第一章勾股定理整理与复习
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(1)AB的长；(2)△ABC的面积； (3)CD的长．
解（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝15，AC＝20， ∴AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625. ∴AB＝25.
（2）解：S△ABC＝12AC·BC＝12×20×15＝150.
（3）∵CD 是边 AB 上的高， ∴12AC·BC＝12AB·CD. 即12×20×15＝12×25·CD， ∴解得 CD＝12.
知识梳理
关于直角三角形，你能想起哪些知识？
1、定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
角的关系：直角三角形两锐角互余
2、性质
形
边的关系： （勾股定理）
如果是直角三角形
数
a2+b2=c2
角: 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、判定
边: 若三角形三边满足a2+b2=c2
是直角三角形
（勾股定理的逆定理）
实际问题
勾股定理
数学问题
数分转方
形类化程
结 合
思 想
思 想
思 想
思
想
旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高度为__2_4__米___。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，
那么斜边上的高是__6_0__／__1__3__厘__米__。
基础过关
C 1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（
）
A、2，3，4 B、3，4，6 C、5，12，13 D、4，6，7
2、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断
【分析】解答本题要紧扣两 个切入点：(1)由于∠BPC是 一钝角，想办法将其分割成 一直角与一特殊角(30°，60°， 45°)的和的形式；(2)用旋转 法 将 △ CPB 绕 点 C 顺 时 针 旋 转90°到△CP′A的位置．
解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°得△CP′A，则P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接PP′.
饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？
请你在图中画出来．
(2)请你求出他至少要走多少路程。
【分析】利用对称找点法作出点A关于 河岸的对称点A′，利用对称点的性质借 助勾股定理求解．
解：（1）如图，作A点关于河岸
CD的对称点A′，连接BA′，交河岸
于P，连接PA，则PB＋PA＝PB＋
4、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数
基础过关
1、等腰三角形的腰长为25，底边长14，则底边上
的高是__2__4____， 面积是__1__6_8____。
2、一wk.baidu.com直角三角形的三边长为连续偶数，则它的
各边长为_6_、___8_、___1__0_。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离
典型精析
2.如图，RtΔABC中，AB=9， BC=6∠B=90°，将ΔABC折叠， 使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求线段BN的长 .
分析切入点： (1)折叠中有哪些相等的线段，相等的角？ (2)题中已知什么,求的是什么 ? (3)观察BN在哪一个直角三角形中,你能 表示出这个三角形的每条边吗 ?
解：设BN=x 由折叠可得 DN=AN=9-x ∵D是BC的中点 ,BC=6 ∴BD=3 在Rt△DBN中, 由勾股定理得
DN2 =BD2+BN2 则（9-x）2=32+x2 解得 x=4 故线段BN的长为4．
方程思想
题型突破
1．如图，一牧童在A处牧马，牧童的家在B 处，A，B 处 距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C， D间的距离为500 m．天黑前牧童从A点将马牵到河边去
A 它是直角三角形的是（
）
A、a:b:c=8∶16∶17
B、a²-b²=c²
C、a²=(b+c)(b-c)
D、a:b:c =13∶5∶12
C 3、三角形的边长(a满足b)2 c2 2ab 则这个三角形是( )
A、等边三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、 锐角三角形.
典型精析
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15， AC＝20，CD是高．求：
∵∠PCP′＝90°， ∴PP′2＝22＋22＝8. 又∵P′A＝1，PA＝3， ∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. ∴PP′2＋P′A2＝PA2. ∴∠AP′P＝90°.易知∠CP′P＝45°， ∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P
＝90°＋45°＝135°.
归纳总结
求直角三角形的边长
∴他至少要走1 300 m.
解决两点最短路线问题的一般步骤： 1.转化 (实际问题转化成数学问题） 2.做辅助线 （作对称点，连线构造出直角三角形） 3.算 （利用勾股定理计算出最短路线的长度）
数学原理：两点之间线段最短
数学思想：转化思想，数形结合思想
题型突破
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC 内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度数．
PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶
到河边的P点．
数形结合
转化思想
(2)如图，作A′B′⊥BD，交BD的延长线于点B′，易知 B′A′＝CD，DB′＝CA′＝AC. ∵ AC＝500 m，BD＝700 m，CD= 500 m ∴在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝BD＋AC＝1 200 m， A′B′＝500 m，由勾股定理，得BA′＝1 300 m.
