高中数学全称量词与存在量词-量词
高中数学(全称量词与存在量词-量词否定)教案3 新人教A版选修2-1 教案
全称量词与存在量词（二）量词否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究∃问题2：写出命题的否定（1）p ：∃x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B =四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。
新高考数学复习考点知识讲义课件3---全称量词与存在量词
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得 f(x)min≥g(x)min， 即 0≥14－m，所以 m≥14.
引申探究 本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则 实数m的取值范围是__12_，__＋__∞__ _.
D选项中当x1＝0时，结论不成立.
题型二 含有一个量词的命题的否定
1.已知命题p：“∃x0∈R，ex0 －x0－1≤0”，则綈p为 A.∃x0∈R，ex0－x0－1≥0 B.∃x0∈R，ex0－x0－1>0
√C.∀x∈R，ex－x－1>0
D.∀x∈R，ex－x－1≥0
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系， 可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
思维升华
对全称命题、特称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词， 再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定.
题型三 根据命题的真假命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2 －a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_(_－__∞__，__－__2_]_.
跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是 A.∀x∈R,2x－1>0
√B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x0∈R，lg x0<1 D.∃x0∈R，tan x0＝2
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号， 故B不正确； 易知A，C，D正确，故选B.
1
(2)已知函数f(x)＝x2 ，则
跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R， x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数 m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝__1__.
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5---全称量词与存在量词
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.5全称量词与存在量词【考点梳理】考点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点二含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：含全称量词和存在量词命题的判断1．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等 C ．x R ∀∈，2x x =D ．正方形是矩形2．下列命题不是存在量词命题的是（ ）A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．在实数范围内，有些一元二次方程无解D ．有一个m 使2m -与||3m -异号 3．设2(1):x p x x +<，则以下说法错误的是（ ） A ．“(),x R p x ∀∈”是假命题B ．()p x 是假命题 C ．“(),x R p x ∃∈”是假命题D ．“(),x R p x ∃∈”是真命题 题型二：含含量词的命题的否定问题4．命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定是（ ） A ．()0,1x ∀∉，20x x -≥B ．()0,1x ∃∈，20x x -≥ C ．()0,1x ∀∉，20x x -<D ．()0,1x ∀∈，20x x -≥5．已知命题P ：x R ∀∈，210x +>，则命题P 的否定为（ ） A ．x R ∃∈，210x +≤B ．x R ∀∈，210x +< C ．x R ∃∉，210x +≤D ．x R ∀∈，210x +≤6．已知命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为（ ）A ．01x ∀∈（，）都有2340x x --<恒成立B ．(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立C ． (01) x ∃∈，都有2340x x --=恒成立D ．0(0,1)x ∃∈都有2340x x --≠恒成立题型三：根据全称命题的真假求参数问题7．若命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．[1,1]-D ．(,0)-∞8．已知命题:p x R ∃∈，210mx +≤；命题:q x R ∀∈，210x mx ++>．若p ，q 都是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≤-B ．2m ≥C ．2m ≥或2m ≤-D ．22m -≤≤9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣题型四：根据存在量词命题的真假求参数问题10．若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2{|}2a a -≤≤B ．{|2a a ≤-或}2a ≥ C ．2{|2}a a -<<D ．{2|a a <-或}2a >11．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤12．若命题“0x ∃∈R ，20390x mx -+<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【双基达标】一、单选题 13．命题p ：“有些三角形是等腰三角形"的否定是（）A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形 14．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式是（ ） A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0<2x +1 B ．∀x ∈R ，∀n 0∈N *，使得n 0<2x +1 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x 0+1 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+115．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ） A ．所有菱形的四条边都相等 B ．若2x 为偶数，则x 为自然数 C ．若对任意x ∈R ，则2210x x ++> D ．π是无理数16．下列全称量词命题中真命题的个数为（ ） ①负数没有倒数；②对任意的实数a ，b ，都有220a b +≥； ③二次函数21y x ax =--的图象与x 轴恒有交点；④x R ∀∈，y R ∈，都有20x y +>.A ．1B ．2C ．3D ．417．若存在x ∈R ，使220x x a ++<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．11a -<<D ．11a -<≤18．若命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．[)2-∞，D ．()2+∞， 19．已知[]04x ∃∈，， 使2250x x m -+-<是真命题， 则m 的取值范围为（ ）A ．5∞+（，）B ．()13∞+，C ．()4∞+D ．()13∞-，20．若命题“[]1,2x ∀∈，10ax +>”是真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞21．命题“任意a ∈R ，使方程10ax +=都有唯一解”的否定是（ ） A ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 B ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 C ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 D ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 22．下列说法错误的是（ ）A ．“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”B ．“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0”C ．“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的必要不充分条件D ．“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件【高分突破】一：单选题23．