2.2.2 一元一次不等式与含绝对值的不等式

2.2.2 一元一次不等式与含绝对值的不等式
【考纲要求】
【学习重点】
1.掌握一元一次不等式的解法; 2.了解含绝对值的不等式(|ax+b|<c(或>c)) 的解法. 会解一元一次不等式与含绝对值的不等式.
一、自主学习 (一)知识归纳
1.一元一次不等式 ( 1) 形如 ax+ b>0( ≥0) 或 ax+ b<0( ≤0) ( 其中 a≠0) 的不等式叫一元一次 不等式; ( 2) 求 ax+ b>0 的解; 当 a>0 时, x>- ; 当 a<0 时, x<- . ( 3) 求 ax+ b<0 的解.
【小结】 解一元一次不等式的步骤: (1)去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项, 化成不等式 ax>b 或 ax<b(a≠0)的形式; (5)不等式两边同除以未知数的系数, 得不等式的解集为{x| x> }(或{x| x< }).
������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
当 a>0 时, x<- ; 当 a<0 时, x>- . 说明: ①解一元一次不等式的步骤为: 去分母—去括号—移项—合并 同类项—把系数变为 1.②解一元一次不等式组的步骤为: 先求每一个不 等式的解, 再求它们的交集.
( 5)
�����������Biblioteka Baidu − ������ ≥ ������ ; ������ − ������ ≥ ������
������
������ ������������ ≥ ������ ������ ≥ ������ 解: ∵ ∴ ∴ ≤x≤4 ������ ������ ≥ ������ ������ ≥ ������ ������ 所以不等式的解集为: [, 4] . ������
2
二、探究提高
【例 1】 解不等式 2( x+ 1) +
������−������ ������������ > ������ -1. ������
【解】 由原不等式可得 12(x+1)+2(x-2)>21x-6, (去分母) 12x+12+2x-4>21x-6, (去括号) 12x+2x-21x>-12+4-6, (移项) -7x>-14, (合并同类项) x<2. (不等式性质) 所以原不等式的解集是{x|x<2}或(-∞,2).
【例3】
解不等式|5-x|>1.
【解】 原不等式可化为|x-5|>1,解得x<4或x>6. ∴不等式的解集为(-∞,4)∪(6,+∞). 【小结】 解含绝对值的不等式|bx+c|>a(a>0)时,若 b<0,先把x的系数化为正数,这样会减少错误的发生.
【例 4】 求下列不等式的解集. ( 1) 1<| 2x-3| ≤5; ( 2) | x-6| >x-6. 分析: ( 1) 1<| 2x-3| ≤5 等价于-5≤2x-3<-1 或 1<2x-3≤5, ������������ − ������| > ������ 也等价于 ; ������������ − ������| ≤ ������ ( 2) | x-6| >x-6 等价于 x-6<0.
C.{( 1, -1) }
2.填空题.
������ ( 1) 不等式 x>2 的解集为 (4,+∞) ������ ������ ������ -∞, -������) 不等式-3x>������的解集为 (
;
.
������ + ������ > 0 ( 2) 不等式组 的解集为 (5,+∞) ; ������ − ������ > 0 ������ − ������ < 0 不等式组 的解集为 ∅ . ������ − ������ > 0 ������������ > 0 ( 3) 不等式组 的解集为 (0,5) ; ������ − ������ > 0 ������ ������ < 1 不等式组 ������ 的解集为 (-∞,2) . ������ − ������������ > 0 ( 4) 不等式| 2x-1| ≥3 的解集为 (-∞,-1]∪[2,+∞) ; ������ 不等式| 1- x| <1 的解集为 (0,4) .
( 2) 解: ∵
∴6+ 3x≥4x+ 2 ∴x≤4 所以不等式的解集为: ( - ∞, 4] .
������+������ ������������+������ ≥ ������ ������
( 3) 2≤| 1-3x| <4;
( 4) | ������ | >
������+������
������+������ . ������
������+������ ������
������+������ ������
| >
������+������ ������
<0 ∴-2<x<0
所以不等式的解集为: ( -2, 0) .
(3)2(2x+3)<5(x+1);
解:∵2(2x+3)<5(x+1) ∴4x+6<5x+5 ∴x>1 所以不等式的解集为:(1,+∞).
(4)19-3(x+7)≤0;
解: ∵19-3( x+ 7) ≤0 ∴19-3x-21≤0 ∴x≥������ ������ ������ ������
所以不等式的解集为: [ -, + ∞) .
