数学建模之回归模型
数学建模之回归分析
实际帐目数——x2 同类商品竞争数——x3 地区销售潜力——x4
第二十九页，共56页。
X= x1
11
5.5
2
2.5
31
8.0
41
3.0
51
3.0
6
2.9
7.
8.0
8.
9.0
9 10
.
4.0 6.5
11 1
5.5
12 13
1
5.0 6.0
14 1
5.0
15 16
1
3.5 8.0
17 1
问题分析：
钢材消费量--------试验指标(因变量)Y； 国民收入-----------自变量 x；
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)； 作拟合曲线图形分析。
第四页，共56页。
y=a+bx
钢材消费量y与国民收入x的散点图
第五页，共56页。
回归分析是研究变量间相关关系的一种统计分析。
输入：[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y
结果： Y= 22.5243
28.3186 27.0450 22.5243 26.0582 27.0450 24.1689
26.0582 24.1689 27.9896 19.6904
27.9896 19.6904 28.3186
拟合效果图：
假设：
1、因变量Y是随机变量，并且它服从正态分布； 2、f(x1,x2,x3,x4)是线性函数(非线性)；
模型： Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 ~ N (0, 2 )
第三十一页，共56页。
知识介绍
2、多元线性回归模型
数学建模之回归模型
二、多元线性回归分析1.简介多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
应用于根据现有资料对某变量进行预测，如预测某商品的销量等。
2.步骤①根据预测目标，确定自变量和因变量。
②建立多元线性归回模型 根据预测目标得自变量(1,2,,)k x k m =，因变量y 。
设与k x 无关的未知量2(1,,),j j m βσ= ，j β为回归系数。
记y ，k x 的观测值分别为i b ，im a ，1,,,i n n m =>，n 阶单位矩阵n E ，且111111m n nm a a X a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦，1,n b Y b ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][]101,,,,,TTn m εεεββββ==则多元线性回归分析的模型为2,~(0,).n Y X N E βεεσ=+⎧⎨⎩（1） ③求归回系数使用最小二乘法求j β的估计值，选取估计值ˆj β，使当ˆj jββ=时，误差平方和222011111ˆ)()nnni i ii i m im i i i Q b b b a a εβββ=====-=----∑∑∑（最小。
因此，令j0,0,1,2,3Qj c ∂==∂.得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=则有1ˆ().T T jX X X Y β-= 利用matlab 求解正规方程组即得j β的估计值为将ˆj β带回（1）得y 的估计值为 011ˆˆˆˆ,m my x x βββ=+++ 拟合为011ˆˆˆˆ,1,,.i m mb x x i n βββ=+++=用拟合误差ˆe Y Y =-作为随机误差ε的估计值得ε= 残差平方和2211ˆ()nni i ii i Q e b b ====-∑∑ ④回归模型的假设检验由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。
数学建模：用线性回归模型进行预测分析
数学建模：用线性回归模型进行预测分析1. 概述数学建模是一种利用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
其中，线性回归模型是最常用的预测分析方法之一，旨在建立一个线性关系来解释自变量（特征）与因变量（目标）之间的关系。
2. 线性回归模型基本原理线性回归模型是基于线性假设，即自变量与因变量之间存在线性关系。
它通过最小化残差平方和来估计自变量对因变量的影响，并确定最佳拟合直线。
2.1 数据集准备在构建线性回归模型之前，需要准备好相关数据集。
数据集应包含自变量和因变量，其中自变量可以是多维的。
2.2 模型训练使用训练集上的数据来训练线性回归模型。
训练过程通过求解最小二乘法方程得到一组最佳参数值。
2.3 模型评价为了评估线性回归模型的准确性，需要使用测试集上的数据进行预测，并计算预测值与真实值之间的误差。
常用指标包括均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）等。
3. 线性回归模型的应用场景线性回归模型可以应用于各种预测分析场景。
以下是一些常见的应用场景：3.1 经济学线性回归模型在经济学中常用于预测经济指标，例如GDP、通货膨胀率等。
通过建立一个线性关系，可以帮助经济学家进行政策制定和市场分析。
3.2 市场营销线性回归模型可以用于市场营销领域的广告效果预测、顾客购买意愿预测等。
通过分析不同因素对销售额的影响，可以制定更有效的市场推广策略。
3.3 医疗研究线性回归模型在医疗研究领域广泛应用。