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥24．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞-B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-25．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，2010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ 26．若命题“x R ∃∈，使()2110x a x ++<－”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－27．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 A ．(,22⎤-∞⎦B ．223⎡⎤⎣⎦，C ．223⎡⎤-⎣⎦，D ．3λ= 28．已知命题P ：2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ≤≤B ．13a -≤≤C ．13a <<D ．02a ≤≤二、多选题29．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 A ．21,0.4x x x R $?+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．2,220x x x $?+R …D ．至少有一个实数x ，使310x += 30．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 31．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 32．下列命题中，真命题的是（ ） A ．0a b -=的充要条件是1a b= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”33．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1,[3.9]3,[ 1.5]2==-=-，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A ．,[2]2[]x R x x ∀∈=B ．,[2]2[]x R x x ∃∈=C ．,,[][],x y R x y ∀∈=则1x y -<D ．,,[][][]x y R x y x y ∀∈+≤+三、填空题34．命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________.35．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，36．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________． 37．若全称命题：“x R ∀∈，2304kx kx +-<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是______． 38．若对{}12x x x ∀∈≤≤，{}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立，则实数m 的取值范围是_______.四、解答题39．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数.40．命题p ：任意x ∈R , 2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x ∈R , 2x +410mx +<成立. （1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;41．已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．42．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.43．已知m R ∈，命题p ：[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题q ：存在x ∈R ，使得220x x m -+->. （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案详解】1．D 【详解】对于A 选项，命题“对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<”为全称命题， 但()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≥，该命题为假命题；对于B 选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题； 对于C 选项，命题“x R ∀∈，2x x =”为全称命题，当0x <时，2x x =-，该命题为假命题；对于D 选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题. 故选：D. 2．B 【详解】选项A 、C 中“有些”是存在量词，选项D 中“有一个”是存在量词，选项B 中不含存在量词，不是存在量词命题． 故选：B ． 3．C 【详解】由221551()244x x x +-=+-≥-，对于A 中，命题“(),x R p x ∀∈”是假命题，所以A 是正确的； 对于B 中，命题()p x 是假命题，所以B 是正确的；对于C 中，命题“(),x R p x ∃∈”是真命题，所以C 是错误的，D 是正确的.故选：C. 4．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果. 【详解】则命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定为()0,1x ∃∈，20x x -≥， 故选：B. 5．A 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题P 的否定为：x R ∃∈，210x +≤， 故选：A. 6．B 【详解】因为命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立， 故选：B. 7．A 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题， 所以440m ∆=+<，解得1m <- 故m 的取值范围是(,1)-∞-． 故选：A ．8．B 【详解】因为命题p 为假命题，则命题p 的否定为真命题，即：2,10x R mx ∀∈+>为真命题， 解得0m ≥，同理命题q 为假命题，则命题q 的否定为真命题，即2,10R x mx ∃∈++≤为真命题， 所以240m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 综上：2m ≥， 故选：B 9．C先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 10．C 【详解】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题， 则需满足240a ∆=-<，解得22a -<<.11．C命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题， 即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立 设36()f x x x =+，则3636()212fx x x xx=+≥⋅=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即m i n ()12f x =，12a ∴≥，故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ． 12．C 【详解】若命题“0x ∃∈R ，200390x mx -+<”为假命题，则若命题“x ∀∈R ，2390x mx -+≥”为真命题， 所以29360m ∆=-≤，解得22m -≤≤. 故选：C. 13．C 【详解】 命题p ：“存在 x A ∈，使 ()P x成立”，p ⌝ 为：“对任意 x A ∈，有 ()P x 不成立”．故命题 p ：“有些三角形是等腰三角形’’，则 p ⌝ 是“所有三角形不是等腰三角形”．14．D 【详解】解：由特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+1”， 故选：D ． 15．A 【详解】B 选项，是真命题，但不是全称命题；C 选项，是假命题，1x =-不成立；D 选项，是真命题，但不是全称命题． 故选：A 16．B 【详解】解：：①负数有倒数；故错误；②对任意的实数a ，b ，都有222a b ab +…；由于2()0a b -…恒成立，故正确； ③二次函数2()1f x x ax =--与x 轴恒有交点；由于△240a =+>，故恒有交点，故正确；④x R ∀∈，y R ∈，当0x y ==时，都有2||0x y +=．故错误． 所以真命题的个数为2. 故选：B ． 17．A 【详解】由题意知函数22y x x a =++的图象有在x 轴下方的部分，即440∆=->a ，解得1a <， 故选：A. 18．B 【详解】因为命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，且x R ∀∈，222x +≥， 所以2a <. 故选：B 19．C 【详解】因为[]1,4x ∃∈ 使2250x x m -+-<是真命题，所以2250x x m -+-<在[]1,4x ∈上能成立，即225x x m -+<在[]1,4x ∈上能成立，设()225g x x x =-+，开口向上，且对称轴为1x =，所以()g x 在[]1,4上的最小值为()2112154g =-⨯+=，故4m <，故选：C. 20．