排列组合 二项式定理总结(含知识点,试题和答案)

高中数学重点-排列组合二项定理

学 科：数 学 任课教师： 授课时间： 年 月 日

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．

组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

排列组合二项定理 知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可．以有．．重复．．元素．．

的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n

m 种）

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.

从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个

不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示.

⑷排列数公式：

),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=

+--=

注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1

111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11

--=m n m n nA A 规定10

==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．

的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n =

.

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!

2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .

三、组合.

1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

⑵组合数公式：)!

(!!!

)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m

m

n m n -=

+--==

⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m

n m n m n C C C 11+-=+

①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含

红球选法有1

m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C

1

-m n ，如果不取这一元

素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m

n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 n

n n n n n C C C 2

210=+++ 1

1

11

11

2115

314201

1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k

n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC

kC C C C C C C C C C C C

②常用的证明组合等式方法例.

i. 裂项求和法. 如：

)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!

1

)!1(1!1n n n n --=-）

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4

13353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++

证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为

2

2120022110)

()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边n

n C 2= 四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元

素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中1

1+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.

又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 22

1

1A A n ⋅-.