微积分第2版-朱文莉第4章 导数应用习题详解
高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理讲义含解析湘教版选修2_204163118.doc
4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk 上任取一点代表点z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x x ＋d x .[自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－－33＝203. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x －6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1)＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x x ＋d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x .解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x.∴⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 2－()x 2－4d x＝⎠⎛－22⎝ ⎛⎭⎪⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积． 解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e－xd x ，取F (x )＝e x＋e －x， 则F ′(x )＝e x －e －x， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233J C.433J D ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163.S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383.∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －y 22d y .取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2 C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5，∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2.答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353 解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53， F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323. 答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________． 解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x＋2x ＋2e 2x ， 所以⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x . 解：(1)取F (x )＝2x ln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x .∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2. 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例训练湘教版选修2-2(2021年整理)
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4。
4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（）A．4 B．6 C．4。
5 D．8答案A解析设底面边长为x,高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·错误!＝x2＋错误!，∴S′(x)＝2x－4×256x2。
令S′(x）＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0)．已知贷款的利率为0。
0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈（0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0。
024 3 D．0。
048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6）．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0<x〈0。
048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0,得x＝0.032 4或x＝0（舍去）．当0〈x〈0.032 4时，y′>0；当0。
高中数学第4章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值讲义(含解析)湘教版选修2
4．3.2 函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y ＝f (x )在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？ 提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x. [自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝x 2x－xx 2x2＝2x e －x－x 2e －x＝x (2－x )e －x ＝－e －xx (x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 列表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求函数的导数f ′(x )；(2)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(3)列表，方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f－＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根． 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根． 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－6a3＝－1＋3，b3＝－，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)可得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． [自主解答] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)． 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 结合f (x )的单调性可知， 当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上； 当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0， 因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13上． 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．在本例(2)中，若将“曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点”改为“曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点”呢？解：由于曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点， ∴f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧527＋a >0，a －1<0，解得－527<a <1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－527，1.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，求函数f (x )的单调区间与极值点． 解：f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)， 当a <0时，f ′(x )>0恒成立， 即函数在(－∞，＋∞)上单调递增， 此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ， 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如下表：a )，此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x3－3x2－a＝0根的个数，即为直线y＝a和函数f(x)＝x3－3x2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f(x)＝x3－3x2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0.函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4，如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根；当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.答案：D2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．答案：D3．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为ƒ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数ƒ(x )在x ＝1处有极值， 可知函数ƒ(x )在x ＝1处的导数值为零， 即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6. 由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D4．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______． 解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4. 当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0， ∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－195．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点， 当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点． 故实数a 的范围为[1,5)． 答案：[1,5)6．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ 4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．一、选择题1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A.1ln 2B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：令y ′＝2x＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：由导函数的图象可知：x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，即x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x ＝0取得极大值，x ＝2取得极小值，x ＝4取得极大值，因此选C.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：A4．