它可以用来预测患者治疗效果、药物剂量与效果之间的关系等，为医生提供决策支持。
4. 线性回归模型的优缺点线性回归模型具有以下几个优点： - 易于理解和解释，模型结果可以直接转化为解释性语言。
- 计算速度快，适用于大规模数据集。
- 可以通过添加交互项和多项式特征来扩展模型的适应能力。
然而，线性回归模型也存在一些缺点： - 对于非线性关系的建模效果较差。
- 对异常值和离群点敏感。
- 对特征之间的相关性较为敏感，可能导致多重共线性问题。
《数学建模》课件：第十章 统计回归模型
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
数学建模——回归分析
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
数学建模 回归分析模型
非线性回归模型的实际应用
预测人口增长
非线性回归模型可以用来描述人口增长的动态变 化，预测未来人口数量。
医学研究
在医学研究中，非线性回归模型可以用来分析药 物对病人体内生理指标的影响。
经济预测
在经济领域，非线性回归模型可以用来预测经济 增长、通货膨胀等经济指标。
多元回归模型的实际应用
01
社会学研究
模型检验
对模型进行检验，包括残差分析、拟 合优度检验等，以确保模型的有效性 和可靠性。
非线性回归模型的参数估计
最小二乘法
梯度下降法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误 差，求解出模型中的未知参数。
通过迭代计算，不断调整参数值，以最小 化预测值与实际值之间的误差。
牛顿法
拟牛顿法
基于泰勒级数展开，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数。
线性回归模型的评估与检验
残差分析
分析残差分布情况，检查是否 存在异常值、离群点等。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整判定 系数等指标，评估模型的拟合 优度。
显著性检验
对模型参数进行显著性检验， 判断每个自变量对因变量的影 响是否显著。
预测能力评估
利用模型进行预测，比较预测 值与实际值的差异，评估模型
基于牛顿法的改进，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数，同时避免计算高阶 导数。
非线性回归模型的评估与检验
残差分析
对模型的残差进行统计分析，包括残差 的分布、自相关性、异方差性等，以评
估模型的可靠性。
预测能力评估
使用模型进行预测，比较预测值与实 际值的误差，评估模型的预测能力。
拟合优度检验
通过比较实际值与预测值的相关系数 、决定系数等指标，评估模型的拟合 优度。
回归建模方法
回归建模方法是一种统计分析技术，用于研究因变量与一个或多个自变量之间的关系。
它可以通过建立数学模型来预测或解释因变量的值，基于自变量的已知值。
以下是一些常见的回归建模方法：
线性回归：这是最基础的回归分析，适用于因变量和自变量之间存在线性关系的情况。
线性回归模型试图找到最佳拟合直线的参数，以最小化因变量的预测误差。
逻辑回归：适用于因变量是二元分类的情况，例如，是/否、真/假等。
逻辑回归通过将自变量和因变量之间的关系转换为概率，来预测一个事件发生的可能性。
多项式回归：适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况。
多项式回归模型允许自变量和因变量之间的关系为非线性，通过增加多项式项和交互项来拟合复杂的关系。
岭回归：岭回归是一种用于解决共线性问题的回归分析，当自变量之间存在高度相关性和多重共线性时，岭回归可以减少估计的方差并提高模型的稳定性。
套索回归：套索回归是一种正则化回归方法，通过在损失函数中添加L1惩罚项来控制模型的复杂度。
它能够产生稀疏模型，自动选择最重要的特征，并在实践中表现出较好的预测性能。
支持向量回归：支持向量回归是一种基于核方法的回归分析，它通过将输入空间映射到高维特征空间来解决非线性问题。
支持向量回归能够找到使损失函数最小的超平面，并具有良好的泛化能力。
以上是一些常见的回归建模方法，每种方法都有其特定的应用场景和限制。
在实际应用中，应根据数据的特点和问题的需求选择适合的回归建模方法。
数学建模-回归分析例题
目录
引言 线性回归模型 非线性回归模型 多元回归模型 回归分析在实践中的应用
01
CHAPTER
引言
01
02
主题背景
在许多领域，如经济学、生物学、医学和社会学等，都需要用到回归分析来探索变量之间的因果关系或预测未来的发展趋势。
回归分析是数学建模中常用的统计方法，用于研究变量之间的关系。
残差分析
R方值
AIC和BIC值
预测能力
多元回归模型的评估
01
02
03
04
分析残差与拟合值之间的关系，检验模型的假设条件。
计算模型的决定系数，评估模型对数据的拟合程度。
使用信息准则评估模型的复杂度和拟合优度。
使用模型进行预测，评估预测结果的准确性和可靠性。
05
CHAPTER
回归分析在实践中的应用
线性回归模型
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟合数据。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的情况，且自变量对因变量的影响是线性的。