A 【详解】解：因为[]1,2x ∀∈，10ax +>，所以10210a a +>⎧⎨+>⎩，解得12a >-故选：A 21．D该命题的否定：存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在. 故选：D. 22．C 【详解】根据命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”，即A 正确；根据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0，即B 正确；不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解为x ＜﹣1或x ＞3，故“x ＞3”可推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”，但 “x 2﹣2x ﹣3＞0”推不出“x ＞3”，即“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充分不必要条件，C 错误，“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件，D 正确. 故选：C. 23．C全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.24．B 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 25．C 【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，2010x x -+<” 故选：C 26．B 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使()2110x a x ++≥－”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 27．A 【详解】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而2211122222x x x x x x +=+≥⋅=（当且仅当12x x =，即22x =时取等号），即22λ≤；故选A. 28．B 【详解】由题：命题P 是假命题，其否定:2,(1)10x R x a x ∀∈+-+≥为真命题， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选：B 29．AC由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD ；又因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，()2222110x x x ++=++>，所以AC 均为假命题，故选AC. 30．BD 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 31．CD 【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D. 故选：CD.32．BCD 【详解】A. 当0b =时，1a b=不成立，故不充分；当1a b=可推出0a b -=，故必要，故错误； B. 由不等式的基本性质知1a >，1b >可推出1ab >，故充分，故正确； C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确； D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：BCD 33．BC1.5x =时，[2][3]3x ==，但2[]2[1.5]212x ==⨯=，A 错；2x =时，[2][4]42[2]2[]x x ====，B 正确；设[][]x y k Z ==∈，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，∴1x y -<，C 正确；0.5,0.6x y ==，则[][]0x y +=，但[][1.1]1x y +==[][]x y >+，D 错．故选：BC ．34．2000,3210x R x x ∃∈-+≤ 【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“0x R ∃∈，2032x x - 10+≤”，故答案为“0x R ∃∈，203210x x -+≤”. 35．[]1,3- 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．36．(,4]-∞ 【详解】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．37．(3,0]-当0k =时，原不等式化为“304-<”对x R ∀∈显然成立．当0k ≠时，只需0k <⎧⎨∆<⎩,即2030k k k <⎧⎨+<⎩ 解得30k -<<．综合①②，得30k -<≤．故答案为：(3,0]-． 38．2m < 【详解】因为12x ≤≤，所以324x ≤+≤，又12t ≤≤，所以12m t m m +≤+≤+， 若对{}12x x x ∀∈≤≤， {}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立， 则需()()min min 2x t m +>+，即31m >+，解得2m <， 故填：2m <. 39． 【详解】(1)2,0∈≥∀x R x ，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数； (4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð.真命题,例如332,2x x Q ==∈. 40． 【详解】解：（1）由题,()()22430m m ∆=---<,即24120m m +<,30m \-<<（2）由题,2(4)40m D=-?,即21640m -≤,1122m \-＃ （3）当q 是真命题时,由（2）, 12m >或12m <-∴若命题p 、q 至少有一个为真命题,由（1）,则需满足30m -<<或12m >或12m <- ∴0m <或12m > 41．(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-，∴10a -≥，解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<； ②当命题p 为假，命题q 为真时，得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞． 42．【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤； （2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤.43．（1）[0,3]；（2）0m <或13m ≤≤.【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-∴230m m -≤，解得03m ≤≤，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q为真命题时，则440m∆=->，解得1m<∵p，q有且只有一个真命题当p真q假时，031mm≤≤⎧⎨≥⎩，解得：13m≤≤当p假q真时，031m mm⎧⎨<⎩或，解得：0m<综上可知，13m≤≤或0m<故所求实数m的取值范围是0m<或13m≤≤.。
高中数学《存在量词与全称量词》教学课件
1.5.1 全称量词与存在量词
[跟进训练]
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数 m 的
取值范围是( )
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B [命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 Δ＜0，即 m＞
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题
的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个 60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于 0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
1.5.1 全称量词与存在量词
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(5)存在一个实数 x，使等式 x2＋x＋8＝0 成立．
1.5.1 全称量词与存在量词
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
[解] (1)真命题，因为 x2≥0，
所以 x2＋1≥1，x2＋1>12恒成立． (2)真命题，例如 α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4 等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不
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[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程 ax＋b＝0 恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x 既能被 2 整除，又能被 3 整 除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y 是四边形}，x 不是平行四边形．
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.
