速率分布

1、选择题
题号： 分值：3分 难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率
（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半
[ ] 答案：（ D ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是 （A ）它是气体分子处于v 附近单位速率区间的概率 （B ）它是气体分子处于v 附近的频率
（C ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的分子数 （D ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的相对分子数
[ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1
气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为 （A ）2v v v p >> （B ）2v v v p == （C ）2v v v p <
< （D ）无法确定
[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1
设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为
（A ）N dN
v f =)( （B ）dv dN
N v f 1)(= （C ）vdv
dN
N v f 1)(= （D ）dv
v dN
N v f 2
1)(=
[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2
空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为
（A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ） 题号：
分值：3分 难度系数等级：2
已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表
示为
（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数
（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x
dv v v +~区间的分子数
（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数
[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为
（A ）211069.1⨯=v m/s ，3
21079.1⨯=v m/s （B ）311079.1⨯=v m/s ，2
21069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，2
21093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，3
21050.1⨯=v m/s ，
[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311057.1⨯=p v m/s ，221049.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，3
21058.1⨯=p v m/s ，
[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为2
1v ，在温度为 K （星际空间温度）时的方均根速率为2
2v ，则方均根速率2
1v 和2
2v 的大小分别为 （A ）3
2
11078.1⨯=v m/s ，2
2
21069.1⨯=v m/s （B ）3
2
11058.1⨯=v m/s ，2
2
21050.1⨯=v m/s （C ）3
2
11093.1⨯=v m/s ，3
2
21083.1⨯=v m/s （D ））3
2
11093.1⨯=v m/s ，2
2
21083.1⨯=v m/s ，
[ ] 答案：（ D ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）
则其最概然速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3
理想气体的温度由27
C 升高到927C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （
D ） 34倍
[ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3
已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数
（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率
（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数
[ ] 答案：（ B ）
分值：3分 难度系数等级：3
已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为
)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下
列几个关系式中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，
)(1p v f <)(2p v f
[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）
则其方均根速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）
分值：3分 难度系数等级：3
某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为
（A ）⎰
⎰=2
2
10)()(v v v dv v f dv
v vf v （B ）⎰
⎰∞
=
1
2
1)()(v v v dv v f dv
v vf v
（C ）⎰
⎰∞
=0
)()(2
1dv v f dv
v vf v v v （D ）⎰
⎰=
2
1
2
1)()(v v v v dv
v f dv
v vf v
[ ]
答案：（ D ） 题号： 分值：3分
难度系数等级：3
设有一群粒子按速率分布如下：
则其平均速率为
（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s [ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：4
如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示氧
气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H p O p v v
（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4)()(2
2
=H
p O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且
41)()(2
2
=
H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且
4
1)()(2
2
=
H
p O p v v [ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：4
如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2
)(o p v 和2
)(H p v 分别表示
氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是
（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且2000)(2=O p v m/s （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且2000)(2=H p v m/s （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且2000)(2=O p v m/s （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且2000)(2=H p v m/s
[ ] 答案：（ D ）
题号： 分值：3分 难度系数等级：4
一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比
2
1
v v 为 （A ）
212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）1
2
2p p [ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：5
处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设p v 表示最概然速率，p N ∆表示速率分布在v v v p p ∆+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则
（A ）p v 减小，p N ∆也减小 （B ）p v 增大，p N ∆也增大 （C ）p v 减小，p N ∆增大 （D ）p v 增大，p N ∆减小
[ ] 答案：（ C ）
2、判断题
题号： 分值：2分
难度系数等级：1
理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。

[ ]答案：对
题号：
分值：2分
难度系数等级：1
两容器都储有氢气，温度和体积都相同，但两者的气体质量不相等，所以它们的分子速率分布也不相同。

[ ]答案：错（因两容器的分子质量和温度相等）
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
两容器都储有氢气，温度相同，体积不相同，两者的气体质量也不相等，但它们的分子速率分布相同。

[ ]答案：对（因两容器的分子质量相等、温度相等）
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
气体处于平衡态时，具有某一速率的分子数是确定的，速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数的比值也是确定的。

[ ]
题号：
分值：2分
难度系数等级：2 麦克斯韦速率分布函数Ndv
dN v f )(是平衡态下理想气体质心的速率分布函数。

它表示平衡态下的理想气体分子数按速率的分布规律。

[ ] 答案：对
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别储有氮气和氢气，温度和体积都相同，而且两气体的质量相等，所以它们的分子速率分布也相同。

