大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
大学物理教程-刚体的定轴转动
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t gθ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k gθθ=-。
第五章 刚体的转动
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
大学物理第五章刚体力学
v0
3
4J
4Ml
mv
例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆
自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状
态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度h。
l l
m
ho
h’
a
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
c hc
h=3h0/2
b
L
mv
v o m o• L
（A） 2v 3L
（B） 4v 5L
（C） 6v 7L
8v （D） 9L
以顺时针为转动正方向
两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒
L
mv
v o m o• L
由 Lmv+Lmv=2mL2+J
及 J= mL2/3
可知正确答案为 [ C ]
6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数
速度。
用功能定理重解该题
取起始位置为零势能参考点 O
0 mgl sin / 2 1 J2
2
Ａ mg
3g sin
l
？棒端A的速度 vA 3gl sin
例2.已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，
轴光滑，AO4l 。 求:杆下摆角后，角速度 ?
解：杆+地球系统， ∵只有重力作功，∴ E守恒。
1 (1 ml 2 ) 2 1 mgl(1 cos )
23
2
3
arccos23
例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .
第五章刚体的转动
34 第五章 刚体的转动§5-1、刚体定轴转动定律【基本内容】一、刚体的运动1、平动刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。
刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。
2、定轴转动刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。
描述刚体转动的物理量角位移θ∆角速度ω角加速度β刚体匀变速转动公式βθωωβωωβωθ221202020=-+=+=tt t 二、刚体所受的力矩力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。
F r M ⨯= 式中F为力在转动平面的投影，r为轴指向力的作用点。
结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。
三、刚体定轴转动定律定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即βJ M =四、转动惯量35定义：对于质点系∑=iii rm J 2对于刚体⎰=dm r J 2线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。
面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。
体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。
决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。
【典型题例】【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。
绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。
设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。
【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。
T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。
绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于滑轮边缘的切向加速度。
5 刚体的转动
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握 刚体绕定轴转动的转动定理．
三 理解角动量概念，掌握角动量定 律，并能处理一般刚体绕定轴转动情况下 的角动量守恒问题.
第五章 刚体的转动 3
大学 物理学
教学基本要求
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律． 能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题．
dV ：体积元
29
大学 物理学
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体总质量有关，m 大，J 大。 （2）质量一定，与刚体的几何形状及体密 度 的分布有关． （3）与转轴的位置有关．
第五章
刚体的转动
30
大学 物理学
例2. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解：
J r dm
地位相同
第五章
刚体的转动
39
大学 物理学
例1. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物 体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。
第五章 刚体的转动
<0
10
大学 物理学
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
第五章 刚体的转动
11
大学 物理学
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的α=常量时，刚体 做匀变速转动．
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
大学物理 第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
v 1 mM
m2v02 k (m M )(l l0 )2
sin
mv0l0
l m2v02 k (m M )(l l0 )2
试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?
o
v0
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，体积和形状都不 发生改变的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
力矩为零的两种可能
a) 合外力为零, 质点不 受外力作用. b) 合外力不为零, 合外 力是有心力.
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
定义: 组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和.
