(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

合集下载

勾股定理实际应用(习题及答案)

勾股定理实际应用（习题）例题示范例1：如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为2m 的半圆，其边缘AB =CD =10m ，点E 在CD 上，且CE =2m ．若一滑行爱好者从点A 到点E ，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3）思路分析：1.作侧面展开图2.找点，连线3.构造直角三角形，利用勾股定理进行计算①由已知得，AD 6≈，DE =8②在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AE =10过程书写：解：如图，作出U 型池的侧面展开图由题意得，AD 2262π⋅=≈，DE =8在Rt △ADE 中，∠D =90°由勾股定理，得AD 2+DE 2=AE 2∴62+82=AE 2∴AE =10∴他滑行的最短距离是10m巩固练习1.如图，有两棵树，一棵高10米，一棵高5米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米．第1题图第2题图2.如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（）A．180m B．2603mC．(260280)-m-m D．(260380)3.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13m B．12m C．4m D．10m 4.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为__________．5.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，需要爬行的最短路径长为__________．6.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．小明给爸妈的正确答案应是___________．第6题图第7题图7.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________cm．8.如图，已知圆柱底面的周长为2cm，高为1cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________．第8题图第9题图9.如图，圆柱体的高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上的点Q处有一只蚂蚁，QA=3cm；在BB1上的点P处有一滴蜂蜜，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到点P处吃蜂蜜，则爬行的最短路径长是___________．（π取整数3）10.长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为10cm、4cm和4cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐内壁，在长方形ABCD中心正上方1cm的点H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（）cm．A．74B．8C．310D．34411.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，若杯外最长4cm，最短2cm，则这只玻璃杯的底面直径是___________cm．第10题图第11题图12.如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是__________________．13.如图，某隧道的截面是一个半径为4.2米的半圆形，一辆高3.6米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？【参考答案】巩固练习1.132.D3.B4.20肘尺5.130cm6.14米7.138.22cm9.13m10.A11.612.11≤h≤1213.卡车能通过该隧道，理由略。

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理经典题型（后附答案）

勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。

勾股定理经典题型(后附答案)

第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？题型四：利用勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。

2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。

3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。

4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。

5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。

6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。

7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。

8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。

9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。

10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。

11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。

12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。

14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。

15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。

勾股定理综合应用题(包含答案)