高中数学全称量词与存在量词-量词
全称量词与存在量词-量词教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。
其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。
高中数学 同步教学 全称量词与存在量词
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探
例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题?
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)有些素数的和仍是素数;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
1.4
全称量词与存在量词
-1-
课标阐释
思维脉络
1.理解全称量词与存在量词的意
义,能够用符号表示全称命题与
特称命题.
全称量词——全称命题
2.掌握判断全称命题与特称命题
量词
真假的方法.
存在量词——特称命题
3.理解全称命题与特称命题的关 命题的否定
系,掌握对含有一个量词的全称
命题或特称命题进行否定的方
法.
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符
号“∀”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记
为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对
否定
结论
∃x0∈M,p(x0)
全称命题的否定是特称
命题
特称命题
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,p(x)
特称命题的否定是全称命
题
特别提醒1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命
题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否
定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
高三数学知识点复习全称量词与存在量词
全称量词与存在量词知识梳理1、数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们p q p q困惑的症结所在。
一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）典例剖析题型一全称命题的否定例1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0题型二存在性命题的否定例2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；备选题例3：写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
点击双基1、下列命题中，真．命题是 （ ） A. ,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=.B (0,),1x x e ∀∈+∞> C ．2,1x R x x ∃∈+=D ．(0,),sin cos x x x π∀∈> 2、命题“存在x Z ∈，使22x x m ++≤0”的否定是（ ）.A 存在x Z ∈使22x x m ++0>.B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0>3、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 4、若命题P ：2,10,x R x ∀∈->则命题P 的否定 .5、以下为真命题的序号是（1）2,x R x x ∃∈> （2）2,x R x x ∀∈> （3）2,80x Q x ∃∈-= （4）2,20x R x ∀∈+> 课外作业一、选择1、已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为 （ ）A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝2、以下错误的是（ ）A ．“对任意实数x ，均有x 2－2x+1≥0；”的否定为：“存在一个实数x ，使得x 2－2x+1＜0”B ．“存在一个实数x ，使得x 2－9=0” 的否定为：“不存在一个实数x ，使得x 2－9=0”C ．“AB ∥CD ”且“AB=CD ” 的否定为：“AB 不平行于CD 或AB ≠CD ”D ．“△ABC 是直角三角形或等腰三角形” 的否定为：“△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形”3、以下错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有 4、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 5、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 A.不存在0x ∈R, 02x >0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x >06、已知:,10p x R x ∀∈+>，:32q >，则下列判断错误的是：（ ）A. “p q ∨”为真，“q ⌝”为假B. “p q ∧”为假，“p ⌝”为真C. “p q ∧”为假，“p ⌝”为假D. “p q ∧”为假，“p q ∨”为真 7、已知命题;25sin ,:=∈∃x R x p 使:,q x R ∀∈命题都有210.x x ++>给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ）. A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①②③8、已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}21a a a ≤-=或 B. {}212a a ≤-≤≤或C. {}1a a ≥D. {}21a a -≤≤二、填空9、命题“21,2≥+∈∃x R x ”的否定形式是______________________.10、若命题“∃x ∈R , 使x 2+ax +1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为 .11、下列命题是全称命题的序号为（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x 2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A ∩B 是集合A 的子集；三、解答12、写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p ：∀m ∈R ，方程x 2+x-m=0必有实根；（2）q ：∃∈R ，使得x 2+x+1≤0；13、写出下列命题的否定（1）所有人都晨练；（2）01,2>++∈∀x x R x ；（3）平行四边形的对边相等；（4）01,2=+-∈∃x x R x 。
全称量词和存在量词
至少有一个 x0∈R，使
对有些实数 x0，使 x2 0＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x2 0＝x0 成立； 对某一个 x0∈R，使
2 x0＝x0 成立．
跟踪练习
1. 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；
B．全称命题
C．特称命题 D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
答案：B
常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”
等．
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有
一个”“有些”“有一个”“某个”“有的” 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” 特称命题“∃x∈A，p(x)”
x
)
B．∀x∈N，x≥1 D．∃x∈Q， x∉Q
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.
