f x =在R 上单调递增，则4，即114-，所以()g x 的值域为[]1,4．19．【正确答案】(1)3tan 4α=±(2)3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【详解】（1）条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，所以29tan 16α=，即3tan 4α=±.（2）易知2222222s i sin cos sin 1s n cos sin sin cos cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=,由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20．【正确答案】(1)4k =，()6413801y x x x =--≥+(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【详解】（1）由题知，0x =时，4a =，于是，8401k -=+，解得4k =.所以，481a x =-+.根据题意，103620y a a x a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,即6416101381y a x x x =+-=--+,所以()6413801y x x x =--≥+.（2）6464138139111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭139123≤-=,当且仅当6411x x +=+，即7x =时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.21．【正确答案】（1）2a =-，证明见解析；（2）1(,)3-+∞.【详解】（1）因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，可得x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-，令0x =，可得0(0)110212a a f =+=+=+，解得2a =-，所以221()12121x x x f x -=-=++，此时满足2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++，所以函数()f x 是奇函数，所以2a =-.任取12,x x ∈R ，且12x x <，则1222x x <，因为12122121122(22)2222()()(1)(1)021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x --=---=-=<++++++，即12()()f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数，且22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，可得22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空，又因为()f x 在R 上单调递增，所以2222t t k t -<-的解集非空，即2320t t k --<在R 上有解，则满足2(2)43()0k ∆=--⨯⨯->，解得，13k >-所以实数的取值范围.k 1(,)3-+∞【关键点拨】第二问将问题转化为2320t t k --<在R 上有解，结合二次函数的性质，可求得k 的值.22．【正确答案】(1)0a =或14-；(2)2[,).3+∞【详解】（1）由题可知2221log ()log ()0a x x ++=有且仅有一解，所以21()1a x x +=有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解，当0a =时，可得1x =，经检验符合题意；当0a ≠时，则140a ∆=+=，解得14a =-，再代入方程可解得2x =，经检验符合题意；综上所述，0a =或14-.（2）当120x x <<时，12x a x a +<+，2122log ()log ()x a x a +<+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因此()f x 在11[,]1t t +上单调递增，故只需满足11(()11f f t t -≤+，即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+，所以112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++，设1t r -=，则1[0,2r ∈，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032r r r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r =-++-，又对勾函数2y x x =+在单调递减，10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，219422r r +≥+=故，112293332r r ≤=+--所以，，12(1)3t t t -≤+所以a 的取值范围为2[,).3+∞。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题
河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设12,x x 是常数，()()12()2017f x x x x x =---，34,x x 是()f x 的零点.若1234,x x x x <<，则下列不等式，正确的是（）A ．1324x x x x <<<B ．1234x x x x <<<C ．3124x x x x <<<D ．1342x x x x <<<2．如图所示的曲线是对数函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d ，1的大小关系为（）A ．b >a >1>c >dB ．a >b >1>c >dC ．b >a >1>d >cD ．a >b >1>d >c3．设不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)，则不等式20cx bx a ++>的解集为（）A ．(2,3)B ．(3,2)--C ．11(,)32D ．11(,23--4．设1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，用二分法求方程1102xx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在(1,3)内近似解的过程中，(1)0f >，(1.5)0f <，(2)0f <，(3)0f <，则方程的根落在区间（）．A ．(2,3)B ．(1.5,2)C ．(1,1.5)D ．(1.5,3)5．设方程340x x +-=的根为α，方程3log 40x x +-=的根为β，则33log αβ+的值为（）A ．4B ．2C ．0D ．4-6．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β8．已知函数()2121x x f x -=+，且()()0f a f b +<，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<二、多选题9．已知0,0a b >>且1,1a b ≠≠，若log 1a b >，则下列不等式可能正确的是（）A ．()()10b b a -->B ．()()10a a b ---<C ．()()110a b --<D ．()()10-->a b a 10．下列选项正确的是（）A ．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数()πcos 2xf x =的周期为4πC ．若sin cos 2x x +=，则441sin cos 8x x +=，D ．若函数()()2lg 2f x ax x =++的值域为，则实数a 的取值范围是10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、单选题11．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．四、填空题12．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80m g 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.8mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他大约经过小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：lg20.301≈）13．已知函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a的取值范围是.14．对于函数()f x 定义域中的任意1212,()x x x x ≠，有如下结论：①1212()()();f x x f x f x +=+②1212()()();f x x f x f x +=⋅③1212()()();f x x f x f x ⋅=+④()()12120;f x f x x x ->-⑤()()1212+.22f x f x x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭当()ln f x x =，上述结论中正确结论的序号是．五、解答题15．（1）已知102,103m n ==，求32210m n-的值；（2）已知()()sin π2cos 2π2πsin sin 2k θθθθ--+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求33sin cos 2sin cos θθθθ++的值.16．已知函数()124lg 3x xa f x ++⋅=在(),1-∞上有意义，(1)求()21122xxg x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭(](,1)x ∞∈-的最大值.(2)求实数a 的取值范围.17．（1）用函数单调性定义证明5()f x x x=+在(]0,1上单调递减.（2）已知正数,a b 满足2a b +=，求11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值.18．设函数()f x 定义在上，对于任意实数m n ､，恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.(1)猜想并写出满足已知条件的一个具体函数解析式；(2)求证：()01f =，且当0x <时，()1f x >；(3)求证：()f x 在上单调递减.19．已知函数()11ln x f x x x -=-+．(1)求值：()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：(3)求证()f x 有且仅有两个零点12x x 、并求21x x 的值．。
四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
成都高2026届高一上期数学12月考试（答案在最后）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6730︒'化为弧度是（）A.3π8B.38C.673π1800D.6731800【答案】A 【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】π3π673067.51808'︒=⨯=（弧度）．故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.已知函数()()32,20243f x ax bx f =+-=，则()2024f -=（）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A 【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为()320242024202423f a b =⨯+⨯-=，所以3202420245a b ⨯+⨯=，所以()32024202420242527f a b -=-⨯-⨯-=--=-.故选：A.4.已知sin 5β=-，π02β-<<，则cos β=（）A.5B.5±C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由π02β-<<，得cos 0β>，而5sin 5β=-，所以25cos 5β==.故选：D5.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表，那么函数()f x 在区间[1,6]上的零点至少有（）x1234567()f x 123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B 【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0f f f f ><><.则(2)(3)0<f f ，(3)(4)0f f <，(4)(5)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：B.6.已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.b<c<aC.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意33228221log log 5log 27log 3log 35a b =-=>===，00.3822log 27log 3log 21 1.1 1.1b c -==>==>=，所以,,a b c 的大小关系为c b a <<.故选：D.7.某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据()Q t 的图象确定()C t 的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．8.若定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式2(4)(2)2f x f x x --<+的解集为（）A.()()3,22,1--⋃-- B.()2(),31,-∞-- C.()),31(,2(2,)-∞--+∞ D.(,3)(2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，并得到()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，分2x >和2x <两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设120x x >>，()()()()211221121200x f x x f x x f x x f x x x -<⇒-<-，故()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇒<，令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，其中()()f x F x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，故()()()()()f x f x f x F x F x xxx---====--，所以()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，当20x ->，即2x >时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒<+--，即()()224F x F x -<-，()()224F x F x -<-，故22422x x x x ->-=-⋅+，又20x ->，故21x +<，解得32-<<-x 或2<<1x -，与2x >求交集得到空集；当20x -<即2x <时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒>+--，即()()224F x F x ->-，()()224F x F x ->-，故22422x x x x -<-=-⋅+，又20x ->，故21x +>，解得1x >-或3x <-，与2x <取交集得(),31,2()x -∞--∈ .