第三章信源及信源熵

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信息论第三章信源及信源熵

• （1）求信源熵 • （2）求由m个“0”和（100-m）个“1”构成
的某一特定序列自信息量的表达式
• （3）计算由100个符号构成的符号序列的熵
• 3.3.2离散平稳有记忆信源 • 熵函数的链规则：
X x1，x2，，xN ,其中每个随机变量之间存在统计依赖关系。 H ( X ) H ( X1X 2 X N ) H ( X1) H ( X 2 X1) H ( X 3 X1X 2 ) H (X N X1X 2 X N1)
i
j
则称其具有遍历性，w
为平稳分布
j
• 遍历的马尔可夫信源熵率: • (1)齐次的马尔可夫信源:视作平稳的信源来处理 • 遍历的马尔可夫信源都是齐次的 • 遍历的马尔可夫信源:视作平稳的信源来处理 • (2) m阶马尔可夫信源: 只与最近的m个符号有关.
H
＝
lim
N
H
(
X
N
X1X 2 X N 1)
件不断增加，平均符号熵
及HN (条X) 件熵
• H ( X N X1X 2 X3 X N1) 均随之减少。
• 当 N 时 HN (X)=H ( X N X1X 2 X N1)
• 即为熵率，它表示信源输出的符合序列中，平均每个符号所携带的信息熵。
• 求熵率的两种途径：
• 1.极限平均符号熵 • 2.极限条件熵
4
)
0
0.5
0
0 0.5 0
0.5 0 0.2
0.5 0
=(w 1
0.8
w2
w3
w4 )
0.2w1 0.5w 2
+0.5w3 =w2 +0.2w4 =w3
lim lim 现在令N ，则有H (X )

第3章离散信源

时间长度为bi，则该信源的时间熵定义为：Ht(X)=H(X)/b. 其中b为信源符号的
平均时间长度。
M
b p( xi ) bi
i 1
s / 符号
离散信源的时间熵（续）
K重符号序列离散无记忆信源的时间熵：
K K Ht (X ) H(X ) / B
bit / s 其中B Kb
为K重符号序列消息的平均时间长度。由于信源无记忆，上式也可以写成：
bit / s
由于信源有记忆，所以有：
K ( H t X ) KH ( X ) (Kb) KH ( X ) /(Kb) H ( X ) / b
bit / s
有记忆信源与无记忆信源相比，对外提供信息量的速度下降了。
离散信源的时间熵（续）
马尔可夫信源的时间熵：若信源从状态Si转移到状态Sj，发出的符号是xij，它的时间长度设为bij，则信源从状态Si发生转移并发出一个符号时，符号的平均长度为：
信源分类
若离散信源输出符号彼此间相互独立，而且所有符号服从同一种概率分布，则称之为简单无记忆信源；
若输出符号间彼此相关，且每个符号只与它前面的一个符号相关，而这种相关性可以用符号间的转移概率来描述，则称之为马尔可夫信源。
离散信源的熵
单符号离散无记忆信源熵：若信源X含有M个符号，而且每个符号相互独立，则当信源每次发送一个符号代表一条消息时，其信源熵可以表示为:
H(X ) 100% H ( X )max
信源符号的相关性越大，信源效率越低，要提高信源效率，要设法降低符号之间的相关性。
信源的效率与冗余度（续）
（2）信源冗余度：
H ( X )max H ( X ) H(X ) R 1 1 100% H ( X )max H ( X )max

信息论与编码2-信源及信源熵

随机英文字母信源，其中每个英文字母出现的概率是固定的。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。

第三章信息论基础知识(Part2)

信息论基础知识主要内容：信源的数学模型信源编码定理信源编码算法信道容量通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。

狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。

实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。

广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用，如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。

第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传输的最高速率是多少？噪声信道编码定理噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压缩信息中以无差错或低差错恢复的最低速率是多少？香农信源编码理论香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)，美国数学家，信息论的创始人。

