第4讲：奇偶性分析(最新数学课件)
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函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
奇偶性ppt课件
二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
函数的奇偶性PPT精品课件
∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
函数的奇偶性ppt
特点
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
06
利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
06
利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数
函数的奇偶性课件人教新课标
讲练结合 巩固新知
例1. 用定义判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)=x-
1
x
(2) f(x)= 1 x2
(3) f(x)=x+1
(4) f(x)=x2 x∈[-1,3]
(5) f(x)=2
(6) f(x)=0
(4) ∵定义域{x∕-1≤x≤3}
不关于原点对称 ∴ f(x)=x+1是非奇非偶函数
（5）∵定义域{x∕x∈R} f(-x)=2 =f(x)
视察: f(-1) ___f(=1) f(-2) ___f=(2) f(-3)___=f(3)
猜想: f(-x) f(x=)
(-3, 9)
(3, 9)
概括猜想 揭示内涵
y P/(-x,f(-x))
P(x,f(x))
-x O
x
x
f(-x)=f(x)
思考：能用函数解析式给出证明吗？
讨论归纳 形成定义
创设情景 引入新课
创设情景 引入新课
创设情景 引入新课
视察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
y
y
y
x
O
①
f (x) x2
y
x
④
O f (x)
1
| x|
Ox
②
f (x) x
y
Ox
⑤
f (x) x3
x
O
③
f (x) | x |
概括猜想 揭示内涵
视察做出的两个函数图象并思考以下问题：
(6) f(x)=0
根据奇偶性 函数 可划分为四类
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
讲练结合 巩固新知
练习.判断下列函数的奇偶性：
函数奇偶性课件.ppt
4
四、教学重点与难点
重点：函数奇偶性概念的形成与函 数奇偶性的判断
难点：对函数奇偶性的概念理解
5
五、教学方法的分析
➢ 教法选择与应用： 采用观察、归纳、探究、练习相结合的教学
方法，鼓励学生自主探究、合作交流，通过 概念的形成和应用过程，构建认知体系，掌 握有效的学习策略。 ➢ 教学手段：
采用多媒体技术辅助教学。
2
二、学情分析
由于在座的都是刚进入到高中的学生，虽 然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻 辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因， 思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因 此片面、不严谨。从学生的思维特点看，学生 很难从前面所学的函数的单调性联系到函数图 形的对称性所反映的函数的奇偶性，这对学生 的思维是一个突破。
f(-1)=__1__
f(2) =__12__ f(-2)=__12__
1
f(3) =__3__ f(-3)=__13__
猜想：f(x)_=____f(-x)
17
奇函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
18
巩固：
根据下列函数图象,判断函数奇偶性
f(2) =__4__ f(-2)=__4__ f(3) =__9__ f(-3)=__9__
o
x
f(x)x
f(1) = __1__
f(-1)=__1__ f(2) =__2__
f(-2)=__2__ f(3) =__3__
f(-3)=__3__
猜想：f(x)_=__f(-x)
14
验证猜想
(-x,f(x))
y
偶
四、教学重点与难点
重点：函数奇偶性概念的形成与函 数奇偶性的判断
难点：对函数奇偶性的概念理解
5
五、教学方法的分析
➢ 教法选择与应用： 采用观察、归纳、探究、练习相结合的教学
方法，鼓励学生自主探究、合作交流，通过 概念的形成和应用过程，构建认知体系，掌 握有效的学习策略。 ➢ 教学手段：
采用多媒体技术辅助教学。
2
二、学情分析
由于在座的都是刚进入到高中的学生，虽 然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻 辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因， 思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因 此片面、不严谨。从学生的思维特点看，学生 很难从前面所学的函数的单调性联系到函数图 形的对称性所反映的函数的奇偶性，这对学生 的思维是一个突破。
f(-1)=__1__
f(2) =__12__ f(-2)=__12__
1
f(3) =__3__ f(-3)=__13__
猜想：f(x)_=____f(-x)
17
奇函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
18
巩固：
根据下列函数图象,判断函数奇偶性
f(2) =__4__ f(-2)=__4__ f(3) =__9__ f(-3)=__9__
o
x
f(x)x
f(1) = __1__
f(-1)=__1__ f(2) =__2__
f(-2)=__2__ f(3) =__3__
f(-3)=__3__
猜想：f(x)_=__f(-x)
14
验证猜想
(-x,f(x))
y
偶
奇偶性-完整版PPT课件
少种？
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
奇偶性(共10张PPT)
x)x1 x
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x)
∴ f ( x) x是4 偶函数.