勾股定理综合应用题(包含答案)勾股定理综合应用题及答案1.一艘船从A地出发，向东航行20海里到达B地，再向XXX15海里到达C地。

求AC的长度。

答案：25海里2.一块长方形的地，长60米，宽40米。

现在要在这块地上建造一个正方形的花坛，使剩下的土地面积最大。

问这个花坛的边长和剩余土地的面积。

答案：花坛边长为20米，剩余土地面积为2400平方米或者3987.5平方米。

3.一架飞机以每小时600千米的速度飞行，从A地飞往B 地，飞行时间是5小时。

飞机从B地返回A地的途中，由于风向的影响，飞机的速度变为每小时400千米，飞行时间是6小时。

求AB两地的距离。

答案：10千米。

4.一列货车从A地出发，以每小时50千米的速度行驶，3小时后到达B地，再以每小时40千米的速度行驶，2小时后到达C地。

求AC两地的距离。

答案：20km。

5.一辆汽车从A地出发，向东行驶30海里到达B地，再向北行驶40海里到达C地。

已知汽车的速度为60千米/小时，求（1）AB、BC两段路程所需的时间；（2）从C地返回A地的汽车速度为50千米/小时，求从C地返回A地所需的时间。

答案：（1）AB段需要0.5小时，BC段需要0.67小时；（2）从C地返回A地需要1小时。

6.一条长方形的草坪长12米，宽8米，现在要在这条草坪上建造一个半径为3米的圆形花坛，请问这个花坛占用的草坪面积是多少？答案：96平方米。

7.已知一条边长为4米的正方形，将这个正方形绕其中心旋转45度，求旋转后正方形所在的圆的周长。

答案：2√3–4.8.一座高度为8米的房子前有一座高度为6米的灯杆，灯杆顶部离房顶的最短距离为2米。

求灯杆离房子底部的最短距离。

答案：10米。

9.甲乙两人同时从A地出发，甲向B地行驶，乙向C地行驶，两人相遇于D地，甲行驶了8天，乙行驶了12天。

已知AB、DC两段路程长度相等，求AD的长度。

答案：10天。

10.一条直角三角形的斜边长为13米，一条直角边长为5米，求另一条直角边的长度。

(完整版)八年级勾股定理典型练习题含答案

八年级勾股定理典型练习题含答案一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是A：4，5，B：1，1：6，8，11 D：5，12，22、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为 A：26B：1 C：20D：213、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则OP 的长为 A：3B：4C：5D：74、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为 A： B：C：5D：、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为A、、、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为A、 B、C、8D、9、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A、3cmC、6cm22B、4cm D、12cm228、若△ABC中，AB?13cm,AC?15cm，高AD=12,则BC 的长为 A、1 B、 C、14或4D、以上都不对二、填空题1、若一个三角形的三边满足c?a?b，则这个三角形是2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面。

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

2224、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为。

5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

E6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为cm，高是cm的FC长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。

勾股定理专题(含答案)

C DAB CFDE1、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

2、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系3、如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝132。

求证：△ABC为直角三角形4、如图，直角三角形三条边的比是3:4:5.求这个三角形三条边上的高的比.5、如图，P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．6、已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，试说明：△ABC是等腰三角形。

7、已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝14DC，判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由。

4cm5cm1、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是；2、左边是一个正方形，则此正方形的面积是 ( )A. 1cm 2B. 3cm 2C. 6cm 2D. 9cm 23、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 . 4、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为；5、如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰三角形，CD=8，BE=3，则AC 的长等于；6、直角三角形两直角边长为6cm 和8cm,7、旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，把绳子的下端拉开绳子下端刚好接触地面，旗杆的高度为。

(完整版)勾股定理经典题目及答案

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中　∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____　依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。

2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。

3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。

所以 x 的值为√13 或√5 。

4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。

(完整版)八年级勾股定理典型练习题含答案

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

E6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为cm，高是cm的FC长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。

(完整版)勾股定理习题(附答案)

C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

(完整版)勾股定理测试题及参考答案

勾股定理测试题一、选择题(每小题4分，共40分）1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( ）A ．567，，B ．1084，，C ．91517，，D ．72425，，2．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长( ）(A ）4 cm （B ）8 cm (C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）（A)25（B ）14 （C ）7 （D ）7或254.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0,则它的形状为（ )A 。

直角三角形B.等腰三角形C 。

等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20,24，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米EA BCDA ．0.5B ．1C ．1.5D ．2DCBA5米3米7．一只蚂蚁沿如图所示折线从A点爬到D点，共爬行了（)（图中方格边长为1cm）A．12cm B．10cmC．14cm D．以上答案都不对8．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a元计算,那么共需要资金（）.(A）50a元（B)600a元（C）1200a元（D）1500a元9．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米,两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）米A．8米B．10米C．12米D．14米10.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，B C/交AD于E，AD=8,AB=4，则DE的长为（）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题4分,共16分)11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米，计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC中,斜边AB=2，则222AB AC BC++=______。

(完整word版)最新人教版第十七章勾股定理整理练习题及详细解析答案

题型一：直接考查勾股定理例１。

在ABC ∆中，90C ∠=︒．（1）知6AC =，8BC =．求AB 的长.（2）已知17AB =，15AC =,求BC 的长。

题型二：应用勾股定理建立方程例２。

⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒,5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝__________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为___________ ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为_______________例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠, 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==，分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5。

如图有两棵树,一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6。

已知三角形的三边长为a ,b ，c ，判定ABC ∆是否为直角三角形。

① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7。

三边长为a ，b ，c 满足10a b +=,18ab =，8c =的三角形是什么形状?题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8。

已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =【例1】、分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC【例2】分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC =, 2.4AC BCCD AB⋅==3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，⑵ 两直角边的长分别为54S =⑶ 两直角边分别为a ，b ,则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm【例3】分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ， 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒= Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=【例4】答案：6【例5】分析:根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD 【例6】答案：10m【例7】解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形【例8】解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形【例9】证明:AD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=,90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=勾股定理练习题（家教课后练习）DCBADBA C1。

勾股定理实际应用(习题及答案)