创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。

1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。

1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了全面的论述，奠定了密码学的基础。

1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基础，为信源编码的研究奠定了基础。

1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之间的关系。

二次扩展信源的熵

二次扩展信源的熵：
H ( X ) H ( X ) p(i )log 2 p(i ) 3
2 i 1
9
2、离散平稳有记忆信源的概念及其信源熵

离散平稳有记忆信源：输出的符号序列是平稳随机序列，并且符号之间是相关的，即不是统计独立的信源。数学模型为：
X X1 X 2 X 3
例3.2
设有一离散无记忆信源X，其概率空间为 x1 x2 x3 X 1 1 1 P X 2 4 4 求该信源的熵率及二次扩展信源的熵。

注意：题目中的概率空间不是离散多符号无记忆信源的概率空间，而是其对应的离散单符号信源的概率空间。该例题是对离散平稳无记忆信源求熵率的一个练习，
二次扩展信源的概率空间：
X 2 1 ( x1 x1 ) 2 ( x1 x2 ) 3 ( x1 x3 ) 4 ( x2 x1 ) 5 ( x2 x2 ) 2 1/ 8 1/ 8 1/ 8 1/16 P( X ) 1/ 4 6 ( x2 x3 ) 7 ( x3 x1 ) 8 ( x3 x2 ) 9 ( x3 x3 ) 1/16 1/ 8 1/16 1/16
X X1 X 2 X 3
离散单符号信源的 N 次平稳无记忆扩展信源（ N 次无记忆扩展信源）

它是一种N 次扩展信源，其每次输出的是 N 长符号序列，数学模型为 N 维离散随机变量序列（随机矢量）
X X1 X 2 X N
其中每个随机变量之间统计独立。由平稳性知，每个随机变量统计特性相同，故该信源又可表示为：
比特/号
2) 如果不考虑符号间的相关性，则信源熵为
1 4 11 H ( X ) H ( , , ) 1.542 比特/符号 4 9 36

第三章离散信源及离散熵

电子科技大学
H(X) = −∑p(xi )lbp(xi )
i =1
4
1 1 1 1 1 1 = − lb − lb − lb × 2 2 2 4 4 8 8
2011-3-13
1 1 1 1 1 1 = lb2 + lb4 + lb8 = + × 2 + × 3 2 4 4 2 4 4 bol = 1.75(bit / sym )
2011-3-13
1、离散平稳信源及其数学模型对于多符号离散信源发出的符号序列 X1X2 L 如果任意两个不同时刻k …，如果任意两个不同时刻k和l，k=1,2, …， l=1,2, …，其概率分布相同，即 …，其概率分布相同， P(Xk ) = P(Xl ) 则称该多符号离散信源为一维离散平稳信源。信源。
该信源的离散熵
2011-3-13
H(X1X2 ) = −∑p(ai )lbp(ai )
= −∑∑p(xi1 xi 2 )lbp(xi1 xi 2 )
i1 =1i 2 =1 n n n n
n2
电子科技大学
i =1
= −∑∑p(xi1 xi 2 )lbp(xi1 )p(xi 2 / xi1 )
i1 =1i 2 =1
电子科技大学
H(X) = −∑p(i)lbp(i)
i =1
6
1 1 bol = − lb × 6 = lb6 = 2.585(bit / sym ) 6 6
2011-3-13
例2，求某一天简单的天气气象这一信源的离散熵。的离散熵。该信源的数学模型为：解：该信源的数学模型为：
) ) ) 雨 x1(晴 x2(阴 x3( ) x4(雪 X 1 1 1 P(X) = 1 2 4 8 8

