2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套学案：2.1.2 演绎推理 Word版含解析
高中数学选修1-2教案1：2.1.2 演绎推理教学设计
《演绎推理》教学设计教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。
2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．教学过程：学生探究过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出猜想二．问题情境。
观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tanα是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．（小前提）是二次函数函数12++=x x y １．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S—M （S 是M ） （小前提）S—P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.四，数学运用例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lg a n =nlg a(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga -lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解 (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x y所以 DM= 21AB ——结论同理 EM=21AB所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4证明f(x)=−x 2+2x 在区间(−∞，1)内是增函数分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a,b )内,如果f ′(x )>0,那么函数y =f(x)在这个区间内单调递增小前提 是f(x)=−x 2+2x 的导数在区间(−∞，1)内满足f ′(x )>0是证明本例的关键。
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.2演绎推理 (共87张PPT)
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理导学案(答案不全)新人教A版选修1-2(2021
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演绎推理1.教学重点：演绎推理的含义及演绎推理规则．2.教学难点：演绎推理的应用．方法:合作探究一新知导学思维导航日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导电,因为铁是金属,所以铁导电”，它是合情推理吗？这种推理形式正确吗?1．演绎推理从______________出发,推出__________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理,简言之，演绎推理是由____________的推理．2．三段论“三段论"是演绎推理的一般模式,包括：（1）大前提-—已知的__________；(2)小前提——所研究的__________；(3）结论-—根据一般原理,对特殊情况做出的______．其一般推理形式为大前提：M是P.小前提:S是M.结论：__________.利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集，那么________________________.课堂随笔:3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具,而合情推理的结论__________正确．牛刀小试1．演绎推理是( ）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．(2015·厦门高二检测）“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( ）A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错3．在三段论中,M、P、S的包含关系可表示为( ）4．给出下列结论：①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真；②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真；③由合情推理得到的结论一定为真；④演绎推理和合情推理都可以用于证明；⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．其中正确结论的序号为__________。
人教课标版高中数学选修1-2：《演绎推理》教案-新版
2.1.2演绎推理一、教学目标1．核心素养通过对演绎推理的学习，在数学体验中培养学生的抽象能力和逻辑推理的能力．2．学习目标(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．(2)结合生活中的实例，创设民主的学习氛围和生动的学习情景，鼓励，引导学生通过思考，质疑等丰富多彩的认知过程来获取数学知识(3)发展学习数学的兴趣，让学生乐于探究数与形变化的奥秘，体验数学探究的艰辛和喜悦，感受数学世界的奇妙和谐．(4)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理4．学习难点分析证明过程中包含的“三段论”形式．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P30—P33思考：什么是演绎推理？演绎推理的模式是什么？2．预习自测1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案：C2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（）A．一般的原理原则B．特定的命题C．一般的命题D．定理、公式答案：A3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D（二）课堂设计1．知识回顾现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树．从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候．所以南极大陆曾经在温湿的热带．被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立．西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界．珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小．谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海．地质学家是怎么得出这个结论的呢？科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石．还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法．2．问题探究问题探究一什么是演绎推理●活动一1．什么是演绎推理？从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法．●活动二2．演绎推理的一般模式分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提喜马拉雅山曾经是海洋……结论三段论（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c 为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．先看下面的例子：把下列语句写成三段论的形式：（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除；（4）三角函数都是周期函数，αtan是周期函数；tan是三角函数，因此α（5）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°解答如下：（1）大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行小前提：冥王星是太阳系的大行星结论：冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行(2) 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100°C小前提：在一个标准大气压下把水加热到100°C时结论：水会沸腾（3）大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：)12(100+是奇数结论：)12(100+不能被2整除（4）大前提：三角函数都是周期函数小前提：αtan是三角函数结论：αtan是周期函数（5）大前提：两条直线平行，同旁内角互补小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角结论：∠A+∠B=180°问题探究二三段论推理的可靠性●活动一三段论推理一定是可靠的吗？只有“大前提、小前提”都正确的前提下，“结论”才正确．看下面的例子：（1）有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”．这个推理是否正确？为什么？显然这个推理不正确，原因是大前提不正确．（2）两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同位角，那么∠A ＋∠B＝180°显然这个推理不正确，原因是小前提不正确．问题探究三合情推理与演绎推理的区别●活动一归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．问题探究四活学活用演绎推理●活动一把演绎推理写成三段论的形式把演绎推理写成三段论的形式必须弄清问题的大前提、小前提和结论．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°．(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．【知识点：演绎推理】详解：(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°．(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°．(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)－1通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)点拔：注意“三段论”的基本形式，即：“大前提、小前提和结论”．三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．●活动二三段论在几何中的应用例2 已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA．【知识点：演绎推理】 详解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2．(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3．(结论) ∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD ．(结论)同理可证DB 平分∠CBA ．例3 已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD ．【知识点：演绎推理，三角形的重心，线线平行，线面平行】详解：如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ ．因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心， (小前提) 所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点． (结论)又因为BM MP ＝BN NQ ，(小前提)所以MN ∥PQ ， (结论)又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，(小前提)所以MN∥平面ACD．(结论)点拔：(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．●活动三三段论在代数中的应用例4 已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m【知识点：演绎推理，不等式的性质】详解：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提)所以，mb＜ma．(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb＜ma，(小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)所以，()()()()b a m a b ma a m a a m++<++，即b b ma a m+<+．(结论)点拔：使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．●活动四三段论在应用中的易错问题例5 (1)定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．【知识点：演绎推理，奇、偶函数】证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：___________________________．解析：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．答案：若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数(2)所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．【知识点：演绎推理】①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④点拔：解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．3．课堂总结【知识梳理】比较：合情推理与演绎推理的区别与联系从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．【难点突破】（1）检验假设和理论：演绎法对假说作出推论,同时利用观察和实验来检验假设．（2）逻辑论证的工具：为科学知识的合理性提供逻辑证明．（3）作出科学预见的手段：把一个原理运用到具体场合,作出正确推理．演绎推理是一种必然性推理,推理的前提是一般,推出的结论是个别,一般中概括了个别．事物有共性,必然蕴藏着个别,所以“一般”中必然能够推演出“个别”,而推演出来的结论是否正确,取决于：大前提是否真确,推理是否合乎逻辑．演绎法也有其局限,推理结论的可靠性受前提（归纳的结论）的制约,而前提是否正确在演绎范围内是无法解决的．归纳法和演绎法在认识论中的辩证关系：归纳法是由认识个别到认识一般；演绎法是由认识一般进而认识个别．4．随堂检测1．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则（）A．m＝0B．m＝0，或n＝0C．n＝0D．m＝0，且n＝0解：D【知识点：演绎推理，奇、偶函数】2．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是（）A．－6B．8 3C．－8 3D．6解：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6． 故答案为D ． 3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值（ ） A ．