正弦函数、余弦函数的性质优秀教学设计
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图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点 C ，sin 的几何方法来描点，从而 3 3
使图像的精确度有了提高．
（边画图边讲解），我们先作 y sin x 在 0，2 上的图像，具体分为如下五个步骤：
a．作直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧画单位圆．
b．把单位圆分成 12 等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 x
生：函数 y 1 sin x ， x 0，2 的图像可由 y sin x ， x 0，2 的图像向上平移
1 个单位得到．
（2）按五个关键点列表
x
0Байду номын сангаас
3
2
2
2
cos x
1
0
－1
0
1
cos x －1
0
1
0
－1
利用五点法作出简图 4
图4
师： y cos x ， x 0，2 与 y cos x ， x 0，2 的图像有何联系？
x
，
x
R
与
y
sin x
是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
个长度单
2
2
位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图 2，师：请同学们说出在函数 y cos x ，
x 0，2 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．
图 2
生：（0，1）， ，0 ， ，1 ， 3 ，0 ， 2，1
正弦函数、余弦函数的图像和性质
（第一课时）
（一）教学具准备 直尺、圆规、投影仪． （二）教学目标 1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．
2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 0，2 上的正弦曲线、余弦曲线．
3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像． （三）教学过程（可用课件辅助教学） 1．设置情境
x 0，2 的图像．
②作正弦曲线 y sin x ， x R 的图像．
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 y sin x ， x 2k，2k 1 ， k Z 且 k 0 的图像与函数 y sin x ， x 0，2 的图像的形状完全一样，只是位置不 同，于是我们只要将函数 y sin x ， x 0，2 的图像向左、右平移（每次 2 个单位长
生：它们的图像关于 x 轴对称．
练习：
（1）说出 f x sin x ， x 0，2 的单调区间； （2）说出 f x cos x ， x ， 的奇偶性．
参考答案：（1）由
f
x
cos
x，
x
0、2
图像知、
0，2
，
3 2
度），就可以得到正弦函数数 y sin x ， x R 的图像，如图 1．
图
正弦函数 y sin x ， x R 的图像叫做正1 弦曲线．
③五点法作 y sin x ， x 0，2 的简图
师：在作正弦函数 y sin x ， x 0，2 的图像时，我们描述了 12 个点，但其中起关
轴的垂线，可以得到对应于
0，
，
，
，…， 2
角的正弦线．
632
c．找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2 （ 2 6.18 ）这一段分成 12 等分．
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应 12 个点．
e．连线：用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来，即得 y sin x ，
了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的 简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．
④用变换法作余弦函数 y cos x ， x R 的图像
因为
y
cos
x
cos
x
sin 2
x
sin
x
2
，所以
y
cos
设任意角 的终边与单位圆相交于点 Px，y ，
过点作 x 轴的垂线，垂足为 M ，则有向线段 MP 叫做 角 的正弦线，有向线段 OM 叫做角 的余弦线．
（2）在直角坐标系中如何作点 ，sin
图1
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应 的正弦值 sin 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点
，2
为其单
调递增区间，
2
C ，sin ？ 3 3
教师引导学生用图 2 的方法画出点 C ．
我们能否借助上面作点 C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 y sin x ， x R 的图
像呢？
图
①用几何方法作 y sin x ， x 0，22 的图像
我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点 的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的
键作用的是函数 y sin x ， x 0，2 与 x 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依
次它们的坐标吗？
生：（0，0）， ，1 ， ，0， 2 ，1 ， 2，0
2
3
师：事实上，只要指出这五个点， y sin x ， x 0，2 的图像的形状就基本确定
引进弧度制以后， f x sin x 就可以看做是定义域为 ， 的实变量函数．作
为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方 法．
2．探索研究 （1）复习正弦线、余弦线的概念 前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请 同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画 图 1）
2
2
3．例题分析 【例 1】画出下列函数的简图：
（1） y 1 sin x ， x 0，2 ；
（2） y cos x ， x 0，2 ．
解：（1）按五个关键点列表
x
0
2
sin x
0
1
0
1 sin x 1
2
1
利用五点法作出简图 3
3
2
2
－1
0
0
1
图
师：请说出函数 y 1 sin x 与 y sin3x 的图像之间有何联系？