信息与编码第3章信源及信源熵5

解：为了计算方便，假设每类中汉字出现是等概的，得表
类别 1 2 3 4
汉字个数 140 625-140=485 2400-625=1775 7600
所占概率 0.5 0.85-0.5=0.35 0.997-0.85=0.147 0.003
每个汉字的概率 0.5/140 0.35/485 0.147/1775 0.003/7600
H1=H(X) =9.773 bit/汉字 H0=13.288 bit/汉字
1 H1 0.264
H0
分析
该例题是求在不考虑符号间相关性的条件下求剩余度，所以只要求出信源熵和极大熵即可。
总结
1、信源的相关性 2、信源的利用率和剩余度
第三章信源及信源熵
主要学习内容
一、信源的分类及其数学模型二、离散单符号信源、离散多符号信源的概念
及其信源熵三、离散平稳无记忆信源、离散平稳有记忆信
源的概念及其信源熵四、马尔科夫信源及其信源熵五、信源的相关性、利用率和剩余度
1、信源的相关性
含义：也就是信源输出符号间的相互依赖关系如何度量：用信源符号的利用率和剩余度
剩余度产生的原因
1）信源符号间的相关性，相关度越大，符号间的依赖关系就越大，信源的极限熵H∞就越小，剩余度就越大。
2）信源输出消息的不等概分布使信源的极限熵H∞减小。
当信源输出符号间不存在相关性，且输出符号的概率分布为等概分布时，信源的极限熵H∞达到最大，等于H0
英文信源
H0=4.76 H1=4.03 H2=3.32 H3=3.1
H5=1.65
H =1.4
H 1.4 0.29
H0 4.76
1 0.71
5种文字在不同近似程度下的熵

信息论第3章信源及信息熵

举例
数学描述
离散信源（数字信源）
连续信号
文字、数据、离散化图象
离散随机变量序列
跳远比赛的结果、语音连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源（模拟信源）
语音、音乐、热噪声、图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马尔可夫链的研究。

高等教育《信息论》第3章离散信源

X
P
x1
px1
x2
px2
xq
p
xq
(3.5)8
信源输出信息量的度量
定义 3.2.2 设信源 X 中，事件 xi 发生的概率为 pxi ，
则所含有的自信息量定义为
de f
I xi log pxi
(3.6)
定义 3.2.2 给出的自信息量的函数形式有如下性质：
① 信源中信息的量度与输出符号发生的概率有关。
000, 001, 011, 111,100,110, 010,101
5
3.1.2 信源的分类无记忆信源
① 离散无记忆信源信源发出的消息符号彼此是统计独立的，并且具有
相同的概率分布，其 N 维随机矢量的联合概率分布为
N
N
p X p X k aik pik
k 1
k 1
i 1, 2, , q
其中 N 可为有限正整数或可数无穷值。通常，总限定 N 是有限的，故只限于讨论“有限离散信源”。若在这随机
矢量中的每个随机变量Xk , k 1, 2, , N 都是离散的，则可用N重离散概率空间的数学模型来描述这类信源。
X
P
a1
pa1
a2
pa2
aqN p aqN
(3.4)
其中
9
自信息量 I xi 是指某一信源发出某一消息符号 xi 所含
有的信息量，所发出的信息符号不同，它们含有的信息量
也就各不相同，故自信息量 I xi 是一个随机变量，不能用
它来作为整个信源输出信息的信息测度。为此，需要引入平均自信息量，即信息熵来作为信源输出信息的信息测度。
定义 3.2.3 信源输出的各消息的自信息量的数学期望为信源的平均自信息量，或称为信源的信息熵。

信息论复习提纲

《信息论与编码》课程教学大纲

《信息论与编码》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16052603课程名称：信息论与编码英文名称：Information Theory and Coding课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象:信息与计算科学考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数、概率论二、课程简介《信息论与编码》是信息科学类专业本科生必修的专业理论课程。

通过本课程的学习，学生将了解和掌握信息度量和信道容量的基本概念、信源和信道特性、编码理论等，为以后深入学习信息与通信类课程、为将来从事信息处理方面的实际工作打下基础。

本课程的主要内容包括：信息的度量、信源和信源熵、信道及信道容量、无失真信源编码、有噪信道编码等。

Information Theory and Coding is a compulsory professional theory course for undergraduates in information science. Through this course, students will understand and master the basic concepts of information measurement and channel capacity, source and channel characteristics, coding theory, etc., lay the foundation for the future in-depth study of information and communication courses, for the future to engage in information processing in the actual work.The main contents of this course include: information measurement, source and source entropy, channel and channel capacity, distortion-free source coding, noisy channel coding, etc。

第3章_信源及信源熵_修改

第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
4. 马尔可夫信源
(1) 定义 (2) 熵率
(3) 马尔可夫信源
(4) 马尔可夫链
马尔可夫链
第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
4. 马尔可夫信源（续1）
(1) 定义
实际的有记忆信源，符号间的相关性可以追溯到很远，使得熵率的计算比较复杂。
离散多符号信源可以用随机矢量/随机变量序列来描述，即