一定是零 B ．不一定是偶数 C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 答案：C解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案为C4．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________． 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7． （三）课后作业 基础型 自主突破1．“所有的金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此类推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理 答案：A【知识点：演绎推理】“所有的金属都能导电”是大前提，“铁是金属”是小前提，“铁能导电”是结论．此类推理类型属于演绎推理，故选A ．2．“e 是无限不循环小数，所以e 是无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（ ）A ．无理数是无限不循环小数B ．有限小数或有限循环小数为有理数C ．无限不循环小数是无理数D．无限小数是无理数答案：C【知识点：演绎推理】解：大前提是无限不循环小数是无理数，选C．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段认推理（）A．正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“凡是自然数都是整数”，正确；小前提“4是自然数”也正确；推理形式符合演绎推理，所以结论正确．4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形．”中的小前提是（）A．①B．③C．①②D．②答案：D【知识点：演绎推理】解：，其理由为“大前提：矩形是平行四边形；小前提：三角形不是平行四边形；结论：三角形不是矩形．”5．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF//BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF//BC答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提是一个一般性的结论，故选A6．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤答案：C【知识点：演绎推理】解：归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤．故选C ．7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中细亚的地质结构类似，而中细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C ．由633,835,1037,1257,1477=+=+=+=+=+，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数之和D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2n ≥），由此归纳出数列{}n a 的通项公式 答案：A【知识点：演绎推理】解：选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．能力型 师生共研1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”．你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“任何实数的平方大于0”错误，应该是“任何实数的平方大于或等于0”．故选择A ．2．以下说法正确的个数是（ ）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理；②农“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的；③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用了类比推理；④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此，2 375是5的倍数，这是运用了演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4答案：C【知识点：演绎推理】解：本题主要考查了几种推理与证明的判断．②③④都是正确的，对于①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是归纳推理，故选C ．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①函数cos ()y x x R =∈是三角函数；②三角函数是周期函数；③函数cos ()y x x R =∈是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①答案：B【知识点：演绎推理】解：∵“三段论”的结构是“若S 是P ，Q 是S ，则Q 是P”，故选择B ．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及实数)10(<<x x 确定实际销售价格)(a b x a c -+=，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于______．答案：215-【知识点：演绎推理，等比数列，等比中项】解：∵)(a b x a c -+=，即()c a x b a -=---，∴()()b c b a x b a -=---①∵)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，即2()()()b c b a c a --=-将①两边同乘以)(a b -，可得22()()()()b c b a b a x b a --=---，即222()()()c a b a x b a -=---②根据)(a b x a c -+=，可得()c a x b a -=-，则222()()c a x b a -=-③由②③可得，2222()()()x b a b a x b a -=---又b a >，∴210x x +-=，解得：x =，又01x <<，∴x = ∴最佳乐观系数x 的值等于215-． 探究型 多维突破1．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义)(''x f 是)(x f y =的导函数)('x f 的导函数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若三次函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据这一发现，求： （1）12532131)(23-+-=x x x x f 的对称中心为____________；（2）=++⋯+++)20192018()20192017()20193()20192()20191(f f f f f ____________． 答案：)1,21(；2018 【知识点：演绎推理，函数与导数】解：（1）2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-，令''()0f x =得，12x =，又1()12f =，故对称中心为)1,21(．（2）由（1）可得：()(1)2f x f x +-=，12320172018()()()()()201820192019201920192019f f f f f +++⋯++=． 2．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．答案：见解析解析：【知识点：演绎推理，棱锥的概念，锥体的体积，线线垂直，线面垂直，点到平面的距离】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC ．又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ．∵PC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PC ，即PC ⊥BC ．(2)连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°．从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1，由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13．∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，又PD ＝DC ＝1．∴PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22，由V ＝13S △PBC ·h ＝13·22·h ＝13，得h ＝2．因此，点A 到平面PBC 的距离为2．（四）自助餐1．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解：A【知识点：演绎推理】2．在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．答案：大前提和推理过程【知识点：演绎推理】3．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．答案：①③④【知识点：演绎推理,函数的性质】易知f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg x2＋1 |x|＝lg(x＋1x)．∵g(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．答案为①③④4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【知识点：演绎推理】解：(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．5．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．6．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD．【知识点：演绎推理，三角形的中位线，线面平行的判定】证明：连接BD ． ∵三角形的中位线平行于第三边，大前提而EF 是△ABD 的中位线，小前提∴EF ∥BD ．结论∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提而EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且EF ∥BD ，小前提∴EF ∥平面BCD ．结论7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，(n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n ．【知识点：演绎推理，数列的概念，等比数列】证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)，则S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1． 故对任意的n ∈N *，有S n ＋1＝4a n ．数学视野类比推理虽然不能直接推动社会进步，但它在人们的认识中具有重要作用．它可以拓展人们的眼界，可以为人们改造和认识世界、推动社会进步提供一个有效的思维方法．1．类比推理是探索真理的重要逻辑形式类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法．在科学研究中具有开拓思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用，正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进．”科学史上很多著名的发现是借助于类比推理而获得的．据历史记载，西拉克斯的国王为庆功谢神，命金匠打造了一顶纯金皇冠，要献给不朽的神．完工后，国王怀疑皇冠不纯，但在不毁坏皇冠的情况下找不到解决的方法，便请教好友阿基米德．这就是著名的皇冠问题．阿基米德苦思一段时间，也无所得．一日，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启迪，产生联想，于是把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠质量进行类比，发现了浮力原理这一共同规律，并解决了“皇冠问题”．在这之后，浮力原理被广泛应用于科学研究与生产生活之中．2．类比推理可以帮助人们提出科学假说类比推理是形成科学假说的重要推理形式．在科学史上，许多重要的科学假说都是利用类比推理的思维方法建立起来的．19世纪中叶，奥地利首都维也纳有一位医生，名叫奥恩布鲁格．有一次，他给一位病人看病，没有检查出什么严重疾病，但病人很快就死了．经过解剖尸体查看，发现胸膛积满脓水．医生想，以后再碰到这样的病人怎么诊断？忽然想起他父亲在经营酒店时，常用手指关节敲木质酒桶，听到卜卜的叩击声，就能估量出木桶中还有多少酒．他思考：人们的胸膛不是很像酒桶吗？他通过反复探索胸部疾病和叩击声音之间变化的关系，终于写出《用叩诊人体胸部发现胸膛内部疾病的新方法》的医学论文，发明了“叩诊”这一医疗方法．在上例中，奥恩布鲁格就是运用类比推理把“酒桶和装酒量”与“人的胸膛和胸腔积水”作类比：同是封闭的物体，内藏液体，叩击时能发出声音等，从而根据叩桶知酒量而推出叩胸知病情的结论．此外，在科学发展史上，惠更斯提出的光的波动假说，卢瑟福及其学生提出的原子结构的行星模型假说，也都是运用类比推理建立了巨大的功绩．3．类比推理为现代科学技术经常应用的仿生学提供了理论基础自然界的动植物，它们的生长都极为巧妙，它们是孕育出新事物、新方法绝无仅有的好样板．人类还在蒙昧的幼年时期，为了生存繁衍，便开始模仿大自然，利用类比的方法，从自然界万事万物身上吸取有利于自己生存的优点，用来武装自己，改变命运．20世纪30年代出现的仿生学，就是专门研究生物系统的结构和功能，并将生物的某些特征应用到我们的创造发明之中，以创造先进技术装置的新学科．人类对自然的模仿，正是建立在类比推理的理。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_19
2.1.2 演绎推理三维教学目标1、知识目标：能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。
2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。
教学重点与难点：教学重点：理解演绎推理的含义与特征。
并能用三段论证明问题。
教学难点：掌握三段论的证明应用；了解演绎推理与合情推理的区别与联系。
教学过程：（一）导入新课：1、复习：合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想2、问题情境：（幻灯片）让学生观察下列推理句子，你能说出它们的特征吗？1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；2）太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；3）一切奇数都不能被2整除，2017是奇数，所以2017不能被2整除；4）三角函数都是周期函数，tanx是三角函数，因此tanx是周期函数；5）两条直线平行，同位角相等，如果∠A与∠B是同位角，那么∠A= ∠B 观察与思考并提出问题：上面的推理有什么特点？分析：如：所有的金属都能导电——一般原理铀是金属——特殊情况所以铀能够导电——对特殊情况的判断（二）讲授新课：（幻灯片）1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．2、演绎推理的特点：是由一般到特殊的推理；3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．4、三段论的基本格式M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）S—P（S是P）（结论）5、三段论推理的依据,用集合的观点的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.6、练习应用：【例1】用三段论的形式写出下列演绎推理.(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直.(2)若两角是对顶角，则此两角相等.(3)0.33.2是有理数.(4)y=sinx(x∈R)是周期函数.【审题指导】要注意三段论的结构与格式，其中第(3)(4)小题省略了大前提. 【规范解答】(1)每个菱形的对角线相互垂直(大前提)正方形是菱形(小前提)所以，正方形的对角线相互垂直(结论)(2)对顶角相等(大前提)∠1和∠2是对顶角(小前提)∠1=∠2 (结论)(3)所有的循环小数是有理数(大前提)0.33.2是循环小数(小前提)所以，0.33.2是有理数(结论)(4)三角函数是周期函数(大前提)y=sinx(x∈R)是三角函数(小前提)所以，y=sinx(x∈R)是周期函数. (结论)（三）三段论推理应用：（幻灯片）1、用三段论写推理过程，关键是明确题目的大小前提。
