李雅普诺夫稳定性分析

t
t0
3 满足：（1）V(x,t) 正定；
（2）V(x,t)导数负半定；
（3）对任意 xX,
系统李氏意义下稳定的
4 满足：(1)V(x,t) 正定；
（2）V(x,t)导数正定，且有界定；
系统是不稳定的
应用： 线性定常连续系统渐近稳定的判x别 Ax, x(0) x0 , t 0
设线性定常系统状态方程
基于正定二次型的 李雅普诺夫稳定性分析
张俊超
（控制科学与工程、控制理论与控制工程、2010010215）
摘 要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、 线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。但要应用李氏判据判断系统稳定 性，就要涉及到系统矩阵 A 特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普 诺夫函数来判断系统稳定性。
xx 13
k x1 x2
x3
x3 0 x1 0
x1 0 x2 0
说明只有原点使 V(x) 0 ，故可采用正半定 Q 来简化稳定性分析。
令： ATP PA Q
0 0 kP11 P12 P13 P11 P12 P13 0 1 0 0 0 0
1 2
0
P12
P22
P23
P12
V(x，t)=f（x1，x2，……xn，t） V(x)=f（x1，x2，……xn）
V(x,t)或 V(x)是一个标量函数。能量总大于零，故为正定函数。 能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或 V(x)的导数小于零。
李雅普诺夫第二法利用 V 及 V 的导数的符号特征，直接对平衡状态稳定性 进行判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。
（2）V(x,t)导数负定； 系统一致渐进稳定
（3）若随 x ，有 V(x,t)
系统是大范围一致渐V进 x稳t定;x0,0 0, t t0
2 满足：(1)V(x,t) 正定； （2）V(x,t)导数负半定；
（3）对任意 xX, 系统是一致渐进稳定
（系4）统是若大随范x围一致渐，进V有稳xVt定;(xx0 ,,0t)0,
其中 A 为非奇异矩阵，即原点是唯一平衡状态。
定的。
设于取是正有定：二次型V函(数x)V(x) xxTTPQ x 作x为V可(x能)的李x雅T普P诺x夫函x数TP，x则 ： xT (ATP PA )x 令 ： ATP PA Q
——李雅普诺夫矩阵代数方程
x Ax,
x(0)
x只0 ,要t
Q
0
正定，系统大范围渐近稳
（姓名）
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P22
P23
0
2
1
0
0
0
0 1 1P13 P23 P33 P13 P23 P33 k 0 1 0 0 1
P13 0
P11
k P22
2P12
0
P12 P12
k P33 2P22
0 0
3P23
P22
0
P23 P33 0.5
k 2 12k
P
12 2k 6k
12 2k
李雅普诺夫函数的构造： 对线性系统，常用状态变量的二次型函数 xTPx 作为李雅普诺夫函数； 对非线性系统，仍未找到构造李雅普诺夫函数的通用方法。
.
已知系统状态方程： x =f（x，t），t≥t0 其中：f(0,t)=0，(t≥t0)。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V(x)，若： 1 满足：(1)V(x,t) 正定；
0
6k
12 2k 3k
12 2k k
12 2k
0
k
12 2k
6
12 2k
P 正定的条件：0<k<6。即当 0<k<6 时，系统渐近稳定。
3.应用小结
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵 A 的特征值来判断系统的稳定性的，需要 用到矩阵特征值求法。
李雅普诺夫第二法则需要构造正定二次型方程，李雅普诺夫第二法利用 V 及 V 的导数的符号特征，直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方 程的解。
1.问题的提出
我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都 有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适 用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状 态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。
2.问题的求解
李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法： （1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性
Fra Baidu bibliotek——李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫第一法的主要内容 1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x)
如果 A 的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点 xe=0 处是稳定的， 且系统的稳定性与高阶项 B(x)无关。 2）如果 X=AX+B(x)的 A 的特征值中至少有一个具有正实部，则无论 B(x)如何， 系统在平衡点 xe=0 处为不稳定的。 3）如果 X=AX+B(x)的 A 的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由 B(x)决定。
线性定常系统状态方程： 原点平衡状态 xe=0 渐近稳定的充分必要条件： 对于任意给定的一个正定对称矩阵 Q，有唯一的正定对称矩阵 P 使李雅普诺 夫矩阵代数方程成立，即：
AT P PA Q 通常取 Q=I
试用李雅普诺夫方程确定使系统渐近稳定的 k 值范围。
u
k
x3
1 x2 1 x1
s1
s 2
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵 A 的特征值来判断系统的稳定性的。
（2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性 ——李雅普诺夫第二法（直接法）
观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早 会达到平衡状态。基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态， 系统稳定。虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数)
s
--
解：列写系统状态方程：
0 1 0 0
x
0
2
1 x 0u
k 0 1 k
研究系统稳定性时，可令 u=0。
由于 detA=-k≠0，故 A 非奇异，0原点0为唯0一的平衡状态。
假定 Q 取正半定矩阵 Q 0 0 0
0 0 1
则
V (x)
xTQx
x
2 3
,
V (
x)
为负半定。
令: V (x) 0, 有x3 0;