[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
两容器分别贮有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子速率分布也是相同的。

[ ] 答案：错（因两气体的分子质量不相等）
题号：
难度系数等级：3
混合气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与该种气体单独存在时分子的速率分布情况完全相同。

[ ] 答案：对
题号：
分值：2分
难度系数等级：4
恒温容器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件而化合成水，所以瓶内剩余的氢分子的速率分布将会改变。

[ ] 答案：错（因温度不变，所以氢分子的速率分布也不变）
题号：
分值：2分
难度系数等级：4
⎰2
1)(v v dv v vf 表示在21~v v 区间分子的平均速率。

[ ] 答案：错（⎰⎰=2121
12)()(~v v v v v v dv
v f dv v vf v ）
题号：
分值：2分
难度系数等级：5
最概然速率相同的两种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同。

[ ] 答案：对（2)(324)(v e v v f p v v p --=
π）
3、填空题
题号：
分值：2分
难度系数等级：1 已知某理想气体的速率分布函数为Ndv dN v f =
)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v +~区间内的分子数，则表达式dv v Nf )(的物理意义是： 。

答案：表示速率在dv v v
+~区间内的分子数
题号：
分值：2分
难度系数等级：1
在标准状态下，氮分子的平均速率为 m/s 。

答案：455 m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：1
温度为127℃ 的氧气分子的最概然速率为 m/s 。

答案：455 m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：1
温度为127℃ 的氧气分子的方均根速率为 m/s 。

答案：558 m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
如图所示，两条曲线分别表示相同温度下
的氢气和氧气分子的速率分布曲线，则b 曲
线表示 分子的速率分布曲线。

（填
氧气或氢气） 答案：氢气
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
已知某理想气体的速率分布函数为Ndv dN v f =
)(，其中N 为气体的总分子数，dN 为分子速率在dv v v +~区间内的分子数，则表达式dv v f )(的物理意义是： 。

答案：表示在总分子数N 中，速率在dv v v
+~区间的分子数占分子总数的百分比，或者表示分子在速率dv v v
+~区间内的概率
题号：
分值：2分
难度系数等级：2 同温度下氢气分子与氧气分子的平均速率之比为_____ ____。

答案：1:4
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克
斯韦气体分子速率分布曲线，则氧气分子的最概
然速率为 。

答案：6002=po v m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
在麦克斯韦速率分布关系中，若取)(v Nf 为纵坐标，N 为气体的总分子数，速率v 为横坐标，则速率分布曲线与横坐标所包围的总面积等于____ 。

答案：N
题号：
分值：2分
难度系数等级：2
理想气体分子的最慨然速率p v 的物理意义是 。

答案：分子速率在p v 附近分布的概率最大或分子速率在p v 附近的分子数最多
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则⎰dv v f v p )(0表示 。

答案：速率区间p ν~0的分子数占总分子数的百分比
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度
为T 时的速率分布曲线如图所示，其中Ndv
dN v f =)(为速率分布函数，则表达式⎰21
)(v v dv v Nf 的物理意义是 。

答案：表示速率在21
~v v 区间内的平均分子数
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
温度为127℃ 的氧气分子的平均速率为 m/s 。

答案：514 m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
已知)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，p v 为分子的最概然速率，则在p v v >速率区间内的分子平均速率表达式为： 。

答案：dv v f v dv v f v v p p ⎰⎰∞∞=）
（）（··ν
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
一个容器内有摩尔质量分别为1μ和2μ两种不同的理想气体，当此混合气体处于平衡状态时，1和2两种气体分子的方均为根速率之比为 。

答案：
12/μμ
题号：
分值：2分
难度系数等级：3
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克
斯韦气体分子速率分布曲线，则氢气分子的最概
然速率为 。

答案：24002=pH v m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：4
在容积为2100.3-⨯m 3 的容器中装有2
100.2-⨯kg 的理想气体，容器内气体的压强为41006.5⨯Pa ，则气体分子的最概然速率为 m/s 。

答案：389 m/s 或390 m/s
题号：
分值：2分
难度系数等级：4
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度
T 时的速率分布曲线如图所示，
其中Ndv dN v f =)(为速率分布函数，则表达式⎰21)(v v dv v f 的物理意义是。

