最大公因数与最小公倍数(一)
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最大公约数和最小公倍数（一）
1.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相 乘，使两组数的乘积相等. 7、28、30和14、20、21
2.杨老师带领同学去植树，学生恰好平分成四组， 如果老师和学生每人植树一样多，一共种了247棵。 去植树的同学有多少人？平均每人植树多少棵？
同学：12人 每人植树：19棵
2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大 公约数是13，求这两个数。
答案：39、52
例3、 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下图），这 条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交 叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将 方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6 个相同的矩形，那么每个矩形是由 （30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小 方格组成。在6×6的简化图中，对角线 也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过5个格点（见下左图）。在对 角线所经过的每一个矩形的5×4个小方 格中，对角线不经过任何格点（见下 图）。
热身运动
24的约数有（ 1、2、3、4、6、8、12、24）
3的倍数有（ 3,、6、9、12、15……
）
24和32的公约数有（ 2、4、8、
）
24和32的最大公约数是（ 8
）
24和32的最小公倍数是（ 96
）
求下面每组数的最大公约数和最小公倍数
36和18 56和42 33和22 52和72 21和35 27、54和36
498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
当堂演练
1.有三根钢管，分别长200 厘米、240厘米、360厘米。 现要把这三根钢管截成尽可 能长而且相等的小段，一共 能截成多少段？
答案：200厘米：5段40厘米长的小段 240厘米：6段40厘米长的小段 360厘米：9段40厘米长的小段
（1） 两个数的最大公约数的约数都是这 两个数的公约数。
（2）两个数分别除以它们的最大公因数，所 得的商一定互质，即：
如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1
（3）甲数=最大公因数×甲独有因数 乙数=最大公因数×乙独有因数
5、最小公倍数的性质： （1）两个自然数的最大公因数与最小公倍 数的乘积等于这两个数的乘积，即：
所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个）。
例4、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分 别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点 出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈 分别需60秒、75秒和90秒，因 为要在起点相会，即三人都要 走整圈数，所以需要的时间应 是60，75，90的公倍数。所求 时间为[60，75，90]=900（秒） =15（分）。
[6，5，4，3，2]=60， 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际 情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁） 爷爷的年龄=10×7=70（岁）
当堂检测
大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一 个圆形花圃的周Fra Baidu bibliotek。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由 于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个 花圃的周长是多少米？
若（a，b）=d，[a，b]=m，则dm=ab， d∣m。 （2）如果一个数C能同时被2个自然数a、b 整除，那么C一定能被这2个数的最小公倍 数整除，或者说，一些数的公倍数一定是 这些数的最小公倍数的倍数。
6、最小公倍数与最大公因数之间的关系： ab=(a，b)×[a，b]或[a，b]=ab÷ (a，b)
重点知识点击 1、什么是最大公因数
2、什么是最小公倍数
最大公因数的组成：取出全部公共的质因数，每 个公共的质因数取出现的最低次数，把这些公共质因 数的乘方相乘即得最大公因数。 最小公倍数的组成：最大公因数乘以各自独有因数的积。
最小公倍数=最大公因数×甲、乙各自独有的因数
3、平方数的约数的个数为奇数个。 4、最大公约数的性质：
最大公约数
18
14 11 4 7 9
最小公倍数
36
168 66 936 105 648
例1.用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶
180克，知或识买呈三现级茶叶240克。现将这三种茶叶分别
按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋 的价格最低是多少元钱？
分析：总价相同，要求分装 后每袋价格相等，则分装的 袋数应相同，是144、180、 240的公约数。 要求每袋价格最低，则袋数 最多，为144、180、240的 最大公约数。
2 144 180 240 2 72 90 120 3 36 45 60 12 15 20
所以（144,180,240）=2×2×3=12，即每 60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同 的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余 数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整 除。
解：[54,72]=216 216÷54=4（个）
216÷72=3（个）
4+3-1=6（个）
60÷6=10
216×10=2160cm=21.6m
答：这个花圃的周长是21.6米。
例5、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几 年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、 2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化， 但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明 的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年 龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年 龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