故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++<，则命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥B.“x y >”是“x y >”的必要不充分条件C.命题“x ∀∈Z ，20x >”是真命题D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出x y >，例如23>-，而23<-；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.7π6-是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C.若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC 【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A 选项；利用扇形的面积公式可判断B 选项；利用三角函数的定义四可判断C 选项；取π4α=可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为7π5π2π66-=-且5π6为第二象限角，故7π6-是第二象限角，A 错；对于B 选项，若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为113πππ3222S r ==⨯=，B 对；对于C 选项，若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，因为α为锐角，不妨取π4α=，则π22α=为直角，D 错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得ab d a b=+；②由AE AF≥可得2a b+≥；③由ADAE ≥可得211a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b =+，故①正确；对于②：因为AFBC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以AE a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b+≥，故②正确；对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确；对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数12()22(R)x f x x x a a -=-++∈，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 在()1,+∞上单调递减B.函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C.存在实数a ，使得函数()f x 有三个不同的零点D.存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD 【解析】【分析】对函数()f x 变形，并分析函数()f x 的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作答.【详解】R a ∈，函数12()(1)21x f x x a -=-++-的定义域为R ，对于A ，当1x >时，21()(1)21x f x x a -=-++-，而2(1)1y x a =-+-，12x y -=在()1,+∞上都单调递增，因此函数()f x 在()1,+∞上单调递增，A 错误；对于B ，因为12(2)(1)21()xf x x a f x --=-++-=，因此函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，B 正确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则函数()f x 在[1,)+∞上最多一个零点，由对称性知，函数()f x 在(,1]-∞上最多一个零点，因此函数()f x 在R 上最多两个零点，C 错误；对于D ，当2a =-时，12()(1)235x f x x -=-+-≥，而(1)(3)5f f -==，由对称性及选项A 知，()f x 在(),1-∞上单调递减，当1x ≤时，得1x ≤-，当1x ≥时，得3x ≥，即()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，所以存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，D 正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II 卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.3223827--⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.)3232112332433482122733----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1222191223344--⎛⎫⎛⎫=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14-.14.已知函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.【答案】()1,5##[)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，所以,8m m +为220x x t -+-=的两个根，所以22401t t ∆=->⇒<则()823815m m m m m t t ++==-⎧⎧⇒⎨⎨⨯+==-⎩⎩，即()()212log 215f x x x =-++，令()12log h x x =，则()h x 在()0,∞+单调递减，令()()22215116g x x x x =-++=--+，则()g x 为开口向下，对称轴为1x =的抛物线，且()035g x x >⇒-<<，所以()3,1x ∈-时，()g x 单调递增；()1,5x ∈时，()g x 单调递减；因为()()()()212log 215f x x x h g x =-++=，所以函数()f x 的单调增区间为()1,5.故答案为：()1,515.已知1x ，2x 分别是关于x 的方程ln 2023x x =，e 2023x x =的根，则12x x =________【答案】2023【解析】【分析】令1232023ln ,e ,xy x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有2023ln x x =，2023e x x =，令1232023ln ,e ,x y x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，曲线1ln y x =和2e xy =关于直线y x =对称，曲线32023y x =关于32023y x=，设曲线3y 分别与12,y y 交于点121220232023,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点,A B 关于直线y x =对称，而点112023,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称点为112023,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即为点222023,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212023x x =，所以122023x x =.故答案为：2023.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有()()()2f m n f m n f m -++=，且当0x >时，()0f x <．若()24f =-，2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定[]1,1x ∈-内的最大值为(1)2f -=，从而可得22(42)1m a m <-+-，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.【详解】取0,m n ==则有()()()000f f f +=，所以()00f =，取0,,m n x ==则有()()()00f x f x f -+==，所以()f x 为奇函数，任意1212,,,x x x x ∈>R 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，所以()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()12120f x f x f x x -=-<，所以()f x 在定义域R 上单调递减，所以()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，令()()()1,0,1124m n f f f ==+==-，所以()12f =-，所以max ()(1)(1)2f x f f =-=-=，因为2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，所以22(42)1m a m <-+-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，分离变量可得342a m m+<-，因为函数3y m m =-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，所以min 132y =-=-，所以422a +<-解得1a <-，故答案为:(),1-∞-.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设m 为实数，U =R ，集合{}2log (2)1A xx =-≤∣，{2}B x m x m =≤≤+∣．（1）若1m =，求A B ⋃，()U A B ⋂ð；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】17.{|14}x A B x =≤≤⋃，(){|2U A B x x ⋂=≤ð或3}x >18.04m <≤【解析】【分析】（1）先求出集合,A B ，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】由2log (2)1x -≤可得：022x <-≤，则24x <≤，所以{|24}A x x =<≤，当1m =时，{|13}B x x =≤≤，所以{|14}x A B x =≤≤⋃，{|23}A B x x ⋂=<≤(){|2U C A B x x ⋂=≤或3}x >.【小问2详解】易知2m m <+恒成立，A B ⋂≠∅即224m <+≤或24m <≤解得02m <≤或24m <≤所以04m <≤.18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-．（1）求t 和cos θ的值；（233的值．【答案】（1）t =cos 3θ=（2【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：6sin 3θ==-，则0t <，于是解得t =3cos 3θ==.【小问2详解】已知终边过点(1,得tan θ=(()3333312151+===-.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为115km /h ν=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1114Q v t ∆=⋅（1t 表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为22155v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222241v t Q t ⋅∆=+．已知该运动员初始体力为010000kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()15,011551,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060415,01601415516400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值min ()(1)6400Q t Q ==；②疲劳阶段4800()4001200(14)Q t t t t=++<≤，则有4()400120040012005200Q t t t ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭；当且仅当4t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ ．20.我们知道，函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．已知函数4()42x f x =+．（1）利用上述结论，证明：函数()f x 的图像关于1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；（2）判断函数()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：()()212f x ax a f x ++++<．【答案】（1）证明见解析（2）4()42x f x =+为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明1()()12g x f x =+-为奇函数即可；（2）由题可得4()42x f x =+为减函数，又结合（1）结论可知()()212f x ax a f x ++++<()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>，后分类讨论a 的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明1()()12g x f x =+-为奇函数，又1214414()()11122241424x x xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++，易知函数()g x 定义域为R .R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数，所以()f x 的图像关于1(,1)2成中心对称图形．