答案：表示在总分子数N 中，速率在21
~v v 区间内的平均分子数占总分子数的百分比
题号：
分值：2分
难度系数等级：4
如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦
克斯韦分子速率分布曲线，则气体的温度
为 。

答案：T =693 K
题号：
分值：2分
难度系数等级：5
已知某理想气体分子总数为N ，分子质量为m ，在温度T 时的速率分布曲线如图所示，其中Ndv dN v f =)(为速率分布函数，则表达式⎰21)(2
12v v dv v Nf mv 的物理意义是 。

答案：表示速率在21
~v v 区间内分子的平均平动动能之和
4、计算题
题号：
分值：10分
难度系数等级：1
体积为3100.1-⨯m3的容器中含有231001.1⨯个氢气分子，如果其中压强为51001.1⨯Pa 。

求该氢气的温度和分子的方均根速率。

解答及评分标准：
由理想气体物态方程 nkT p = 可得氢气温度为
5.72===Nk
pV nk p T K （5分） 氢气分子的方均根速率为 221051.93⨯==
μRT v m •s -1 （5分）
题号：
分值：10分
难度系数等级：1 20个质点的速率如下：2个具有速率0v ，3个具有速率02v ，5个具有速率03v ，4个具有速率04v ，3个具有速率05v ，2个具有速率06v ，1个具有速率07v 。

试计算：（1）平均
速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。

解答及评分标准：
根据定义，有
（1）0
000000065.3207162534435232v v v v v v v v v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（3分）
（2）
2
1202020202020202]20
)7(1)6(2)5(3)4(4)3(5)2(32[v v v v v v v v ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= =099.3v （5分）
（3）因为有5个质点速率是03v ，所以
03v v p = （2分）
题号：
分值：10分
难度系数等级：2
在一容积为V 的容器内盛有质量分别为1M 和2M 的两种不同的单原子分子气体，此混合气体处于平衡状态时，其中两种组分的气体内能相等，均为E ，
求两种气体分子的平均速率之比2
1v v 。

解答及评分标准：
由 πμRT
v 8= ， 得：1221μμ=v v （4分）
又由内能相同 RT M RT M E 23232211μμ==，即 1
212M M =μμ （3分） 故
1221M M v v = （3分）
题号： 分值：10分 难度系数等级：2
一容器内储有温度为127 C 的理想气体，其压强为×104
Pa 。

求该气体的（1）分子数密度；（2）分子平均平动动能；（3）理想气体是H 2时的方均根速率；（4）理想气体是CO 2时的平均速率。

解答及评分标准：
（1）24
23
41075.3400
1038.11007.2⨯=⨯⨯⨯==-kT p n m -3 （2分） （2）21231028.84001038.12
3
23--⨯=⨯⨯⨯==
kT k ε J （2分） 或：21
24
41028.81075.31007.22323-⨯=⨯⨯⨯==n p k ε J （3）3
3
2
2
1023.210240031.833⨯=⨯⨯⨯=
=
-H RT
v μ m/s （3分） （4）43910
4414.3400
31.8883
2
=⨯⨯⨯⨯=
=-CO RT
v πμ m/s （3分） 题号：
分值：10分 难度系数等级：3
一氧气瓶的容积为V ，充了氧气后，未使用时的压强为1p ，温度为1T ；使用后瓶内氧气质量减少为原来的一半，其压强降为2p 。

（1）试求使用前后氧气分子热运动平均速率之
比21v v ；（2）若使用后氧气分子的平均平动动能为211021.6-⨯J ，试求氧气分子的方均根
速率和此时氧气的温度。

解答及评分标准：
（1）设使用前质量为M ，则使用后为
2
M
则221121,RT M
V p RT M
V p μ
μ
=
=
（2分） 所以
2
121211
2
122//,2p p T T v v p p T T =
==
（3分）
（2）由平均平动动能公式：kT mv k 2
3212==ε ，
（氧分子：26
1031.5-⨯=m kg ）（1分） 得 氧气分子的方均根速率为： ()
()
63.483/22
/12
/12==m v
k ε m/s （2分）
此时氧气的温度为： 3003/2==k T k ε K （2分） 题号： 分值：10分 难度系数等级：3
设N 个粒子系统的速率分布函数为：Kdv dN v = （0>>v V ，K 为常数）
0=v dN （V v >）
求：（1）画出分布函数图；（2）用N 和V 定出常数K ；（3）用V 表示出算术平均速率。