设函数f (x )＝e xsin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：∵f (x )＝e x sin x ， ∴f ′(x )＝e x(sin x ＋cos x )＝2e xsin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0，∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4上单调递增，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减，∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：46．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1.答案：(－∞，－1)7．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a处有极值， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ·1a＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x 2ex －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝ex －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．10．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4. (1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0.解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点 ”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a －a －得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．。
微积分第2版-朱文莉第4章 导数应用习题详解
第四章习题解答习题4.1(A)1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:(1) 3(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1≤<⎧=⎨=⎩x x f x x .解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-,(1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.令2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈； (2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-解之得,1ξ=±(舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.证 令=⋅()()xF x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0'=()F ξ即0''==()[()+()]F e f f ξξξξ于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.4、证明不等式：(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；(2) 当0<<a b 时，ln --<<b a b b ab a a； 证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得sin sin cos ()y x y x ξ-=-又因为cos 1ξ≤,所以不等式sin sin y x y x -≤-(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且1()f x x'=于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得()()()()'-=-f b a f b a ξ即 ln ln ln --==b b ab a a ξ由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有ln --<<b a b b ab a a. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使()()()()f g f g ξξξξ''=证 令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得2()()()()()0 ()f g g f F g ξξξξξξ''-'==即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.习题4.1(B)1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并求出相应的ξ值.解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得(1)(0)()(0,1) (1)(0)()f f f g g g ξξξ'-=∈'-解之得 1,13==ξξ（舍去）2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.解 由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,3(3,4)ξ∈使得23()()0f f ξξ''==, 即123,,ξξξ都是方程()0f x '=的根. 另一方面, 方程()0f x '=是三次多项式, 所以它最多有三个实根, 从而123,,ξξξ是方程()0f x '=的所有的根.3．设()f x 在(,)()()(0)1().上满足，且，试证'-∞+∞xf x f x f f x ===e 证明 因为()()'f x f x =，所以()()'f x f x =1，而[]()ln ()()''=f x f x f x =1，()1'x =，由推论2得ln ()-=f x x C 。
精品-2019年高中数学第4章导数及其应用章末小结讲义含解析湘教版选修2_2
第4章导数及其应用1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x30＋x0－16x0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x－x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝＋＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集．(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >－x ＋1，其中x >1. 证明：设f (x )＝ln x －－x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x－4＋.∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －－x ＋1>0，∴ln x >－x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝＋－x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数．∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ln x －x.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0，x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值，f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12.所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4] 已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0； 当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减． (2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝e x －1－x .则h ′(x )＝ex －1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减， 因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1， 令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立， 即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系， 则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|P Q|＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y .求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数； 当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q|＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；(2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln xx万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－30x ＋500，x∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－－＋2x，由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x 单调递增，∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π4上的图象，它们共产生三个交点，分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－22.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上，sin x >cos x .∴面积S ＝⎠⎜⎜⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4 (sin x －cos x )d x ＝2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cosx )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤F ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎪⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．＝2⎠⎜⎜⎛π45π4 (sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4 2.取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解：设切点A (x 0，y 0)，则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]y＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－x0.即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)．∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x3－3x2－2x ＋1，y ＝1－2x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2.∴S ＝⎠⎛0(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( )A ．y ′＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x0，∴切线方程为y －y 0＝1x0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，∴k ＝f ′(x 0)＝1x0＝1e.答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x＝－x，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减．