等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质

一、知识归纳

1.等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。即()为常数q n q a a n n ,21

≥=-。 2.若b G a ,,成等比数列，则G 叫做a 与b 的 。此时_________.G =

3.等比数列的通项公式为： 。

4.首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为 数列；当0q 时，数列为 数列。

5.等比数列性质:

在等比数列{}n a 中,若m n P q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅

6.等比数列的前n 项和

当1q =时，__________;n S =

当1q ≠时，____________.n S =

7用函数的观点看等比数列：

（1）等比数列的通项公式是_________________________。

二、经典题目

1、判断正误：

①1，2，4，8，16是等比数列； （ ） ②数列 ,8

1,41,21,

1是公比为2的等比数列； （ ） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()

*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） ⑤0,2,4,8,16是等比数列; ( ).

2.判断下列数列{}n a 是否为等比数列：

（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-； （2）()*3,2N n a n n ∈-=-；

（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=

思考: 如何证明(判断)一个数列是等比数列?

3.已知等比数列1023,3,3,

. （1）试问：13

9n n +和分别是该数列的第几项？ （2）乘积13

9n n +⋅是该数列的项吗？如果是，它是该数列的第几项？

4.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11233,21,a a a a =++=则345___.a a a ++=

5.已知{}n a 为等比数列，且324202,3a a a =+=

，求{}n a 的通项公式。 6.在等比数列{}n a 中，已知1411,8

a a ==，则该数列的前10项和等于______。 7.已知等比数列{}n a 的前10项和为1010S =，前20项和为2030S =，求30S

8.等差数列{}n a 中,12a =,公差不为零,且1311,,a a a 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列的公比等于_______

9.(2012辽宁)已知等比数列{}n a 为递增数列,且2510a a =, 212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的通项公式______.n a =

10.(2012浙江)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 若224432,32S a S a =+=+, 则____.q =

11.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列, 若316a a -=,则1____,a =222123111a a a ++++ 21______.n

a = 12.已知等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，求数列{}

2n a 的前n 项和n T 。 13.已知等比数列的前n 项和为4n n S a =+，则a 的值为等于______。

14.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112(

)a a a a +=+,3434

1132()a a a a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式 ;

(2)设22log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .

15.已知{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为其前n 项和，且232,7a S ==。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）设*21log ,()n n b a n N +=∈，求数列1

1{

}n n b b +的前n 项和n T 。

16.在等比数列{}n a 中，已知2435460,225n a a a a a a a >++=，则35_____.a a +=

17.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若456a a a 、、三项之积为27.

则31323839log log log log __.a a a a +++=

18.已知等比数列{}n a ，若1231237,8a a a a a a ++===，则n a =————

19.若数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，它的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项和为6560,试求数列{}n a 的首项与公比。

20.数列{}n a 的前n 项和为n S ,*111,42,n n a S a n N +==+∈. (1)设12n n n b a a +=-,求证:{}n b 是等比数列;

(2)设31n n a C n =

-,求证:{}n C 是等比数列.

21.（1）求12+与12-的等比中项是------；

（2）等比数列的前三项和为168,2542a a -=，求57a a 、的等比中项。

22.某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2007年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

（1）该市在2013年应该投入多少辆电力型公交车？

（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的

13

？