1 (4) f(x)x2
(2)定义域为(-∞,+∞)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x)
∴ f ( x) x是5 奇函数.
情景1：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具
有对称特征的美丽图像,比如
y x2, y等函1数图像.
x
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？ 这就是本课时学习的函数的奇偶性.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)=x2
f(x)=|x|
∴
是偶函数.
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
(2)定义域为(-∞,+∞)
f(-1)=-1=-f(1) 即 f(-x)=f(x)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
(3)定义域为{x|x≠0}
f(-1)=1=f(1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
个整体性质，它不同于函数的单调性是在一个区间 . 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x)
∴ f ( x) x是4 偶函数.
1 (4) f(x)x2
(2)定义域为(-∞,+∞)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x)
∴ f ( x) x是5 奇函数.
情景1：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具
有对称特征的美丽图像,比如
y x2, y等函1数图像.
x
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？ 这就是本课时学习的函数的奇偶性.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)=x2
f(x)=|x|
∴
是偶函数.
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
(2)定义域为(-∞,+∞)
f(-1)=-1=-f(1) 即 f(-x)=f(x)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
(3)定义域为{x|x≠0}
f(-1)=1=f(1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
个整体性质，它不同于函数的单调性是在一个区间 . 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
奇偶性的概念课件
(1)偶函数的图象关于 y轴 对称，图象关于 y轴 对称的函数
一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于 原点 对称，图象关于 原点 对称的函数
一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域
是否关于 原点 对称.
问题情境：美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体， 中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的 美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我 们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
解 (1)对于函数 f(x)＝x4，其定义域为 R，因为对定义域内的每 一个 x，都有 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x4为偶函数．
(2)对于函数 f(x)＝x5，其定义域为 R，因为对定义域内的每一个 x， 都有 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)．所以，函数 f(x)＝x5 为奇函数． (3)函数 f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内 的每一个 x，都有 f(－x)＝－x＋－1x＝－x＋1x＝－f(x)， 所以，函数 f(x)＝x＋1x为奇函数． (4)函数 f(x)＝x12的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内的 每一个 x，都有 f(－x)＝－1x2＝x12＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x12为偶函数．
问题 3 你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形 式吗？ 答 对于 R 内任意的一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)．事实上这就是 奇函数的概念． 小结 (1)奇函数的定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域的 任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．(2)如 果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有 奇偶性．
一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于 原点 对称，图象关于 原点 对称的函数
一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域
是否关于 原点 对称.