答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1， 解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x －1x2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0，∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1C.32D.3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x .∴⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.答案：D 8．设函数f (x )＝e x(sin x －cosx )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x .∴⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.答案：D 8．设函数f (x )＝e x(sin x －cosx )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )答案：D8．设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A ．－e2π－e2 019π1－e2πB ．－e2π－e2 019π1－e π C ．－1－e2 020π1－e2πD ．－e2π－e2 018π1－e2π解析：∵f ′(x )＝2e xsin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值， 其极小值为f (2k π＋2π)＝－e2k π＋2π(k ∈Z)，又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e2 018π＝－e2π－e2 018π1－e2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)．答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e28，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e24，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤0，e24解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝ex x2.设f (x )＝ex x2，则f ′(x )＝x2ex －2xexx4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝exx2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝exx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时， 函数f (x )＝ex x2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e24，所以a ≥e24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝4xx2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2＋，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．解析：∵y ′＝1xln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x0，根据题意得，2x 0－1x0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案：216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1，∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x .取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c .∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋c ＝72.20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .(1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])，∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减，又∵F (2)＝20，F (－3)＝45.∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)．(2)∵x 1∈[－3,3]，∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40.∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减；x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又∵x 2∈[－3,3]，∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48.又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0，当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧＝0，＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．所以精选资料，仅供参考学习之用若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，∴－43<k <283.∴实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.。
精品-2019年高中数学第4章导数及其应用4.1导数概念讲义含解析湘教版选修2_2
4．1导数概念[读教材·填要点]1．物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为s ＝f (t )，则物体在任意时刻t 的瞬时速度v (t )，就是平均速度时的极限．0趋于d 在＋－d＝)d ，t (v 2．函数y ＝f (x )的曲线上任一点处的切线斜率函数y ＝f (x )的曲线上任一点P (u ，f (u ))处的切线的斜率k (u )，就是过P (u ，f (u ))，Q(u 时的极限．0趋于d 在＋－d ＝)d ，u (k 的斜率Q P 两点割线))d ＋u (f ，d ＋3．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数：设函数y ＝f (x )在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值＋－d 在d 趋于0时(d ≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f (x )在x ＝x 0处的导数或微商，记作f ′(x 0)，简述为：＋－d→f ′(x 0)(d →0)．(2)导函数：当x 0为f (x )的定义区间中的任意一点，即为x ，而f ′(x )也是x 的函数，叫作f (x )的，)x ″(f 的二阶导数，记作)x (f 的导数叫作处又可导，则它x 在)x ′(f 导函数或一阶导数，若等等．)x f类似地，可以定义三阶导数[小问题·大思维]1．若函数f (x )在[x 1，x 2]内差商为0，能否说明函数f (x )没有变化？提示：不能说明．理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长d 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f (x )＝x 2在[－2,2]上的差商为0，但f (x )的图象在[－2,2]上先减后增．2.函数y ＝f (x )的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f ′(x 1)，f ′(x 2)和f ′(x 3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A ，B 处的切线斜率大于零且k A >k B ，在C 处的切线斜率小于零，所以f ′(x 1)>f ′(x 2)>f ′(x 3)．3．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？提示：f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关．求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[自主解答] 法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3)＝12d＋2d2＋4d＝2d2＋16d，∴＋－d＝2d2＋16dd＝2d＋16.∴d→0时，f′(3)＝16.法二：＋＋＋－＋d＝4x·d＋2d2＋4dd＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，即f′(x)＝4x＋4，∴f′(3)＝4×3＋4＝16.在本例中，若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解：根据导数的定义，＋－d ＝＋＋＋－＋d＝4xd＋2d2＋4dd＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，∴f′(x)＝4x＋4.令f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的差分f(x0＋d)－f(x0)；(2)求差商＋－d；(3)取极限，d →0得导数f ′(x 0)．1．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：f (1＋d )－f (1)＝(1＋d )－11＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝d ＋d 1＋d， ＋－d ＝d ＋d 1＋d d ＝1＋11＋d， ∴d →0时，f ′(1)＝1＋1＝2.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数，且y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．[自主解答] 根据导数的定义，＋－d＝＋－3×2d＝3，∴f ′(2)＝3.f ′(2)的意义是：水流在2 s 时的瞬时流量为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1s ，水管中流过的水量为3 m 3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s ＝s (t )；(2)求时间改变量d ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋d )－s (t 0)； (3)求平均速度Δsd；(4)求瞬时速度，v ＝li m d→0Δsd .2．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m.)．解：设这辆车在t ＝2附近的时间步长为d ，则位移的差分[2(2＋d )2＋3]－(2×22＋3)＝8d ＋2d 2， 差商＝8＋2d →f ′(2)＝8(d →0)． 所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．[自主解答] 设P 点坐标为(x 0，y 0)， ＋－x2d＝2x·d＋d2d＝2x ＋d →y ′＝2x (d →0)， ∴切线的斜率为k ＝2x 0.又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上， ∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)． ∴切线方程为y －4＝4(x －2)． 即4x －y －4＝0.若将本例中的“平行”改为“垂直”，其它条件不变，如何求解？ 解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，＋－x2d＝2x·d＋d2d＝2x ＋d →2x (d →0)，∴y ′＝2x ，故切线斜率为k ＝2x 0. 又∵切线与直线4x －y ＋2＝0垂直， ∴2x 0＝－14，即x 0＝－18.∴y 0＝x 20＝164.∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164. 