【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理[提出问题]看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．[导入新知]1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[化解疑难]辨析演绎推理与合情推理(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想．[例1](1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)[类题通法]三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[活学活用]把下列推断写成三段论的形式：(1)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，………………大前提y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，………………小前提y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．………………结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，………………大前提∠1和∠2是对顶角，………………小前提∠1和∠2相等．………………结论[例2] MN ∥平面ACD .[证明] 如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ .因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点．又因为BM MP ＝BN NQ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面ADC ，PQ ⊂平面ADC ，所以MN ∥平面ACD .[类题通法]三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．[活学活用]已知在梯形ABCD 中，如图，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提)∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论)同理可证DB 平分∠CBA .[例3] 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． [证明] 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵a ＞1，且x 1＜x 2，∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0.又∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．[类题通法]使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)． ③推理过程错误等．[活学活用]已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋m a ＋m. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以，mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以，mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以，b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2.混淆三段论的大小前提而致误[典例] 定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f (x )是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝2f (0)×f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1，令x ＝0，则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (－y )＝f (y )，因此，f (x )是偶函数．以上证明结论“f (x )是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：________________________________________________________________________.[解析] 通过两次赋值先求得“f (0)＝1”，再证得“f (－y )＝f (y )”，从而得到结论“f (x )是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f (－y )＝f (y )”，结论是“f (x )是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数”．[答案] 若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数[易错防范]解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f (x )是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．[成功破障]所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④[随堂即时演练]1．“四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理错误的原因是( ) A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数．3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0.答案：log 2x －2≥04．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________………………大前提②________________________________………………小前提③________________________________……………………结论答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2，由于1＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．③函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数． 5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．……………………大前提零向量是向量．……………………小前提零向量也有大小和方向．……………………结论(2)每一个矩形的对角线相等．……………………大前提正方形是矩形．……………………小前提正方形的对角线相等．……………………结论(3)所有的循环小数都是有理数．……………………大前提0．332·是循环小数．……………………小前提0．332·是有理数．……………………结论。
高中数学选修1-2学案：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识点一演绎推理及其一般模式——“三段论”1.演绎推理2.思考(1)(2)如何分清大前提、小前提和结论？知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系题型一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.反思与感悟 三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；(2)y ＝cos x (x ∈R )是周期函数； (3)Rt △ABC 的内角和为180°.题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用例2 在锐角三角形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .反思与感悟 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)求证：函数f (x )＝2x －12x ＋1是定义域上的增函数.题型三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.反思与感悟 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪训练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.三段论中因忽视大(小)前提致误例4 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ，b ，c 不全相等，试比较a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab与a ＋b ＋c 的大小.错解 因为a ，b ，c ∈R ＋，依基本不等式有⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.由三式相加得a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.①又a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 4c 2＝2ab 2c ， 同理b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，三式相加得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2.②由①②得a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，又a ，b ，c ∈R ＋， 所以a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab≥a ＋b ＋c .错因分析 以上过程忽视了小前提“a ，b ，c 不全相等”，因此①②两式中均为“＞”. 正解 ∵a ，b ，c ∈R ＋，有⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.又a ，b ，c 不全相等，故三式相加，得 a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.③ 又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，且a ，b ，c 不全相等，三式相加得 a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，④ 由③④得a 4＋b 4＋c 4＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2， ∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab＞a ＋b ＋c . 防范措施 利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.1.下列推理中是演绎推理的是( )A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A ＝∠A ′B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此猜想出{a n }的通项公式2.指数函数都是增函数，大前提 函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x是指数函数，小前提 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是增函数.结论 上述推理错误的原因是( ) A.大前提不正确 B.小前提不正确 C.推理形式不正确 D.大、小前提都不正确3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的周期是________.4.设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足1817＜S 2n S n ＜87的所有n 的和为________.5.设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.[答案]精析知识梳理知识点一1．某个特殊情况下一般到特殊2．已知的一般原理所研究的特殊情况思考(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．题型探究例1解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论跟踪训练1解(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论)．(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos x(x∈R)是周期函数(结论)．(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的内角和为180°(结论)．例2 证明 ∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2.又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦函数是单调递增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 即sin A ＞cos B ，① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A ．③以上①②③两端分别相加，有： sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 跟踪训练2 证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 1－2x 2(2x 2＋1)·(2x 1＋1).∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，∴2x 1－2x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )为R 上的增函数．例3 (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .跟踪训练3 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．证明如下：高中数学选修1-211 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d 2(n －1)， 所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列． 当堂检测1．A [B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．故选A.]2．A [大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在a ＞1时是增函数，而在0＜a ＜1时为减函数．故选A.]3．8[解析] f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (2－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f [4＋(4＋x )]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴T ＝8是它的周期．4．7[解析] 由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34， 易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ，S 2n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n ，代入1817＜S 2n S n ＜87，可得117＜⎝⎛⎭⎫12n ＜17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 5．证明 因为a ，b ，c 为正实数，由基本不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc＝abc ，即a ＝b ＝c ＝63时取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥23，当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号．。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_16
