大学物理 10.6 波的叠加 干涉 驻波分解

都是/2，相邻波节和波腹之间的距离为/4。
驻波的能量在整体上不传播，只 能 在 相 邻 的
波节和波腹之间的/4区域内流动。
Ep
Ep Ek
Ek
Ep
Ep
势能→动能 能量由波节向波腹流动
瞬时位移为0，势能为0， 动能最大。
动能→势能 能量由波腹向波节流动
参考材料：“驻波能量流动特性”
10.6.4 半波损失
y
t=0
0
x
t = T/8
0
x
t = T/4
0
x
t = 3T/8
0
x
t = T/2
0
x
振动范围
0
x
波腹 /4 /4 波节 /2
设两列波沿x轴的正、反方向传播。为简单， 设它们的波函数为
y1 Acos (t kx) y2 Acos (t kx)
驻波的波函数（质元的合位移）：
y
y1
y2
2A
10.6 波的叠加 干涉 驻波 10.6.1 波的叠加原理 10.6.2 波的干涉 10.6.3 驻波 10.6.4 半波损失 10.6.5 简正模式
10.6.1 波的叠加原理
实验表明，波传播具有独立性：
几列波同时通过介质时彼此互不影响，各自 保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特 点不变。
波的叠加原理：在介质中几列波相遇的区域 内，任一质元的位移等于各列波单独传播所引 起的该质元的位移的矢量和。
cos
2x
cos t
振动
绝对值为振幅
驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置 不同而不同。 从波函数上看，为什么不传播？
波腹的位置： 由 |cos2x/|＝1，得
x k, k 0,1,2,
2
波节的位置：由 |cos2x/|＝0，得
x k 1 , k 0,1,2,
2 2
相邻两波腹之间，或相邻两波节之间的距离
谐频
n=3 三次 谐频
n
4L n
,n
1,3,5,
圆环简正模式
n
2L n
,n
1,3,5,
平面驻波简正模式 小提琴的简正模式
“鱼洗”之谜 【演示实验】鱼洗（六教A区500号演示大厅）
任何一个实际的振动都可以看成由各种简 正模式的线性叠加，其中各个简正模式的相位 和振幅的大小，则由初始扰动的性质决定。
如果相位差恒定（不随时间变化），则合振 幅不随时间变化，振动强度就不随时间变化。
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1) 干涉项
不同相遇点Δ 不同，合振幅不同
Δ = 的整数倍：振动相长，合振幅极大； Δ = 的奇数倍：振动相消，合振幅极小。
波的干涉：两列波在介质中相遇合成后，在 某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减 弱的现象。
L
n
2L，n n
1,2,3…
n
u
n
n
u 2L
—系统的固有频率
u ：波在弦中传播的速度
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简 正模式。两端固定的弦：
n =1
基频 L
n =2 二次 谐频
n =3 三次 谐频
1 2L
2
2L 2
L
3
2L 3
边界情况不同，简正模式也不同：
L
n=1 基频
L
n=1 基频
n=3 三次
波密介质： u较大 波疏介质： u较小
在波垂直界面 入射情况下
（1）波疏介质波密介质
界面处反射波有半波损失（相位突变），
反射点是驻波的波节 （2）波密介质波疏介质 无半波损失，反射点是波腹。 证明见附录
10.6.5 简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，形成驻波必须满足以下条件：
机械波垂直界面入射，有界面关系：
（1）界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1]x =0 = [ y2]x =0 （2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
F1
S
F1 S
x 0
F2 S x 0
E1
y1 x
y1 x
x 0
E2
y2 x
x
（纵波）
0
将y和E= u2代入界面关系，得：
是同相。
强度关系：
反射系数：R
I1 I1
1 2
z1
2
A1Байду номын сангаас
2
1 2
z1
2
A12
A1 A1
2
z1 z1
z2 z2
2
透射系数：T
I2 I1
1 2
z2
2
A22
1 2
z1
2
A12
z2 z1
A2 A1
2
4 z1z2 (z1 z2 )2
当z1和z2相差悬殊（ z1 z2 或z1 z2 ），则
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简 正频率相同时，就会使该频率驻波的振幅变得 最大，这种现象也叫共振。利用共振方法可以 测量空气中的声速（例10.4）。
附录：为什么会发生位相突变 ？
入射波 y1 透射波 y2
z1
0
反射波 y1
z2 x
适当选择时间零点，各波波函数为
入射波 反射波 透射波
y1 A1cos( t k1 x) y1 A1 cos( t k1x) y2 A2 cos( t k2 x)
R 1, T 0 完全反射： A1 A1 , A2 0
发生干涉的条件：振动方向相同、频率相同、 相位差恒定。
相干波 相干波源 相干叠加 非相干叠加
10.6.3 驻波
驻波是由振动方向、频率、振幅都相同，而 传播方向相反的两列简谐行波相干叠加形成。
驻波是分段的振动 ：按相邻两波节分段，同 一分段上的各点，或者同时向上运动，或者同 时向下运动，具有相同的振动相位。
波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。
10.6.2 波的干涉 设有两列振动方向相同、频率相同的波在介 质中传播，在某一相遇点，引起质元的振动为
y1 A1 cos ( t 1), y2 A2 cos ( t 2 )
初相1、2与相遇点的位置有关。
相遇点合振动的振幅：
A A12 A22 2A1 A2 cos (2 1)
位相关系：
A1 A1
z1 z1
z2 z2
若 z1 z2 (波密波疏介质)：
A1 和 A1 同号，反射波和入射 波引起界面质点的振动同相。
若 z1 z2 (波疏波密介质)：
A1 和 A1 反号，反 射 波 和 入 射 波引起界面质点的振动反相， 位相突变。
A2 A1
2z1 z1 z2
A2 和 A1总是同号，透 射 波 和 入射波引起界面质点的振动总