一般来说，信源的统计特性随着时间的推移而有所变化。为了便于研究，我们常常假定在一个较短的时间段内，信源是平稳信源。
第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
1. 预备知识（续1）
定义1：对于离散随机变量序列，若任意两个不同时刻i和j (大于1的任意整数) 信源发出消息的概率分布完全相同，即对于任意的，和具有相同的概率分布。也就是
怎样确定信源产生的信息量、产生信息的速率 √
信源编码
（第五章）
根据信源输出消息在时间和取值上是离散或连续分类：
时间（空间）离散取值信源种类举例消息的数学描述
离散
离散信源（数字信源）
文字、数据、离散化图象
离散随机变量序列
离散连续
连续连续
连续信源波形信源（模拟信源）语音、音乐、热噪声、图形、图象不常见
第三章：信源及信源熵
一：信源的分类及其数学模型
1. 预备知识二：离散单符号信源 2. 离散平稳无记忆信源三：离散多符号信源 3. 离散平稳有记忆信源 4. 马尔可夫信源 5. 信源的相关性和剩余度

信息论基础与编码课后题答案(第三章)

3-1 设有一离散无记忆信源，其概率空间为12()0.60.4X x x P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，信源发出符号通过一干扰信道，接收符号为12{,}Y y y =，信道传递矩阵为51661344P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求：（1）信源X 中事件1x 和2x 分别含有的自信息量；（2）收到消息j y （j ＝1，2）后，获得的关于i x （i ＝1，2）的信息量；（3）信源X 和信宿Y 的信息熵；（4）信道疑义度(/)H X Y 和噪声熵(/)H Y X ；（5）接收到消息Y 后获得的平均互信息量(;)I X Y 。

解：（1）12()0.737,() 1.322I x bit I x bit ==（2）11(;)0.474I x y bit =，12(;) 1.263I x y bit =-，21(;) 1.263I x y bit =-，22(;)0.907I x y bit =（3）()(0.6,0.4)0.971/H X H bit symbol ==()(0.6,0.4)0.971/H Y H bit symbol ==（4）()(0.5,0.1,0.1,0.3) 1.685/H XY H bit symbol ==(/) 1.6850.9710.714/H X Y bit symbol =-= (/)0.714/H Y X bit symbol =（5）(;)0.9710.7140.257/I X Y bit symbol =-=3-2 设有扰离散信道的输入端是以等概率出现的A 、B 、C 、D 四个字母。

该信道的正确传输概率为0.5，错误传输概率平均分布在其他三个字母上。

验证在该信道上每个字母传输的平均信息量为0.21比特。

证明：信道传输矩阵为：11112666111162661111662611116662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，信源信宿概率分布为：1111()(){,,,}4444P X P Y ==， H(Y/X)=1.79（bit/符号），I(X;Y)=H(Y)- H(Y/X)=2-1.79=0.21（bit/符号）3-3 已知信源X 包含两种消息：12,x x ，且12()() 1/2P x P x ==，信道是有扰的，信宿收到的消息集合Y 包含12,y y 。

信源及信源熵课件

编码是将信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程。
编码的方式和格式取决于应用场景和需求。
编码的目的是为了便于信息的存储、传输和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据进行压缩编码，以减少存储空间和传输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的前提下，尽可能地减小编码后的数据量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐藏在普通数据中，实现隐蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加数据破解的难度，保护数据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项，替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制或其它形式的数字信号，实现数字通信，提高通信系统的传输效率和可靠性。
信源编码的原理基于信息论和概率统计的知识，通过对信源输出的概率分布进行分析，采用适当的编码方式实现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。