解（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝15，AC＝20， ∴AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625. ∴AB＝25.
（2）解：S△ABC＝12AC·BC＝12×20×15＝150.
（3）∵CD 是边 AB 上的高， ∴12AC·BC＝12AB·CD. 即12×20×15＝12×25·CD， ∴解得 CD＝12.
知识梳理
关于直角三角形，你能想起哪些知识？
1、定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
角的关系：直角三角形两锐角互余
2、性质
形
边的关系： （勾股定理）
如果是直角三角形
数
a2+b2=c2
角: 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、判定
边: 若三角形三边满足a2+b2=c2
是直角三角形
（勾股定理的逆定理）
实际问题
勾股定理
数学问题
数分转方
形类化程
结 合
思 想
思 想
思 想
思
想
旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高度为__2_4__米___。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，
那么斜边上的高是__6_0__／__1__3__厘__米__。
基础过关
C 1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（
）
A、2，3，4 B、3，4，6 C、5，12，13 D、4，6，7
2、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断
【分析】解答本题要紧扣两 个切入点：(1)由于∠BPC是 一钝角，想办法将其分割成 一直角与一特殊角(30°，60°， 45°)的和的形式；(2)用旋转 法 将 △ CPB 绕 点 C 顺 时 针 旋 转90°到△CP′A的位置．
解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°得△CP′A，则P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接PP′.
饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？
请你在图中画出来．
(2)请你求出他至少要走多少路程。
【分析】利用对称找点法作出点A关于 河岸的对称点A′，利用对称点的性质借 助勾股定理求解．
解：（1）如图，作A点关于河岸
CD的对称点A′，连接BA′，交河岸
于P，连接PA，则PB＋PA＝PB＋
4、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数
基础过关
1、等腰三角形的腰长为25，底边长14，则底边上
的高是__2__4____， 面积是__1__6_8____。
2、一wk.baidu.com直角三角形的三边长为连续偶数，则它的
各边长为_6_、___8_、___1__0_。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离
典型精析
2.如图，RtΔABC中，AB=9， BC=6∠B=90°，将ΔABC折叠， 使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求线段BN的长 .
分析切入点： (1)折叠中有哪些相等的线段，相等的角？ (2)题中已知什么,求的是什么 ? (3)观察BN在哪一个直角三角形中,你能 表示出这个三角形的每条边吗 ?
解：设BN=x 由折叠可得 DN=AN=9-x ∵D是BC的中点 ,BC=6 ∴BD=3 在Rt△DBN中, 由勾股定理得
DN2 =BD2+BN2 则（9-x）2=32+x2 解得 x=4 故线段BN的长为4．
方程思想
题型突破
1．如图，一牧童在A处牧马，牧童的家在B 处，A，B 处 距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C， D间的距离为500 m．天黑前牧童从A点将马牵到河边去
A 它是直角三角形的是（
）
A、a:b:c=8∶16∶17
B、a²-b²=c²
C、a²=(b+c)(b-c)
D、a:b:c =13∶5∶12
C 3、三角形的边长(a满足b)2 c2 2ab 则这个三角形是( )
A、等边三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、 锐角三角形.
典型精析
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15， AC＝20，CD是高．求：
∵∠PCP′＝90°， ∴PP′2＝22＋22＝8. 又∵P′A＝1，PA＝3， ∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. ∴PP′2＋P′A2＝PA2. ∴∠AP′P＝90°.易知∠CP′P＝45°， ∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P
＝90°＋45°＝135°.
归纳总结
求直角三角形的边长
∴他至少要走1 300 m.
解决两点最短路线问题的一般步骤： 1.转化 (实际问题转化成数学问题） 2.做辅助线 （作对称点，连线构造出直角三角形） 3.算 （利用勾股定理计算出最短路线的长度）
数学原理：两点之间线段最短
数学思想：转化思想，数形结合思想
题型突破
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC 内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度数．
PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶
到河边的P点．
数形结合
转化思想
(2)如图，作A′B′⊥BD，交BD的延长线于点B′，易知 B′A′＝CD，DB′＝CA′＝AC. ∵ AC＝500 m，BD＝700 m，CD= 500 m ∴在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝BD＋AC＝1 200 m， A′B′＝500 m，由勾股定理，得BA′＝1 300 m.