高考数学测试卷

高考数学测试卷

一选择题

1．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2 也成立，若P(n) 对n＝2 也成立，则下列结论正确的是()

A．P(n)对所有正整数n都成立

B．P(n)对所有正偶数n都成立

C．P(n)对所有正奇数n都成立

D．P(n)对所有自然数n都成立

2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()

A．2 B．3 C．5 D．6

3．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，

即k2＋k＜k＋1，

则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

则上述证法()

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过

程中，第二步假设当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )

A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1

B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1

C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1

D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k

5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋

22＋12＝n (2n 2＋1)3

时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1 时，等式左边应添加的式子是( )

A ．(k ＋1)2＋2k 2

B ．(k ＋1)2＋k 2

C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]

6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )

A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋3正确

B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋1正确

C ．假设n ＝k (k ∈N *)正确，再推n ＝k ＋1正确

D ．假设n ＝k (k ≥1)正确，再推n ＝k ＋2正确

二、填空题

7．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．

8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，

则f(k＋1)－f(k)＝________.

9.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为.

10.若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．

三：解答题

11.设函数f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R.

(1)求不等式f(x)≤x+10的解集;

(2)如果关于x的不等式f(x)≥a-(x-2)2在R上恒成立,求实数a的取值范围.

12.已知函数=.

(Ⅰ)当时,求不等式≥3的解集;

(Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范围.

13．数列{a n} 满足S n＝2n－a n(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项a n的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

14．用数学归纳法证明不等式：1＋1

2

＋

1

3

＋…＋

1

n

＜2n(n∈N*)．

15.已知实数、、、满足，. 证明：（I）；（II）.

16.设均为正数,且,证明:

(Ⅰ)

; (Ⅱ).

17.设123,,a a a 为正数，求证：233112123312a a a a a a a a a a a a ++≥++

18．求证：1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋13n ＞12(n ≥2，n ∈N *)．