切线方程为y －164＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋18，即16x ＋64y ＋1＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．3．已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．∵f (2＋d )－f (2)＝13(2＋d )3＋43－13×23－43＝4d ＋2d 2＋13d 3，∴＋－d＝4d ＋2d2＋13d3d ＝4＋2d ＋13d 2，当d 趋于0时，＋－d趋于4.∴曲线在点P (2,4)处的切线的斜率为k ＝4， 切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x3＋43，可得(x －2)2(x ＋4)＝0.解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).设P 为曲线C ：f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求点P 横坐标的取值范围．[巧思] 曲线C 在点P 处的切线的倾斜角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，即切线的斜率k ∈[0,1]，故曲线C 在P 点处的导数的取值范围为[0,1]．[妙解] 设点P (x 0，y 0)， 则＋＋＋＋3－x20－2x0－3d＝2x 0＋d ＋2 →2x 0＋2(d →0)． ∴f ′(x 0)＝2x 0＋2.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴0≤tan θ≤1. 即0≤2x 0＋2≤1. 解得－1≤x 0≤－12.∴点P 横坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2xB ．2＋dC ．2D ．1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为f ′(1)， 则＋－1d＝2＋d →2(d →0)，∴f ′(1)＝2.答案：C2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7 米/秒B ．6 米/秒C ．5 米/秒D ．8 米/秒 解析：∵[1－＋＋＋－[1－3＋32]d＝5＋d →5(d →0)，∴s ′(3)＝5.答案：C3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以选A.答案：A4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.解析：∵f (x )＝ax ＋4，∴＋－d →f ′(1)＝a (d →0)．又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.答案：25.函数f (x )的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，－2的大小关系为______．解析：设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为B Q ，如图所示． 则－3－1＝k AB ，f ′(3)＝k B Q ，f ′(1)＝k AT ，图可知切线B Q 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，由线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，直k B Q <k AB <k AT ，即0<f ′(3)<－2<f ′(1)．∴答案：0<f ′(3)<－2<f ′(1)6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝－d＝3d －d2－0d＝3－d →3(d →0)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝＋－d＝＋－＋－－d＝－d2－dd＝－d －1→－1(d →0)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v ＝－2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.一、选择题1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.答案：B2．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故A 、B 错误；f ′(x 0)不存在，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线也可能存在，此时切线方程为x ＝x 0，故C 错误．答案：D3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．＋－2x2d ＝4x·d＋2d2d→4x (d →0)．∴f ′(x )＝4x .则f ′(2)＝8.答案：C4．已知曲线C ：y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(2,8)C ．(－1，－1)或(1,1)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18解析：设P (x 0，y 0)，则＋－x30d →3x 20(d →0)，f ′(x 0)＝3x 20.令3x 20＝3，解得x 0＝1或x 0＝－1.∴P (1,1)或(－1，－1)．答案：C二、填空题5．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．解析：差商＝＋－3×32d＝18＋3d →18(d →0)．s ′(3)＝18.答案：186．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________.解析：差分＝7(t 0＋d )2－13(t 0＋d )＋8－7t 20＋13t 0－8＝14t 0·d －13d ＋7d 2.∴差商＝14t 0－13＋7d →14t 0－13(d →0)．∴s ′(t 0)＝14t 0－13＝1.∴t 0＝1. 答案：17．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．解析：－2＋－－d＝2－2＋d ＋1d ＝1－2＋d →－12(d →0)．∴f ′(－2)＝－12.故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0. 答案：x ＋2y ＋4＝0三、解答题9．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数，s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋d 的平均速度，并求当d ＝1，d ＝0.1与d ＝0.01时的平均速度；(2)求当t ＝2时的瞬时速度． 解：(1)差分＝s (2＋d )－s (2)＝3(2＋d )2＋2(2＋d )＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14d ＋3d 2，v ＝差商＝14＋3d ，当d ＝1时，v ＝17；当d ＝0.1时，v ＝14.3；当d ＝0.01时，v ＝14.03.(2)由(1)可知，14＋3d →14(d →0)，∴s ′(2)＝14.∴当t ＝2时的瞬时速度为14. 10．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?解：设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则差分＝2(x 0＋d )2＋1－2x 20－1＝4x 0·d ＋2d 2.精选资料，仅供参考学习之用∴差商＝4x 0＋2d .当d 无限趋近于零时，差商无限趋近于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14. ∴该切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4.得x 0＝1.∴该切点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8.即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2.∴该切点为(2,9)．。
(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >>3．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)f a e=，2(2)f b e=，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定4．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-5．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<7．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e8．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．1710．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 11．若函数()xx f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≥12．已知函数()ln f x ax x =-，若()0f x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．1[,)e+∞C ．[1,)+∞D ．[),e +∞二、填空题13．已知函数1()ln (0)a x f x x a x x a e=++-<，若()0f x ≥在[)2,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________.14．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____.15．若函数()()()()21222xf x a x e ax ax a R ⎡⎤=---+∈⎢⎥⎣⎦在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围是___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．17．函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 18．若函数2sin y x ax =+在[]0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______.19．已知函数()21ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________． 20．已知随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为E X ，则满足E X k <的最大正整数k 的值是_____. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）三、解答题21．已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值22．已知函数()323f x x ax x m =-++在3x =处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）函数()y f x =有三个零点，求m 的取值范围． 23．已知函数2()ln ()f x a x a x=-∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个零点，求a 的取值范围. 24．已知()()2log 1f x x =+.（1）若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若关于x 的方程()40xf x m -+=有解，求实数m 的取值范围.25．已知函数()()x f x x a e =+，其中a 为常数.（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.26．设函数1()ln ,f x a x a x=+∈R .（Ⅰ）设l 是()y f x =图象的一条切线，求证：当0a =时，l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-在定义域上单调递减，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．D解析：D 【分析】根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-xf x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>，当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.3．