故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到
这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；
④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；
⑥存在三角形其内角和大于180°.
2．既是特称命题，又是真命题的是( A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个 x∈ R，使 x2≤ 0 C．两个无理数的和是无理数 1 D．存在一个负数 x，使 >2 x
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
)
答案：B
3．下列命题是假命题的是( A．∀x∈R,3 >0 C．∃x∈Z，x<1
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(
全称量词和存在量词
解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
1.5全称量词与存在量词【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
写出下列命题的否定. (1)所有矩形都是平行四边形；
解：存在一个矩形不是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
解：存在一个素数不是奇数；
(3)∀x∈R， x+|x |≥0.
解：∃x∈R，x+|x|<0.
思考：它们与原命题在形式上有什么变化？
存在量词命题怎么判断真假？
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
★ 要判断存在称量词命题是假 命题，需要推导证明.
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
【例题】判断下列存在量词命题的真假 判断下列存在量词命题的真假：
x2 x 1 (x 1)2 3 0
所以这是一个真命题 2 4
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
练习
1.写出下列命题的否定
（1） ∀ n∈Z,n∈Q; 解:(1)该命题的否定: ∃ n∈Z,n∈Q;
(3) ∃ x∈R,x2-2x+3=0
解： ∀ x∈R,x2-2x+3≠0.
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
存在量词命题： ∃ x∈M，p(x)，
它的否定：
∀ x∈M， ┐p(x).
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件6：1.5.1 全称量词与存在量词
C．3
D．4
(2)下列命题为存在量词命题的是( ) A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3
[答案] (1)B (2)D [解析] (1)中，只有②③含有全称量词，故选B. (2)中，只有选项D含有存在量词，故选D.
[方法规律总结] 1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步 骤： (1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是 全称量词命题或存在量词命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词 的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量 词命题．
牛刀小试 [答案] 问题1：(1)不是命题，因为无法判断真假； (2)(3)是命题． 问题2：(2)强调任意一个x∈Z；(3)强调所有的三角 函数．
知识点2 存在量词命题 新知导学 4．短语“__存__在__一__个__”、“__至__少__有__一__个__”在逻辑中通 常叫做存在量词，并用符号“___∃___”表示，含有存 在量词的命题，叫做 存在量词命题 ． 5．存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使 p(x0)成立，可简记为，__∃_x_0_∈__M__，__p_(x_0_)__．
命题1 全称量词命题与存在量词命题的辨析
例 1 (1)下列命题：
①至少有一个 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立；
②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立；
③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立；
④存在 x，使 x2＋2x＋1＝0 不成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1
B．2
新知导学 3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任 何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”， 表示__整__体__或__全__部___的含义．
人教版高中数学必修一《1.5.1 全称量词与存在量词》课件
【对点练清】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或 “∃”表示： (1)所有实数 x 都能使 x2＋x＋1＞0 成立； (2)对所有实数 a，b，方程 ax＋b＝0 恰有一个解； (3)一定有整数 x，y，使得 3x－2y＝10 成立； (4)所有的有理数 x 都能使13x2＋12x＋1 是有理数．
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【学透用活】
[典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R； (2)∃x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0； (3)存在x∈R,2x＋1是整数； (4)自然数的平方是正数； (5)所有四边形的内角和都是360°吗？
答案：CD
2．判断下列命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；
(4)∀x∈N ， x>0. 解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题． (2)因为当 x2＋y2＝0 时，x＝y＝0， 所以不存在 x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”(“∀”表示
“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，再判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立； (3)勾股定理．
解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”． 改写后命题为：∀x∈R ，x2≥0，它是真命题．
高中数学第一章常用逻辑用语4全称量词与存在量词12全称量词与存在量词1课件新人教A版选修2
[点评] 解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示形式． 存在性命题p：∃x∈A，p(x)，其否定为¬p：∀x∈A，¬p(x)． 全称命题q：∀x∈A，q(x)，其否定为¬q：∃x∈A，¬q(x)．
命题方向二：含有一个量词的命题的否定的真 假判断
[例3] 写出下列命题的否定并判断真假： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)每一个非负数的平方都是正数； (4)有的四边形没有外接圆； (5)某些梯形的对角线互相平分； (6)被8整除的数能被4整除．
因为 x∈0，12，所以 f(x)＋2∈0，34.
