2020平面解析几何第八章 微专题八

微专题八 圆锥曲线中性质的推广

[真题研究]

一道解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况．如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质．对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质．这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质． 一、试题展示

题1 (2018·全国Ⅰ)如图1所示，设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .

(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－1

2x －1.

即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.

(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .

当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －2)，

y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根． 所以y 1＋y 2＝2

k

，y 1y 2＝－4.

直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2

x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)

.①

将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2

k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)

＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8

k

＝0.

所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .

题2 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2

＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，

点M 的坐标为(2,0)．

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝

⎛⎭⎫1，

22或⎝⎛⎭

⎫1，－2

2.又M (2,0)， 所以直线AM 的方程为y ＝－

22x ＋2或y ＝2

2

x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.

(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .

当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为 k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2

x 2－2.

由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得

k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k

(x 1－2)(x 2－2).

将y ＝k (x －1)代入x 22

＋y 2

＝1，得

(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立， 所以x 1＋x 2＝4k 2

2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1

.

则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k

2k 2＋1＝0，从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的

倾斜角互补．

所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .

点评 以上两题是2018年高考全国Ⅰ卷解析几何题的倒数第二题，是选拔题．第(1)问根据直线方程的求法，多数学生都能完成，第(2)问是个探索性问题，重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想，同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的运算能力和数学素养．本题的呈现形式“平易近人”，是平面几何中的角平分线问题，但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想，可以将等角的几何关系式转化为坐标代数关系式，然后再用坐标法来处理．本题看起来很平常，实际上却背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的数学价值和研究空间，我们重点研究第二小问的相关性质． 二、性质研究

性质1 如图3所示，已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点B (－m ,0)(m >0)，设不与x 轴垂直的直线l 与抛物线相交于M ，N 两点，则直线l 过定点A (m ,0)的充要条件是x 轴是∠MBN 的角平分线．

图3

证明 先证明必要性：

设不与x 轴垂直的直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，代入y 2＝2px ，整理得

k 2x 2－(2k 2m ＋2p )x ＋k 2m 2＝0.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2m ＋2p

k 2，x 1x 2＝m 2，所以直线BM ，

BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝

y 1x 1＋m ＋y 2

x 2＋m

＝

k (x 1－m )(x 2＋m )＋k (x 1＋m )(x 2－m )

(x 1＋m )(x 2＋m )

＝

2k (x 1x 2－m 2)

(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，

所以∠ABM ＝∠ABN ，所以x 轴是∠MBN 的角平分线． 再证明充分性：

设不与x 轴垂直的直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入y 2＝2px ，整理得 k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝2(p －kb )k 2，x 1x 2＝b 2

k 2.①

因为∠ABM ＝∠ABN ，

所以k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋m ＋y 2

x 2＋m ＝0，

即y 1(x 2＋m )＋y 2(x 1＋m )＝0.

再将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式， 得(kx 1＋b )(x 2＋m )＋(kx 2＋b )(x 1＋m )＝0， 即2kx 1x 2＋(b ＋km )(x 1＋x 2)＋2mb ＝0，②

将①式代入②式，得2kb 2＋2(b ＋km )(p －kb )＋2mbk 2＝0， 整理得b ＝－km ，此时Δ>0，直线l 的方程为y ＝k (x －m )， 所以直线l 过定点A (m,0)．

性质2 如图4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点M ⎝⎛⎭⎫a 2m ，0(0<|m |

直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则直线l 过定点P (m,0)的充要条件是x 轴是∠AMB 的角平分线．