§2.1.2演绎推理教学设计一、学习目标1、知识目标①让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异。
②能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理。
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念。
②通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程。
③通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式。
3、情感态度与价值观目标：让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲。
二、①重点：知道演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.；②难点：利用三段论证明一些实际问题。
三、学习方法：问题诱思法四、教学过程1、引入:问题1：在美丽的云南大理，居住着一个古老的少数民族——白族，那里的人们都把未婚女孩叫做“金花”，未婚男孩叫做“阿鹏哥”。
小李家在大理，大家平时都叫她“金花”，那么小李（ ）A ：是个女孩，已婚B ：是个男孩，已婚C ：是个女孩，未婚D ：是个男孩，未婚生答： 选C设问：上述推理是合情推理吗？为什么？生答（1）：是，因为上述例子是从特殊到一般的推理。
生答（2）：不是，上述例子是从一般到特殊的推理，所以不是合情推理。
【师点评】：第一位同学回答错误，上面这个例子它是从一般到特殊的推理，因此它并不是合情推理。
2、概念的提炼问题2：请同学们思考下列推理有何特点？① 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能导电。
② 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
③ 一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除。
④ 三角函数都是周期函数，∂tan 是三角函数，因此∂tan 是周期函数。
⑤ 两条直线平行，同旁内角互补。
如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°生答：上述例子都是从一般到特殊的推理。
高中数学人教A版选修1-2第二章《2.1.2 演绎推理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版选修1-2第二章《2.1.2 演绎推理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.了解演绎推理的含义。
2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2学情分析
学生熟悉三段论推理过程,但对推理形式是否正确存在误区。
3重点难点
重点:正确地运用演绎推理、进行简单的推理。
难点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】导入新课
现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的位置的,为什么呢?原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。
从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。
所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立。
西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世,雄视世界。
珠穆郎玛峰是世界第一高峰,登上珠峰顶,一览群山小。
谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋,高耸的山峰的前身,竟然是深不可测的大海。
地质学家是怎么得出这个结论的呢?
科学家们在喜马拉雅山区考察时,曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。
还发现了鱼龙的化石。
地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在喜马拉雅山上发现它们的化石,说明喜马拉雅山曾经是海洋。
科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法,就是一种名叫演绎。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套作业：2.1.2 演绎推理 Word版含解析
第二章 2.1 2.1.2请同学们认真完成练案[4]A级基础巩固一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确[解析]函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的．”中的小前提是(D)A．①B．②C．①②D．③[解析]本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于(A)A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理[解析]大前提为所有金属都能导电，小前提为铁是金属，结论为铁能导电，故选A．4．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在(A)A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是[解析]∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．5．在证明f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝x满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝x满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(A)A．①④B．②④C．①③D．②③[解析]大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝x满足增函数的定义；结论是f(x)＝x为增函数，故①④正确．6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(C)A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．二、填空题7．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__②__.(填写序号)[解析]推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中大前提：矩形是平行四边形；小前提：正方形是矩形；结论：所以正方形是平行四边形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案为②．8．有些歌唱家留长发，因此，有些留长发的人是大嗓门，为使上述推理成立，请补充大前提__所有歌唱家都是大嗓门__．[解析]利用“三段论”推理：大前提：所有歌唱家都是大嗓门，小前提：有些歌唱家留长发；结论：有些留长发的人是大嗓门．三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[解析]①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)则这两个三角形全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA．②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)如果△ABC和△CDA全等，(小前提)则它们的对应角相等，(结论)符号表示：△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD为平行四边形．(结论)符号表示：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程(A)A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为(B)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．3．(多选题)下面几种推理过程不是演绎推理的是(BCD)A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理，故选BCD ．二、填空题4．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A 城市__．[解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．5．甲、乙、丙三位教师分别在一中、二中、三中三所中学里教不同的学科：语文、数学、英语，已知：①甲不在一中工作，乙不在二中工作； ②在一中工作的教师不教英语学科； ③在二中工作的教师教语文学科； ④乙不教数学学科．可以判定乙工作的地方是__三中__，所教的学科是__英语__．[解析] 甲不在一中，则甲在二中或三中．若甲在二中，则只能教语文，由④得乙教英语，再由②得乙在三中；若甲在三中，则由①得乙在一中，丙在二中，由②④得乙教语文，但由③得丙教语文，矛盾，所以甲不在三中．综上，乙教英语且在三中．三、解答题6．用三段论证明：已知{a n }是各项均为正数的等差数列，l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，…，证明{b n }为等比数列．[解析] 因为l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列， 所以2l ga 2＝l ga 1＋l ga 4，即a 22＝a 1·a 4． 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，这样d 2＝a 1·d ，从而d (d －a 1)＝0． 而d ＝0，则{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)·d ＝2n ·d ， b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ．这时{b n }是首项为b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上知{b n }为等比数列．7．用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，BE 是高线，D 、E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD ．[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提) ∴△ABD 为直角三角形．(结论) 同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M 是直角三角形ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，(小前提) ∴DM ＝12AB (结论)，同理EM ＝12AB ．∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提) 又∵DM ＝12AB ，EM ＝12AB (小前提)∴ME ＝MD (结论)．8．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上为增函数． [解析] (1)因为f (x )是R 上的偶函数， 所以对一切x ∈R ，都有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ＝1a ex ＋a e x ， 整理得(1a －a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 恒成立．因e x －1e x 不恒为0，故1a －a ＝0，所以a ＝±1．又a >0，所以a ＝1．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2．则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－e x 2－1e x 2＝(e x 2－e x 1)·(1e x 1＋x 2－1)＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2．因为x 1>0，x 2>0且x 1＜x 2，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0， 所以e x 2－x 1>1,1－e x 1＋x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.1.2演绎推理