A解析：A【分析】构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''()()()xf x f xg x e -=，由()()f x f x '>，可得'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小【详解】解：令()()x f x g x e =，则''()()()xf x f xg x e -=，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)f f e e>，所以a b >， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数()()x f x g x e=，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的大小，属于中档题 4．B解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-，()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.5．D解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解； 【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e <<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．6．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx xx f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.7．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x++≥⇔-+≥，令e x t x =(由e e x x ≥可知e t ≥)，则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．8．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.9．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值．【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下： x()3,2--2-()2,2-2()2,3()f x '+-+()f x极大值 极小值所以，函数()y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．10．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．11．A解析：A 【分析】 由()xx f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】 由()xx f x ax ee -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x xf x a e e -'=--≤在R 上恒成立，因为0x e >，参变分离可得：min (+)x xa e e -≤，+2x x e e -≥=2a ≤故选：A 【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，设()ln g xx x=，求出()g x 的导数，进而求出其最大值，得到答案. 【详解】()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立设()ln g x x x=，则()21ln 'xg x x -=由()21ln '0x g x x -=>，则0x e <<，由()21ln '0xg x x-=<，则x e > 所以()g x 在()0e ，上单调递增，在()+∞e ，上单调递减. 当x e =时， ()g x 有最大值()1g e e= 所以1a e≥ 故选：B 【点睛】本题考查恒成立求参数问题，考查分离参数法的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据不等式恒成立得到在上恒成立令函数对其求导判定其在区间上的单调性得到在上恒成立再令利用导数的方法求出其最大值即可得出结果【详解】由在上恒成立得：在上恒成立易知当时令函数则在上恒成立则单调递 解析：[,0)e -【分析】根据不等式恒成立，得到ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，对其求导，判定其在区间[2,)+∞上的单调性，得到ln x a x≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，再令()(2)ln xF x x x=-≥，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】由()0f x ≥在[2,)x ∈+∞上恒成立，得：ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，易知当[2,)x ∈+∞，0a <时，01a x <<，01x e -<<，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，则1()10g t t'=->在()0,1t ∈上恒成立，则()g t 单调递增，故有a x x e -≥，则log ln xx xa e x-≥=-在[2,)x ∈+∞上恒成立， 令()(2)ln x F x x x=-≥，则21ln ()(ln )x F x x '-=，由()0F x '=得x e =， 所以()2x e ∈,时，()0F x '>，则()F x 单调递增；,)[x e ∈+∞时，()0F x '<，则()F x 单调递减；故max ()()F x F e e ==-，则a e ≥-，所以0e a -≤<. 故答案为：[,0)e -.【点睛】 方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.14．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e -，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202x x -+=得22x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.15．【分析】先通过有根在上求得参数范围再验证其左右的导数符号以保证取得极大值即得结果【详解】依题意在开区间上函数有最大值即说明在上有极大值故在上有根易见导函数的一个根故有根且在上故即故此时有两个根要使为解析：)【分析】先通过()0f x '=有根在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果. 【详解】依题意，在开区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，函数()f x 有最大值，即说明()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极大值，故()()()()()()21210x xf x a x e ax a a x e a '⎡⎤=---+=---=⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有根， 易见，导函数的一个根11,12x ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，故0x e a -=有根，且在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上，故10,ln ,12a x a ⎛⎫>=∈⎪⎝⎭，即ln ln ln a e <e a <<， 此时()()()()210xf x a x e a '=---=有两个根，要使ln x a =为极大值点，则需(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，故20a ->，即2a <.综上，a 的取值范围是).故答案为：).【点睛】 易错点点睛：()00f x '=是0x x =为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证()f x '在0x x =左右的符号，也进而能确定0x x =是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.16．【分析】令问题转化为根据函数的单调性求出不等式的解集即可【详解】因为所以令则所以为奇函数又因为当时所以在上单调递减即在上单调递减而不等式所以所以故答案为：【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方解析：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】令()()2g x f x x =-，问题转化为()()5g x x g -≥，根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 【详解】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<， 所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤． 故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.17．【分析】求得函数的导函数根据在区间上有极值求得的取值范围【详解】令得由于分离常数得构造函数所以在上递减在上递增下证：构造函数当时①而即所以所以由①可得所以当时单调递增由于所以当时故也即由于所以所以的 解析：4(2,)ln 21+ 【分析】求得函数()f x 的导函数()'f x ，根据()f x 在区间2(,2)e上有极值，求得a 的取值范围. 【详解】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+.构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫======⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>.由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+ 故答案为：4(2,)ln 21+ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.18．【分析】求出函数的导数问题转化为即可得到本题答案【详解】由题得因为函数在递增所以在恒成立即又当时所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围考查学生的转化能力和运算求解能力 解析：[)2,+∞【分析】求出函数的导数，问题转化为()max 2cos a x ≥-，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2cos y x a '=+， 因为函数在[]0,2π递增，所以2cos 0y x a '=+≥在[]0,2π恒成立， 即()max 2cos a x ≥-，又当[]0,2x π∈时，22cos 2x -≤-≤， 所以2a ≥， 故答案为：[)2,+∞【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力.19．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的解析：3min a e =-【解析】 因()a f x x b x -'=+，故()0af x x b x-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为21()ln 2f t a t t bt =-+，将2bt t a =-代入可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21()ln 2h t a t t a =+-，则()a h t t t =+'，由2()0ah t t t a t=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1()02h a a a =--≥，即3322a a ≥-⇒≤，也即13ln()ln()322a a -≤⇒-≤，所以33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3min a e =-．