大学物理 10.6 波的叠加 干涉 驻波分解
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都是/2，相邻波节和波腹之间的距离为/4。
驻波的能量在整体上不传播，只 能 在 相 邻 的
波节和波腹之间的/4区域内流动。
Ep
Ep Ek
Ek
Ep
Ep
势能→动能 能量由波节向波腹流动
瞬时位移为0，势能为0， 动能最大。
动能→势能 能量由波腹向波节流动
参考材料：“驻波能量流动特性”
10.6.4 半波损失
谐频
n=3 三次 谐频
n
4L n
,n
1,3,5,
圆环简正模式
n
2L n
,n
1,3,5,
平面驻波简正模式 小提琴的简正模式
“鱼洗”之谜 【演示实验】鱼洗（六教A区500号演示大厅）
任何一个实际的振动都可以看成由各种简 正模式的线性叠加，其中各个简正模式的相位 和振幅的大小，则由初始扰动的性质决定。
如果相位差恒定（不随时间变化），则合振 幅不随时间变化，振动强度就不随时间变化。
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1) 干涉项
不同相遇点Δ 不同，合振幅不同
Δ = 的整数倍：振动相长，合振幅极大； Δ = 的奇数倍：振动相消，合振幅极小。
波的干涉：两列波在介质中相遇合成后，在 某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减 弱的现象。
波密介质： u较大 波疏介质： u较小
在波垂直界面 入射情况下
（1）波疏介质波密介质
界面处反射波有半波损失（相位突变），
反射点是驻波的波节 （2）波密介质波疏介质 无半波损失，反射点是波腹。 证明见附录
10.6.5 简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，形成驻波必须满足以下条件：
机械波垂直界面入射，有界面关系：
（1）界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1]x =0 = [ y2]x =0 （2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
F1
S
F1 S
x 0
F2 S x 0
E1
y1 x
y1 x
x 0
E2
y2 x
x
（纵波）
0
将y和E= u2代入界面关系，得：
y
t=0
0
x
t = T/8
0
x
t = T/4
0
x
t = 3T/8
0
x
t = T/2
0
x
振动范围
0
x
波腹 /4 /4 波节 /2
设两列波沿x轴的正、反方向传播。为简单， 设它们的波函数为
y1 Acos (t kx) y2 Acos (t kx)
驻波的波函数（质元的合位移）：
y
y1
y2
2A
cos
2x
cos t
振动
绝对值为振幅
驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置 不同而不同。 从波函数上看，为什么不传播？
波腹的位置： 由 |cos2x/|＝1，得
x k, k 0,1,2,
2
波节的位置：由 |cos2x/|＝0，得
x k 1 , k 0,1,2,
2 2
相邻两波腹之间，或相邻两波节之间的距离
10.6 波的叠加 干涉 驻波 10.6.1 波的叠加原理 10.6.2 波的干涉 10.6.3 驻波 10.6.4 半波损失 10.6.5 简正模式
10.6.1 波的叠加原理
实验表明，波传播具有独立性：
几列波同时通过介质时彼此互不影响，各自 保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特 点不变。
波的叠加原理：在介质中几列波相遇的区域 内，任一质元的位移等于各列波单独传播所引 起的该质元的位移的矢量和。
位相关系：
A1 A1
z1 z1
z2 z2
若 z1 z2 (波密波疏介质)：
A1 和 A1 同号，反射波和入射 波引起界面质点的振动同相。
若 z1 z2 (波疏波密介质)：
A1 和 A1 反号，反 射 波 和 入 射 波引起界面质点的振动反相， 位相突变。
A2 A1
2z1 z1 z2
A2 和 A1总是同号，透 射 波 和 入射波引起界面质点的振动总
发生干涉的条件：振动方向相同、频率相同、 相位差恒定。
相干波 相干波源 相干叠加 非相干叠加
10.6.3 驻波
驻波是由振动方向、频率、振幅都相同，而 传播方向相反的两列简谐行波相干叠加形成。
驻波是分段的振动 ：按相邻两波节分段，同 一分段上的各点，或者同时向上运动，或者同 时向下运动，具有相同的振动相位。
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简 正频率相同时，就会使该频率驻波的振幅变得 最大，这种现象也叫共振。利用共振方法可以 测量空气中的声速（例10.4）。
附录：为什么会发生位相突变 ？
入射波 y1 透射波 y2
z1
0
反射波 y1
z2 x
适当选择时间零点，各波波函数为
入射波 反射波 透射波
y1 A1cos( t k1 x) y1 A1 cos( t k1x) y2 A2 cos( t k2 x)
L
n
2L，n n
1,2,3…
n
u
n
n
u 2L
—系统的固有频率
u ：波在弦中传播的速度
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简 正模式。两端固定的弦：
n =1
基频 L
n =2 二次 谐频
n =3 三次 谐频
1 2L
2
2L 2
L
3
2L 3
边界情况不同，简正模式也不同：
L
n=1 基频
L
n=1 基频
n=3 三次
是同相。
强度关系：
反射系数：R
I1 I1
1 2
z1
2
A1
2
1 2
z1
2
A12
A1 A1
2
z1 z1
z2 z2
2
透射系数：T
I2 I1
1 2来自百度文库
z2
2
A22
1 2
z1
2
A12
z2 z1
A2 A1
2
4 z1z2 (z1 z2 )2
当z1和z2相差悬殊（ z1 z2 或z1 z2 ），则
R 1, T 0 完全反射： A1 A1 , A2 0
波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。
10.6.2 波的干涉 设有两列振动方向相同、频率相同的波在介 质中传播，在某一相遇点，引起质元的振动为
y1 A1 cos ( t 1), y2 A2 cos ( t 2 )
初相1、2与相遇点的位置有关。
相遇点合振动的振幅：