L Li ri pi ri mivi
大学物理学
第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律 5－2 刚体的定轴转动 5－3 刚体定轴转动中的功能关系 5－4 刚体进动 5－5 对称性和守恒定律
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律
一1. 、质质点点的的角角动动量量(an定gu理lar和mo角m动ent量um守) 恒定律
等都相同．
刚体平动 质点运动
大学物理学
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
刚体的转动 角动量守恒定律
L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量 角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质 点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转 动惯量等于绕过质心的平行 的转动惯量加上质量与两轴 间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与 环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
大学物理05刚体的定轴转动习题解答
第五章 刚体的定轴转动一 选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B 。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（ ）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21=(2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR =，得：mRF t 4212==∆αθ 所以：m F M W /42=∆=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ）A ．0211ωJ J J +B ．0121ωJ J J +C ．021ωJ JD ．012ωJ J 解：答案是A 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：
当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：
当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：
当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：
当0ex in nc
A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？
答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：
a a
b b r mv r mv = a b b a
v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，
它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？
答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：
020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭
， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：
()()
x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：
201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t g
θ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k g
θθ=-。
5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？
答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。
5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？
答：如果0i i F =∑，但力不共轴，则力矩不为零0i i M ≠∑。
如果0i i M =∑，但力方向相同，则力不为零0i i
F ≠∑。
5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？
答:由刚体的转动定理：M J β=
当0,0M J ≠≠时，则0M J
β=≠ 可见，力矩与角加速度有关，力矩与角速度无关，所以角速度可以为零。
5-9 两个同样大小的轮子，质量也相同。
一个轮子的质量主要集中在轮緣，另一个轮子的质量主要集中在轮轴附近。
问：
（1）如果它们的角速度相同，哪一个飞轮的动能较大？
（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪一个飞轮上的力矩较大？
（3）如果它们的角动量相等，哪一个飞轮转得快？
答：质量主要集中在轮緣的轮子的转动惯量用J A 表示，质量主要集中在轮
轴附近的轮子的转动惯量用J B 表示。
由∑=i
i i r m J 2
Δ可知，J A >J B 。
βJ M =
A 轮相当于圆环，转动惯量 2A J mR =
B 轮相当于圆盘， 转动惯量 212
B J mR = （1）当ω一定时，转动动能 2221122
KA A E J mR ωω== 2221124
KB B E J mR ωω== 所以 kB kA E E >
（2）当β一定时，转动定理 2A A M J mR ββ== 212
B B M J mR ββ== 所以 B A M M >
（3）当L 一定时，角动量 2A A A L J mR ωω==
212
B B B L J mR ωω== 2A A L L J mR ω== ， 22B B L L J mR
ω== 所以 B A ωω<
5-10 将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使其转动，如何判断哪一个是
生的？哪一个是熟的？为什么？
答：转动时，生、熟鸡蛋所受阻力矩相同。
根据角动量定理
00t
Mdt J J ωω=-⎰
停止时，0ω=，则 0J t M
ω∆= 因为熟鸡蛋部凝固，而生鸡蛋部不固定，转动惯量随转动而增大，即J J >生熟，
所以t t ∆>∆生熟
生鸡蛋转动时间较长，熟鸡蛋转动时间较短。
5-11 一半径为r 的均质小球，沿两个高度相同，倾角不同的斜面无滑动地滚下，在这两种情况下，小球到达斜面下端的速率是否相同？
答：因为小球只作滚动，没有滑动，故摩擦力不作功，机械能守恒。
221122
c c mgh mv J ω=
+ 其中：小球的转动惯量225c J mr =，质心的速度c v r ω=，代入上式得：
c v ∴= 可见，只要小球从同一高度滚下，与斜面的夹角无关，则小球到达斜面下端时的速率是相同的。
5-12 一个人将两臂伸平，两手各拿一只重量相等的哑铃坐在角速度为ω的转台上（ω为人与转台共同角速度），突然，他将哑铃丢下，但两臂不动，问角动量是否守恒？它们的角速度是否改变？
答：因为0i i
M =∑，所以角动量守恒。
设人和转台的转动惯量为J ，哑铃的质量为m ，手臂的长为l ，开始时角速度为ω，丢掉哑铃时角速度为ω'，由角动量守恒得：
()2
2J ml J ωω'+= 221ml J ωωω⎛⎫'∴=+> ⎪⎝⎭
可见，丢掉哑铃后，角速度变大。
5-13 你骑自行车前进时，车轮的角动量指向什么方向？当你的身体向左侧倾
斜时，对车轮加了什么方向的力矩？试根据进动原理说明这时你的自行车为什么要向左转弯。
答：当车轮前进时，角动量L方向与角速度ω方向一致，即：L Jω
=。
当你的身体向左侧倾斜时，对车轮施加了一个进动方向的力矩，即:
c d L
M r mg
dt
=⨯=
力矩改变了角动量的方向，所以自行车就向左转弯。