【小问2详解】易知24x y =+为增函数，且240x +>，对任意的x ∈R 恒成立，所以4()42x f x =+为减函数.又由（1）知，点(,())x f x 与点(1,(1))x f x --关于点1(,1)2成中心对称，即()(1)2f x f x +-=，所以原不等式等价于2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-，所以211x ax a x +++>-，即2(1)0x a x a +++>，由2(1)0x a x a +++=解得121x a x =-=-，，当1a >时，原不等式解集为{|x x a <-或1}x >-；当1a =时，原不等式解集为{|1}x x ≠-；当1a <时，原不等式解集为{|1x x <-或}x a >-．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数()y f x =，当[],x a b ∈时，值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，当(]0,3x ∈时，()1112f x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”；（3）求函数()f x 在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩22.[]1,223.[]1,2和[]2,1--【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得()f x 在[)3,0x ∈-上的解析式，结合()00f =，从而求解函数()f x 的解析式；（2）根据函数()f x 在[]1,3上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间的定义知0a b ab <⎧⎨>⎩，分03a b <<≤和30a b -≤<<讨论，分析函数()f x 的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，当[)3,0x ∈-时，则(]()110,3,111122x f x x x -∈-=---=-+，又()f x 是奇函数，则()()1112f x f x x =--=-++，所以()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩.【小问2详解】设13a b ≤<≤，函数()3122f x x =-，因为()f x 在[]1,3上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()311223112213f b b b f a a a a b ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”为[]1,2.【小问3详解】因为()f x 在[],a b 时，函数值()f x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0,0a b ≠≠，所以11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑03a b <<≤或30a b -≤<<，①当03a b <<≤时，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，故当(]0,3x ∈时，()max ()11f x f ==，则11a≤，所以，13a ≤<，则13a b ≤<≤，由（2）知，此时()f x 的“倒值映射区间”为[]1,2；②当30a b -≤<<时，可知因为函数()f x 在[]3,1--上单调递减，()1,0-上单调递增，故当[)3,0x ∈-时，()min ()11f x f =-=-，则11b≥-，所以，31b -<≤-，当[]()133,1,22x f x x ∈--=--在[]3,1--上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()131221312231f b b b f a a a a b ⎧=--=⎪⎪⎪=--=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以()f x 的“倒值映射区间”为[]2,1--；综上，函数()f x 在定义域内的“倒值映射区间”为[]1,2和[]2,1--.22.已知函数()()3log 31x f x mx =++是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12-（2）0a >或10a =--【解析】【分析】（1）根据偶函数性质()()f x f x -=代入即可求解；（2）令3x t =，转化为关于t 的一元二次函数，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()f x 的定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-，所以()()333313log 31log log 31log 33x x x x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以3log 3x mx x mxmx --=-=-所以()210m x +=，即12m =-．【小问2详解】由（1）知()()31log 312x f x x =+-所以()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，即1313=23x xx a a +⋅-，整理得()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，其中1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以0a ≠，令3x t =，则得211102at a t ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，①当0a >时，1302x ->，即12t >，所以方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以当0a >时，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解．②当0a <时，1302x -<，即102t <<，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的开口向下，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以满足恒有2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得10a =--综上所述，当0a >或10a =--时，()g x 有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=代入原函数即可求解参数；。
云南省2023_2024学年高一数学上学期12月月考试题含解析
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第2页，第II 卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{31}A xx =-<≤∣，{13}∣=-<≤B x x ，则A B = （）A.(3,3]- B.(]1,1-C.[1,3]- D.(1,3]2.命题“x ∀≥，23x ≥”的否定为（）A.“x ∀≤，23x ≥”B.“x ∃<23x <”C.“x ∀≥，23x <”D.“x ∃≥23x <”3.已知扇形的圆心角是60 ，半径为3，则扇形的面积为（）A.60B.120C.2π3D.3π24.在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(P -，则πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.12-B. C.32D.125.已知0b a <<，2a b +=，则（）A.01a << B.12b <<C.02a b <-< D.2ab a >6.已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A.2- B.1- C.1D.27.已知函数π()3cos 2([0,π])3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，且()()()121265f x f x x x ==≠，则12x x +=（）A.5π6B.4π3 C.5π3D.2π38.已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()f x 在[)0,∞+上单调递减且()13f =，则满足()3log 3f x ≤的x 的取值范围是（）A.[)3,∞+ B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题2:540p x x -+<，那么命题p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x ≤ B.13x <<C.24x << D.4x ≥10.已知5sin 3α=-，且cos 0α>，则（）A .tan 0α< B.sin cos 0αα+>C.2tan 1α> D.α为第四象限角11.已知函数π()2sin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是πB.()f x 的单调递增区间为πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.要得到()2g x x =的图象，只需把()f x 的图象向左平移π6个单位12.对任意两个实数,a b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩,若()22f x x =-，()g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A.函数()F x 是奇函数B.方程()0F x =有三个解C.函数()F x 在区间[]1,1-上单调递减D.函数()F x 有4个单调区间第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为__________.14.已知命题:p 若,αβ为第二象限角，且αβ>，则sin sin αβ>.能说明命题p 为假命题的一组,αβ的值可以是α=______，β=______.15.设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=-在区间(0,π)上恰有两个零点，则ω的最大值是______.16.已知函数2()26f x x kx =-+在[1,3]上的最大值为10-，则实数k 的值为______.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知()tan π2α-=-.（1）求()()πsin 3sin π23πcos cos 3π2αααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；（2）求22sin sin cos ααα+的值.18.已知集合{}260A xx x =--<∣，{}22230B x x mx m =+-<∣.（1）若集合{93}B xx =-<<∣，求实数m 的值；（2）若0m ≥，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19.已知,αβ为锐角，3tan 4α=，cos()5αβ+=-.（1）求sin 2cos 2αα-的值；（2）求tan()αβ-的值.20.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，其中()f x 的图象与x 轴的一个交点的横坐标为π12-.（1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；（2）求函数()f x 在区间π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.已知函数24()x f x x+=(),(,00,x ∈-∞⋃+∞.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[8,2]--上的值域.22.已知函数()42x x f x a =-⋅.（1）当2a =时，求()f x 在[2,2]-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值.2023级高一年级教学测评月考卷（四）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第2页，第II 卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{31}A xx =-<≤∣，{13}∣=-<≤B x x ，则A B = （）A.(3,3]- B.(]1,1-C.[1,3]- D.(1,3]【答案】B 【解析】【分析】用集合的交集运算求出即可.【详解】集合{31}A x x =-<≤∣，{13}∣=-<≤B x x ，则{11}A B xx ⋂=-<≤∣，故选：B.2.命题“x ∀≥，23x ≥”的否定为（）A.“x ∀≤，23x ≥”B.“x ∃<23x <”C.“x ∀≥，23x <”D.“x ∃≥23x <”【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.【详解】命题“x∀≥，23x≥”的否定为:“x∃≥，23x<”.故选:D.3.已知扇形的圆心角是60 ，半径为3，则扇形的面积为（）A.60B.120C.2π3 D.3π2【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式计算即可.【详解】因为扇形的圆心角是60 ，半径为3，所以扇形的面积260π33π3602S⨯==，故选:D.4.在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(P-，则πsin2α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.12-B. C.32 D.12【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算即可.【详解】因为角α的终边经过点(P-，则1cos2α==-，故π1 sin cos22αα⎛⎫-==-⎪⎝⎭.故选:A.5.已知0b a <<，2a b +=，则（）A.01a << B.12b <<C.02a b <-< D.2ab a >【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的性质结合特殊值法一一判定即可.【详解】取 1.2a =，0.8b =，满足0b a <<，2a b +=，故A ，B ，D 错误，因为0b a <<，2a b +=，则02b a <<<，故02a b <-<.故选：C.6.已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()f x x =-，然后代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意，由2()()1f x g x x x +=-+①得2()()1f x g x x x -+-=++，因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以2()()1f x g x x x -+=++②，由①②得2()2f x x =-，所以()f x x =-，则(2)2f =-.