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1)
驻波的能量在整体上不传播，只 能 在 相 邻 的
波节和波腹之间的/4区域内流动。
Ep
Ep Ek
Ek
Ep
Ep
势能→动能 能量由波节向波腹流动
瞬时位移为0，势能为0， 动能最大。
动能→势能 能量由波腹向波节流动
参考材料：“驻波能量流动特性”
10.6.4 半波损失
谐频
n=3 三次 谐频
n
4L n
,n
1,3,5,
圆环简正模式
n
2L n
,n
1,3,5,
平面驻波简正模式 小提琴的简正模式
“鱼洗”之谜 【演示实验】鱼洗（六教A区500号演示大厅）
任何一个实际的振动都可以看成由各种简 正模式的线性叠加，其中各个简正模式的相位 和振幅的大小，则由初始扰动的性质决定。
如果相位差恒定（不随时间变化），则合振 幅不随时间变化，振动强度就不随时间变化。
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1) 干涉项
不同相遇点Δ 不同，合振幅不同
Δ = 的整数倍：振动相长，合振幅极大； Δ = 的奇数倍：振动相消，合振幅极小。
波的干涉：两列波在介质中相遇合成后，在 某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减 弱的现象。
波密介质： u较大 波疏介质： u较小
在波垂直界面 入射情况下
（1）波疏介质波密介质
界面处反射波有半波损失（相位突变），
反射点是驻波的波节 （2）波密介质波疏介质 无半波损失，反射点是波腹。 证明见附录
10.6.5 简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，形成驻波必须满足以下条件：
机械波垂直界面入射，有界面关系：
（1）界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1]x =0 = [ y2]x =0 （2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
F1
S
F1 S
x 0
F2 S x 0
E1
y1 x
y1 x
x 0
E2
y2 x
x
（纵波）
0
将y和E= u2代入界面关系，得：
y
t=0
0
x
t = T/8
0
x
t = T/4
0
x
t = 3T/8
0
x
t = T/2
0
x
振动范围
0
x
波腹 /4 /4 波节 /2
设两列波沿x轴的正、反方向传播。为简单， 设它们的波函数为
y1 Acos (t kx) y2 Acos (t kx)
驻波的波函数（质元的合位移）：
y
y1
y2
2A
cos
2x
cos t
振动
绝对值为振幅
驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置 不同而不同。 从波函数上看，为什么不传播？
波腹的位置： 由 |cos2x/|＝1，得
x k, k 0,1,2,
2
波节的位置：由 |cos2x/|＝0，得
x k 1 , k 0,1,2,
2 2
相邻两波腹之间，或相邻两波节之间的距离
10.6 波的叠加 干涉 驻波 10.6.1 波的叠加原理 10.6.2 波的干涉 10.6.3 驻波 10.6.4 半波损失 10.6.5 简正模式
10.6.1 波的叠加原理
实验表明，波传播具有独立性：
几列波同时通过介质时彼此互不影响，各自 保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特 点不变。
波的叠加原理：在介质中几列波相遇的区域 内，任一质元的位移等于各列波单独传播所引 起的该质元的位移的矢量和。
位相关系：
A1 A1
z1 z1
z2 z2
若 z1 z2 (波密波疏介质)：
A1 和 A1 同号，反射波和入射 波引起界面质点的振动同相。
若 z1 z2 (波疏波密介质)：
A1 和 A1 反号，反 射 波 和 入 射 波引起界面质点的振动反相， 位相突变。
A2 A1
2z1 z1 z2
A2 和 A1总是同号，透 射 波 和 入射波引起界面质点的振动总
发生干涉的条件：振动方向相同、频率相同、 相位差恒定。
相干波 相干波源 相干叠加 非相干叠加
10.6.3 驻波
驻波是由振动方向、频率、振幅都相同，而 传播方向相反的两列简谐行波相干叠加形成。
驻波是分段的振动 ：按相邻两波节分段，同 一分段上的各点，或者同时向上运动，或者同 时向下运动，具有相同的振动相位。
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简 正频率相同时，就会使该频率驻波的振幅变得 最大，这种现象也叫共振。利用共振方法可以 测量空气中的声速（例10.4）。
附录：为什么会发生位相突变 ？
入射波 y1 透射波 y2
z1
0
反射波 y1
z2 x
适当选择时间零点，各波波函数为
入射波 反射波 透射波
y1 A1cos( t k1 x) y1 A1 cos( t k1x) y2 A2 cos( t k2 x)
L
n
2L，n n
1,2,3…
n
u
n
n
u 2L
—系统的固有频率
u ：波在弦中传播的速度
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简 正模式。两端固定的弦：
n =1
基频 L
n =2 二次 谐频
n =3 三次 谐频
1 2L
2
2L 2
L
3
2L 3
边界情况不同，简正模式也不同：
L
n=1 基频
L
n=1 基频
n=3 三次
是同相。
强度关系：
反射系数：R
I1 I1
1 2
z1
2
A1
2
1 2
z1
2
A12
A1 A1
2
z1 z1
z2 z2
2
透射系数：T
I2 I1
1 2来自百度文库
z2
2
A22
1 2
z1
2
A12
z2 z1
A2 A1
2
4 z1z2 (z1 z2 )2
当z1和z2相差悬殊（ z1 z2 或z1 z2 ），则
R 1, T 0 完全反射： A1 A1 , A2 0
波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。
10.6.2 波的干涉 设有两列振动方向相同、频率相同的波在介 质中传播，在某一相遇点，引起质元的振动为
y1 A1 cos ( t 1), y2 A2 cos ( t 2 )
初相1、2与相遇点的位置有关。
相遇点合振动的振幅：
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1)