点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则2bt t a =-，进而求出函数的极小值21()ln 2f t a t t bt =-+，通过代入消元将未知数b 消掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+-的最小值为1()02h a a a =--≥，从而将问题转化为3322a a ≥-⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．20．【分析】根据期望的定义先得到将不等式化为构造函数利用导数的方法判断其单调性计算即可得出结果【详解】由题意所以可化为即其中显然成立；两边同时取以为底的对数得令则当时即函数单调递增；当时即函数单调递减； 解析：4【分析】根据期望的定义，先得到()31kE X ke k -=-++，将不等式()E X k <化为ln 3kk >，构造函数()ln ,03kf k k k =->，利用导数的方法判断其单调性，计算()4f ，()5f ，即可得出结果. 【详解】 由题意，()()333111kk k E X ek e ke k ---⎛⎫=++-=-++ ⎪⎝⎭，所以()E X k <可化为310kke --+<，即3kk e >，其中0k >显然成立； 两边同时取以e 为底的对数，得ln 3k k >， 令()ln ,03k f k k k =->，则()11333k f k k k-'=-=，当()0,3k ∈时，()303k f k k -'=>，即函数()ln 3kf k k =-单调递增； 当()3,k ∈+∞时，()303k f k k -'=<，即函数()ln 3kf k k =-单调递减； 因此()()max 33ln 3ln 3103f k f ==-=->， 又()444ln 42ln 2 1.3862 1.3333033f =-≈-=->， ()55ln 5 1.6094 1.666603f =-≈-<，因此满足ln 3kk >的最大正整数k 的值是4， 即满足()E X k <的最大正整数k 的值是4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，涉及离散型随机变量的期望，属于常考题型.三、解答题21．（1）39a b =-⎧⎨=-⎩；（2）max ()7f x =.【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到32()392f x x x x =--+，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值. 【详解】（1）因为32()2f x x ax bx =+++，所以2()32f x x ax b '=++，又函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7，(1)17(1)320f a b f a b -=+-=⎧⎨-=-+='⎩，解得39a b =-⎧⎨=-⎩；， 所以3()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+， 由()0f x '>得3x >或1x <-；由()0f x '<得13x ；满足题意；（2）又[2,2]x ∈-，由（1）得()f x 在(2,1)x ∈--上单调递增，在(1,2)x ∈-上单调递减， 因此max ()(1)7f x f =-=． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值. 22．（1）5a =；（2）13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由条件可知'(3)0f =，求a 后再验证是否满足条件；（2）利用导函数的符号，推出函数的单调性，得到函数的极值，列不等式求解即可. 【详解】（1）()2323f x x ax =-+'，由已知得()30f '=，得27630a -+=，5a = （2）()3253f x x x x m =-++，令()231030f x x x '=-+=，得3x =或13x =， 由()0f x '>得3x >或13x <，此时()f x 为增函数， 由()0f x '<得133x <<，此时()f x 为减函数， 即当13x =时，函数()f x 取得极大值，当3x =时，()f x 取得极小值， 即()()39f x f m ==-极小值，()113327f x f m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极大值， 所以函数()f x 有三个不同零点，因此，只需()10330ff ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即1302790m m ⎧+>⎪⎨⎪-<⎩，解得13927m -<<， m 的范围是13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关导数的问题，解题方法如下：（1）根据函数在极值点处导数等于零，求得参数的值，之后需要验证；（2）对函数求导，得到其极值，结合三次函数有三个零点的条件为极大值大于零，极小值小于零，列出不等式组，求得结果.23．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞；（2）()22,e e --. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）首先说明0a =无零点，0a ≠时，()0f x =变形为1ln 2x x a =.引入ln ()2x x g x =，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围．【详解】 解：（1）当1a =-时，2()ln f x x x=+，则22212()(0)x f x x x x x -'=-+=>. 令()0f x '，得2x ，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增；令()0f x '<，得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减.故当1a =-时，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞.（2）当0a =时，2()f x x =没有零点，则0a =不符合题意. 当0a ≠时，令2()ln 0f x a x x =-=，得1ln 2x x a =. 设ln ()2x x g x =，则ln 1()2x g x +'=. 由()0g x '>，得1x e >；由()0g x '<，得211x e e <<. 则()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2g x g e e ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为2211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21112e a e -<<-， 解得22e a e -<<-.故a 的取值范围为()22,e e --.【点睛】思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化． 24．（1）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞-. 【分析】（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式.注意化简前保证真数大于零.（2）分离参数，利用方程()2log 41x x m +-=-有解，构造函数()()2log 41x g x x =+-，求导，分析函数单调性，求出最值，得到m 的取值范围.【详解】（1）()()212log 22f x x -=-()()()()222lo 2212log 22g 1log 11f x x x x x x f ----+-=<+= 1220110222x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-<+⎩<⎪ 则103x << 故x 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）()40x f x m -+=则()()2log 4104x x f x m m x =+-++=-()2log 41x x m +-=-设()()2log 41xg x x =+- ()()'ln 444111441ln 2x x x x g x ⋅-=-=++⋅ 当(),0x ∈-∞时，'0gx 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >且x →-∞时，()g x →+∞()2min log 21g x ==故1m -≥则1m ≤-故m 的取值范围为：(],1-∞-【点睛】利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.25．（1）0a ≥；（2）3[,)e+∞.【分析】（1）求导函数()'f x ，令()0f x '≥恒成立，可求参数范围； （2）变量分离转化为32x a e x -≥-，求函数3()2x g x ex -=-最大值.【详解】（1）由函数()()x f x x a e =+，得()(1)x f x x a e '=++，∵函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，∴()(1)0x f x x a e '=++≥，即1a x ≥--在区间[1,)-+∞上恒成立，∴当[1,)x ∈-+∞时，1(,0]x --∈-∞，∴0a ≥.（2）3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，等价于32x a e x -≥-在[0,1]x ∈时恒成立，令3()2x g x e x -=-，则max ()a g x ≥，∵3()20x g x e -'=--<，∴()g x 在[0,1]上单调递减， ∵()g x 在区间[0,1]上的最大值3max()(0)g x g e ==，∴3a e ≥， 即实数a 的取值范围是3[,)e+∞. 【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）(,2]-∞.【分析】（Ⅰ）设切点为001(,)P x x ，求出切线方程并计算l 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.（Ⅱ）由题设可得()0g x '≤，利用参变分离可得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0a =时，1(),0f x x x =>，21()f x x'=-， 设()f x 图象上任意一点001(,)P x x ，切线l 斜率为0201()k f x x =-'=. 过点001(,)P x x 的切线方程为020011()y x x x x -=--. 令0x =，解得02y x =；令0y =，解得02x x =. 切线与坐标轴围成的三角形面积为0012|||2|22S x x =⋅=. 所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.（Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞.因为()g x 在(0,)+∞上单调递减， 所以21()10a g x x x '=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即当(0,)x ∈+∞，1a x x≤+恒成立，所以min 1()a x x ≤+因为当(0,)x ∈+∞，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号. 所以当1x =时，min 1()2x x +=所以2a ≤.所以a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】结论点睛：一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()00f x f x ''><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()00f x f x ''≥≤．。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数的运算法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)
；
(2)(f(x)
f′(x)＋＋g′(x)
＝
f′(x)－g′(x)
跟踪演练3
已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝
t－1 t2
＋
2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速
度．
解 ∵s(t)＝t－t21＋2t2＝tt2－t12＋2t2＝1t －t12＋2t2，
∴s′(t)＝－t12＋2·t13＋4t，
∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32273，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32273 m/s.