故选：A.7.已知函数π()3cos 2([0,π])3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，且()()()121265f x f x x x ==≠，则12x x +=（）A.5π6B.4π3 C.5π3D.2π3【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件代入计算可得1π2cos 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π2cos 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由[0,π]x ∈，代入计算，即可得到结果.【详解】π()3cos 2([0,π])3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，且()()()121265f x f x x x ==≠，则1π63cos 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1π2cos 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，同理可得，2π2cos 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又1x ，2[0,π]x ∈，则1ππ5π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，2ππ5π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，21052<< ，12ππ222π33x x ∴-+-=⨯，解得124π3x x +=.故选：B.8.已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()f x 在[)0,∞+上单调递减且()13f =，则满足()3log 3f x ≤的x 的取值范围是（）A.[)3,∞+ B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.【详解】因为偶函数()f x 的定义域为R ，且()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，因为()13f =，所以()13f -=，所以()()3log 31f x f ≤=±，所以3log 1x ≥或3log 1x ≤-，解得3x ≥或103x <≤，所以x 的取值范围是[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题2:540p x x -+<，那么命题p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x ≤ B.13x <<C.24x << D.4x ≥【答案】BC 【解析】【分析】由命题的充分不必要条件结合不等式解得.【详解】由2540x x -+<，解得14x <<，则13x <<和24x <<都是14x <<的充分不必要条件，故选：BC.10.已知5sin 3α=-，且cos 0α>，则（）A.tan 0α< B.sin cos 0αα+>C.2tan 1α> D.α为第四象限角【答案】ACD 【解析】【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可.【详解】sin 3α=-，cos 0α>，2cos 3α∴==，sin tan 0cos 2ααα∴==-<，故A 正确；25tan 14α=>，故C 正确；2sin cos 03αα-+=<，故B 错误；因为5sin 03α=-<，且cos 0α>，所以α为第四象限角，故D 正确.故选:ACD.11.已知函数π()2sin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是πB.()f x 的单调递增区间为πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.要得到()2g x x =的图象，只需把()f x 的图象向左平移π6个单位【答案】AB 【解析】【分析】根据两角差的余弦公式及辅助角公式，进而结合正弦函数的性质及平移变换判断各选项即可.【详解】πππ()2sin cos cos 2sin 2cos 2cos sin 2sin 666f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭ 33πsin 222226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，令πππ2π22π(Z)262k x k k -+≤+≤+∈，解得ππππ(Z)36k x k k -+≤≤+∈，()f x ∴的单调递增区间为πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，当π12x =时，ππππ20121263f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的图象不关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 错误；对于D ，()f x 的图象向左平移π6个单位后，解析式为πππ2666f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π222x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选:AB.12.对任意两个实数,a b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩,若()22f x x =-，()g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A.函数()F x 是奇函数B.方程()0F x =有三个解C.函数()F x 在区间[]1,1-上单调递减D.函数()F x 有4个单调区间【答案】BD【解析】【分析】根据新定义的函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可.【详解】令()2222(2)(1)0x x x x x x --=+-=+-<，解得11x -<<，所以当11x -<<时，22x x <-；当1x ≤-或1x ≥时，2||2x x ≥-；所以()()(){}222,1,10min ,,012,1x x x x F x f x g x x x x x ⎧-≤-⎪--<≤⎪==⎨<<⎪⎪-≥⎩,作出函数()y F x =的图象，如图所示，对于A ，由图象可得关于y 轴对称，所以()F x 为偶函数，故A 错误；对于B ，因为()y F x =的图象与x 轴有3个交点，所以方程()0F x =有三个解，故B 正确；对于C ，由图象可知函数()F x 在[]1,1-上不单调递减，故C 错误；对于D ，由图象可知函数()F x 在(],1-∞-和[]0,1上单调递增，在()1,0-和()1,+∞上单调递减，所以函数()F x 有4个单调区间，故D 正确，故选:BD.第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，将原式化为()14x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，则()144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=时，即3,6x y ==时，等号成立，所以x y +的最小值为9.故答案为：914.已知命题:p 若,αβ为第二象限角，且αβ>，则sin sin αβ>.能说明命题p 为假命题的一组,αβ的值可以是α=______，β=______.【答案】①.8π3②.2π3【解析】【分析】只要找到一组满足题意的角即可.【详解】取2π8π2π33α=+=，2π3β=，则αβ>，但sin sin αβ=，不满足sin sin αβ>，∴命题p 为假命题，∴能说明命题p 为假命题的一组,αβ的值可以是83πα=，23πβ=.答案为：8π3；2π315.设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=-在区间(0,π)上恰有两个零点，则ω的最大值是______.【答案】94【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.【详解】由π()sin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由π()0,x ∈，0ω>，所以πππ,π444x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为函数()sin cos f x x x ωω=-在区间(0,π)上恰有两个零点，则ππ(π,2π]4ω-∈，解得59,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：9416.已知函数2()26f x x kx =-+在[1,3]上的最大值为10-，则实数k 的值为______.【答案】172##8.5【解析】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数k 的值.【详解】函数2()26f x x kx =-+开口向上，对称轴x k =，区间[1,3]的中点2x =，当2k ≤时，|3||1|k k -≥-，所以3x =离对称轴较远，所以max ()(3)96610f x f k ==-+=-，解得2526k =>，不符合2k ≤；当2k >时，|3|1k k -<-∣，所以1x =离对称轴较远，所以max ()(1)12610f x f k ==-+=-，解得1722k =>，符合条件.所以k 的值为172.故答案为：172四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知()tan π2α-=-.（1）求()()πsin 3sin π23πcos cos 3π2αααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；（2）求22sin sin cos ααα+的值.【答案】（1）7-；（2）2.【解析】【分析】（1）（2）利用诱导公式及同角三角函数的商数关系计算即可.【小问1详解】因为()tan π2α-=-，所以tan 2α=.πsin 3sin(π)cos 3sin 13tan 16273πsin cos tan 121cos cos(3π)2αααααααααα⎛⎫++-- ⎪+++⎝⎭====--+-+-+⎛⎫--- ⎪⎝⎭；【小问2详解】2222222sin sin cos 2tan tan 822sin sin cos 2sin cos tan 141ααααααααααα++++===+++.18.已知集合{}260A x x x =--<∣，{}22230B x x mx m =+-<∣.（1）若集合{93}B xx =-<<∣，求实数m 的值；（2）若0m ≥，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3（2）[3,)+∞【解析】【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得A B ≠⊂，然后分0m =与0m >讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为{}22230{93}B xx mx m x x =+-<=-<<∣∣，所以方程22230x mx m +-=的两根分别为9-和3，由韦达定理得2932,933,m m -+=-⎧⎨-⨯=-⎩解得3m =.所以实数m 的值为3.【小问2详解】由260x x --<，得23x -<<，{23}A xx =-<<∣，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ≠⊂，当0m =时，{}20B x x =<=∅∣，此时A B ≠⊂不成立；当0m >时，{}22230{3}B xx mx m x m x m =+-<=-<<∣∣，因为A B ≠⊂，则有32,3,m m -≤-⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围是[3,)+∞.19.已知,αβ为锐角，3tan 4α=，5cos()5αβ+=-.（1）求sin 2cos 2αα-的值；（2）求tan()αβ-的值.【答案】（1）1725（2）3841-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系及二倍角的正弦余弦公式即可求解；（2）根据二倍角正切公式及同角三角函数的关系，利用凑配法及两角差的正切公式即可求解.【小问1详解】,αβ 为锐角，3tan 4α=，3sin 5α∴=，4cos 5α=，3424sin 22sin cos 25525ααα∴==⨯⨯=，2447cos 22cos 1215525αα=-=⨯⨯-=，17sin 2cos 225αα∴-=【小问2详解】3tan 4α=，222tan 24tan 21tan 7134916ααα⨯∴==--=，,αβ 为锐角，0παβ∴<+<，sin()αβ∴+=，sin()tan()2cos()55αβαβαβ++===-+，tan()tan[2()]αβααβ∴-=-+242tan 2tan()387241tan 2tan()41127ααβααβ+-+===-+⋅+-⨯.20.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，其中()f x 的图象与x 轴的一个交点的横坐标为π12-.（1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；（2）求函数()f x 在区间π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，递增区间是πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；递减区间是π2ππ,π(Z)63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（22-.【解析】【分析】（1）根据函数图象可得A 及周期，即可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ,利用正弦函数的单调性即可求解；（2）根据正弦函数的性质由整体代换法求解.