高中数学双曲线知识点归纳总结
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设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出 ，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a.相交弦AB的弦长
或
b.中点 , ，
2点差法：
设交点坐标为 ， ，代入双曲线方程，得
将两式相减，可得
a.在涉及斜率问题时，
b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ， ，
即 ，
11.焦点三角形面积公式： 。
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
若2a＞2 时，动点轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程判别方法是：
如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；
如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
范围
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
无须自卑，不要自负，坚持自信。
用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）
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第二章 2.3 双曲线
双曲线
标准方程（焦点在 轴）
标准方程（焦点在 轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
1. 双曲线的定义
1当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点 在双曲线右支上；
当 时，则表示点 在双曲线左支上；
2注意定义中的“（小于 ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
1 时，直线 与双曲线相交，有两个公共点
2 时，直线 与双曲线相切，有且仅有一个公共点
3 时，直线 与双曲线相离，无公共点
3)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1联立方程法：
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
(4)与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是
(5)与双曲线 共焦点的双曲线系方程是
(6)当 离心率 两渐近线互相垂直，分别为y= ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 ；
3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a.相交弦AB的弦长
或
b.中点 , ，
2点差法：
设交点坐标为 ， ，代入双曲线方程，得
将两式相减，可得
a.在涉及斜率问题时，
b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ， ，
即 ，
11.焦点三角形面积公式： 。
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
若2a＞2 时，动点轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程判别方法是：
如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；
如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
范围
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
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第二章 2.3 双曲线
双曲线
标准方程（焦点在 轴）
标准方程（焦点在 轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
1. 双曲线的定义
1当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点 在双曲线右支上；
当 时，则表示点 在双曲线左支上；
2注意定义中的“（小于 ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
1 时，直线 与双曲线相交，有两个公共点
2 时，直线 与双曲线相切，有且仅有一个公共点
3 时，直线 与双曲线相离，无公共点
3)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1联立方程法：
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
(4)与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是
(5)与双曲线 共焦点的双曲线系方程是
(6)当 离心率 两渐近线互相垂直，分别为y= ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 ；
3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）