信源及信源熵

i
是
xi
的函数，
I (xi ) xi
9
2.2.1 自信息量
b. 自信息量的单位的确定 • 在信息论中常用的对数底是2，信息量的单位为比特（bit）； • 若取自然对数，则信息量的单位为奈特（nat）； • 若以10为对数底，则信息量的单位为笛特（det）。
这三个信息量单位之间的转换关系如下： 1 nat＝log2e l.433 bit， l det＝log210 3.322 bit
10
2.2.1 自信息量
几个例子
i.
一个以等概率出现的二进制码元（0，1）所包含的自信息量为：
I（0）= I（1）= - log2 （1/2）=log22=1 bit
ii. 若是一个m位的二进制数，因为该数的每一位可从0, 1两个数字中任取一个，因此有2m个等概率的可能组合。所以I= -log2(1/2m)=m bit，就是需要m比特的信息来指明这样的二进制数。
i 1
6
第二节离散信源熵和互信息
问题： • 什么叫不确定度？ • 什么叫自信息量？ • 什么叫平均不确定度？ • 什么叫信源熵？ • 什么叫平均自信息量？ • 什么叫条件熵？ • 什么叫联合熵？ • 联合熵、条件熵和熵的关系是什么？
7
第二节离散信源熵和互信息 • 什么叫后验概率？ • 什么叫互信息量？ • 什么叫平均互信息量？ • 什么叫疑义度？ • 什么叫噪声熵（或散布度）？ • 数据处理定理是如何描述的？ • 熵的性质有哪些？
信源及信源熵
第一节信源的描述和分类
1. 连续信源连续信源是指发出在时间和幅度上都是连续分布的连续消息（模拟消息）的信源，如语言、图像、图形等都是连续消息。
2. 离散信源离散信源是指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源，如文字、数字、数据等符号都是离散消息。

信息论基础教程,李亦农李梅编著,北京邮电大学出版社

物理量称为信号。编码器可分为信源编码器、信道编码器。
信源编码的目的为了提高通信系统的有效性和提高信息传输的可靠性。在实际的通信系统中，可靠性和有效性常常相互矛盾。
（3）信道。信道是指通信系统把载荷消息的信号从发送端送到接收端的媒介或通道，是包括收发设备在内的物理设施。
（4）译码器。译码就是把信道输出的已迭加了干扰的编码信号进行反变换，变成信宿能够接受的消息。译码器也可分成信源译码器和信道译码器。
的概率，这样得到的新信xn 源的熵增加，熵增加了一项是由于划分
产生的不确定性。
7. 极值性： H ( p1, p2,
,
pn
)
H
1 n
,
1, n
,
1 n
log
n
式中n是随机变量X的可能取值的个数。
极值性表明离散信源中各消息等概率出现时熵最大，这就是最大离散熵定理。连续信源的最大熵则与约束条件有关。
, pq ) H (p)
1.对称性：H (p)
H( p1, p2, , pq ) H( p2, p1, , pq )= = H( pq, p1, , pq1) 性说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
2021/5/20
19
2. 确定性：
H(1, 0) H(1, 0, 0) H(1, 0, 0, 0) H(1, 0, ,0) 0
（2）一般信息论：也称工程信息论。主要也是研究信息传输和处理问题，除香农信息论的内容外，还包括噪声理论、信号滤波和预测、统计检测和估计、调制理论、信息处理理论以及保密理论等。
（3）广义信息论：不仅包括上述两方面内容，而且包括所有与信息有关的自然和社会领域，如模式识别、计算机翻译、心理学、遗传学、神经生理学、语言学、语义学甚至包括社会学中有关信息的问题。

第三章4连续信源及信源熵

(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内均匀分布，即
1
N
p(x)
(N
x (bi ai ) i 1
若一维随机变量X的取值区间是[0,∞)，其概率密度函数为
p(x)
1 m
e
x m
(x 0) m是X的均值
E[X ] m
xp(x)dx
0
0
x
1 m
e
x m
dx
m
指数分布连续信源的熵为
Hc ( X ) 0 p(x) log2 p(x)dx
0
p(x) log2
1 m
e
x m
dx
随机变量X的方差E[( X m)2 ] E[ X 2 ] m2 P2 m2 2
当均值m 0时，平均功率P 2
对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；
把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨论；
把平均功率受限当成是m=0情况下，方差受限的特例。
定义高斯分布的连续信源的熵记为Hc[p(x),X] 定义任意分布的连续信源的熵记为Hc[q(x),X] 已知Hc[p(x),X]=(1/2)log2(2πeσσ) 任意分布的连续信源的熵为
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2