【小问1详解】由图2A =，知4ππ4π612T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，πT ∴=，2π2Tω∴==，ππ2sin 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π02ϕ<<，则π6ϕ=，π()2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由πππ22π,2π622x k k ⎡⎤+-++⎢⎣∈⎥⎦，可得πππ,π(Z)36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，故()f x 的递增区间是πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；由ππ3π22π,2π622x k k ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，可得π2ππ,π(Z)63x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，故()f x 的递减区间是π2ππ,π(Z)63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】当12ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ263x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值为ππππ2sin 22sin 123(126)f ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最大值为πππ2sin 22(6)33f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦-⎝⎭；()f x ∴在区间π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2-.21.已知函数24()x f x x+=(),(,00,x ∈-∞⋃+∞.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[8,2]--上的值域.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在(2,)+∞上为单调递增，证明见解析（3）17,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【详解】解:（1）函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，因为22()44()()x x f x f x x x-++-===---，所以()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上是奇函数.（2）()f x 在(2,)+∞上为增函数.证明:任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2222122112221112124444x x x x x x x x x x x x x x +-++--==()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 在(2,)+∞上为增函数.（III ）结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[8,2]--上单调递增，当8x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为64417(8)82f +-==--；当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为44(2)42f +-==--，故()f x 在[8,2]--上的值域为17,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()42x x f x a =-⋅.（1）当2a =时，求()f x 在[2,2]-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值.【答案】（1）最小值为1-，最大值为8（2）6【解析】【分析】（1）根据题意，设12,44x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，令222x x λ-=+≥=，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】当2a =时，()2()422222x x xx f x =-⋅=-⋅，设12,44x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2()2h t t t =-，开口向上，对称轴1t =，所以函数()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，(1,4]上单调递增，所以min ()(1)1h t h ==-，max ()(4)8h t h ==，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为1-，最大值为8.【小问2详解】()()()4242x x x x g x f x f x a a --=+-=-⋅+-⋅()4422x x x x a --=+-⋅+()()222222x x x x a ---⋅++-=，设222x x λ-=+≥=，当且仅当22-=x x ，即0x =时取得等号，所以22y a λλ=--，[2,)λ∈+∞，对称轴2a λ=.当22a ≤，即4a ≤时，22y a λλ=--，在[2,)+∞上单调递增，则当2λ=时，min 2211y a =-=-，解得132a =，不满足题意；当22a >，即4a >时，22y a λλ=--在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2a λ=时，2min 2114a y =--=-，解得6a =或6a =-（舍去），综上，实数a 的值为6.。
广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题
广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}128xA x =<<，()(){}120B x x x =+-<，则A B = （）A ．()1,3-B ．()0,2C ．()1,2D ．()1,8-2．若x ，y ∈R ，则“220x y ->”是“()ln 0x y ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知幂函数2()(32)m f x m m x =-是定义域上的奇函数，则m =（）A ．13-B ．1C ．23D ．13-或14．函数()33x y x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．设43e a -=，ln 3b =，231log 3c -+=，则（）A ．c a b <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．a b c<<6．已知函数2()234x x f x +-⨯=，若20x x +≤，则()f x 的最大值和最小值分别是（）A ．2,03B ．4,13C ．45,34D ．3，17．若函数()()2222422x x x xf x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2f x x ax b =++，若关于x 的不等式()1f x <的解集为(),2m m +，则函数()f x 的值域为（）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞9．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞10．已知()()2,12,1x a x x f x x a x b x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，存在实数(0a >且)1a ≠，对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，则实数b 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)4,+∞C ．(]0,4D ．[]0,4二、多选题11．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>12．下列函数中，在区间(),2-∞上单调递减的是（）A ．()2f x x =-B ．()12g x x =--C ．()2ex h x -=D ．()()ln 2x x ϕ=-13．已知函数()xf x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A ．1a >B ．1b >C ．21b a -<D ．()xg x b a =-的图象不经过第四象限14．下列说法正确的是（）A ．方程()()222log 21log 2x x +=-的解集为{}1,3-B ．不等式14280x x +--<的解集为(),2-∞C ．已知正数x ，y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为9D ．224ln 3ln 1x x +≥+三、填空题15．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2x f x =，那么41log 9f ⎛⎫=⎪⎝⎭.16．若25a b m ==，且112a b+=，则实数m =.17．已知函数ln(1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩为R 上增函数，写出一个满足要求的()g x 的解析式18．计算2log 3374log 7log 9lg 252lg 2-⋅--=21381168-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．四、解答题19．已知函数()9()log 912()xf x tx t =++∈R 为偶函数.(1)求t 的值；(2)求()f x 的最小值；20．已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R 上的单调性；。
天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析
北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。
2023-2024学年山东省菏泽市成武高一上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省菏泽市成武高一上册12月月考数学试题一、单选题1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）A ．π3B ．π3-C ．π6D ．π6-【正确答案】B【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【详解】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为10π2π603-⨯=-.故选：B2．设0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出,,a b c 的范围，然后即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.30.30.201()22212-=>>= ，0.20.2log 0.3log 0.21<=，∴c<a<b ．故选：D3．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【正确答案】C先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.4．sin 345︒=A B C ．D ．【正确答案】A【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin 345sin 36015sin15sin 4530︒=︒-︒=-︒=-︒-︒122224⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．5．设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()31,log 2--B ．()30,log 2C ．()3log 2,1D ．()31,log 4【正确答案】C【分析】令()0f x =得32log x a x+=，由复合函数单调性即可求解.【详解】令()0f x =得32log x a x+=，令()3322log log 1x h x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由复合函数单调性可知，当()1,2x ∈时，()h x 单减，()32log 2h =，()31log 31h ==，故()()3log 2,1h x ∈，要使()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，即()3log 2,1a ∈.故选：C6．已知函数()2cos 4x xf x x =-，则其图象可能是（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断.【详解】函数的定义域为{}|2x x ≠±，其定义域关于原点对称，由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而26206436f πππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭-，选项A 错误，C 正确；故选：C.7．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（）①函数()f x 最小正周期为2π；②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；④函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为2T π=，所以①正确；对②，令2,Z 42x k k πππ-≠+∈，解得3,Z 82k x k ππ≠+∈，即函数()f x 的定义域为3{|,Z}82k x x k ππ≠+∈，所以②错误；对③，令2,Z 42k x k ππ-=∈，解得,Z 84k x k ππ=+∈，所以函数()f x 的图象关于点,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对称，所以③正确；对④，令2Z 242k x k k πππππ-<-<+∈，解得3,Z 2828k k x k ππππ-<<+∈，故函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭，所以④正确；故①③④正确；故选：C8．若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （x +2）＝f （x ），且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝1﹣x 2，已知函数g （x ）lg 00x x x e x ⎧=⎨⎩，＞，＜，则函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为（）A ．11B ．12C ．13D ．14【正确答案】B【分析】由题意可判断函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，从而作出函数f （x ）与g （x ）的图象，得到交点的个数即可．【详解】∵f （x +2）＝f （x ），故函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如下，由于当0x <时，01x e <<，因此在y 轴左侧[6,0)-有6个交点；当0x >时，max ()1f x =，lg 61<，因此在y 轴右侧(0,6]有6个交点；综上可知函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为12个．