根轨迹分析法

s 3 3s 2 2s K * 0
s3 s2 s
1
1 3 6 K* 0 3 K*
2 K*
3s 2 6 0
K* 6 s j 2
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s0
(8)根轨迹的出射角和入射角
（8）根轨迹的入射角和出射角 出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 结论：开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式 计算 出射角： p 180 ( s zi ) ( s p j )
6
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4.3
根轨迹的绘制
4.3.1 绘制根轨迹的基本规则和步骤
（1）特征方程、确定根轨迹的方向、起点和终点
列特征方程形如：
1 K
*
sz
i 1 n j 1
m
i
s p
0
m 1 s p j * s zi 0 K j 1 i 1 n
j
既有：
s p

l
m
n
i 1
j 1 j l
入射角：
z 180 (s z i ) (s p j )

l
m
n
i 1 i l
j 1
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闭环极点之和、之积
（9）闭环极点之和n n m m n n 1 m m1 特征方程为： s p j s p j K [s zi s zi ] 0
nm
与实轴正方向的夹角为
180 (2k 1) , (k 0 ,1, 2 ,, n m 1) nm
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9
根轨迹在实轴上的分布及渐近线举例
设系统开环传递数为
K* G( s) H ( s) s( s 1)(s 2)
根据开环传递函数，得知开环极点数n=3，开环零点数 m=0，首先将开环极点0，-1和-2标注在s平面上。由规则： 1）根轨迹有三条分支，分别起始于0，-1和-2，且这三 条根轨迹都将趋向无穷远处； 2）实轴上根轨迹分布在０～-１以及-2～-∞之间； 3）根轨迹的渐近线共有n -m = 3条，与实轴的交点和夹 角计算公式如下：
幅值方程： K * 相角方程：
m
(T s 1) sz
j j 1
m
(s p
j 1
j
)
i
s
j 1
i 1 n
* 1 ，K 为根轨迹增益
pj
n j 1 j
(s z ) (s p ) 180 (2k 1)，
i 1 i
k 0， 1， 2，
d[G ( s ) H ( s )] 0 或 ds
1 j 1 s p j
n
1 i 1 s z i
m
（7）根轨迹与虚轴的交点 与虚轴的交点可利用下面两种方法之一 ： 方法一：用s= j 代入特征方程求解
1＋G( j ) H ( j ) 0
Re[1 G( j ) H ( j )] 0 Im[ 1 G( j ) H ( j )] 0


自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根 （闭环极点）决定。而系统瞬态响应的基本性能 则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。 计算的复杂性限制了时域分析法在三阶以上控制 系统中的应用 。 1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种求解特 征方程根变化规律的简单方法 -----根轨迹法 。