第三章信道与信道容量习题解答

但与理论不矛盾因为信息速率不光与信源熵有关还与每秒发送的符号数有关该信源的两个消息是非同价代码每个码元消息的时间长度不同等概率时信源熵提高了但每秒发送的符号数下降了因此才有此结果
第三章信道与信道容量习题解答
1.设信源
通过一干扰信道，接收符号为
信道传递矩阵为
（1）信源中符号和分别含有的自信息量。
（4）说明如果信噪比降低，则为保持信道容量不变，必须加大信道带宽。反之加大信道带宽，则可降低对信噪比的要求。如果信道带宽降低，则为保持信道容量不变，必须加大信号功率信噪比。反之加大信号功率信噪比，则可降低对信道带宽的要求。
12.在一个理想通信系统中，已知信道中功率信噪比为 10分贝，为了使功率节省一半又不损失信息量，有几种办法？请计算并讨论各自的优缺点。
，
将各数据代入：解得：
如果
则
将各数据代入：解得：
14.在理想系统中，若信道带宽与消息带宽的比为 10，当接收机输入端功率信噪比分别为 0.1和 10时，试
比较输出端功率信噪比的改善程度，并说明
与
之间是否存在阀值效应。
解：已知
根据公式：
前者改善不明显，后者改善明显，故存在阀值效应。 15.设加性高斯白噪声信道中，信道带宽 3kHz，又设
解：设将电阻按阻值分类看成概率空间 X：
，
按功耗分类看成概率空间 Y：
已知：
，
通过计算
，，
，
得
通过测量阻值获得的关于瓦数的平均信息量：
6.有一以“点”和“划”构成的老式电报系统，“点”的长度为 30毫秒，“划”的长度为 150毫秒，“点”和“划”出现的
4
概率分别为 0.8和 0.2，试求信息速率为多少？“点”、“划”出现的概率相等时，信息速率为多少？是否“点”、“划” 出现的概率相等时信息速率一定最高？是否和理论相矛盾？为什么？解：