故选：B二、多选题9．下列计算正确的有（）A ．120318202072-⎛⎫++= ⎪⎝⎭B ．5225450log lg lg +-=C ．()20.50.51log log =D ．2+【正确答案】AB【分析】利用指数的运算性质可判断A ；利用对数的运算性质可判断B 、C ；由根式的性质可判断D.【详解】120318202024172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，A 正确；52254525421002220log lg lg lg lg lg +-=+-=-=-=，B 正确；()20.520.510log log log ==，C 不正确；21122a a a +-+-=-，D 不正确.故选：AB.10．下列函数中，最小正周期为π2的是（）A ．cos y x=B ．sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．tan2y x=【正确答案】BD【分析】首先根据函数cos y x =的性质判断出A 错误，然后再根据三角函数的周期计算公式可判断选项C 错误，选项B 和D 正确.【详解】对于A ，由函数cos y x =的性质可知：函数cos y x =的最小正周期为π，故选项A 错误；对于B ，由正弦函数的周期公式可得：2ππ42T ==，最小正周期为π2，故选项B 正确；对于C ，由余弦函数的周期公式可得：2ππ2T ==，最小正周期为π，故选项C 错误；对于D ，由正切函数的周期公式可得：ππ22T ==，最小正周期为π2，故选项D 正确；故选.BD11．设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】ABC【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A 项，函数的周期为2k π，,0k k ∈≠Z ，当1k =-时，周期2T π=-，故A 项正确；对于B 项，当83x π=时，89cos cos cos cos3cos 13333x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=-π=π=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最小值，此时()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 项正确；对于C 项，4()cos 3f x x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，43cos cos 0632πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以()f x π+的一个零点为6x π=，故C 项正确；对于D 项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，此时函数()f x 有增有减，不是单调函数，故D 项错误.故选：ABC.12．已知函数()25()log 23f x x x =--，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[1,)+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()1f x <的解集是(2,1)(3,4)-- 【正确答案】BCD根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为()5log f x x =为增函数,所以求()25()log 23f x x x =--的单调递增区间即求223t x x =--的单调递增区间,即[)1,+∞.又对数函数的定义域有2230x x -->,解得()3,x +∈∞.故函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞.A 错误；对于B ：223t x x =--，由对数函数的定义域解得：()(),13,x ∈-∞-+∞ ，则2log y t =，由于0t >，所以R y ∈，即函数()f x 的值域是R ，B 正确；对于C:()222312t x x x =--=--,关于1x =对称，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D:()25log 231x x --<,即22230235x x x x ⎧-->⎨--<⎩，解得：(2,1)(3,4)x ∈-- ，故D 正确；故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【正确答案】2π利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π，则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=.故答案为.2π14．已知函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为______.【分析】根据对数函数过定点的求法可求得A 点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.【详解】当2x =时，log 133a y =+=，()2,3A ∴，sin 13α∴=.故答案为.1315．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.【正确答案】(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果.【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0，即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故(－1，0)∪(0，1).该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.16．已知3cos 5α=-，且α是第二象限角．则()()()sin 6cos sin tan 2απαπααπ+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为__________．【正确答案】35-##-0.6【分析】由诱导公式化简求值.【详解】由3cos 5α=-，∴()()()sin 6πcos sin cos sin cos 3cos πcos tan sin 5sin tan π2αααααααααααα+-====-⎛⎫+- ⎪⎝⎭.故35-四、解答题17．计算下列各式的值：(1))21132330.0021028---⎛⎫-+-⨯+⎪⎝⎭；(2)7log 23log lg25lg47+++0.53954-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(4)()281lg500lg lg6450lg2lg552+-++．【正确答案】(1)1679-(2)154(3)2e 3+(4)52【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式())21212323233127131500102185008----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4167201.99=++=-（2）解：原式143115log 3lg100222.44-=++=-++=（3）解：原式20.52211e e 33⨯⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭．（4）解：原式()2881lg500lg lg850lg10lg50050lg1005052558⎛⎫=+-+=⨯⨯+=+= ⎪⎝⎭.18．已知函数()π2sin 2,R 4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【正确答案】(1)π3ππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)⎡-⎣【分析】（1）根据复合函数的单调性可知，内层函数单调递增，找外层函数的单调递增区间整体代入化简求解.(2)根据x 的范围，求出内层函数π24x -的范围，根据内层函数的范围求函数的值域.【详解】（1）证明：令πππ2π22π,242k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π3πππ,.88k x k k -+≤≤+∈Z 所以函数()f x 的单调递增区间：π3ππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π3ππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．所以πsin 21,42x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦．当ππ242x -=-，即π8x =-时，min ()2f x =-；当ππ244x -=，即π4x =时，max ()f x =．所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，cos α=(1)求1y 的值；(2)将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点22(,)M x y ，求2x 的值；(3)若点N 与M 关于x 轴对称，求tan MON ∠的值.【正确答案】(1)1y =(2)2x =(3)43-【分析】（1）由三角函数的定义得到1x ，再根据22111x y +=且点P 在第一象限，即可求出1y ；（2）依题意可得2πcos(sin 2x αα=+=-，再由（1）1sin y α=，即可得解；（3）首先求出N 的坐标，连接MN 交x 轴于点Q ，即可得到tan 2MOQ ∠=，再利用二倍角公式计算可得；【详解】（1）解：因为角α的终边与单位圆交于点11(,)P x y ，且cos α=由三角函数定义，得15x =.因为22111x y +=，所以221115y =-=⎝⎭.因为点11(,)P x y 在第一象限，所以15y =.（2）解：因为射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点22(,)M x y ，所以2πcos()sin 2x αα=+=-.因为1sin y α=，所以2x =（3）解：因为点N 与M 关于x 轴对称，所以点N 的坐标是(.连接MN 交x 轴于点Q ，所以tan 2MOQ ∠=．所以tan tan 2MON MOQ∠=∠222tan 2241tan 123MOQ MOQ ∠⨯===--∠-.所以tan MON ∠的值是43-.20．已知定义域为R 的函数2()2x x b f x a-=+是奇函数.(1)求,a b 的值;(2)用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;(3)若对于任意R t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.【正确答案】(1)1a =，1b =.(2)证明见解析.(3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为232k t t <-对任意的R t ∈都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数，002(0)02b f a-∴==+，可得1b =又(1)(1)f f -=-,11121222a a----∴=-++,解之得1a =,经检验当1a =且1b =时，12()21xx f x -=+，满足1221()()2112x x x xf x f x -----===-++是奇函数,故1a =，1b =.（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++，任取实数12,x x ，且12x x <，则()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-++++，12x x < ，可得1222x x <，且()()1221210x x ++>，故()()()211222202121x x x x ->++，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数.∴不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，即()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立，也就是:2222t t t k ->-+对任意的R t ∈都成立，即232k t t <-对任意的R t ∈都成立，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ，当13t =时232t t -取得最小值为13-，13k ∴<-，即k 的范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.21．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间；(2)若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求()f x 在[0,2π上的值域．【详解】（1）因为函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π，所以2T ππω==，由于0ω<，所以2ω=-．所以()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 单调递增区间，只需求函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，令3222,Z 262k x k k πππππ+-+∈，解得5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间为5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）因为函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有零点，所以函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，因为50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-所以当[]2,1m ∈-时，函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，所以当[]2,1m ∈-时，函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点．22．已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-.（1）求()f x 的定义域；（2）若函数1()42x x g x a a +=⋅--，且对任意的1[5,6]x ∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）(4,)+∞.（2）（2，+∞）.（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于max min ()()f x g x <，如其中一个不易求得，如min ()g x 不易求，则转化为max ()()f x g x <恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．【详解】（1）由题可知20x +>且40x ->，所以>4x .所以()f x 的定义域为(4,)+∞.（2）由题易知()f x 在其定义域上单调递增.所以()f x 在[5,6]x ∈上的最大值为4(6)log 162f ==，对任意的1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <恒成立等价于max ()2()f x g x =<恒成立.由题得()2()222x x g x a a =⋅-⋅-.令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =⋅-->恒成立.当0a =时，1t <-，不满足题意.当a<0时，22242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩，解得2a >，因为a<0，所以舍去.当0a >时，对称轴为1t a =，当12a <，即12a >时，2242a a ⋅-->，所以2a >；当124a ≤≤，即1142a ≤≤时，2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭，无解，舍去；当14a >，即10a 4<<时，2482a a ⋅-->，所以23a >，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。