2．1.2演绎推理[目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[重点] 演绎推理的含义及三段论推理模式的应用．[难点] 三段论模式及其应用．知识点演绎推理[填一填]1．演绎推理的含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.[答一答]1．阅读下面的材料：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数．(2)一次函数是单调函数，y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数．回答下列问题：(1)上面推理的共同特点是什么？(2)材料(1)(2)中的推理形式是否满足“三段论”？(3)演绎推理的结论一定正确吗？提示：(1)都是由一般到特殊的推理．(2)此推理形式满足“三段论”．(3)演绎推理的结论不会超出前提所界定范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何区别演绎推理与合情推理？提示：(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．1．“三段论”的理解(1)三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．(2)三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．注意：运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．2．合情推理与演绎推理的区别与联系(1)合情推理的特点是从特殊到一般，结论不一定正确；演绎推理的特点是从一般到特殊，只要前提和推理形式正确，结论一定正确．(2)在认识世界的过程中，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，二者相辅相成，紧密联系．类型一把演绎推理写成三段论【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则A＝B；(3)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列；(4)函数f(x)＝x3是奇函数．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①明确每一个题的大前提、小前提、结论；②每个题都能用三段论的形式表述．解答本题可先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．【解】(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)A＝B.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，(大前提)通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n＝2n＋3表示的数列{a n}为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，(大前提)函数f(x)＝x3的定义域关于原点对称，f(－x) ＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，(小前提)所以函数f(x)＝x3是奇函数．(结论)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°；(2)两直线平行，同位角相等，如果A和B是两平行直线的同位角，那么A＝B.解：(1)每一个三角形的内角和都为180°，(大前提)等边三角形是三角形，(小前提)所以，等边三角形内角和为180°.(结论)(2)两直线平行，同位角相等，(大前提)A和B是两平行直线的同位角，(小前提)所以，A＝B.(结论)类型二判断演绎推理的正确性【例2】指出下面推理中的错误：(1)常函数的导函数为0，(大前提)函数f(x)的导函数为0，(小前提)f(x)为常函数．(结论)(2)中国的大学分布在中国各地，(大前提)北京大学是中国的大学，(小前提)所以，北京大学分布在中国各地. (结论)【解】(1)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(2)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得到错误的结论．(1)做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P.(2)三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”．简言之，“全体概括个体”，M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如下图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如下图②)．弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误．因为指数函数y ＝a x 是增函数，(大前提)而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是指数函数，(小前提) 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是增函数．(结论) (1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？解：(1)上述推理的形式正确，但大前提是错误的；(2)推理的结论错误，这是因为指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，所以所得到的结论是错误的．类型三 用三段论证明数学问题【例3】 梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．已知：在梯形ABCD 中(如右图)，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .【证明】 (1)等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA 、DC 是两腰，(小前提)∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∠2＝∠3，(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理，DB平分∠CBA.这个证明中如果把(4)也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式．因此一个命题的证明形式，确切地常叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论法，但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也就不再写出了．如例3的证明可写成：∵DA＝DC(省略了大前提)，∴∠1＝∠2.∵AD∥BC，且被AC截得的内错角为∠1和∠3(省略大前提)，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD(省略大前提，小前提)．同理可证DB平分∠CBA.这样，一般地在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法．用三段论证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．证明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1)－(－x22＋2x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．因为x1<x2，所以x2－x1>0.因为x1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2<0.因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．“三段论”中大(或小)前提用错演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．【例4】用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)自然数是整数，所以6是整数；(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．【错解】(1)自然数是整数，(大前提)6是整数，(小前提)所以6是自然数．(结论)(2)函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)【错因分析】(1)推理形式错误．M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数(M)(此时的小前提错误)，推理形式不对．(2)推理形式正确，但大前提错误，M是函数改为M为三角函数即可．【正解】(1)自然数是整数，(大前提)6是自然数，(小前提)所以6是整数．(结论)(2)三角函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)下列推理是否正确，将有错误的指出其错误之处．(1)已知2和3是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题意知2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证a2＋b2＝c2.证明：∵a＝c sin A，b＝c cos A，∴a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A ＋cos2A)＝c2.解：(1)使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此结论的真实性仍无法断定．(2)本题的论题就是我们熟知的勾股定理，证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证的命题作为证明的论据，犯了循环论证的错误．1．“因为我们是共青团员，所以我们要在学习和工作中起带头作用．”它的大前提是(C)A．我们是共青团员B．我们在学习和工作中起带头作用C．共青团员应在学习和工作中起带头作用D．以上都不是2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．故选C.3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是矩形的对角线相等．解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前提是：矩形的对角线相等．4．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为m<n.解析：当0<a<1时，函数f(x)＝a x为减函数，(大前提)a＝5－12∈(0,1)，(小前提)所以函数f(x)＝(5－12)x为减函数．(结论)故由f(m)>f(n)，得m<n.5．用三段论证明通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明：若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n}是等差数列，(大前提)通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋nd －a1－(n－1)d＝d，(小前提)所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}是等差数列．(结论)。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：2.1.2 演绎推理含解析
2.1.2演绎推理内容标准学科素养1.理解演绎推理的意义；2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. 加强直观想象提升数学运算严密逻辑推理[基础认识]知识点一演绎推理预习教材P78－79，思考并完成以下问题分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．提示：问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．知识梳理演绎推理的概念定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理预习教材P79－81，思考并完成以下问题所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？提示：分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．知识梳理三段论的基本模式一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P 思考：提示：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别的、特殊的事实．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是正确的．因而，演绎推理是数学中用于严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．2．使用“三段论”，应注意哪些问题？提示：(1)为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提．(2)“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确．在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确．[自我检测]1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数越过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解析：A 中，两条直线平行，同旁内角互补大前提，∠A 与∠B 是两条直线的同旁内角小前提，∠A ＋∠B ＝180°结论，符合演绎推理的定义，而B 、D 答案符合归纳推理的定义，C 答案符合类比推理的定义．答案：A2．指数函数y ＝a x (a ＞1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．正确解析：根据题设条件，该推理形式正确．但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误．答案：B3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________； 小前提：________；结论：________.解析：本题考查演绎推理的三段论，根据演绎推理的三段论形式写出即可．答案：二次函数图象是抛物线y ＝x 2＋x ＋1是二次函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线授课提示：对应学生用书第37页探究一演绎推理与三段论[例1]将下列演绎推理写成“三段论”的形式：(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；(3)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数．[解析] (1)一切偶数都能被2整除，…………………………大前提0是偶数，…………………………小前提所以0能被2整除．…………………………结论(2)三角形的内角和是180°，…………………………大前提等边三角形是三角形，…………………………小前提故等边三角形的内角和是180°.…………………………结论(3)循环小数是有理数，…………………………大前提0．332·是循环小数，…………………………小前提所以0.332·是有理数．…………………………结论方法技巧(1)用“三段论”的形式写演绎推理的过程，关键是要明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般的原理，在演绎推理中往往可以省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有具备了大前提、小前提、结论才是完整的“三段论”．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(2)判断“三段论”形式的演绎推理是否正确，一般从以下三个方面入手：①判断大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；②判断小前提是否正确，注意小前提必须在大前提的范围内；③判断推理过程是否正确．跟踪探究1.判断下列推理的结论的正误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，…………………………大前提－3是整数，…………………………小前提所以－3是自然数．…………………………结论(2)常函数的导函数为0，…………………………大前提函数f (x )的导函数为0，…………………………小前提所以f (x )为常函数．…………………………结论(3)无限不循环小数是无理数，…………………………大前提13＝0.33333…是无限不循环小数，…………………………小前提 所以13是无理数．