问题情境：美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体， 中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的 美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我 们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
解 (1)对于函数 f(x)＝x4，其定义域为 R，因为对定义域内的每 一个 x，都有 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x4为偶函数．
(2)对于函数 f(x)＝x5，其定义域为 R，因为对定义域内的每一个 x， 都有 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)．所以，函数 f(x)＝x5 为奇函数． (3)函数 f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内 的每一个 x，都有 f(－x)＝－x＋－1x＝－x＋1x＝－f(x)， 所以，函数 f(x)＝x＋1x为奇函数． (4)函数 f(x)＝x12的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内的 每一个 x，都有 f(－x)＝－1x2＝x12＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x12为偶函数．
问题 3 你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形 式吗？ 答 对于 R 内任意的一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)．事实上这就是 奇函数的概念． 小结 (1)奇函数的定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域的 任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．(2)如 果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有 奇偶性．
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
奇偶性课件ppt百度文库
代数证明方法还包括利用奇偶函数的定义和性质进行证明，如奇函数和偶函数的 定义、奇偶函数的性质等。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
数的性质—奇偶分析(算术理论课件)
奇
偶
分
析
主要学习内容
01
数的奇偶性
Байду номын сангаас02
典型例题分析
一、数的奇偶性
一个自然数，要么是奇数，要么是偶数。这是自然数自身的
特性，称为数的奇偶性。利用自然数的奇偶性可以分析和解决很
多有趣的问题，我们把这种方法叫作奇偶分析法。
二、典型例题分析
【例1】
能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每
1962年，潘承洞证明了(1+5)；同年，王元和潘承洞又证明了
(1+4)；
1965年， 外国数学家证明了(1+3)。
1973年，陈景润发表了一篇题为“大偶数表示为一个素数及一个
不超过两个素数的乘积之和”的论文，简称(1+2)。陈景润的发现也被
誉为“陈景润定理”。
小学数学里
1932年，爱斯特尔曼(Estermann) 证明了(6+6);
1938 年，布赫斯塔勃证明了(5+5)，随后又证明了(4+4)；
1957年，前苏联的维诺格拉多夫证明了(3+3)。
但是，这些证明结果都有一个共同的弱点，就是其中的两个数没
有一个可以肯定为质数，而都是几个质数的积。
三、哥德巴赫猜想
1947年，匈牙利数学家雷尼证明了每一个充分大的偶数都可以
1、奇数≠偶数；
2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；
3、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数；
4、若、是整数，则 + 与 − 奇偶性相同；
5、两个连续的整数中，必有一个奇数，一个偶数。
三、哥德巴赫猜想
“哥德巴赫猜想”：“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的
偶
分
析
主要学习内容
01
数的奇偶性
Байду номын сангаас02
典型例题分析
一、数的奇偶性
一个自然数，要么是奇数，要么是偶数。这是自然数自身的
特性，称为数的奇偶性。利用自然数的奇偶性可以分析和解决很
多有趣的问题，我们把这种方法叫作奇偶分析法。
二、典型例题分析
【例1】
能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每
1962年，潘承洞证明了(1+5)；同年，王元和潘承洞又证明了
(1+4)；
1965年， 外国数学家证明了(1+3)。
1973年，陈景润发表了一篇题为“大偶数表示为一个素数及一个
不超过两个素数的乘积之和”的论文，简称(1+2)。陈景润的发现也被
誉为“陈景润定理”。
小学数学里
1932年，爱斯特尔曼(Estermann) 证明了(6+6);
1938 年，布赫斯塔勃证明了(5+5)，随后又证明了(4+4)；
1957年，前苏联的维诺格拉多夫证明了(3+3)。
但是，这些证明结果都有一个共同的弱点，就是其中的两个数没