河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
高一数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.24.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >- D.||2x >6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C.c a b>> D.a c b>>7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =< D.213y y y <=8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2 D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C .πsin cos 2αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+ D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减D.()31f x -为偶函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.14.已知集合{}{}21,xA xB x x a =<=≥∣∣，若,x A x B ∃∈∈，则实数a 的取值范围是__________.15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b+>+.19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.22.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之x，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明垃圾和.记C点到城A的距离为km处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB的中点处，求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值.高一数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒【答案】C 【解析】【分析】将2024-︒改写为20241363606︒-=-︒⨯︒，根据终边相同角的定义即可求解.【详解】因为20241363606︒-=-︒⨯︒，所以2024-︒角与136︒角终边相同.故选：C2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可.【详解】由题意可得，{0,1,2,3,4},{|2}A B x x ==>，∴{|2}B x x =≤R ð，∴(){}0,1,2B A =R ð．故选：C ．3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入计算可得.【详解】由题意可得()π1sin 32f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A4.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3) B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【答案】B 【解析】【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果.【详解】易知函数3()ln(1)f x x x=--在其定义域(1,)+∞上连续不断，且3(3)ln 210,(4)ln 304f f =-<=->，则函数的零点在区间(3,4)上．故选：B ．5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >-D.||2x >【答案】C 【解析】【分析】先利用对数函数单调性求得“lg 0x >”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可.【详解】由lg 0x >得1x >，要成为“lg 0x >”的必要条件，则{}1x x >是其对应的集合的真子集，而22,42,2x x x -<<-≤-均不满足题意，因为{}1x x >是{}2x x >-的真子集，所以“lg 0x >”的一个必要条件是“2x >-”.故选：C6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C .c a b>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】13π210log 31,21,log 03a b c <===< ，c a b ∴<<．故选：A ．7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =<D.213y y y <=【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可.【详解】二次函数22()2(1)1f x x x x =-=--，其图象的对称轴方程为1x =，而()()112m m -++=，所以()()11f m f m -+=，即13y y =，当1x >时，()f x 是单调增函数，因为1m >，所以11m m +>>，所以()()1f m f m +>，即23y y <，综上，213y y y <=．故选：D ．8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x <时，函数()2xf x m =-单调递增，则函数()f x 在(),1-∞上至多一个零点，当1x ≥时，函数()()()22433f x x mx m x m x m =-+=--至多两个零点，因为函数()f x 有三个零点，则函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，当1x <时，令()20xf x m =-=，可得2x m =，必有0m >，解得2log x m =，所以，2log 1m <，解得02m <<；当1x ≥时，由()()()30f x x m x m =--=，可得x m =或3x m =，所以，1313m m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得m 1≥.综上所述，实数m 的取值范围为[)1,2.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C.πsin cos 2αβ⎛⎫+=⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意2π,k k αβ=-+∈Z ，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角α和β的终边关于x 轴对称，可得2π,k k αβ=-+∈Z .对于A ，由sin sin(2π)sin k αββ=-+=-，A 正确；对于B ，由tan tan(2π)tan()tan k αβββ=-+=-=-，B 错误；对于C ，由πsin cos cos(2π)cos()cos 2k ααβββ⎛⎫+==-+=-=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由cos(π)cos cos(2π)cos k ααββ-=-=--+=-，D 错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断．【详解】0x >，则12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，A 正确；x ∈R ，20x>．211141222x x x x =≤++，当且仅当21x =，即0x =时等号成立，因此241x x +的最大值是12，B 错；由不等式的性质知C 正确，因为0x y <<，所以0,0y x xy ->>，所以110--=>y x x y xy ，即11x y>，D 正确，故选：ACD ．11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】由题意11m -=，得2()f x x -=，利用幂函数的性质判断各选项即可.【详解】由题意，11m -=，所以2m =，即2().f x x -=对于A ，()221f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，故()f x 的图象不经过原点，A 错误；对于B ，因为221()f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，2211()()()f x f x x x -===-，故()f x 为偶函数，B 正确；对于C ，由于21()0f x x =>，故值域为(0,)+∞，C 正确；对于D ，由于20-<，故2()f x x -=在区间(0,)+∞上单调递减，D 错误．故选：BC ．12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减 D.()31f x -为偶函数【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得出3()f x 的解析式，即可判断ABC ；求得3(1)f x -的解析式，作出函数的图象，由图象判断D ．【详解】根据题意，由223x x +≤，解得31x -≤≤，232,31()3,33,1x x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以3(2)3f =，故A 正确；当31x -≤≤时，223()2(1)1f x x x x =+=+-，且3()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]3,1--上单调递减，()()()33313,11,33f f f =-=--=，所以31()3f x -≤≤，即3()f x的值域为[]1,3-，故B正确，C错误；因为231,22(1)3,23,2x xf x xx⎧--≤≤⎪-=<-⎨⎪>⎩，则3(1)f x-的图象如图所示，由图可知()31f x-的图象关y轴对称，所以函数()31f x-为偶函数，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】2π3【解析】【分析】先根据扇形面积求得弧长，再利用弧长公式求得圆心角.【详解】由扇形面积12S rl=，得13π2lr=，解得2πl=，所以该扇形的圆心角（正角）2π3lrα==.故选：2π314.已知集合{}{}21,xA xB x x a=<=≥∣∣，若,x A x B∃∈∈，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,0)-∞【解析】【分析】由命题的真假得出a A∈，从而易得其范围．【详解】{|21}{|0}xA x x x=<=<，{|}B x x a=≥，因为,x A x B∃∈∈，所以a A∈，所以a的范围是(,0)-∞，故答案为：(,0)-∞．15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.【答案】33(,,)22-∞--+∞【解析】【分析】利用分离常数法，得9()223f x x =-+，结合x 的范围可得答案.【详解】434699()2232323x x f x x x x -+-===-+++，由230x +¹，得32x ≠-，当3(,)2x ∈-∞-时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增；当3(,)2x ∈-+∞时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增，所以()f x 的单调增区间为33(,),(,)22-∞--+∞．故答案为：33(,,)22-∞--+∞．16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，由1()f x =1()g x 求得1x ，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN ．【详解】不妨记111(1)12333()(1),()2222222x x x x y f x x x y g x +--+-+=+=-===+=-，函数32y x =与22x x y -=-是奇函数且关于坐标原点对称，易知()(),f x g x 两个函数的图象均以点(1,0)-为对称中心，所以三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，所以1()f x =1()g x ，即111(1)13(1)222x x x +-+=+-，解得111x +=，10x =，则2MN =，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN =．．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）sin 5α=，cos 5α=（2）12【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得；（2）结合诱导公式即可得.【小问1详解】由1sin 302︒=，故角α的终边经过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以25sin 5α==，12cos 5α==；【小问2详解】sin(π)cos sin cos 1555πsin 225cos 25αααααα-+++-+==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b +>+.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式证明即可；（2）利用作差法证明即可.