第六章假设检验2

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22
n2
)再标准化
3、反查临界值表得到P值，P=P(|U|≥u) 4、与显著性水平比较, 若P≤, 则在水平上拒 绝原假设H0 5、统计学结论和专业结论。 【注意】对于正态总体，只要总体方差已知,则不论样本 大小都可采用u—检验方法。 而对于非正态总体，只有大样本才可采用u—检验方 法(近似)。
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一、方差已知条件下的u-检验（大小样本）
(一) 方差已知单正态总体的期望值的u—检验 标准型：设x1,x2,…,xn为来自于总体N(,2)的样本值， 且2已知，试对总体期望值=0进行假设检验。 1、建立统计假设：H0: = 0 H0: = 0 H1:> 0 H1:≠ 0 H0: = 0 H1:< 0
常有三种配对形式：
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配对设计(A)：受试对象按某些特征配对，两对 象随机接受两种处理
甲药
乙药
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配对设计(B)：一份样品，一分为二，随机接受 两种处理
方法甲
方法乙
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配对设计(C)：受试对象处理前后比较
治 疗
治疗前
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治疗后
配对样本特点：两样本容量相同，不独立。 配对比较t-检验的基本思路是先求出各对数据的差值，将差 值随机变量D作为一个新的正态总体，从而把两个总体的均 值比较检验转化为单总体均值为0的检验。 设Sd 为差值随机变量D的样本标准差 d= 1-2 为两总体均数之差，n 为数据对的个数。
x 67.4, s 5.93, n 10 (1) 1、 H0 : 72 H1 : 72
2、 H0成立时 取t
统计量值
X 72 ~t( 9 ) 5.93 10
67.4 72 t0 2.453 5.93 10
10
3 查附表7知 P P(| t | 2.453) 0.05
解 ( 1 ) H0 : 1500
H1 : 1500
X 1500 (2) H0成立时, 取U ~N( 0,1 ) 200 25
1675 1500 统计量值 u 4.375 200 25
(3) 查附表4 P P(U 4.375) 0.00005
(4) 因P<<0.01，故在0.01水平上拒绝H0，仪器平均寿命 与1500小时差异有统计学意义。结合实际可以认为平均 寿命有提高。
对其它单侧假设，方法与单正态总体类似。
2、 H0为真，选择合适统计量,并计算其样本值u
由X ~ N ( 1 ,
1
2
n1
), Y ~ N ( 2 ,
12
n1
2
2
U
)得
( X Y ) ( 1 2 )
n2

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
X - Y ~ N ( 1 2 ,
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【例7】为比较新旧两种安眠药的疗效，将20名年龄、 性别、病情等状况大致相同的失眠患者随机平分为两 组,分别服用了两种安眠药，测得延长睡眠时数如表, 假定两组睡眠延长时数均服从正态分布且方差齐性， 试问两种安眠药的疗效是否有显著性差异？
新药组x1 旧药组x2 1.9 0 0.8 0.7 1.1 0.1 -0.1 -0.1 4.4 2.0 5.5 1.6 3.7 0.8 4.6 3.4 3.4 2.4
配对比较t-检验步骤： 1、建立统计假设：H0: d =0 H1: d ≠0 2、选择合适统计量，并计算T的样本值t0
t
3、反查临界值表得到P值，P=P(|t|≥t0) 4、与比较, 若P≤, 则在水平上拒绝原假设H0 5、结论
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D d ~ t( n 1 ) Sd n
【例6】 为比较新旧两种安眠药的疗效，10名失眠患者先 后（间隔数日以消除药物影响）服用了两种安眠药，测得 延长睡眠时数如表,假定d服从正态分布，问两种药疗效是 否有显著性差异？
2、H0真，选择合适统计量，并计算U的样本值u. X U ~ N (0,1) n 3、反查临界值表得到P值，P=P(|U|≥u) 。 4、与比较, 若P≤, 则在水平上拒绝原假设H0 . 5、统计学结论和专业结论。
3
【补例】设某厂生产一种医疗仪器, 其寿命XN(, 2002), 由以往经验知平均寿命 =1500小时, 现采用新工 艺后, 在所生产仪器中抽取25只, 测得平均寿命1675小 时, 问采用新工艺后, 仪器寿命是否有显著性提高。
x 7.9, s 0.5874 ,n 9
(1) H0 : 7.2 H1 : 7.2
X 7.2 ~t( 8 ) 0.5874 9
7.9 7.2 3.575 0.5874 9
(2) H0成立时， 取t
统计量值 t0
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(3) 查附表7
P P(t 3.575) 0.005
( X Y ) ( 1 2 )