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X
P(
X
)
x1 p1
x2 p2
... xq
...
pq
q
且 0 pi 1， pi 1
i 1
3.2 离散单符号信源
信源输出信息能力
信源的平均自信息量（信息熵）：信源输出的所有消息的自
信息的统计平均值。
q
H ( X ) E log p(xi ) p(xi ) log p(xi )
掷骰子：为六元信源。
X 1
P(
X
)
p1
2 p2
3 p3
4 p4
5 p5
6
p6
，且
i
6 1
pi
1
则该信源的熵为：
6
H(X) pi log pi i 1
3.3 离散多符号信源
定义
离散多符号信源：输出为符号序列。
用离散随机变量序列（随机矢量）表示，即：
举例
X
X1X2 XN
以8位电话号码为研究对象的试验
信源
平稳信源
离散平稳信源
离散有记忆信源
连续平稳信源
记忆长度无限长：H 记忆长度有限(马尔可夫信源)：Hm
1
非平稳信源
3.2 离散单符号信源
定义
输出单个离散取值的符号的信源称为离散单符号信源。是最简单也是最基本的信源，是组成实际信源的基本单元。用一个离散随机变量表示。
数学模型
布完全相同，即对于任意的 N 0, 1, 2, ，X i X i1 X iN 和 X j X j1 X jN 具有相同的概率分布。也就是:
P(Xi ) P(X j ) P( Xi Xi1) P( X j X j1)
P( X i X i1 X iN ) P( X j X j1 X jN )
中文自然语言文字
离散多符号信源的实质
不是多个信源
而是以由一个信源发出的多个符号为研究对象的等价信源。
3.3 离散多符号信源
理清与离散多符号信源相关的几种常见信源的关系：
离散平稳信源
离散多符号信源输出的随机变量序列的统计特性往往比较复杂，分析起来比较困难。
为了便于分析，假设信源输出的是平稳随机序列，即：
第三章信源及信源熵
3.1 信源的分类及其数学模型 3.2 离散单符号信源 3.3 离散多符号信源
3.3.1 离散平稳信源 3.3.2 离散平稳无记忆信源 3.3.3 离散平稳有记忆信源 3.3.4 马尔可夫信源
3.4 信源的相关性和剩余度
3.1 信源的分类及其数学模型
信源的分类
➢ 分类1：根据信源输出的消息在时间和取值上是离散或连续分。
时间（空间) 取值信源种类
举例
数学描述
离散
离散信源离离散随机变量序列
离散
连续
连续信号
跳远比赛的结果、连续随机变量序列语音信号抽样以后
连续
连续
波形信源（模拟信源）
语音、音乐、热噪声、图形、图像
随机过程
连续离散
不常见
3.1 信源的分类及其数学模型
➢ 分类2：根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移而变化分。 1）平稳信源 2）非平稳信源
➢ 分类3：根据随机变量间是否统计独立分。 1）有记忆信源 2）无记忆信源
3.1 信源的分类及其数学模型
➢ 实际信源分类：
离散无记忆信源：H (X) NH (X）
HX1 HX2 HXN
H
X2
X 1
H
X3 X 2
H
XN
X N 1
H X3 X 2 X 1 H X 4 X 2 X3 H X N X X N2 N1
举例1
i 1
二元信源X 输出符号只有两个，设为0和1。输出符号发生的
概率分别为p和q，p+q=1。即信源的概率空间为
X
则该信源的熵为：
P
0 p
1 q
H(X) p log p q log q
p log p ( 1 p)log ( 1 p) H(p)
3.2 离散单符号信源
举例2
第三章信源及信源熵
信源
编码器
信道
译码器
信宿
噪声源
信源的主要问题：
➢ 信源的描述（数学建模）； ➢ 信源输出信息能力的定量分析（信源熵）； ➢ 信源信息的有效表示（信息编码）。
第三章信源及信源熵
信源
编码器
信道
译码器
信宿
噪声源
信源的主要问题：
➢ 信源的描述（数学建模）； ➢ 信源输出信息能力的定量分析（信源熵）； ➢ 信源信息的有效表示（信息编码）。
之间是统计独立的，即：称该多符号信源为离散无记忆信源的N次扩展信源。
举例以8位电话号码为研究对象的试验
一般情况下，信源在不同时刻发出的符号之间是相互依赖的，这种信源就为有记忆信源。
3.3 离散多符号信源
离散平稳有记忆信源实际上，许多信源发出的符号往往只与前若干个符号的
依赖关系强，而与更前面符号的依赖关系弱。因此，在研究分析时可限制随机序列的记忆长度。
序列的统计特性与时间的推移（起点）无关。
实际中很多信源也满足这个假设。举例以8位电话号码为研究对象的试验
均为离散平稳信源
中文自然语言文字
离散平稳信源又分为无记忆信源和有记忆信源。
3.3 离散多符号信源
离散平稳无记忆信源信源发出的各个符号彼此是统计独立的。对于多符号信源X=(X1 X2 …XN)，各随机变量Xi(i=1,2, …,N)
i N 1
P X jN
X X X j j1
j N 1
X jN )
离散平稳信源的条件概率分布与时间起点无关，只与关联长度N 有关。
3.3.1 离散平稳信源
推论2
P(Xi ) P(X j ) P( Xi Xi1) P( X j X j1)
P( X i X i1 X iN ) P( X j X j1 X jN )
即各维联合概率分布均与时间起点无关的信源称为离散平稳信源。
3.3.1 离散平稳信源
P(Xi ) P(X j )
推论1
P( Xi Xi1) P( X j X j1)
P
X i1
X i
P X j1 X j
P( X i X i1
X iN ) P( X j X j1
P
X iN
X X X i i1
当记忆长度为m+1时，称这种有记忆信源为m阶马尔可夫信源，即：
信源每次发出的符号只与前m个符号有关，与更前面的符号无关。
举例（离散平稳有记忆信源）中文自然语言文字
3.3.1 离散平稳信源
定义：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n , ，在任意两个不同
时刻 i 和 j ( i 和 j 为大于1的任意整数)信源发出消息的概率分