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来描述因变量和自变量之间的关系。
线性回归模型介绍
首先需要明确研究的问题和目标，并确定因变量和自变量。
结果解释
数据分析
THANKS
感谢您的观看。
非线性回归模型
非线性回归模型适用于因变量和自变量之间存在幂函数、对数函数、多项式函数等非线性关系的场景。
适用场景
非线性回归模非线性函数。
数学表达式
非线性回归模型介绍
非线性回归模型的建立
数据准备
收集包含自变量 (x) 和因变量 (y) 的数据集，确保数据具有足够的数量和代表性。
数学建模(生产批量与单位成本的回归模型)
生产批量与单位成本的回归模型（第四次作业）摘要此模型是一个线性回归模型问题，要想正确全面的描述生产批量与单位成本的关系。
我们可以通过MATLAB 工具描绘出问题中给出数据的散点图，然后用某些适当的函数关系式去拟合这些散点，尽可能的让它们都能够出现在模拟的线条附近，通过这些函数关系式我们就可以建立起适当的数学模型，有时一个散点图我们可以用不同的函数关系式去拟合，从而建立起不同的数学模型，此时我们应该对这些模型做对比，找出拟合度最好，并且能更好反映数据真实情况的模型。
此题通过观察散点，我们建立出以下三个模型：011y X ββε=++（x ≤500）,022y X ββε=++( x ≥500) （模型一） 012(500)y X X G βββε=++-+（模型二） 2012y X X βββε=+++（模型三）建立这三个模型后，通过用MATLAB 的regress 命令分别求出它们的回归系数，再绘出它们的残差图，将不满足条件的异常点去掉，再重新进行拟合，最后得到我们需要的数学模型。
一个好的模型能让我们正确掌握生产批量与单位成本的关系，有利于生产厂商更好的掌握产品的生产信息，并通过此模型来作为生产成本和利润的预算。
一、问题重述下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图可以明显得发现，，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时就服从另一种线性关系。
此时单位成本明显下降。
希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。
关键字：生产批量 单位成本 线性关系二、提出假设与符号说明假设：1、假设一切所给的数据准确有效2、在一定范围内，单位成本与生产批量之间满足线性关系3、生产批量与单位成本不受较大外部因素的影响 符号说明：单位成本为y(元) 生产批量为x回归系数0β ，1β ，2β 随机误差ε三、模型分析次模型为生产批量与单位成本的一种线性回归模型，我们可以通过分析所给数据模拟出它的线性回归方程，且在这个方程允许的范围内产生一定的波动，我们可以通过从一次线性和二次线性回归曲线去拟合这些所给出的数据点，并预测较小范围内生产批量与单位成本的一个趋向。
数学建模建立回归模型
数学建模建立回归模型回归模型是数学建模中常用的一种方法，它通过分析自变量与因变量之间的关系，来预测或解释未知数据。
回归模型在实际问题中具有广泛的应用，比如经济学、医学、工程等领域。
回归模型的核心思想是基于已知数据的观测结果，通过建立模型来推断未知数据的结果。
回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型，其中线性回归模型是最常见且简单的一种。
线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即可以用一条直线来拟合已知数据的分布。
我们以房价预测为例，假设我们已经收集了一些房屋的面积和价格的数据，我们希望通过这些数据来建立一个回归模型，用于预测其他房屋的价格。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理和异常值处理等。
然后，我们选择一个合适的回归方法，比如最小二乘法，来拟合数据的分布。
最小二乘法通过最小化观测值与预测值之间的差异来确定模型的参数。
在确定了回归模型的参数后，我们就可以使用该模型来进行预测了。
比如，当我们收集到一个新的房屋面积时，可以使用回归模型来预测该房屋的价格。
预测结果的准确性与模型的拟合程度密切相关，因此，在建立回归模型时，我们需要使用适当的评估指标来评判模型的好坏。
另外，回归模型不仅可以用于预测，还可以用于解释数据之间的关系。
通过回归模型，我们可以分析自变量对因变量的影响程度以及它们之间的关联性。
在房价预测的例子中，我们可以通过拟合后的回归模型来判断房屋面积对价格的影响程度，并进一步分析其他因素对房价的影响。
总而言之，回归模型是数学建模中一种重要且常用的方法。
它通过建立自变量与因变量之间的关系模型，可以进行预测和解释未知数据。
在建立回归模型时，我们需要仔细选择合适的回归方法，并使用适当的评估指标来评判模型的好坏，以确保模型的准确性和可靠性。
通过回归模型的建立和分析，我们可以更好地理解数据之间的关系，为实际问题的决策提供科学的依据。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
数学建模统计回归模型
统计回归模型姓名：姚敏俊 班级：08数学（1）班 学号 08070210025摘要随着社会经济的飞速发展，社会人员更关心的是自己的社会福利和工资待遇问题。
在这里我们就中学教师的工资待遇问题建立了模型，并对模型作出了一系列讨论。