…………………………结论 解析：(1)结论是错误的，原因是大前提错误．大前提应改为非负整数是自然数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般的原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13＝0.33333…是循环小数，而不是无限不循环小数． 探究二演绎推理在代数中的应用[例2]设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，…………………………大前提因为f (x )的定义域为R ，…………………………小前提所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．…………………………结论所以Δ＝a 2－4a ＜0，所以0＜a ＜4.即a 的取值范围为(0,4)，f (x )的定义域为R .延伸探究若本例条件不变，求函数f (x )的单调递增区间．解析：∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2， 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a .∵0＜a ＜4，∴当0＜a ＜2时，2－a ＞0.∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)．当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当2＜a ＜4时，2－a ＜0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0＜a ＜2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)；当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2＜a ＜4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．方法技巧应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．(3)三角函数的图象与性质．(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．(5)不等式的证明．跟踪探究2.已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)内为增函数． 证明：对于任意x 1，x 2∈I ，且x 1＜x 2，若f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 内是增函数．大前提设x1，x2是(－1，＋∞)内的任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2x1＋1－ax2－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋3(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1).∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.又x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．…………………………小前提故函数f(x)在(－1，＋∞)内为增函数．…………………………结论探究三演绎推理在几何中的应用[例3]如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[证明]因为同位角相等，两直线平行，…………………………大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，…………………………小前提所以FD∥AE.…………………………结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…………………………大前提DE∥BA，且FD∥AE，…………………………小前提所以四边形AFDE为平行四边形．…………………………结论因为平行四边形的对边相等，…………………………大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…………………………小前提所以ED＝AF.…………………………结论方法技巧(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．(2)大前提可省略：在几何证明问题中，第一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．跟踪探究3.在梯形ABCD 中，如图，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC .证明：∵等腰三角形两底角相等，…………………………大前提△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，…………………………小前提∴∠1＝∠2.…………………………结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，…………………………大前提∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角，…………………………小前提∴∠1＝∠3.…………………………结论∵等于同一个角的两个角相等，…………………………大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，…………………………小前提∴∠2＝∠3，即CA 平分∠BCD .…………………………结论同理可证BD 平分∠ABC .授课提示：对应学生用书第39页[课后小结](1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．(2)合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．(3)合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．[素养培优]忽视大前提或小前提致误易错案例：已知2sin 2α＋sin 2β＝3sin α.求sin 2α＋sin 2β的取值范围．易错分析：演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找出正确的大(或小)前提，如本题中大前提是sin 2α∈[0,1]．sin 2β∈[0,1]，若误认为sin α∈R ，显然会谬以千里．考查直观想象、逻辑推理等核心素养．自我纠正：由2sin 2α＋sin 2β＝3sin α，得sin 2α＋sin 2β＝－sin 2α＋3sin α＝－⎝⎛⎭⎫sin α－322＋94，且sin α≥0.因为0≤sin 2β≤1，sin 2β＝3sin α－2sin 2α，所以0≤3sin α－2sin 2α≤1，解得sin α＝1或0≤sin α≤12. 令y ＝sin 2α＋sin 2β，当sin α＝1时，y ＝2；当0≤sin α≤12时，0≤y ≤54. 故sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，54∪{2}.。
人教新课标版数学高二人教A选修1-2教案 2.1.2演绎推理
2.1.2演绎推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．●重点难点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．难点：利用三段论证明一些实际问题．通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．(教师用书独具)●教学建议建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．课标解读 1.理解演绎推理的意义．(重点) 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.演绎推理【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．(2)特点：由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判S是P断把演绎推理写成三段论形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．【自主解答】 (1)向量是既有大小又有方向的量， 大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提 0．332·是循环小数，小前提 0．332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x 是三角函数，小前提 y ＝sin x 是周期函数．结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提13是无理数结论【解】(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.三段论在证明几何问题中的应用图2－1－4已知在梯形ABCD中(如图2－1－4)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC 平分∠BCD.(用三段论证明)【思路探究】观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3【自主解答】∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．试用更简洁的语言书写本例的证明过程．【解】在△DAC中，∵DA＝DC，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.合情推理、演绎推理的综合应用图2－1－5如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．【思路探究】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．【自主解答】(1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，且AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，∴(12BC·AE)2＝(12BC·EO)·(12BC·ED)，即S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.同理可证：S2△ACD＝S△COD·S△BCD，S2△ABD＝S△BOD·S△BCD.∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S2△BCD.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．已知命题：“若数列{a n}是等比数列，且a n>0，则数列b n＝na1a2…a n(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n}是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ＝na 1＋n (n －1)d 2n＝a 1＋d 2(n－1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．数形结合思想在演绎推理中的应用数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且c >b >a >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 的大小关系是( )A.f (a )a >f (b )b >f (c )cB.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD ．f (a )a >f (c )c >f (b )b【思路点拨】 作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象―→找三点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))―→结论的几何意义―→结论【规范解答】 作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A 项正确．【答案】 A运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.【答案】 C2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③【解析】本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．【答案】 D3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：_____________________________________________________________________ ___小前提：_____________________________________________________________________ ___结论：_____________________________________________________________________ ___【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．【答案】不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数4．用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}是等差数列．【解】(1)三角形的内角和是180°，大前提Rt△ABC是三角形，小前提Rt△ABC的内角和为180°.结论(2)若n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}是等差数列，大前提a n＝3n＋2，a n－a n－1＝3，小前提则{a n}是等差数列．结论一、选择题1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】 B2．(2013·三亚高二检测)“指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是R 上的增函数，而y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x 是R 上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是( )A ．大前提B ．小前提C ．大、小前提D ．推理形式【解析】 指数函数y ＝a x 在a ＞1时在R 上是增函数，当0＜a ＜1时，在R 上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．【答案】 A3．在不等边三角形中，a 为最大边．要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴b 2＋c 2－a 2<0，∴a 2>b 2＋c 2. 【答案】 C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12(a n－1＋1a n－1)(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【解析】B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．【答案】 A5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】大前提为矩形都是对角线相等的四边形．【答案】 B二、填空题6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a有意义时，a≥0”；小前提是“log2x－2有意义”；结论是_____________________________________________________________________ ___．