【小问1详解】证明：因为1x y +=，所以4949()()x y x y x y +=++49494913y x y x x y x y ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又因为0,0x y >>，所以490,0y x x y>>，所以4912y x x y +≥=，当且仅当49y x x y =，即23,55x y ==时取等号，所以4925x y+≥．【小问2详解】证明：33223232a b ab a b a ab b a b+--=-+-2222222()()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+，因为0a b >>，所以20,()0a b a b +>->，所以2()()0a b a b -->，所以33220a b ab a b +-->，即3322a b ab a b +>+．19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）证明见解析（2）函数()f x 在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数的单调性.【小问1详解】函数21()21x x f x -=+的定义域为R ，对于x ∀∈R ，都有x -∈R ，且211221()()211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以函数()f x 是定义域为R 的奇函数．【小问2详解】函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：对于12,x x ∀∈R ，且12x x <，()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，因为12x x <，所以12022x x <<，则12120,10,102222x x x x -<+>+>，则()()120f x f x -<，故函数()f x 在R 上单调递增.20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2()41(0)f x x x x =-+≥（2）[3,11]．【解析】【分析】（1）由(0)1,(1)2f f ==-，代入函数解析式求出,a b ，得函数()f x 的解析式；（2）不等式等价于0()9f x m <+≤，利用函数()f x 在定义区间内的值域，求实数m 的取值范围．【小问1详解】由f x b =++，得2f b =++，即2()(0)f x x ax b x =++≥，由(0)1,(1)2f f ==-，可得(0)1,(1)12,f b f a b ==⎧⎨=++=-⎩解得1,4.b a =⎧⎨=-⎩所以2()41(0)f x x x x =-+≥【小问2详解】由3log [()]2f x m +≤，可得0()9f x m <+≤，所以对(1,2)x ∀∈，都有0()9f x m <+≤成立．由于22()41(2)3f x x x x =-+=--，所以()f x 在(1,2)上单调递减，且(1)2,(2)3f f =-=-，因此当(1,2)x ∈时，()(3,2)f x ∈--，要使0()9f x m <+≤，则29m -≤，且30m -≥，解得311m ≤≤．故实数m 的取值范围为[3,11]．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2()2g x x x=--（2）(,0]-∞【解析】【分析】（1）设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，即可求解；（2）2()(1)2(1)1h x x x λλ=-++-+，分为1λ=-，1λ>-与1λ<-三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，所以2()2()y x x -=---，即22y x x =--，所以2()2g x x x =--．【小问2详解】222()()()12(2)1(1)2(1)1h x g x f x x x x x x x λλλλ=-+=----+=-++-+，①当1λ=-时，()41h x x =-+在[]1,1-上单调递减，满足题意；②当1λ>-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≤-+，解得10λ-<≤，所以10λ-<≤；③当1λ<-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≥+，解得1λ<-，所以1λ<-．综上，实数λ的取值范围是(,0]-∞．22.两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB 的中点处，求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.【答案】（1）0.065（2）0.0625【解析】【分析】（1）由题意得90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==可得22400BC x =-，从而得总影响度的解析式，即可求解；（2）可得2225(320)(400)x y x x +=-，令2320(320,720)x t =∈+，所以5230400()1040y t t=-++，利用基本不等式求解即可得出答案.【小问1详解】点C 在以AB 为直径的半圆上，所以90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==，可得22400BC x =-，由题意可得2249(020)400y x x x =+<<-，因为垃圾处理厂建在弧 AB 的中点处，所以490.065200400200y =+=-，故所求总影响度为0.065．【小问2详解】由（1）知222222222494(400)95(320)400(400)(400)x x x y x x x x x x ⨯-++=+==---，令2320(320,720)x t =∈+，则2320x t =-，所以255(320)(720)2304001040t t y t t t t ==-⨯---+()5,320,720230400()1040t t t=∈-++，因为2304002480960t t +≥=⨯=，当且仅当230400t t =，即480,t x ==此时5510.0625230400960104016()1040y t t =≥==-+-++，故垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值为0.0625．。
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——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高一数学12月月考试题______年______月______日____________________部门数学试题本卷满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设全集, 则{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3}U A B ===()U A B =ð A.B.{2}{1,2,3}C.D.{1,3}{0,1,2,3,4}2. 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β 。
其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．33. 函数的定义域、值域分别是1()()12x f x =-A ．定义域是，值域是B ．定义域是，值域是RC ．定义域是 ，值域是D ．定义域是，值域是 R R(1,)-+∞4. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是330x y --=A ．30°B ．60°C ． 120°D ．150°5. 函数的大致图像是23y x = A.B.C.D.6. 已知直线l1：与l2：平行，则k 的值是210x y -+=230x ky ++=A ．B ．C ．D ．1414-4-4 7. 圆过点的切线方程是22(2)4x y -+=(1,3)PA ．B ．320x y +-=340x y +-=C ．D ．340x y -+=320x y -+=8. 如图，ABCD －A1B1C1D1为正方体，异面直线AD 与CB1所成的角是 A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°9. 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函数,,,a c b d M M M M x关系式分别是，，，，如果运动的时间足够()21f x x=()122f x x=()32log f x x =()42xf x =长，则运动在最前面的物体一定是 A.B. C. D.a Mb Mc M dMABCDA B C D 111110. 直线与圆交于两点，则320x y +-=224x y +=,A B ||AB =A.B. C.D.12322211. 如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D 所成的角为A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°12. 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的等边三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S －ABC 的体积为，则球O 的表面积是26A.B. C.D.4π34π3π43π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 两点的距离是 (6,0,1),(3,5,7)A B 14. 给出两条平行直线，则12:3410,:3420L x y L x y --=-+=这两条直线间的距离是15．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于 . 16. 给出四个区间： ① ；② ；③ ；④ ，(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)则函数的零点所在的区间是这四个区间中42)(-+=x x f x的哪一个： （只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且满足＝＝，＝＝2．求证：四边形EFGH 是梯形. 18．（本题满分12分）已知在平面直角坐标系中，△三个顶点坐标分别为ABC(1,3),(5,1),(1,1)A B C --（I ）求边的中线所在的直线方程；BC AD（II ）求边的高所在的直线方程.AC BH 19. （本题满分12分）求过三点的△外接圆方程的一般形式，并指出圆的半径长和圆心坐标。
(0,0),(1,1),(4,2)A B C ABC 20．（本题满分12分）已知⊥平面,⊥平面,△为等边三角形,AB ACD DE ACD ACD2AD DE AB ==,为的中点.F CD求证: （I ）∥平面. AF BCE（II ）平面⊥平面.BCE CDE21．（本题满分12分）已知函数在上为增函数，且，试判断在()y f x =(0,)+∞()0(0)f x x <>1()()F x f x =(0,)+∞上的单调性,并给出证明过程.22. （本题满分12分）已知圆的半径为3， 圆心在轴正半轴上，直线与圆相切M x3490x y -+=M（I ） 求圆的标准方程；MAB CDE F（II ）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足(0,3)N -L M1122(,),(,)A x y B x y，求直线的方程.221212212x x x x +=L××县实验学校高一十二月月考试卷数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCDBBCDBDBAA二、填空题13. ;14． ; 15. ; 16. ②三、解答题17．证明 因为＝＝，所以EH∥BD，且EH ＝BD ．因为＝＝2，所以FG ∥BD ，且FG ＝BD ．因而EH ∥FG ，且EH ＝FG ，故四边形EFGH 是梯形． 18．解：（1）BC 中点D 的坐标为， (2,0)所以直线AD 方程为： ，即 310321y x --=--360x y +-=（2）因为，,所以3(1)21(1)AC k --==--BH AC ⊥12BH k =- 所以直线BH 方程为：，即11(5)2y x -=--270x y +-= 19. 圆的一般方程，圆的半径长和圆心坐标：.22860x y x y +-+=5,(4,3)r =-20．证明:(1)取CE 的中点G,连接FG,BG.因为F 为CD 的中点,所以GF ∥DE且GF=DE.因为AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面ACD,所以AB ∥DE,所以GF ∥AB. 又因为AB=DE,所以GF=AB.所以四边形GFAB 为平行四边形,则AF ∥BG.因为AF ⊄平面BCE,BG 平面BCE,⊂所以AF ∥平面BCE.(2)因为△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点,所以AF ⊥CD,因为DE ⊥平面ACD,AF 平面ACD,所以DE ⊥AF.又CD ∩DE=D,故AF ⊥平面CDE.⊂因为BG ∥AF,所以BG ⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,⊂ 所以平面BCE ⊥平面CDE. 21．解：F(x)在（0，+∞）上为减函数.证明：任取,∈(0,+∞)，且< 1x 2x 1x 2x∴F()－F()=.2x 1x ()()()()()()12212111f x f x f x f x f x f x --=∵y=f(x)在（0，+∞）上为增函数，且< ∴f()<f() ∴f()－f()＜0.1x 2x 1x 2x 1x 2x而f()＜0,f()＜0,∴f()f()＞0. ∴F()－F()＜0,即F()>F() ∴F(x)在（0，+∞）上为减函数. 1x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 2x22. 解（I ）设圆心为，(,0)(0)M a a >22|39|3,2,83(4)a a +==-+-因为，所以，所以圆的方程为：0a >2a =22(2)9x y -+= （II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：，与圆M 交于0x =(0,5),(0,5)A B -此时，满足，所以符合题意 110x x ==221212212x x x x +=0x = 当直线L 的斜率存在时，设直线L ：3y kx =-消去y ，得223(2)9y kx x y =-⎧⎨-+=⎩22(2)(3)9,x kx -+-=整理得： -----------（1）22(1)(46)40k x k x +-++=所以121222464,11k x x x x k k ++==++由已知得：221212212x x x x +=221212222546254(),()2121k x x x x k k ++==⨯++ 整理得：217724170,1,7k k k -+=∴=把k 值代入到方程（1）中的判别式中，222(46)16(1)4820k k k k ∆=+-+=+判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，171,7k =173,37y x y x =-=-即30,177210x y x y --=--=综上：直线L 为：， 30,177210x y x y --=--=0x =。