函数的单调性和最大小值(公开课)

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高一数学-必修一1.3.1函数单调性与最大小值ppt课件.ppt

判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即论证f(x1)－f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
p k ,V(0,) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性定义证明.
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x) 的单调区间. 增区间和减区间统称为单调区间.
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
观察以下各函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1, x2，当 x1 x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间D上是增函数.
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
函数单调性定义：设函数的定义域为I：
问题：根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？

3.2.1函数的单调性与最大小值(第一课时)课件(人教版)

函数有着不同的对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数
.
f1(x),x A1,
如y=f(x)= …f2(…x),,x A2, 是分段函数.
fn (x),x An
注意:分段函数表示的是一个函数.
3.2.1 单调性和最大（小）值情境导入
思考视察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( ) A.递减 B.递增 C.先递减后递增 D.先递增后递减
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( D ) A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3) C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
第三章函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2、掌握增（减）函数的证明和判别； 3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2
3.2.1 单调性和最大（小）值重点难点重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。难点：单调性的证明和判别。
3.2.1 单调性和最大（小）值研探新知
知识点二减函数与单调递减
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 D⊆I ，如果 ∀x1,x2∈D , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减；特别地，当函数 f(x)在它的定义域内最大（小）值随堂练习

高一数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时函数的单调性)课件新人教A版

【提示】不能．如图所示，
虽然f(-1)<f(2)，但f(x)在[-1,2]上并不递增．
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2．结合函数单调性定义和例1，怎样判断函数的单调性或求函数的单调区间？
【提示】 (1)函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．
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②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“对于” 即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜ f(x2)或f(x1)＞f(x2)．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
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函数单调性的应用
已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①所给函数为二次函数，且含有参数； ②函数在区间(－∞，4]上是减函数．解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．
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【解析】 f(x)＝x2－2(a－1)x＋3 ＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3， ∴此二次函数的对称轴为x＝a－1. ∴f(x)的单调减区间为(－∞，a－1]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝a－1必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴a－1≥4，解得a≥5.

函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件

x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负，即 f ( x) 0 .
定理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。可导函数的极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0

函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪先求得函数旳定义域,然后再结合二次函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升对于给出详细解析式旳函数，判断或证明其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解措施一根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,

3.2.1函数的单调性与最大(小)值课件(3课时) (共33张PPT)

1 a 2
2 ax , x＞1 x 1
x,
x
1,
在R上为增函数,求a的取值范围.
【解析】由y= 1 -(a-2)x在(-∞,1]上递增,
2
得a-2<0,即a<2.
由y= ax a x 1 - a 在a(-1,a+∞)上递增,得a>0,
x 1 x 1
x 1
又f(x)在R上为增函数,所以还需 -1(a-2)×1≤
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
例2
物理学中的玻意耳定律 p = k (k为正常数) 告诉
先研究二次函数
的单调性.画出图像，
可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，
任意取
，得到
，
有
.这时我们就说函数
在区间
(-∞，0]上是单调递减的.
同理，函数
在[0,+∞)上是单调递增的.
探索新知
【问题】如何判断本题中
的
【2】做差法：
因为 x1 x2 0, 所以
f (x) 2x 4
3 2
o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 -3
如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。
函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。

函数的单调性与最大(小)值PPT课件

∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1

示范公开课教案( 单调性与最大(小)值 )(1)

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案（一）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.时间间隔t 0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）图1-3-1-1学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4f(x)=x2表(1)⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P 32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=Vk 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．”. 变式训练课本P 32练习4.思路2例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.图1-3-1-4解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.则F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1<x 2，∴a-x 2<a-x 2.∴f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1).∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.∴F(x 1)<F(x 2).∴F(x)是R 上的增函数.（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))＝f(a-x 0)-f(x 0)＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］=-F(x 0),∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，∴函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R ;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P 32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数：y=xk (k≠0) 当k>0时，函数y=xk 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)；当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.答案：k ∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)<f(3a 2-4a+1)成立，则a 的取值范围是______.分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>++0.14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<31或1<a<5,即a 的取值范围是(0,31)∪(1,5). 答案：(0,31)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升问题：1.画出函数y=x1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？（1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1<x 2=2，则f(x 1)=-1<f(x 2)=21，满足当x 1＜x 2时f(x 1)<f(x 2)，说函数y=x 1在定义域上是增函数对吗？为什么？3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P 39习题1.3A 组2、3、4.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.(设计者：张建国)设计方案（二）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x 的增大，y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=x1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+x2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,因为x 12-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)<0,即x 12<x 22.所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.⑤略应用示例思路1例1课本P 29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:①画函数的图象；②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P 32练习4.例2课本P 32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=Vk 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；。

3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)

【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明：在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2

1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，

1
−
+ 1 −

2

1 2

2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2

函数的单调性与最值课件共20张PPT

那么就称函数f(x)在区间D上单那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－－fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区间 D 上单调递增
(减).
复习回顾
图象描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结：确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．

《1.3.1单调性与最大(小)值》课件必修1

类型一函数单调性的判断与证明 9 【例1】求证：y＝x＋ (0<x≤3)为减函数． x
证明：任取 x1，x2∈(0,3]且 x1<x2(即 x2－x1>0)， 9(x1－x2) 9 9 则 f(x2)－f(x1)＝x2＋－(x1＋ )＝x2－x1＋ x2 x1 x1x2 x1x2－9 9 ＝(x2－x1)(1－ )＝(x2－x1)· . x1x2 x1x2 ∵x2－x1>0，x1x2>0,0<x1<x2≤3， ∴x1x2<9，有 x1x2－9<0， ∴f(x2)－f(x1)<0，故 f(x)在(0,3]上为减函数．
)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C
3．函数f(x)在R上是减函数，则有
(
)
A．f(3)<f(5)
C．f(3)>f(5) ∴f(3)>f(5)．答案：C
B．f(3)≤f(5)
D．f(3)≥f(5)
解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，
类型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝－2 9－4x2的单调区间．
解：设9－4x2＝t(t≥0)， 3 3 2 由9－4x ≥0，得－ ≤x≤ . 2 2 3 当－ ≤x≤0时，随着x增大，t增大； 2 3 当0<x≤ 时，随着x增大，t减小． 2 又函数y＝－2 t在[0，＋∞)上是减函数， 3 2 所以，f(x)＝－2 9－4x 在[－，0]上是减函数，在 2 3 (0， ]上是增函数． 2 3 即函数f(x)的单调减区间为[－，0]，单调增区间为 2 3 (0， ]． 2
求下列函数的单调区间： 1 2 (1)y＝－x ＋2x；(2)y＝ . x＋1