解答及评分标准：
（1）因为Kdv dN v =，所以
N
K
Ndv dN v f v ==
)( （0>>v V ） 0)(=v f （V v >）
其分布函数图如右上图所示。

（4分）
（2）由
1)(00==⎰⎰
∞
dv N K dv v f V
，得 V
N K = （3分） （3）V V V vdv N K dv v vf v V 2
1
211)(200=⋅===⎰⎰∞ （3分）
题号： 分值：10分
难度系数等级：3
试利用麦克斯韦速率分布函数，推求气体分子的最概然速率p v 。

解答及评分标准：
麦克斯韦速率分布函数为
kT
mv kT mv e
Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=⋅⋅=ππ （3分） 求极值，有 0222())((322=⋅-=-=v kT
m v Ce dv v df kT
mv v v p （5分）
最概然速率为 m
kT
v p 2=
（2分） 或者 μ
RT
v p 2=（μ为分子摩尔质量）
题号： 分值：10分 难度系数等级：3
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示 （当 v > 2 v 0时，粒子数为零）。

求：（1）C ； （2）速率在v 0到2v 0之间的分子数； （3）气体分子的平均速率。

解答及评分标准： (1) 由归一化条件：⎰
∞
=⋅+⋅=
0012
1
)(C v C v dv v f 得 0
32
v C =
（3分） (2) N v Nv v v v v C N dv v f N
N 3
232)2(2)(00000
==-⋅⋅==∆⎰ （3分）
或：N N N N 3213232
=⋅⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅=∆曲线下所围总面积
（3）
020
32
)(232
)(0v C v f v v v v v v f v v =
=≤≤=
<≤
所以 ⎰
⎰
⎰
⎰
⎰+
===
=
∞
20
2
2
20
20
32
32
)()(v v v v v vdv v dv v v dv v vf N
dv v vf N N
vdN v
0009
11
92v v v =+=
（4分） 题号： 分值：10分
难度系数等级：4
证明：麦克斯韦速率分布函数可写成 x e x x -=
24
)(π
ϕ，其中 p
v v
x =。

解答及评分标准：
由麦克斯韦速率分布函数 kT
mv kT mv e
Cv e v kT
m v f 22222322)2(4)(--=⋅⋅=ππ 22
3
2
4p
v v
p
e v v
-=
π （5分）
令 p v v x =
，则有 p v dx
dv
=，故有 x xv v e x dx dv v f x p
-==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=24)()(πϕ （5分） 题号： 分值：10分 难度系数等级：4
求速率大小在最概然速率p v 与p v 01.1之间的气体分子数占总分子数的百分之几。

解答及评分标准： 根据m
kT
v p 2=
，可以将麦克斯韦速率分布函数公式改写为 x e x N N x ∆⋅=∆-2
24π
（5分） 式中p v v x =
，p
v v x ∆=∆ 根据题意p v v =，所以
01.0,01.0,1=∆=∆=x v v x p （3分） 代入，有 0083.001.04
1=⨯⋅=∆-e N N π
（2分）
题号： 分值：10分 难度系数等级：5
导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。

设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为F v （称为费米速率），电子在速率dv v v +~之间的概
率为
dv v N A N dN 24π=（0>>v v F ，A 为常数），0=N
dN
（F v v >）。

（1）画出分布函数图；（2）用N 、F v 定出常数A ；（3）证明电子气中电子的平均动能F εε5
3
=，其中
2
2
1F
F mv =ε。

解答及评分标准：
（1）由题设可知，电子的速率分布函数为
2
4)(v N A Ndv dN v f π==
（0>>v v F ，A 为常数） 0)(==Ndv dN
v f （F v v >）
其分布函数图如下图所示 （4分）
142
=⎰
dv v N
A F
v π （2）由分布函数的归一化条件 得 3
43F
v N
A π=
（3分） （3）5
3544)(2
54
2
2
F F v v N Av dv v N A dv v f v v F
====
⎰
⎰
∞
ππ 电子的平均动能 F F v m v m εε535321212
2
===，其中22
1F F mv =ε （3分）
证毕。