要使 x∈0，12时 f(x)＋2<logax 恒成立． 显然当 a>1 时不可能．
0<a<1， 所以loga12≥34.
解得344≤a<1.
课堂巩固训练
一、选择题
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( )
A．所有奇数都是素数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
知能自主梳理
1．短语“对所有的”“ 对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“ ∀ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 全称命题． 2．短语“存在一个”“ 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量 词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题，叫做 特称．命题 3．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∃x∈M，非p(x) ． 4．特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∀x∈M，非p(x) <logax在x∈
上恒成立时，求a的取值范围．
[解析] (1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0， 得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.
高中数学第一章常用逻辑用语4全称量词与存在量词12全称量词与存在量词3作业含解析新人教A版选修2_
全称量词和存在量词预习导学基础梳理．全称量词与全称命题．语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．．存在量词和特称命题．语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．．全称命题的否定．般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．称命题的否定是特称命题．．特称命题的否定．般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．称命题的否定是全称命题．,►自测自评．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．随堂巩固．下列命题是特称命题的是(D)．偶函数的图象关于y轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在无理数大于等于3．有下列命题：1)所有的素数是奇数；2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；3)有的无理数的平方是无理数；4)∃x0∈R，使2x20＋x0＋1＝0；5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；6)∃x 0∈R ，x 20≤0.中是真命题的为________________(填序号)．案：(2)(3)(6)．给下列四个结论：“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．中正确结论的序号是______．案：③④．判断下列命题的真假．1)有的正方形不是矩形；2)有理数是实数；3)存在一个数，它的相反数是它本身；4)∀x ∈N ，x 2＞0；5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；2)是真命题，所有的有理数都是实数；3)是真命题，0的相反数就是它本身；4)是假命题，自然数0的平方不大于0；5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立； 6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0. ．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围． 析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4， 4x －2x ＋1＋2－a ＜0，化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1， 命题p 等价于∀t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1. t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10， 以只须a ＞10，即可得p 为真命题，所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．课时达标．下列是全称命题且是真命题的是(B)．∀x∈R，x2＞0．∀x∈Q，x2∈Q．∃x∈Z，x20＞1．∀x，y∈R，x2＋y2＞0．下列命题中，真命题是(A)．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)，f(x)是偶函数．∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．A对，B、C、D错．故选A.．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0”的否定是(C)．∃x0∈R，x20＋4x0＋5＞0．∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C)．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称．下列命题中的真命题是(D)．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x．∃x0∈R使得x20＋x0＝－1．∀x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)．∃x0∈R，f(x)≤f(x0)．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是__________________________． 案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. ．有以下三个命题：∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x .中正确命题为______(填序号)．析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；为假，sin x ＞cos x .案：②．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 案：[－8，＋∞)0．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 1．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：1)直线与x 轴都有交点；2)正方形都是菱形；3)梯形的对角线相等；4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2. p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．体验高考．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(D)．∀x0∉R，x20≠x0．∀x0∈R，x20＝x0．∃x∉R，x20≠x0．∃x0∈R，x20＝x0．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为(B)．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1．∀x＞0，总有(x＋1)e x0≤1．∀x≤0，总有(x＋1)e x0≤1析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)e x＞1”改为“(x0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1”，故选B.．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(A)．存在x0∈R，使得x20＜0．对任意x∈R，都有x2＜0．存在x0∈R，使得x20≥0．不存在x∈R，使得x20＜0．(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B ) ．p ∧q B ．綈p ∧q．p ∧綈q D ．綈p ∧綈q析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题． 上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。
高一全称量词和存在量词知识点
高一全称量词和存在量词知识点一、全称量词与全称命题。
1. 全称量词。
- 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
- 例如：“所有的正方形都是矩形”，这里“所有的”就是全称量词。
2. 全称命题。
- 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
- 一般形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可记为∀x∈M，p(x)。