如：教师的薪金与他们的工作时间1x 、性别2x 、学历4x 、以及培训情况6x 等因素之间的关系。
我们首先利用MATLAB(程序见附录五)软件作出薪金与老师工作时间的散点图，如图（二），然后假设工作时间与教师薪金为线性关系，其关系式如模型（一）；再运用统计回归模型分别从各个方面特别考虑了中学女教师的工资待遇是否受她们的婚姻状况3x 的影响。
经过对模型的各个变量的逐步回归和作残差图，详见图我们从众多变量中挑选出了对教师薪金y 影响最大的变量4x 及1x ，各个变量对教师的薪金的影响的回归系数如图（三），程序见附录（二）。
从影响系数的表图中我们得出了学历对教师的薪金的影响最大。
经过对模型的分析、讨论和进一步的优化，此模型还可以运用到市场调查、教师调研、影响农作物生长的的因素等等相关问题上。
模型（一）：ε+*+*+*+*+*+*+*+=776655443322110x a x a x a x a x a x a x a a y 模型（二）：44110x a x a a y *+*+=关键词：散点图 线性关系 统计回归模性 回归系数 逐步回归一、问题重述每地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入。
为此，从当地教师中随机选中3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到关键数据。
二、问题分析与假设分析：本题要求我们分析教师薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系。
按到日常生活中的常识，教师薪金应该与他们的资历、受教育程度有密切关系，资历高、受教育程度高其薪金也应该相应的要高，与其性别、婚姻状况应该没有必然的联系。
数学建模案例分析第十章统计回归模型
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
02
03
模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系，通常形式为y=ax+b， 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计，使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验，包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等，以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析，包括残 差的分布、异方差性检验等，以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标，评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验，如果不显著则将其从模型中 剔除。
02
4. 重复步骤2和3，直到没有新的 自变量可以进入模型，也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。
数学建模讲座(2)——回归模型
二、多元线性回归模型
t 检验
四个回归系数的T值依次为－0.25179， 0.671538，0.78098，7.432745
查表得临界值t0.025（n－k－1）＝2.532638，有三个系数的统 计量的绝对值都小于临界值，不能认为系数显著性不为零，应 减少变量. 从上述检验结果可以看出，尽管通过了线性显著性检验， 拟合优度也很好，但是有三个回归系数的t检验未通过，我们将t 检验统计量最小的变量（即时间）删除，重新建立多元线性回 归模型。
二、多元线性回归模型
（接上页）
年份
时间t
工业总产值 Y（亿元）
职工人数 L（万人）
固定资产 K（亿元）
1987
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
10
11 12 13 14 15 16 17
6601.60
7434.06 7721.01 7949.55 8634.80 9705.52 10261.65 10928.66
当然，还要根据多元线性回归方程显著性的检验方法进行检验。
一、一元多项式回归模型
例1. 给动物口服某种药物A 1000mg，每间隔1小时测定血药浓度 （g/ml），得到下表中的数据（血药浓度为5头供试动物的平均 值）。试建立血药浓度（依变量y）对服药时间（自变量x）的回 归方程。 血药浓度与服药时间测定结果表
二、多元线性回归模型
例2. 已知我国1978－1994年之间国有独立核算工业总产值、职工 人数和固定资产的统计数据如下表所示，试建立它们之间的多元 线性回归模型。
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 时间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 工业总产值 Y（亿元） 3289.18 3581.26 3782.17 3877.86 4151.25 4541.05 4946.11 5586.14 5931.36 职工人数 L（万人） 3139 3208 3334 3488 3582 3632 3669 3815 3955 固定资产 K（亿元） 2225.70 2376.34 2522.81 2700.90 2902.19 3141.76 3350.95 3835.79 4302.25