2 1
n1


2 2

X Y

2 1
n2
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
统计量值 u
(3)查附表4
P P(| U | 3.1741) 0.01
93 90 3.1741 9 16 25 30
(4) 因P<0.01，在0.01水平上拒绝H0，故差异有统 计学意义，可以认为两者有差异。
s
27
(1) H 0 : 1 2
(2) H 0成立时
H1 : 1 2
取t X1 X 2 ~t( 18 ) 1 1 s n1 n2
4
(二) 方差已知双正态总体的期望值的u—检验 标准型：设 x1,x2,…,xn1 为来自总体 N(1,12) 的样本 值， y1,y2,…,yn2 为来自总体 N(2, 22) 的样本值， 且12、22已知，试对两正态总体数学期望是否有显著 性差异进行检验。 扩展：H0:1- 2=d 1、建立统计假设：H0:1=2 H1: 1≠2
H1:1≠2
2、选择合适统计量，并计算T的样本值t0 .
t ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) ~t( n1 n2 2 ) 1 1 s n1 n2
s
2
2 2 (n1 1) s1 ( n2 1)s2 n1 n2 2
3、反查临界值表得到P值，P=P(|t|≥t0) 。 4、与比较, 若P≤, 则在水平上拒绝原假设H0 . 5、分析结论
(3) 查附表7 P(| t | 4.93) 0.001
(4) 因P<0.01，所以在0.01水平上拒绝H0，即两 种安眠药的疗效差异有高度统计学意义，可认为 两者疗效有差异。 【练习】p169 8
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2、成组样本双正态总体均值比较t或t'检验 （成组资料,小样本）
成组(独立)样本—随机抽取的相互独立的两组样本。
试验号 新药延长时数x 旧药延长时数y 时数差d=x-y 1 1.9 0 1.9 2 0.8 0.7 0.1 3 1.1 4 0.1 5 -0.1 -0.1 0.0 6 4.4 2.0 2.4 7 8 9 4.6 3.4 1.2 10 3.4 2.4 1.0
5.5 1.6 3.7 0.8 1.8 0.8
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单正态样本资料的t-检验步骤： 1、建立统计假设：H0: = 0 H1:≠0
2、选择合适统计量，并计算t的样本值t0 X 0 t ~ t( n 1 ) S n 3、反查临界值表得到P值，P=P(|t|≥t0) 4、与显著性水平比较, 若P≤, 则在水平上拒绝 原假设H0 . 5、统计学结论和专业结论。
3、查附表7
P P( t 2.453 ) 0.025
4、因P<0.05，所以在0.05水平上拒绝H0，即铅中 毒患者与正常人的脉搏差异有统计学意义，可认为铅 中毒患者的脉搏次数低于正常人。
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例5 健康人的红细胞直径一般平均为7.2微米，现从某病人 的血液中随机抽查9个红细胞，测得直径（微米）是：7.1， 7.3，7.7，7.8，8.0，8.1，8.5，9.0，7.6，假定病人红 细胞直径服从正态分布，问这种病人的红细胞直径大于健 康人是否有显著性？ 解 计算得样本均数与标准差为
-0.2 -1.2 1.3 1.3
解
计算得d 的样本均数与标准差为
d 1.18, sd 0.7569 , n 10
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(1)
H0 : d 0
H1 : d 0
D μd D (2) H 0成立时 取 t ~t( 9 ) Sd n Sd n
统计量值 t0 d sd 1.18 4.93 n 0.7569 10
常有三种形式：
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两独立样本(A)：完全随机分组得到两独立样本
样本1 总体 受试对象
随机分组
样本2
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两独立样本(B)：从两总体中随机抽样得到 两独立样本
