购房贷款数学模型

度（月供）为 x，第 n（n=1,2,3…N)个月还款后仍欠款额度为 an，则有 第一个月后 a1=a0(1+r)−x 第二个月后 a2=a1(1+r)−x
……
第 n 个月后 an=an-1(1+r)−x
……
不难看出，数列{an}以 an=an-1(1+r)−x 为通项，将其变形得
an−x/r=(1+r)(an-1−x/r) ∴ an−x/r=(a0−x/r)(1+r)n
二、模型假设
1.假设在贷款期间银行贷款月利率保持 r 不变； 2.假设首付后贷款总额为 a0； 3.假设还款期限为 N 个月； 4.假设每次还款都在每月最后一天； 5.假设贷款者能够在不影响其正常经济生活的条件下每月按时付月供； 6.记贷款总利息为 M;
三、模型建立及求解
（一)等额本息模型
等额本息，即每个月以相等的额度平均还贷款本息，直至期满还清。设每月还款额
参考文献 ：
杨启帆 《数学建模》 高等教育出版社 2005.5
4
等额本金还款第一个月月供 b1=a0 +a0r N
很明显，等额本金还款的前期月供较多。
3
五、模型优缺点分析及推广
贷款模型有很多种，这里只考虑到了其中两种，但无论是那种贷款模型，其关键因 素都是还款期限，只有规定还款期限，模型才有可比性。
等额本息还款，操作相对简单还，但还款总利息较高，适合收入相对稳定的普通群体。 等额本金还款，还款总利息低，但是前期的还款压力较大，还款负担则逐月递减，适合 目前收入较高但预计将来会减少的普通群体。一般而言，如果有经济实力，那就尽可能 多付首付，甚至一次性付清，毕竟还贷款是需要很多利息的。
借款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一还款日至本次还款日之间的利息。设第 n 个月还款额度为 bn（n=1,2,3…N),则有
b1=a0 +a0r N
2
b2=a0 +a0(1− 1 )r
N
N
……
bn=a0 +a0(1− n-1 )r
N
N
…… 很明显，总利息 M2=∑bn−a0=a0r(N+1)/2
期限 N（月） 24
M1/a0 0.072801910299
M2/a0 0.07125
48
0.14585996596
0.13965
72
0.22200421956
0.20805
96
0.30120617791
0.27645
120
0.38342647448
0.34485
144
0.46861537738
0.41325
an=(a0−x/r)(1+r)n+x/r
第 N 个月还清欠额，即 aN=0
由
(a0−x/r)(1+r)N+x/r=0
得
x=a0r(1+r)N
(1+r)N−1
贷款总利息为 M1=Nx−a0=Na(01r+(r1)+Nr−)1N −a0;
(二）等额本金模型 等额本金，即每月偿还贷款本金（月供）相同，而利息随本金的减少而逐月递减，
四、模型对比及检验
1. 在相同贷款总额和还款期限下比较两种模型的总利息 M1 和 M2，
M1=Na(01r+(r1)+Nr−)1N −a0
M2= a0r(N+1)/2
可以查出，我国银行贷款五年以上年利率为 6.80%，月利率 r=0.068/12≈0.0057
实际生活中，还款期限一般都在 1-30 年之内，经计算，有下表格
摘要
随着国民经济的发展，车价房价一再上涨，一般职工要想圆车房梦，不得不选择住 房购车贷款，实现用明天的钱住今天的房，用明天的钱开今天的车。现针对当前社会上 流行的等额本金和等额本息两种还款方法分别建立数学模型进行比较分析，以供消费者 选择更合理的消费决策。
关键词 等额本金 等额本息
1
一、问题重述
“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付 1200 元，就可拥有属于自己的住房。”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车 。”报纸上此 类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结 合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车的消费决策及还贷办法。
168
0.55671342002
0.48165
192
0.64765213934
0.55005
216
0.74135490369
0.61845
240
0.83773781173
0.686852640.93671064221
0.75525
288
1.0381778348
0.82365
312
1.142039483
0.89205
336
1.2481923196
0.96045
360
1.3565306799
1.02885
从中可以看出，在还款期限为 1-30 年之内，等额本息还款利息明显比等额本金还 款所付的利息要多,即 M1>M2 且 N↑ M1-M2↑ 2.从前期月供方面比较两种模型
1 等额本息还款每月月供 x=a0r{1+(1+r)N−1 }