【解析】由log2x－2≥0得x≥4.【答案】“y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)”7．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_____________________________________________________________________ ___．【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形图2－1－68．如图2－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．【答案】演绎推理三、解答题9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．【解】(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．图2－1－7【证明】因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论11．已知函数f(x)＝ax＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．【解】设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋bx1)－(ax2＋bx2)＝(x2－x1)(ax1x2－b)．当0<x1<x2≤ab时，则x2－x1>0,0<x1x2<ab ，ax1x2>b，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f (x )在(0，ab ]上是减函数，当x 2>x 1≥a b 时，则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，a x 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[ab，＋∞)上是增函数.(教师用书独具)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．【思路探究】 利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y ＝f (x )在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．【自主解答】 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．如图所示，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【解】(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)∵△ADB为等边三角形，∴DE⊥AB.又∵平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.由已知可得DE＝32AB＝3，EC＝1.∴在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，∴AB⊥CE.∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。
2021年高中数学第2章推理与证明2.12.1.2演绎推理学案新人教A版选修1-2
2.1.2演绎推理学习目标核心素养1．理解演绎推理的含义．(重点)2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)1．通过学习演绎推理，提升逻辑推理的素养．2．借助三段论，提升数学运算素养.1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等B[得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]2．三段论：“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．③[在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]3．下列几种推理过程是演绎推理的是________．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．①[①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]把演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．[解](1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形的对角线互相平分．(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角，结论：∠A＝∠B.(3)大前提：数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，小前提：通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，结论：通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．把演绎推理写成“三段论”的一般方法(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[跟进训练]1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[对于A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．]用三段论证明几何问题求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论)2①理清楚证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．[跟进训练]2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点．求证：EF ∥平面BCD .[证明] 三角形的中位线平行于第三边，(大前提) 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，(小前提) 所以EF ∥BD .(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线， 则这条直线与此平面平行，(大前提)EF 平面BCD ，BD 平面BCD ，EF ∥BD ，(小前提) EF ∥平面BCD .(结论)用三段论证明代数问题1．数的大小比较常见方法有哪些？提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明． 提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明，常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．【例3】 (1)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．思路探究：(1)借助于指数函数、对数函数互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解．(1)D [法一：取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32，∴2x >3y ；x ln 2＝z ln 5，则x z ＝ln 5ln 2<52，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D. 法二：令2x ＝3y ＝5z ＝k ， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8>1，则2x >3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32<1，则2x <5z ，故选D.] (2)解：法一：(定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝a x 2＋x 2－2x 2＋1－a x 1－x 1－2x 1＋1＝a x 2－a x 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝a x 1(a x 2－x 1－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝a x 1(a x 2－x 1－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1， 所以a x 2－x 1>1， 而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二：(导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0， 所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0.所以f ′(x )>0.于是得f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．(变条件)把本例(1)的条件变换如下：“已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12”，则a ，b ，c 的关系是( ) A ．成等差数列但不成等比数列B ．成等差数列且成等比数列C ．成等比数列但不成等差数列D ．不成等比数列也不成等差数列 A [由条件可知a ＝log 2 3， b ＝log 2 6，c ＝log 2 12. 因为a ＋c ＝log 2 3＋log 2 12 ＝log 2 36＝2log 2 6＝2b ， 所以a ，b ，c 成等差数列．又因为ac ＝log 2 3log 2 12≠(log 2 6)2＝b 2， 所以a ，b ，c 不成等比数列．故选A.]2．(变条件)把本例(2)的函数换成“y ＝2x －12x ＋1”，求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．[证明] y ＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．五类代数问题中的三段论(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.1．三段论的形式：大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．1．判断正误(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论是一定正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：________.小前提：________________.结论：________________.一次函数的图象是一条直线y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线[本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．]4. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.[证明]因为任意三角形内角之和为180°，(大前提)而直角三角形是三角形，(小前提)所以直角三角形内角之和为180°.(结论)设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等，(大前提)(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°，(小前提)所以∠A＋∠B＝90°.(结论)。
高中数学选修1-2《2.2.1 演绎推理》教案
第三课时2.1.2 演绎推理教案教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
.教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.教学过程：一、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则.2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊. P——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2. 教学例题：① 出示例1：证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.② 出示例2：在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.③ 讨论：因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则结论是什么？ （结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）三、巩固练习：1. 练习：P 42 2、3题 2. 探究：P 42 阅读与思考 3.作业：P 44 6题，B 组1题.。
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修1-2【配套备课资源】第2章 2.1.2
2.1.2演绎推理一、基础过关1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2．下列说法不正确的是() A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠3．正弦函数是奇函数，f(x)＝(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝(x2＋1)是奇函数．以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．“∵四边形是矩形，∴四边形的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和2可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图二、能力提升7．三段论：“①小宏在2019年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2019年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2019年的高考中正常发挥”中，“小前提”是(填序号)．8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是．9．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是．10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是(写出所有凸集相应图形的序号)．11．用演绎推理证明函数f(x)＝是周期函数．12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．三、探究与拓展13．S为△所在平面外一点，⊥平面，平面⊥平面.求证：⊥.答案1．D2．D 3．C4．B5．A 67．③8．y＝的定义域是[4，＋∞)9．a>0，b>c⇒>10．②③11．证明大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．小前提：f(x＋π)＝(x＋π)|＝＝f(x)．结论：函数f(x)＝是周期函数．12．解∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴(a－)(－)＝0对于一切x∈R恒成立，由此得a－＝0，即a2＝1.又a>0，∴a＝1.13．证明如图，作⊥于E.∵平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥.又∵⊥平面，∴⊥.∵∩＝A，⊂平面，⊂平面，∴⊥平面.∵⊂平面.∴⊥.。
2020高中数学全册教案新人教A版选修1-2
线方程 利用方程进行预报 .