j 1 i 1
nm

2 1
0

渐近线为整个负实轴，沿实轴趋于-∞。
5）由
1 1 1 s 1 s 2 s 3，可解出
2 1
180
s1 = -1.586(分离点),K*= 0.172; s2 = -4.414(会合点),K*= 5.818 绘出根轨迹如图
j 1
若系统满足n-m 2，有：
s n p j s n1 ( p j K z i ) 0
j 1 j 1 i 1
j 1 n
i 1 n
m
i 1
闭环极点即特征方程的根，若为 -s j ，则有 n n n n n n n 1 (s s j ) s s j s s j 0 ，所以 s j p j
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7
根轨迹的分支数、连续性和对称性
（2）根轨迹的分支数 每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支， 因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同。
(s p
j 1
n
j
)K
*
(s z ) 0
i i 1
m
结论：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，也即开 环零点数m和开环极点数n中的较大者。 （3）根轨迹的连续性和对称性 K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限 小增量相对应，即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小 的位移。当K*从零到无穷大连续变化时，根轨迹在s平面 上一定是连续的。 特征根可以是实数根或复数根，而复数根又必然是成 对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。 结论：根轨迹是连续的，且以实轴为对称的曲线。
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例1（续）
证明：根轨迹图是一个圆 证 如果用s=a +jb代入特征方程1+G(s)H(s) = 0中，并经整理 可得到以下方程式：
(a 3)2 b2 ( 2 )2
显然，这是个圆的方程式，其圆心的坐标为(-3，0)，半 径为 2 。推广到一般形式： K ( s z1 ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p 2 ) z1大于p1和p2（即开环零点位于两开环极点之左），则 系统根轨迹在复平面上为一个圆，其圆心在-z，半径为：
j 1 j 1 j 1
j 1 j 1
结论：当满足(n-m) 2时，闭环极点之和等于开环极点之和。 （10）闭环极点之积 n n m n (s j ) (1) ( p j K z i ) n个闭环特征根之积为： j i j 1 i 1 n n m z i 0 ，有 (s j ) ( p j ) 若 i 1
在极点0和极点-1之间的根轨迹上一定有分离点存在， 令d[G(s)H(s)]/ds＝0，整理后求得s1= -0.42（在根轨迹上， 是分离点），s2 = -1.58 （不在根轨迹上，舍），所对应K* 由幅值条件确定：
K1* s1 s1 1 s1 2 0.42 0.581.58 0.38 用劳斯判据法与虚轴交点：
j 1 j 1
结论：若满足(n-m) 2，且有开环零点位于原点时，闭环极 点之积等于开环极点之积。
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4.3.2
绘制根轨迹举例
K * (s 3) 例1 已知系统开环传递函数为 G(s) H (s) ，绘制 ( s 1)(s 2)
根轨迹。 解 1）起点在p1= -1，p2= -2处，终点在z1= -3及无穷远处。 2）根轨迹有两条分支，且对称于实轴。 3）实轴上的根轨迹分布在-1～-2之间和-3～-∞之间。 4）因 n=2， m=1， n m p j zi 180 (2k 1) (1 2) 3
j 1
n
j
K
*
sz
i 1
Байду номын сангаас
m
i
0
当K* →0时， s→pj (j=1，2，…，n)为系统的开环极点； 当K*→∞时，s→zi (i=1，2，…，m)为系统的开环零点。 结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环 零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无 穷远处。
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3
4.2
根轨迹的概念
（1）解析法绘制根轨迹 系统的开环传递函数 K 2K G( s) s(0.5s 1) s( s 2)
单位反馈系统闭环传递函数
C ( s) 2K 2 R( s) s 2s 2 K
闭环特征方程
s 2 2s 2 K 0
闭环特征根
s1 1 s 2 1 1 2K 1 2K
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5
4.2
（3）根轨迹方程
根轨迹的概念（续）
根轨迹方程
C (s) G( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
闭环特征方程： 1+G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1
通常系统开环传递函数G(s)H(s)等于系统各环节传递函数 m m 之积，即 K ( i s 1) (s zi ) 或 G ( s) H ( s) K * in1 G ( s ) H ( s ) ni 1
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例2（续）
5 ）求根轨迹与虚轴的交点。令s= j 代入特征方程 ，解 后得 1.61 ，此时K *=7。 6）求复数极点的出射角。 极点-p2的出射角为-22.6° 极点-p3的出射角为+22.6° 完整根轨迹如图：
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8
根轨迹在实轴上的分布、渐近线
（4）实轴上根轨迹的分布 若点s0右边零、极点个数之和为奇 数，则s0点所在线段是根轨迹一部分； 若点s0右边零、极点个数之和为偶 数，则s0点所在的线段不是根轨迹。 结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边开环零、极点的个 数之和为奇数。 （5）根轨迹的渐近线 结论：如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则 当根迹增益K*→∞时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m n m 条。这些渐近线 p j zi i 1 与实轴上的交点坐标为 ( j 1 , j 0)
方法二：根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解 结论：根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根迹增益，可以通过 用s= j 代入系统闭环特征方程求取，也可用劳斯判据列表的 方法确定。
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求根轨迹的分离点、与虚轴的交点举例
设系统开环传递数为
K* G( s) H ( s) s( s 1)(s 2)
令K从0到∞变化，则闭环特征根在复 平面上描绘出若干曲线（根轨迹）。
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4
4.2
根轨迹的概念（续）
（2）从根轨迹图分析闭环系统各种性能 分析稳定性：在0<K<∞范围内，系统是稳定的。 分析动态性能：当0<K<0.5时，系统是过阻尼的； 当K=0.5时，系统为临界阻尼状态； 当K>0.5时，系统是欠阻尼的。 若已知K=1，则闭环极点为-1±j，参数ζ=0.707， ω=0.414，系统的瞬态响应指标超调量σ%= 4.3%，调节 时间ts＝3秒。 当K继续增大时，其超调量σ%将增大，而调节时 间基本不变。 分析稳态性能：系统是Ⅰ型的，阶跃函数作用下的稳态误 差为零。
( z1 p1 )(z1 p2 )
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例2
的闭环根轨迹。
K * (s 2) 开环传递函数为G(s) H (s) ，求该系统 2 s(s 3)(s 2s 2)
解 根据根轨迹绘制规则，计算步骤为 1）有四条根轨迹，分别起始于0， -3，-1±j；一条根轨 迹终止于-2，另三条趋于无穷远处。 2）实轴上的根轨迹分布在0～-2之间及-3～-∞之间。 3）渐近线有3条数，渐近线的倾角为±60°，-180°， (3 1 j 1 j ) 2 1 。 渐近线的交点为 4 1 4）由于实轴上为零点与极点间的根轨迹，故没有分离点 及会合点。
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
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第4章 根轨迹分析法
机械工业出版社
第4章 根轨迹分析法The Root Locus

Method
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
概述 根轨迹的概念 根轨迹的绘制 广义根轨迹的绘制 控制系统的根轨迹分析
自动控制原理
2
4.1

概述

p
j 1
3
j
30

0 1 2 1 3
180 (2k 1) 60 ， 180 30
根轨迹在实轴上的分布、渐近线
自动控制原理
10
根轨迹的分离、会合点、与虚轴的交点
（6）根轨迹的分离、会合点 分离点：根轨迹分支在实轴上某点相遇又向复平面运动 会合点：根轨迹分支从复平面运动到实轴上某点 结论：根轨迹分离点或会合点的坐标，可通过求解方程得到