数学建模-回归分析预测(回归预测模型)
2. 合理确定数据的单位
在建立回归方程时，如果不同变量的单位选取 不适当，导致模型中各变量的数量级差异悬殊， 往往会给建模和模型解释带来诸多不便。比如模 型中有的变量用小数位表示，有的变量用百位或 千位数表示，可能会因舍入误差使模型计算的准 确性受到影响。因此，适当选取变量的单位，使 模型中各变量的数量级大体一致是一种明智的做 法。
利用样本来估计u(x)的问题称为求Y关于x的 回归问题，若u(x)为线性函数，此时称为一 元线性回归问题
回归分析
(Ⅰ)一元线性回归
(Ⅱ)多元线性回归
数模 学型 模参 型数 及估 定计 义
检 性可 验 回线 、 归性 预 （化 测 曲的 与 线一 控 回元 制 归非
）线
数模 学型 模参 型数 及估 定计 义
数学建模 回归预测模型
第一节 回归分析预测法概述
一、变量间的关系 各经济变量之间的关系一般分为两类： 1.确定性关系 2.相关关系
1.确定性 关系
变量与变量之间的函数关系反映客观事物之间存在 着严格的依存关系。在这种关系中，当一个或几 个变量取值一定时，另一个变量有确定的值与之 相对应，并且这种关系可以用一个确定的数学表 达式反映出来。 在三个变量中，任意两个都可以确定第三个。 一般把作为影响因素的变量称为自变量，把 发生对应变化的变量称为因变量。
n Lxx
和
ˆ1
t
1 2
(n
2)ˆ e
/
Lxx
,
ˆ1
t
1
(n
2)ˆ
e
/
2
Lxx
2 的置信水平为 1- 的置信区间为
Qe
2 (n 1 2
2)
,
2
数学建模之统计回归模型
数学建模大作业摘要某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。
通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。
我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。
在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。
但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。
在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。
通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。
在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。
并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。
通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。
关键词：销售额、回归模型、自相关性一、问题提出某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.（1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。
（2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
二、基本假设假设一：模型中ε（对时间t ）相互独立。
三、符号说明公司销售额：y （百万）行业销售额：x （百万） 概念介绍：1.自相关：自相关（auto correlation ），又称序列相关（serial correlation ）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。
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二、多元线性回归分析
1.简介
多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
应用于根据现有资料对某变量进行预测，如预测某商品的销量等。
2.步骤
①根据预测目标，确定自变量和因变量。
②建立多元线性归回模型 根据预测目标得自变量(1,2,
,)k x k m =，因变量y 。
设与k x 无关的未知量
2(1,,),j j m βσ= ，j β为回归系数。
记y ，k x 的观测值分别为i b ，im a ，1,
,,i n n m =>，n 阶单位矩阵n E ，且
111111m n nm a a X a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦
，1,n b Y b ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[][]101
,,,,,T
T
n m εεεββββ==
则多元线性回归分析的模型为
2
,
~(0,).
n Y X N E βεεσ=+⎧⎨⎩（1） ③求归回系数
使用最小二乘法求j β的估计值，选取估计值ˆj β，使当ˆj j
ββ=时，误差平方和2
220111
1
1
ˆ)()n
n
n
i i i
i i m im i i i Q b b b a a εβββ=====-=----∑∑∑（
最小。
因此，令
j
0,0,1,2,3Q
j c ∂==∂.