- 例如：∀x∈R，x²≥0。
这个命题表示对于实数集R中的任意一个数x，x的平方都大于等于0。
3. 判断全称命题的真假。
- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。
- 例如：判断命题“∀x∈Z，x²≥0”的真假。
因为整数集中的任何一个整数的平方都大于等于0，所以这个全称命题是真命题。
- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是假命题，只需在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立即可。
- 例如：命题“∀x∈R，x > 0”是假命题，因为当x = 0时，0不大于0，即在实数集中找到了一个反例。
二、存在量词与特称命题。
1. 存在量词。
- 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
- 例如：“存在一个实数x，使得x²=2”，这里“存在一个”就是存在量词。
2. 特称命题。
- 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题。
- 一般形式：存在M中的元素x₀，使p(x₀)成立，可记为∃x₀∈M，p(x₀)。
- 例如：∃x₀∈R，使得x₀²+1 = 0。
（这个命题实际上是假命题，但它是一个特称命题的形式）3. 判断特称命题的真假。
- 要判断特称命题∃x₀∈M，p(x₀)是真命题，只需在集合M中找到一个元素x ₀，使得p(x₀)成立即可。
- 例如：判断命题“∃x₀∈R，x₀² = 4”的真假。
当x₀ = 2或x₀=- 2时，x₀² = 4，所以在实数集中找到了满足条件的元素，这个特称命题是真命题。
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全称量词与存在量词-量词
教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；
教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；
课型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词
①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船
①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试
所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n；
上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究
命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。
其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。
”例句：“所有的鱼都会游泳。
”
存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。
其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。
”例句：“有的工程师是工人出身。
”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：其公式为“（这个）S是P”。
例句：“这件事是我经办的。
”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。
在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：其公式为“所有S是P”。
例句：“所有产品都是一等品”。
全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。
”
特称命题：其公式为“有的S 是P”。
例句：“大多数学生星期天休息”。
特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。
含有存在性量词的命题也称存在性命题。
问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x 2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A ∩B 是集合A 的子集；
分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
四、数学理论
1．开语句：语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。
如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。
量词可分两种：
(1) 全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等，表示个体域里的所有个体。
(2) 存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈
存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x ，q(x)”的命题，记为:,()x M q x ∃∈
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"any"中的首字母。
存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist"中的首字母。
存在量词的“否”就是全称量词。
五、巩固运用
例1判断以下命题的真假：
（1）2,x R x x ∃∈> （2）2,x R x x ∀∈> （3）2,80x Q x ∃∈-= （4）2,20x R x ∀∈+> 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：设a =b ，则有a 2=ab
第二步：等式两边都减去b 2，得a 2-b 2=ab -b 2
第三步：因式分解得 (a+b )(a-b )=b (a-b )
第四步：等式两边都除以a-b 得，a+b=b
第五步：由a =b 代人得，2b=b
第六步：两边都除以b 得，2=1
分析：第四步错：因a-b ＝0，等式两边不能除以a-b
第六步错：因b 可能为0，两边不能立即除以b ，需讨论。
心得：(a+b )(a-b )=b (a-b )⇒ a+b=b 是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。
同理，由2b=b ⇒2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，∀河流x ∈{中国的河流}，河流x 注入太平洋；
（2）存在性命题，∃0∈R ，0不能作除数；
（3）全称命题，∀ x ∈R ，1x
x =；
（4）全称命题，∀a ，a 有方向；
六、回顾反思
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x )为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p(x )为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p(x )为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x )为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
七、课后练习
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A ．所有奇数都是质数
B ．2,11x R x ∀∈+≥
C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数
D ．每个函数都有反函数
2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥
B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥
C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥
D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A ．2,10x R x ∀∈+=
B ．2,10x R x ∃∈+=
C ．,sin tan x R x x ∀∈<
D ．,sin tan x R x x ∃∈<
4．下列命题中的假命题是（ ）
A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β
5．对于下列语句
（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2,2x R x ∃∈=
（3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x ∀∈>+-
其中正确的命题序号是 。
（全部填上）
6．命题11a b
b b +=++是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，
请补充必要的条件，使之成为全称命题。
参考答案：
1．B
2．A
3．D
4．B
5．（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：1a b <-<（答案不惟一）
当1a b <-<时, 0a b +>，10b +>
1
1)(1)(2++≠++-=++b b a b b a b b a。