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数
据如下表所示：
编
1
2
3
4
5
6
7
8
号
身 高 165 165 157 170 175 165 155 170
/cm
体 重 48 57 50 54 64 61 43 59
/kg
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报
了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏 .
第三课时 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用（三）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本
思想、方法及初步应用 .
教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以
转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好
的模型的方法 .
观察 z 与 x的散点图， 可以发现变换后样本点分布在一条直线的 附近，因此可以用线性回归方程来拟合 . ④ 利用计算器算得 a 3.843,b 0.272 ， z 与 x 间的线性回归方程为 z 0.272x 3.843，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
. y e0.272 x 3.843
教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检
验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在
吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生
亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性 .
教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤
.
教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量
K 2 的含
400 300 y 200 100
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2.1.2演绎推理自主预习·探新知情景引入从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．新知导学1．演绎推理从__一般性的原理__出发，推出__某个特殊__情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特殊__的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的__一般原理__；(2)小前提——所研究的__特殊情况__；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的__判断__．其一般推理形式为大前提：M是P．小前提：S是M．结论：__S是P__．利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S中所有元素也都具有性质P__．3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么__结论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__不一定__正确．预习自测1．下列说法正确的是(D)A．演绎推理推出的结论一定正确B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．演绎推理就是合情推理D．演绎推理是由一般到特殊的推理[解析]A错，只有前提和推理形式都正确，其结论才一定正确，否则，就不正确；合情推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理或由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，所以B、C均错，D正确．2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(C)A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错[解析]9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．3．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b．证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a＜b．画框线部分是用演绎推理证明a＜b中的(B)A．前提B．小前提C．结论D．三段论[解析]求证：“a＜b”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A＜∠B，结论：所以a＜b．故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．4．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系是__m＜n__．[解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)， ∴函数f (x )＝a x 是减函数， 又∵f (m )>f (n )，∴m ＜n ．5．判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A 、B 、C 为空间三点(小前提)，所以过A 、B 、C 三点只能确定一个平面(结论)．”[解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶把演绎推理写成三段论形式典例1 将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．[思路分析] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式． [解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提 零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提 0.332·是循环小数，小前提 0.332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x 是三角函数，小前提y＝sin x是周期函数．结论『规律方法』 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．2．判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．┃┃跟踪练习1__■将下列推理写成三段论推理的形式：(1)所有的奇数都不能被4整除，所以15不能被4整除；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)菱形对角线互相平分；(4)函数f(x)＝x3＋sin x是奇函数．[解析](1)所有的奇数都不能被4整除．(大前提)15是奇数．(小前提)15不能被4整除．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平行．(结论)(4)若对函数f(x)定义域中的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．(大前提)对于函数f(x)＝x3＋sin x，当x∈R时，有f(－x)＝－f(x)．(小前提)所以函数f(x)＝x3＋sin x是奇函数．(结论)命题方向❷三段论在证明几何问题中的应用典例2已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC．求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)[解析]∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论『规律方法』应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．┃┃跟踪练习2__■用三段论分析下题的证明过程．如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF．证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF．[解析]上述推理过程应用了三次三段论．第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE 为平行四边形．结论 因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和AF 为平行四边形AFDE 的对边，小前提 所以ED ＝AF .结论 命题方向❸演绎推理在代数问题中的应用典例3 证明：f (x )＝1x2在(0，＋∞)上为减函数．[思路分析] 解答本题所依据的大前提是“在区间(a ，b )内，若f ′(x )＜0，则y ＝f (x )在(a ，b )内是减函数．”小前提是“f (x )＝1x2在(0，＋∞)上满足f ′(x )＜0”．写解题过程的关键环节就是验证f ′(x )＜0在(0，＋∞)上成立． [解析] ∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝－2x 3， 又x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＜0． ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．『规律方法』 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．┃┃跟踪练习3__■已知函数f (x )＝ax ＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[解析] 设0＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a x 1＋bx 1－⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫ax 1x 2－b ， 当0＜x 1＜x 2≤ab时，则 x 2－x 1>0,0＜x 1x 2＜a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，a b 上是减函数． 当x 2>x 1≥ab时，则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2＜b ，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫a b ，＋∞上是增函数．易混易错警示三段论推理中大(小)前提错误致误典例4 如图，已知S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．求证：AB ⊥BC ．[错因分析] 在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．[正解] 证明：如图，过点A 作直线AE ⊥SB 于点E ，因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，所以AE ⊥平面SBC .又BC ⊂平面SBC ，所以BC ⊥AE .因为SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥BC .又AE ∩SA ＝A ，所以BC ⊥平面SAB .所以BC ⊥AB ，即AB ⊥BC ．[点评] 演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．学科核心素养 演绎推理的综合应用演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．典例5已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6．『规律方法』函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。