有一个可以肯定为质数，而都是几个质数的积。
三、哥德巴赫猜想
1947年，匈牙利数学家雷尼证明了每一个充分大的偶数都可以
1、奇数≠偶数；
2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；
3、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数；
4、若、是整数，则 + 与 − 奇偶性相同；
5、两个连续的整数中，必有一个奇数，一个偶数。
三、哥德巴赫猜想
“哥德巴赫猜想”：“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
第4讲函数的奇偶性
一、基础知识考点11．函数奇偶性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x g x g =-，那么这个函数叫做偶函数．2．奇偶函数的图象对称性奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形．考点2判断函数奇偶性的步骤是：1．求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行下一步；如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数．2．判断或是否成立， 如果只有成立，则函数是奇函数； 如果只有，则函数是偶函数； 如果两式都成立，则函数是即奇又偶函数．考点3一次函数和二次函数的奇偶性()()f x f x =--()()f x f x =-()()f x f x =--()()f x f x =-1．函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ；0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数；2．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线；当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；二、例题精析【例题1】判断下列函数的奇偶性：① ② ③ ④【例题2】判断下列函数的奇偶性①；②；③；*④【例题3】若定义在R 上的奇函数)(x f 在），0(-∞单调递减，且0)2(=f ，则满足0)1(≥-x xf 的x 的取值范围是（ ）31()f x x x x =++22()11f x x =+()310f x x =-+2(),[3,6]f x x x =∈-32()1x x f x x -=-()f x =()22f x x x =+--2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩A ．),3[]11[+∞- ， B ．]1,0[]13[ --， C ．),1[]01[+∞- ， D ．]3,1[]01[ ，-【例题4】已知)(x f 为R 上的奇函数，当 时， ，求 时函数的解析式．【例题5】偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．三、课堂运用【基础】1. 已知函数为偶函数，则m 的值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．若)(x f 在()5,5-上是奇函数，且)3(f ＜)1(f ，则（ ）A. )1(-f ＜)1(fB. )0(f ＞)1(fC. )1(-f ＜)3(-fD. )3(-f ＞)5(-f【巩固】3．下列判断正确的是（ ）A 函数是奇函数；B 函数C 函数D 函数既是奇函数又是偶函数．4. 若偶函数)(x f 在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）0x >2()f x x x =-0x <)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 123422)(2--=x x x x f ()(1f x x =-()f x x =1)(=x f (]1,-∞-Ａ Ｂ．Ｃ． Ｄ．【拔高】5．设函数)(x f 与)(x g 的定义域是且,)(x f 是偶函数, )(x g 是奇函数,且,求)(x f 和)(x g 的解析式四、课程小结1.在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，奇函数±)(x f 奇函数)(x g ，结果是奇函数； 偶函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数；奇函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果一般是非奇非偶函数； 奇函数⨯)(x f 奇函数)(x g ，结果是偶函数； 偶函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数； 奇函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是奇函数。
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卡尔将7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，让阿派每次翻转 其中的2只杯子。阿派能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯 口朝下？