2.含绝对值的不等式 ������(������ > 0) ( 1) 绝对值的含义: | a| = ������(������ = ������) , 特别地, | a| >a⇔a<0; −������(������ < 0) ( 2) 几何意义: | x| 表示数轴上点 x 到坐标原点的距离, | x-x1| 表示数轴上 点 x 到点 x1 的距离.若 b>a>0, 则有 | x| <a⇔-a<x<a; | x| >a⇔x<-a 或 x>a; a<| x| <b⇔a<x<b 或-b<x<-a. ( 3) 形如| bx+ c| >a, | bx+ c| ≥a、| bx+ c| <a 或| bx+ c| ≤a( a>0) 的不等式叫做 含有绝对值的不等式, 并且有 | bx+ c| >a⇔bx+ c<-a 或 bx+ c>a; | bx+ c| <a⇔-a<bx+ c<a.
(7)|8-2x|>3;
解: ∵8-2x>3 或 8-2x<-3 ∴x< 或 x>
������ ������ ������������ ������ ������ ������ ������������ ������
∴2x<5 或 2x>11
所以不等式的解集为: ( -∞, ) ∪( , + ∞) .
(二)基础训练
解下列不等式(组),并用区间表示出它们的解集. (1)3x+2<2x-8;
解:∵3x+2<2x-8 ∴3x-2x<-8-2 ∴x<-10 所以不等式的解集为:(-∞,-10).
(2)3-2x≥9+4x;
解:∵3-2x≥9+4x ∴3-9≥4x+2x ∴x≤-1 所以不等式的解集为:(-∞,-1].
(8)|6-2x|<4;
解:∵-4<6-2x<4 ∴2<2x<10 ∴1<x<5 所以不等式的解集为:(1,5).
(9)|2x-1|>|2x-3|;
解:∵|2x-1|>|2x-3| ∴(2x-1)2>(2x-3)2 ∴4x2-4x+1>4x2-12x+9 ∴x>1 所以不等式的解集为:(1,+∞).
三、达标训练
1.选择题. (1)不等式|1-2x|>3的解集为 ( ) A.{x|1<x<2} B.{x|x<-1或x>2} C.{x|-1<x<2} D.{x|-2<x<1}
【答案】B
( 2) 不等式| 8-3x| ≤0 的解集是 ( A.∅
【答案】D
)
������ D.{ } ������
B.R
( 3) 解: ∵2≤| 3x-1| <4 ������������ − ������| ≥ ������ ∴ ������������ − ������| < 4 ������ ������ 所以不等式的解集为: ( -1, -] ∪[ 1, ) .
������ ������
( 4) 解: ∵| ∴
������
3.求下列不等式的解集. ( 1) 2( 2x+ 3) <5(x+ 1) ; ( 2) ������ ≥
������+������ ������������+������ ; ������
(1)解:∵2(2x+3)<5(x+1) ∴4x+6<5x+5 ∴x>1 所以不等式的解集为:(1,+∞).
【例2】
解不等式|2x+5|>5.
【解】 ∵|2x+5|>5, ∴2x+5>5或2x+5<-5, ∴2x>0或2x<-10, ∴x>0或x<-5. ∴不等式|2x+5|>5的解集为(-∞,-5)∪(0,+∞). 【小结】 一般情况下,含绝对值的不等式|bx+c|>a或 |bx+c|<a(a>0)的解集有如下规律:“小于在中间,大于在两 边”.
(10)|x2+3x-8|<10.
解: ∵| x+ 3x-8| <10 2 ∴-10<x + 3x-8<10 ������ ������ ∴ ������+ ������������ − ������ > −10 ������ + ������������ − ������ < 10 (������ + ������)(������ + ������) > 0 ∴ (������ + ������)(������ − ������) < 0 ∴-6<x<-2 或-1<x<3 所以不等式的解集为: ( -6, -2) ∪( -1, 3) .
【解】 ( 1) 方法 1: 原不等式等价于-5≤2x-3<-1 或 1<2x-3≤5, ∴-2≤2x<2 或 4<2x≤8, ∴-1≤x<1 或 2<x≤4, ∴不等式的解集为[ -1, 1) ∪( 2, 4] . ������������ − ������| > 1 方法 2: 原不等式等价于 , ������������ − ������| ≤ ������ ∴ ������ < 1 或������ > 2, −������ ≤ ������ ≤ ������ ∴不等式的解集为[ -1, 1) ∪( 2, 4] . ( 2) 原不等式等价于 x-6<0, ∴原不等式的解集为( -∞, 6) . 【小结】 a<| bx+ c| <b(b>a>0)⇔-b<bx+ c<-a 或 a<bx+ c<b.
( 6)
; ������(������ − ������) − ������(������ − ������) > −6
������
������ ������ − ������ ������
> −1
������ ������������ ≥ ������ ������ ≥ ������ 解: ∵ ∴ ∴ ≤x≤4 ������ ������ ≥ ������ ������ ≥ ������ ������ 所以不等式的解集为: [, 4] . ������