勾股定理实际应用（习题）例题示范例1：如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为2m 的半圆，其边缘AB =CD =10m ，点E 在CD 上，且CE =2m ．若一滑行爱好者从点A 到点E ，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3）思路分析：1.作侧面展开图．2.找点，连线．3.构造直角三角形，利用勾股定理进行计算．①由已知得，AD ≈6，DE =8；②在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AE =10．过程书写：解：如图，作出U 型池的侧面展开图，由题意得，AD 2262π⋅=≈，DE =8．在Rt △ADE 中，∠D =90°，由勾股定理，得AD 2+DE 2=AE 2，∴62+82=AE 2．∴AE =10．∴他滑行的最短距离是10m ．巩固练习1.如图，圆柱形容器高9cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜的最短距离是___________．第1题图第2题图2.如图，圆柱体的高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上的点Q处有一只蚂蚁，QA=3cm；在BB1上的点P处有一滴蜂蜜，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到点P处吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为_________cm．（π取整数3）3.如图，为了庆祝“五一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么购买彩带的长度至少为___________．第3题图第4题图4.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，需要爬行的最短路径长为（）A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm5.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．小明给爸妈的正确答案应是___________．6.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点B处（三条棱长如图所示），则它所走的最短路程是___________．第6题图第7题图7.如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是_________cm．8.如图，某隧道的截面是一个半径为4.2米的半圆形，一辆高3.6米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？9.一辆装货的小货车高2.9米，宽2.4米．要开进下部为长方形，上部为半圆形的某仓库大门（如图），这辆货车能否通过大门？请说明理由．10.某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB=10米，BC=2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩．一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，则这辆卡车是否能安全通过这个隧道？请说明理由．11.如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度的最小值是_________cm．第11题图第12题图12.如图，有一根70cm长的木棒，要放进长、宽、高分别是40cm，30cm，50cm的长方体木箱中，能放进去吗？____________．（填“能”或“不能”）思考小结1.蚂蚁爬最短路问题处理的关键是把_____面转化为_____面．2.汽车过拱桥问题，从_____通过的可能性最大．当车高_____拱高时，车能够通过．【参考答案】巩固练习1.15cm2.133.5m4.C5.14米6.57.258.该卡车能通过该隧道，理由略9.这辆货车不能通过大门，理由略10.这辆卡车能安全通过这个隧道，理由略11.1112.能思考小结1.曲；平2.中间；小于。

勾股定理专题(附答案,全面、精选)

勾股定理专题(附答案,全面、精选)勾股定理是初中数学中重要的定理之一，它可以用来求解直角三角形中的边长和面积。

在RT△中，勾股定理表明直角边的平方和等于斜边的平方。

因此，若已知两条直角边的长度，就可以求出斜边的长度。

例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有以下关系式成立：c² = a² + b²。

在解题时，关键在于确定斜边或直角。

常见的勾股定理题型包括对勾股定理的理解、应用勾股定理求边长和面积、以及利用勾股定理进行计算。

在对勾股定理的理解方面，需要掌握各种关系式的成立条件。

例如，对于已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，若c² - a² = b²，则该关系式不成立。

在应用勾股定理求边长和面积时，需要根据已知条件列出方程，然后解方程求解。

例如，在直角三角形ABC中，若已知AB=10cm，BC=8cm，则可以用勾股定理求解AC的长度。

在利用勾股定理进行计算时，需要注意题目中给出的信息，然后根据勾股定理列出方程，最终求解出答案。

例如，在一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米的位置，可以用勾股定理求解旗杆的长度。

推导勾股定理的关键在于找面积相等，可以利用等积法或拼图法进行推导。

例如，可以用四个相同的直角三角形按照一定方式拼接，然后利用面积相等的关系式推导出勾股定理。

总之，勾股定理是初中数学中重要的定理之一，需要认真掌握和理解。

在做题时，需要注意题目中给出的信息，运用勾股定理进行计算，并且要注意验证答案的正确性。

13.两棵树之间的距离为8m，分别高为8m和2m。

一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问至少要飞多少米？基础检测：1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求AC的长。

2.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积。

八年级数学勾股定理30道必做题(含答案和解析)

八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为．答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4．解得x ＝1.5．答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。

勾股定理证明题试题及参考答案

勾股定理证明题试题及参考答案勾股定理是数学常见的定理，这些定理该怎么证明呢？证明的方法是怎样的呢？下面就是店铺给大家整理的勾股定理证明题内容，希望大家喜欢。

勾股定理证明题一已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的结论。

(要详细解题过程)因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2勾股定理证明题二设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC由勾股定理MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)由(1)(2)(3)(4)(5)可得AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2即AE^2=AF^2AE=AF中学勾股定理课堂实录师:我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。