答：无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不 可能是偶数。所以，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
米德将5只杯子杯口全都朝上。规定欧拉每次翻转4只杯子， 经过若干次后，欧拉能否使杯口全部朝下？
假假设设有全题答目对答不，错答总，分 是损奇失数的还分是是偶奇数数？ 有1题答错，损失5+1＝6（分）
还是偶数？ 答：得分总和是奇数。
某班同学参加竞赛，每张试卷上有试题50道。评分办法 是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，该班同学得 分的总和是偶数还是奇数？
50×3＝150（分）
有1题不答，损失3－1＝2（分）
答：亮着的有B、E、G，没亮的有A、C、D、F。
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2 整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇 数。灵活地应用奇数、偶数的特征、特质， 可以巧妙地解决许多实际生活中的问题。
抽奖啦！
游戏规则： 左边放着纸条分别写上1、3、 5、7、9，右边则写上2、4、6、 8、10，分别让小朋友各抽一 张，只要两条纸条上的数字之 和为8、12、14、20的则加分。
假假设设有全题答目对答不，错答总，分
是损奇失数的还分是是偶奇数数？
还是偶数？
有1题答错，损失3+1＝4
（分）
答：得分总和是偶数。
性质1：偶数±偶数=偶数； 奇数±奇数=偶数。 偶数±奇数=奇数。
性质2：偶数个奇数相加得偶数。 奇数个奇数相加得奇数。
性质3：偶数×奇数=偶数； 奇数×奇数=奇数
1.有5盏亮着的灯，每盏都有接线开关，如果规定每次必须 同时拉动4个接线开关，试问：能否把5盏灯都关闭？
发拉现第：一灯轮拉，偶亮数着轮的时是，：就B会、恢E、复F到。原来的样子； 拉第二灯轮拉，奇亮数着轮的时是则：与A原、来C、刚D好、相G。反。
999÷7＝142（轮）……5（次）
因此A、B、C、D、E五盏灯拉了142+1＝143轮，为奇数轮， 刚好与原来相反，有B、E亮着； F、G两盏灯拉了142轮，为偶数轮，刚好恢复到原样，有G亮着。
2000÷7＝285（轮）……5（次）
因此A、B、C、D、E五盏灯拉了285+1＝286轮，为偶数轮， 刚好恢复到原样，有B、D亮着； F、G两盏灯拉了285次，为奇数轮，刚好与原来相反，有G亮着。
有A、B、C、D、E、F、G七盏灯顺次排成一行，每盏灯安 装一个开关，开始A、C、D、G亮着，其余3盏灯没亮。卡尔从 灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关， 她这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
如果做错3题，应做对13个才会得13×2－3＝23（分） 若做错31个，应做 对几个才得23分？ 未做题目是20－（13+3）＝4（个），是偶数。
答：他答错了3题，4题没有答。
游戏中，有25个小朋友，坐成5行5列，每个座位的前、后、 左、右的座位都叫做它的“邻座”。要让这25位小朋友，都换 到他的邻座上，可不可能实现，为什么？
答：黑色座位有13个，白色座位有 12个，13≠12，因此，不可能使每 个座位的人换为邻座位。
一次同学聚会，九位同学按3行3列入座，就坐后，每个同学 都想坐到与现在位置相邻的座位上去，同学们的想法能实现吗？ 如果能，请你排出来。如果不能，请你说明理由。
答：每盏灯只有拉奇数次才能熄灭，这里规定每次拉4个为偶数 次，所以不能把5盏灯都关闭。
2.电影院里有座位23排，每排有19个座位，如果座位坐满，在 第一场电影结束后，要求在场的每一个人都和他的前、后、左、 右的任一个邻座互换位置（只能换一次），问这个要求能不能 实现？
影院的座位数是： 19×23＝437（个）
假定黑格有：
假定白格有：
答：因数黑白格的总数不相等，所以是不可能实现。
3.一次数学考试共有20题，规定答对一题得2分，答错一题倒扣 1分，未答的题不计分。考试结束后，欧拉共得23分。他想知道 自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你 帮欧拉算一下，他答错了几道题？还有几道题没有答？
如果做错1题，应做对12个才会得12×2－1＝23（分） 但未做题目是20－（12+1）＝7（个），不是偶数。
答：黑色座位有5个，白色座位有4 个，5≠4，因此，不可能使每个座 位的人换为邻座位。
芭啦啦综合教育学校举办了一次智力竞赛，共有39名选手 参加，共有20道试题。评分方法是：基础分15分，答对1题加5 分，不答加1分，答错1题扣1分，请问所有参赛同学得分的总和 是奇数还是偶数？请说明理由。
15×39+39×5×20＝4485（分） 有1题不答，损失5－1＝4（分）
答：无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不 可能是偶数。所以，不可能使5只杯子全部杯口朝下。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有A、B、C、D、E、F、G七盏灯，各自装有一个接线开关， 开始B、D、F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G，再……的 顺序，依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是哪几盏？
发现第：一灯轮拉，偶亮数着轮的时是，：就A、会C恢、复E、到G原。来的样子； 第二轮拉，奇亮数着轮的时是则：与B原、来D、刚F好。相反。