总体1 随机抽样 总体2
样本1
样本2
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两独立样本(C)：按某一两分类的属性分组得到 两独立样本
样本1 总体
受试对象 按某属性分类 样本2
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4、因P<0.05，所以在0.05水平上拒绝H0，即铅中 毒患者的脉搏次数与正常人差异有统计学意义，可认 为铅中毒患者的脉搏与正常人不来自百度文库。
( 2 ) 1、 H 0 : 72
H1 : 72
X 72 2、 H0成立时 取t ~t( 9 ) 5.93 10
67.4 72 统计量值 t0 2.453 5.93 10
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二、方差未知的正态总体期望值的t-检验（小样本） 在小样本下，使用u-检验要求正态总体方差已知， 但这一条件往往不易满足，所以在实际中常常使用条 件更为宽松的t-检验，只要获得正态总体的一个 小 样本，即可对总体期望值进行检验。
(一)单正态样本资料的t-检验
标准型：设x1,x2,…,xn为来自于正态总体N(, 2)的 样本值，且2未知，试对总体期望值与常数0的关 系进行假设检验。
(4) 因P<0.05，所以在0.05水平上拒绝H0，即病人的红 细胞直径与健康人差异有统计学意义，结合实际可认为 病人的红细胞直径大于健康人。
【练习】p169 3 4
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(二)双正态总体样本资料的检验 1、配对样本双正态总体均值比较t检验 （配对资料,小样本） 配对(关联)样本—两个样本两两匹配成对。
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例4 正常人的脉搏平均为72次/分，某职业病院测得10例慢 性铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：54，67，68，70，66， 78，67，70，65，69，假定脉搏次数服从正态分布，问（1） 铅中毒患者和正常人的脉搏次数是否有显著性差异？（2） 铅中毒患者的脉搏次数低于正常人是否有显著性？
解
先计算得样本均数与标准差为
-0.2 -1.2
解
计算得两样本均数与方差为
2 2 x1 2.33, s1 4.009, x2 1.15, s2 2.7117
2 2 2 (n1 1)s1 (n2 1)s2 9 4.009 9 2.7117 3.36 n1 n2 2 10 10 2
假设
求统计量值
查表
比较
分析结论
参数假设检验解法通常采用P值法或临界值 法，应该重点关注各类参数检验方法的不同， 主要体现在：
（1）统计假设的不同； （2）检验统计量的不同； （3）抽样分布及其临界值表的不同。
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第三节
正态总体期望值的参数假设检验
目标要求
1、熟悉总体方差已知条件下的u-检验 (单总体、双总体) 2、掌握总体方差未知的正态总体期望值的t-检验 【单正态、双正态总体（配对，成组）】
独立样本特点：两样本容量可以不同，独立。
成组比较检验的基本思路是根据两组资料是否 满足方差齐性条件,分别进行t-检验和t'-检验. 方差齐性指两总体方差的差异无统计学意义 一般同质性较好的受试对象，成组比较资 料可看作是方差齐性的。
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(1)成组均值比较总体方差齐性的t-检验步骤：
1、建立统计假设：H0:1= 2
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【例3】从两个正态总体X ~ N ( 1 ,32 ), Y ~ N ( 2 ,42 )
中分别抽取容量为25和30的样本，算得 x 93, y 90 且两样本独立，问这两正态总体数学期望是否有显著性差异?
解 (1) H 0 : 1 2
(2)H0成 立 时 U
H1 : 1 2