再见
编后语
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4．2.3 导数的运算法则
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公 式和四则运算求简单函数的导数．
3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法 则．
4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．
高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课件 湘教版选修2-2
1．函数的导数与单调性的关系 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导． 如果恒有 f′(x)>0，则函数 f(x)在(a，b)内为增加的； 如果恒有 f′(x)<0，则函数 f(x)在(a，b)内为减少的； 如果恒有 f′(x)＝0，则函数 f(x)在(a，b)内为常数函数． 若 f(x)在(a，b)内 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，则函数 f(x)在(a，b)内仍 是增加的(或减少的)． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数 的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间． 3．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点 外，还要注意在定义区间内的不连续点及不可导点．
令 f′(x)<0， 解得13<x<1. 因此 f(x)的单调递减区间是13，1. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导数为 f′(x)＝2－1x， 令 f′(x)＝2－1x>0，解得 x>12； 令 f′(x)＝2－1x<0，
解得 0<x<12， 因此12，＋∞为该函数的单调递增区间，0，12为该函数的单调 递减区间．
(2)f′(x)＝3x2－a.
①当 a≤0 时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．
②当 a>0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 33a；
当－
3a 3 <x<
33a时，f′(x)<0.
因此 f(x)在－
33a，
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理课件湘教版选修2_2
π 2
cos xdx.
微积分基本定理的综合应用 (1)若k(2x－3x2)dx＝0(k>0)，则 k 等于________．
0
(2)已知 x∈(0，1]，f(x)＝1(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是_____． 0
【解析】 (1)k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|k0＝k2－k3＝0， 0
1.由函数 y＝－x 的图象，直线 x＝1，x＝0，
y＝0 所围成的图形的面积可表示为( )
A．1(－x)dx 0
C．0 xdx －1
B．1|－x|dx 0
D．－1 xdx 0
解析：选 B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为 S ＝1|－x|dx.
0
2．利用定积分的几何意义证明－π2 π2cos
a
的 ___下__限_____ 和 __上__限___ ． f(x) 叫 作 ___被__积__函__数___ ， [a ， b] 叫 作 ___积__分__区__间_____．
3．定积分的几何意义 在区间[a，b]上有定义的函数 f(x)，且恒有 f(x)≥0，那么定积分 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)所围成的 ______曲__边__梯__形__的__面__积__________． 4．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则bf(x)dx＝___S_上___．
答案：0.01
利用定积分的几何意义求定积分
利用定积分的几何意义，求：
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx.
－3
0
【解】 (1)在平面上，y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.2.3导数的运算法则课件湘教版选修2_2
【解】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 法二：因为 y＝(2x2＋3)(3x－2) ＝6x3－4x2＋9x－6，所以 y′＝18x2－8x＋9.
1．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1，2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析：选 A.y′＝－3x2＋6x，当 x＝1 时，切线的斜率 k＝－3×12
＋6×1＝3，故切线方程为 y－2＝3(x－1)，即 y＝3x－1，故选 A.
2．已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为 ________． 解析：由题意得 f′(x)＝(2x＋3)ex，则得 f′(0)＝3.
答案：3
3．求下列函数的导数：
(1)y＝ x－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝1＋xc2os
x .
解：(1)y′＝( x－ln x)′＝(
x)′－(ln x)′＝21x－1x.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
3．设函数 f(x)＝sinx x，f′(x)为函数 f(x)的导函数，则 f′(π)＝
________．
答案：－π1
求导法则的直接运用 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11；(4)y＝x·tan x；(5)y＝lgxx.
高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值课件湘教版选修2_2
(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的
分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间
必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b] 上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内
的极大值点和极小值点是交替出现的．
2．求可导函数极值的步骤
4.3.2 函数的极大值和极小值
【课标要求】 1．了解极大(小)值的概念；结合图象，了解函数在 某点取
得极值的必要条件和充分条件； 2．能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大 值，极
小值．
自学导引
1．如 v)成果立不，等就式f说(c)函≥f(数x)(在或fx(c＝)≤cf(处x))取得极大(小对)一值切，x称∈c(为u， f(x)的一个极大(小)值点， 为f(x)的一个极大
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其
左、右邻域都有意义．
(不2)会按是定端义点，a极，值b.点xi是区间[a，b]内部的点(如图)，
(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝
不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值 不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
解得
a＝1， b＝3
或
a＝2， b＝9.
因此常数a＝1时，b＝3；a＝2
时，b＝9.