1.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相 乘，使两组数的乘积相等. 7、28、30和14、20、21
2.杨老师带领同学去植树，学生恰好平分成四组， 如果老师和学生每人植树一样多，一共种了247棵。 去植树的同学有多少人？平均每人植树多少棵？
同学：12人 每人植树：19棵
2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大 公约数是13，求这两个数。
答案：39、52
例3、 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下图），这 条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交 叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将 方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6 个相同的矩形，那么每个矩形是由 （30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小 方格组成。在6×6的简化图中，对角线 也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过5个格点（见下左图）。在对 角线所经过的每一个矩形的5×4个小方 格中，对角线不经过任何格点（见下 图）。
热身运动
24的约数有（ 1、2、3、4、6、8、12、24）
3的倍数有（ 3,、6、9、12、15……
）
24和32的公约数有（ 2、4、8、
）
24和32的最大公约数是（ 8
）
24和32的最小公倍数是（ 96
）
求下面每组数的最大公约数和最小公倍数
36和18 56和42 33和22 52和72 21和35 27、54和36
498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
当堂演练
1.有三根钢管，分别长200 厘米、240厘米、360厘米。 现要把这三根钢管截成尽可 能长而且相等的小段，一共 能截成多少段？
答案：200厘米：5段40厘米长的小段 240厘米：6段40厘米长的小段 360厘米：9段40厘米长的小段
（1） 两个数的最大公约数的约数都是这 两个数的公约数。
（2）两个数分别除以它们的最大公因数，所 得的商一定互质，即：
如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1
（3）甲数=最大公因数×甲独有因数 乙数=最大公因数×乙独有因数
5、最小公倍数的性质： （1）两个自然数的最大公因数与最小公倍 数的乘积等于这两个数的乘积，即：
所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个）。
例4、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分 别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点 出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈 分别需60秒、75秒和90秒，因 为要在起点相会，即三人都要 走整圈数，所以需要的时间应 是60，75，90的公倍数。所求 时间为[60，75，90]=900（秒） =15（分）。
[6，5，4，3，2]=60， 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际 情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁） 爷爷的年龄=10×7=70（岁）
当堂检测
大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一 个圆形花圃的周Fra Baidu bibliotek。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由 于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个 花圃的周长是多少米？
若（a，b）=d，[a，b]=m，则dm=ab， d∣m。 （2）如果一个数C能同时被2个自然数a、b 整除，那么C一定能被这2个数的最小公倍 数整除，或者说，一些数的公倍数一定是 这些数的最小公倍数的倍数。
6、最小公倍数与最大公因数之间的关系： ab=(a，b)×[a，b]或[a，b]=ab÷ (a，b)
重点知识点击 1、什么是最大公因数
2、什么是最小公倍数
最大公因数的组成：取出全部公共的质因数，每 个公共的质因数取出现的最低次数，把这些公共质因 数的乘方相乘即得最大公因数。 最小公倍数的组成：最大公因数乘以各自独有因数的积。
最小公倍数=最大公因数×甲、乙各自独有的因数
3、平方数的约数的个数为奇数个。 4、最大公约数的性质：
最大公约数
18
14 11 4 7 9
最小公倍数
36
168 66 936 105 648
例1.用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶
180克，知或识买呈三现级茶叶240克。现将这三种茶叶分别
按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋 的价格最低是多少元钱？
分析：总价相同，要求分装 后每袋价格相等，则分装的 袋数应相同，是144、180、 240的公约数。 要求每袋价格最低，则袋数 最多，为144、180、240的 最大公约数。
2 144 180 240 2 72 90 120 3 36 45 60 12 15 20
所以（144,180,240）=2×2×3=12，即每 60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同 的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余 数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整 除。
解：[54,72]=216 216÷54=4（个）
216÷72=3（个）
4+3-1=6（个）
60÷6=10
216×10=2160cm=21.6m
答：这个花圃的周长是21.6米。
例5、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几 年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、 2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化， 但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明 的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年 龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年 龄差是6，5，4，3，2的公倍数。