得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=
则有
1ˆ().T T j
X X X Y β-= 利用matlab 求解正规方程组即得j β的估计值为
将ˆj β带回（1）得y 的估计值为 011
ˆˆˆˆ,m m
y x x βββ=+++ 拟合为
011
ˆˆˆˆ,1,,.i m m
b x x i n βββ=+++=
用拟合误差ˆe Y Y =-作为随机误差ε的估计值得ε= 残差平方和
2
21
1
ˆ()n
n
i i i
i i Q e b b ====-∑∑ ④回归模型的假设检验
由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。
要使在所有ˆ||j β都很小时，y 与k x 的线性关系也明显，则设
0:0,1,
,.j H j m β==
当0H 成立时，回归平方和211
1ˆ()n
n
i i
i i U b b n ===-∑∑，残差平方和Q 满足 /(,1),/(1)
U m
F F m n m Q n m =
----
利用matlab 求出统计量F ，查表得出α/2分位数 在显著水平α下，若
1/2/2(,1)(,1)F m n m F F m n m αα---<<--
则接受0H ，否则拒绝。
⑤回归系数的假设检验及区间估计
若0H 被拒绝，说明j β不全为0，但存在有若干个等于0的情况。
因此做m+1个检验：
()0:0,0,1,
,.j j H j m β==
令jj c 为1()T X X -中的第(,)j j 元素，当()0j H 成立时，有
(1),j t t n m =
--
利用matlab 求出j t ，查表得α/2分位数
在显著性水平α下，若2
||(1)j t t n m α<--，则接受()0j H ，否则拒绝。
在置信水平1-α下，j β的置信区间为
22ˆˆ((j j t n m t n m ααββ⎡---+--⎢⎣ ⑥利用回归模型进行预测
建立的回归模型和系数都通过了检验，现预测y 的取值0b ，0b 为
00101
0ˆˆˆˆ.m m
b a a βββ=+++ 标准正态分布的上α/2分位数2
z α为
因为n 较大且0i a 接近平均值i x ，所以简化0b 的预测区间为
00ˆˆb b ⎡-+⎢⎣
剔除异常数据
数据残差ˆ(1,2,,)i i e b b
i n =-=，i e 服从均值为0的正态分布，求出i e 的置信
区间为 ，若某个i e 的置信区间不包括零点，则此数据异常，需要剔除。
例题：
题目见书386页 解：模型的建立
①建立多元线性归回模型
记y ，(1,2,3)k x k =的观测值分别为i b ，im a (1,
,25;3)i m ==，n 阶单位矩阵：
111325,125,311a a X a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦
，125,b Y b ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
②求归回系数
使用最小二乘法求0123,,,c c c c 的估计值，选取估计值ˆj c
，使当ˆj j c c =时，误差平方和2
22011331
1
1
ˆ)()n n n
i i i
i i i i i i Q b b b c c a c a ε=====-=----∑∑∑（
最小。
因此，令
j
0,0,1,2,3Q
j c ∂==∂. 得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=
则有
1ˆ().T T j c
X X X Y -= 利用matlab 求解正规方程组即得j c 的估计值。
③回归模型与回归系数的假设检验
由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。
要使在所有ˆ||j β都很小时，y 与k x 的线性关系也明显，则设
0:0,1,2,3.j H c j ==
当0H 成立时，回归平方和21
11ˆ()n
n
i
i i i U b b n ===-∑∑，残差平方和Q 满足 /(,1),/(1)
U m
F F m n m Q n m =
----
利用matlab 求出统计量F ，查表得出α/2分位数 在显著水平α下，若
1/2/2(,1)(,1)F m n m F F m n m αα---<<--
则接受0H ，否则拒绝。
若0H 被拒绝，说明j β不全为0，但存在有若干个等于0的情况。
因此做m+1个检验：
()0:0,0,1,2,3.j j H c j ==
令jj c 为1()T X X -中的第(,)j j 元素，当()0j H 成立时，有
(1),j t t n m =
--
利用matlab 求出j t ，查表得α/2分位数
在显著性水平α下，若2
||(1)j t t n m α<--，则接受()0j H ，否则拒绝。
④利用回归模型进行预测
建立的回归模型和系数都通过了检验，现预测y 的取值0b ，0b 为
0101303ˆˆˆˆ.b c c a c
a =+++ 标准正态分布的上α/2分位数2
z α为
因为n 较大且0i a 接近平均值i x ，所以简化0b 的预测区间为
00ˆˆb b ⎡-+⎢⎣
模型的求解：
（1）由①，② 并利用matlab 解得
1123ˆˆˆˆ0.5839,0.0178, 2.0782, 1.9396c
c c c ====。
（2）由③ 并利用matlab 得出统计量F=37.7453，分位数0.025(321) 3.8188F =，
,所以拒绝原假设，模型整体通过了检验。
统计量01230.6223,0.6090,7.7407, 3.8062t t t t ====，查表得0.025(21) 2.0796,t =
所以，在显著水平α=0.05时，接受()0:0(0,1)j j H c j ==，拒绝()
0:0(2,3)j j H c j ==，
即变量1x 对模型影响不显著，在建模时可以不使用。
(3)由④ 并利用matlab 得出 1231222213231
2
3
17.09880.3611 2.356318.27300.14120.4404 1.27540.02170.50250.3962y x x x x x x x x x x x x
=-+++- --+++。