错因分析 根据极值定义，函数先减后增为极小值，
先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧导数 f′(x)的符号，故求错．
[正解] ∵f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
题型二 求含参数的函数的极值
选修2-2第04讲导数在研究恒成立问题中的应用
第4讲导数在解决恒成立问题中的应用A 组一、选择题1．已知()f x 是定义在()0+∞，上的可导函数，其导函数为()'f x ，且当0x >时，恒有()()'ln 0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()()011+∞，，D ．∅【答案】D【解析】令()()x x f x g ln =，由0x >时，恒有()()'ln 0f x x x f x +<得()()0ln <+'xx f x x f ，则()()()0ln <+'='xx f x x f x g ，故()()x x f x g ln =在()0+∞，单调递减且()01=g ，则当1>x 时，()0ln <x x f 得()0<x f ；当10<<x 时，()0ln >x x f ，得()0<x f ，故()0f x >成立的x 的取值范围是∅，故答案为D ． 2．定义在(0,)2π上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >成立.则有（ ）A ()()63f ππ<B ()2cos1(1)6f f π>C ．2()()46f ππ<D ()()43f ππ<【答案】A 【解析】 由'()()tan f x f x x >且(0,)2x π∈，则'()c o s ()f x x f x x ->，设()()c g x f x x =，则'()'()cos ()sin g x f x x f x x =-0>，所以()g x 在(0,)2π上是增函数，所以()()36g g ππ>，即()cos()cos3366f f ππππ>，即()()36f ππ>．故选A ．3．若1201x x <<<,则 A ．2121ln ln xxe e x x -<- B ．2121ln ln xxe e x x ->- C ．1221xxx e x e <D ．2112x x e x e x > 【答案】D 【解析】设()()()'21x x x x x e e x e x f x f x x e e --=∴==当01x <<时()'0f x <，函数单调递减，由1201x x <<<可得()()1212122112x x x x e e f x f x x e x e x x >∴>∴>4．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()(),'f x f x 为其导数,且()()'tan f x f x x <恒成立，则（ ） A43ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1sin16f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】C【解析】构造函数()()()()''2s i n ()c o s,0sin sin f x f x x f x x F x F x x x-==>，单调递增，故63sin sin 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，故选C. 5．当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--【答案】C 【解析】当0x =时，不等式不等式32430ax x x -++≥对任意a R ∈恒成立，当01x <≤时，不等式32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--，则()234189f x x x x'=-++ 4(9)(1)x x x -+=，当01x <≤时，()()0,f x f x '>上单调递增，所以()max (1)6f x f ==-，所以6a ≥-，当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，当21x -≤<-时，()()0,f x f x '<上单调递减，当10x -<<时，()()0,f x f x '>上单调递增，所以()min (1)2f x f =-=-，所以6a ≤-，综上所述，实数a 的取值是[]6,2--，故选C.6．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）＝0，当x>0时，有2xf x -f x x '（）（）<0恒成立，则不等式x 2f （x ）>0的解集是（ ） A ．（－2,0）∪（2，＋∞） B ．（－2,0）∪（0,2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪（0,2） 【答案】D 【解析】因为当0>x 时，有()()02<-'x x f x f x 恒成立，即()0<'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f 恒成立，所以()x x f 在()+∞,0内单调递减．因为()02=f ，所以在()2,0内恒有()0>x f ；在()+∞,2内恒有()0<x f ．又因为()x f 是定义在R 上的奇函数，所以在()2,-∞-内恒有()0>x f ；在()0,2-内恒有()0<x f ．又不等式()02>x f x 的解集，即不等式()0>x f 的解集．故答案为：()()2,02,⋃-∞-，选D.7．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ） A 、 ]2,2[- B 、 ),2[+∞C 、 ),0[+∞D 、(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】 令()()()()()()221,02g x f x x g x g x f x f x x =-+-=+--=，()g x 为奇函数，在),0(+∞上()'()0g x f x x '=-< ，()g x 在),0(+∞上递减，在(),0-∞上也递减，由()00g = 知，()g x 在R 上递减，m m f m f 48)()4(-≥--可得()()4,4,2g m g mm m m -≥-≤≥，即实数m 的取值范围为),2[+∞，故选B. 8．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <，且(),m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）【答案】B 【解析】设(),xg x xe y ax a ==-，由题设原不等式有唯一整数解，即()xg x xe =在直线y ax a =-下方，()+1,()x g x x e g x '=∞（）在(-，-1)递减，在(1,)-+∞递增，故23ee二、填空题9函数6)(3-+=x x x f ，若不等式()223f x m m ≤-+对于所有满足[]2,2x ∈-恒成立，则实数m 的范围是 。
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第四章习题解答
习题4.1(A)
1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:
(1) 3
(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1
≤<⎧=⎨=⎩x x f x x . 解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-, (1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.
令
2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.
2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.
(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈；
(2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.
解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以
(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-
解之得,
1ξ=± (舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.
3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.
证 令=⋅()()x
F x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
0'=()F ξ
即
0''==()[()+()]F e f f ξξξξ
于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.
4、证明不等式：
(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；
(2) 当0<<a b 时，
ln --<<b a b b a b a a
； 证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得 sin sin cos ()y x y x ξ-=- 又因为cos 1ξ≤,所以不等式
sin sin y x y x -≤-
(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b
则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且
1()f x x
'=
于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得
()()()()'-=-f b a f b a ξ
即 ln ln ln --==b b a b a a ξ
由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有
ln --<<b a b b a b a a
. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使
()()()()f g f g ξξξξ''=
证 令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得
2()()()()()0 ()
f g g f F g ξξξξξξ''-'== 即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.
习题4.1(B)
1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并
求出相应的ξ值.
解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在
(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得
(1)(0)() (0,1) (1)(0)()
f f f
g g g ξξξ'-=∈'- 解之得 1 ,13
==ξξ（舍去） 2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.
解 由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,。