使图像的精确度有了提高．
（边画图边讲解），我们先作 y sin x 在 0，2 上的图像，具体分为如下五个步骤：
a．作直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧画单位圆．
b．把单位圆分成 12 等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 x
生：函数 y 1 sin x ， x 0，2 的图像可由 y sin x ， x 0，2 的图像向上平移
1 个单位得到．
（2）按五个关键点列表
x
0Байду номын сангаас
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2
2
2
cos x
1
0
－1
0
1
cos x －1
0
1
0
－1
利用五点法作出简图 4
图4
师： y cos x ， x 0，2 与 y cos x ， x 0，2 的图像有何联系？
x
，
x
R
与
y
sin x
是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
个长度单
2
2
位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图 2，师：请同学们说出在函数 y cos x ，
x 0，2 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．
图 2
生：（0，1）， ，0 ， ，1 ， 3 ，0 ， 2，1
正弦函数、余弦函数的图像和性质
（第一课时）
（一）教学具准备 直尺、圆规、投影仪． （二）教学目标 1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．
2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 0，2 上的正弦曲线、余弦曲线．
3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像． （三）教学过程（可用课件辅助教学） 1．设置情境
x 0，2 的图像．
②作正弦曲线 y sin x ， x R 的图像．
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 y sin x ， x 2k，2k 1 ， k Z 且 k 0 的图像与函数 y sin x ， x 0，2 的图像的形状完全一样，只是位置不 同，于是我们只要将函数 y sin x ， x 0，2 的图像向左、右平移（每次 2 个单位长
生：它们的图像关于 x 轴对称．
练习：
（1）说出 f x sin x ， x 0，2 的单调区间； （2）说出 f x cos x ， x ， 的奇偶性．
参考答案：（1）由
f
x
cos
x，
x
0、2
图像知、
0，2
，
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度），就可以得到正弦函数数 y sin x ， x R 的图像，如图 1．
图
正弦函数 y sin x ， x R 的图像叫做正1 弦曲线．
③五点法作 y sin x ， x 0，2 的简图
师：在作正弦函数 y sin x ， x 0，2 的图像时，我们描述了 12 个点，但其中起关
轴的垂线，可以得到对应于
0，
，
，
，…， 2
角的正弦线．
632
c．找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2 （ 2 6.18 ）这一段分成 12 等分．
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应 12 个点．
e．连线：用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来，即得 y sin x ，
了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的 简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．
④用变换法作余弦函数 y cos x ， x R 的图像
因为
y
cos
x
cos
x
sin 2
x
sin
x
2
，所以
y
cos
设任意角 的终边与单位圆相交于点 Px，y ，
过点作 x 轴的垂线，垂足为 M ，则有向线段 MP 叫做 角 的正弦线，有向线段 OM 叫做角 的余弦线．
（2）在直角坐标系中如何作点 ，sin
图1
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应 的正弦值 sin 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点
，2
为其单
调递增区间，
2
C ，sin ？ 3 3
教师引导学生用图 2 的方法画出点 C ．
我们能否借助上面作点 C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 y sin x ， x R 的图
像呢？
图
①用几何方法作 y sin x ， x 0，22 的图像
我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点 的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的
键作用的是函数 y sin x ， x 0，2 与 x 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依
次它们的坐标吗？
生：（0，0）， ，1 ， ，0， 2 ，1 ， 2，0
2
3
师：事实上，只要指出这五个点， y sin x ， x 0，2 的图像的形状就基本确定
引进弧度制以后， f x sin x 就可以看做是定义域为 ， 的实变量函数．作
为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方 法．
2．探索研究 （1）复习正弦线、余弦线的概念 前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请 同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画 图 1）
2
2
3．例题分析 【例 1】画出下列函数的简图：
（1） y 1 sin x ， x 0，2 ；
（2） y cos x ， x 0，2 ．
解：（1）按五个关键点列表
x
0
2
sin x
0
1
0
1 sin x 1
2
1
利用五点法作出简图 3
3
2
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图
师：请说出函数 y 1 sin x 与 y sin3x 的图像之间有何联系？