答：无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不 可能是偶数。所以，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
米德将5只杯子杯口全都朝上。规定欧拉每次翻转4只杯子， 经过若干次后，欧拉能否使杯口全部朝下？
假假设设有全题答目对答不，错答总，分 是损奇失数的还分是是偶奇数数？ 有1题答错，损失5+1＝6（分）
还是偶数？ 答：得分总和是奇数。
某班同学参加竞赛，每张试卷上有试题50道。评分办法 是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，该班同学得 分的总和是偶数还是奇数？
50×3＝150（分）
有1题不答，损失3－1＝2（分）
答：亮着的有B、E、G，没亮的有A、C、D、F。
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2 整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇 数。灵活地应用奇数、偶数的特征、特质， 可以巧妙地解决许多实际生活中的问题。
抽奖啦！
游戏规则： 左边放着纸条分别写上1、3、 5、7、9，右边则写上2、4、6、 8、10，分别让小朋友各抽一 张，只要两条纸条上的数字之 和为8、12、14、20的则加分。
假假设设有全题答目对答不，错答总，分
是损奇失数的还分是是偶奇数数？
还是偶数？
有1题答错，损失3+1＝4
（分）
答：得分总和是偶数。
性质1：偶数±偶数=偶数； 奇数±奇数=偶数。 偶数±奇数=奇数。
性质2：偶数个奇数相加得偶数。 奇数个奇数相加得奇数。
性质3：偶数×奇数=偶数； 奇数×奇数=奇数
1.有5盏亮着的灯，每盏都有接线开关，如果规定每次必须 同时拉动4个接线开关，试问：能否把5盏灯都关闭？
发拉现第：一灯轮拉，偶亮数着轮的时是，：就B会、恢E、复F到。原来的样子； 拉第二灯轮拉，奇亮数着轮的时是则：与A原、来C、刚D好、相G。反。
999÷7＝142（轮）……5（次）
因此A、B、C、D、E五盏灯拉了142+1＝143轮，为奇数轮， 刚好与原来相反，有B、E亮着； F、G两盏灯拉了142轮，为偶数轮，刚好恢复到原样，有G亮着。
2000÷7＝285（轮）……5（次）
因此A、B、C、D、E五盏灯拉了285+1＝286轮，为偶数轮， 刚好恢复到原样，有B、D亮着； F、G两盏灯拉了285次，为奇数轮，刚好与原来相反，有G亮着。
有A、B、C、D、E、F、G七盏灯顺次排成一行，每盏灯安 装一个开关，开始A、C、D、G亮着，其余3盏灯没亮。卡尔从 灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关， 她这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
如果做错3题，应做对13个才会得13×2－3＝23（分） 若做错31个，应做 对几个才得23分？ 未做题目是20－（13+3）＝4（个），是偶数。
答：他答错了3题，4题没有答。
游戏中，有25个小朋友，坐成5行5列，每个座位的前、后、 左、右的座位都叫做它的“邻座”。要让这25位小朋友，都换 到他的邻座上，可不可能实现，为什么？
答：黑色座位有13个，白色座位有 12个，13≠12，因此，不可能使每 个座位的人换为邻座位。
一次同学聚会，九位同学按3行3列入座，就坐后，每个同学 都想坐到与现在位置相邻的座位上去，同学们的想法能实现吗？ 如果能，请你排出来。如果不能，请你说明理由。
答：每盏灯只有拉奇数次才能熄灭，这里规定每次拉4个为偶数 次，所以不能把5盏灯都关闭。
2.电影院里有座位23排，每排有19个座位，如果座位坐满，在 第一场电影结束后，要求在场的每一个人都和他的前、后、左、 右的任一个邻座互换位置（只能换一次），问这个要求能不能 实现？
影院的座位数是： 19×23＝437（个）
假定黑格有：
假定白格有：
答：因数黑白格的总数不相等，所以是不可能实现。
3.一次数学考试共有20题，规定答对一题得2分，答错一题倒扣 1分，未答的题不计分。考试结束后，欧拉共得23分。他想知道 自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你 帮欧拉算一下，他答错了几道题？还有几道题没有答？
如果做错1题，应做对12个才会得12×2－1＝23（分） 但未做题目是20－（12+1）＝7（个），不是偶数。
答：黑色座位有5个，白色座位有4 个，5≠4，因此，不可能使每个座 位的人换为邻座位。
芭啦啦综合教育学校举办了一次智力竞赛，共有39名选手 参加，共有20道试题。评分方法是：基础分15分，答对1题加5 分，不答加1分，答错1题扣1分，请问所有参赛同学得分的总和 是奇数还是偶数？请说明理由。
15×39+39×5×20＝4485（分） 有1题不答，损失5－1＝4（分）
答：无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不 可能是偶数。所以，不可能使5只杯子全部杯口朝下。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有A、B、C、D、E、F、G七盏灯，各自装有一个接线开关， 开始B、D、F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G，再……的 顺序，依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是哪几盏？
发现第：一灯轮拉，偶亮数着轮的时是，：就A、会C恢、复E、到G原。来的样子； 第二轮拉，奇亮数着轮的时是则：与B原、来D、刚F好。相反。