统计学第5章 参数估计
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2. 估计量：用于估计总体参数的统计量的名称
如样本均值，样本比例，样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
3. 参数用 表示，估计量用 ˆ 表示
4. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
如果样本均值 x =80，则80就是 的估计值
5-9
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
2. 使用正态分布统计量 z z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
5 - 27
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
总体均值的区间估计
(大样本的估计)
【例5-1】一家保险公司收集到由36个投保人组成的 随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据 如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间
➢ 问卷调查由调查员直接到宿舍发放并当场回收。对 四个年级中每年级各发60份问卷，其中男、女生各 30份。共收回有效问卷共200份。其中有关上网时 间方面的数据经整理如下表所示
5-5
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
大学生每周上网花多少时间？
回答类别
人数（人）
频率（%）
3小时以下
32
16
3～6小时
35
17.5
6～9小时
33
16.5
9～12小时
29
14.5
12小时以上
71
35.5
合计
200
100
平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。全校学生每周 的平均上网时间是多少？每周上网时间在12小时以上的学生比 例是多少？你做出估计的理论依据是什么？
5-6
2020-4-8
第 5 章 参数估计
据计算得：x 39.5 ，s 7.77
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
5 - 29
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
5 - 32
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
【例5-3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从 一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h) 如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用 两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2. 无法给出估计值接近总体参数程度的信息
由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的 估计值很可能不同于总体真值
一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来 衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估 计的可靠性的度量
为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
5 - 13
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
置信区间的表述
(confidence interval)
1. 由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平 下的估计区间
3. 区间估计总是要给结论留点儿余地
5 - 18
2020-4-8
5.1 参数估计的基本原理 5.1.2 评价估计量的标准
统计学
STATISTICS (第五版)
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
5 - 20
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统计学
STATISTICS (第五版)
5 - 15
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统计学
STATISTICS (第五版)
置信区间的表述
(confidence interval)
1. 当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是 一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生 的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含 总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值 的那一个
5 - 16
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
点估计值
置信区间的表述
(95%的置信区间)
☺ 我没有抓住参数！
从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间
5 - 17
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
置信区间的表述
(confidence interval)
5.1 参数估计的基本原理
5.1.1 点估计与区间估计 5.1.2 评价估计量的标准
5.1 参数估计的基本原理 5.1.1 点估计与区间估计
统计学
STBiblioteka BaiduTISTICS (第五版)
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 参数估计(parameter estimation)就是用样本统计 量去估计总体的参数
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
参数估计的基本原理 点估计与区间估计 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本量的确定方法
5-4
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
大学生每周上网花多少时间？
➢ 为了解学生每周上网花费的时间，中国人民大学公 共管理学院的4名本科生对全校部分本科生做了问 卷调查。调查的对象为中国人民大学在校本科生， 调查内容包括上网时间、途径、支出、目的、关心 的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费 方式、价格等
2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96 。根据样本数据计算得：x 105.36。由于是正态总 体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的
置信区间为
x z 2
n
105.36 1.96
1. 使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区 间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较 窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能 性包含参数
2. 但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有 把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄) 的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很 准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现 实中样本量总是有限的
统计学 数据分析
(方法与案例)
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第五版)
统计名言
不象其他科学，统计从来不打算使 自己完美无缺，统计意味着你永远 不需要确定无疑。
—— Gudmund R.Iversen
5-2
2020-4-8
第 5 章 数值变量的推断—参数估计
5.1 参数估计的基本原理 5.2 一个总体参数的区间估计 5.3 两个总体参数的区间估计 5.4 样本量的确定
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
【例5-2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量 质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
1. 假定条件
总体服从正态分布,但方差(２) 未知
小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
t x ~ t(n 1)
sn
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
x t 2
s n
5 - 30
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STATISTICS (第五版)
5 - 10
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统计学
STATISTICS (第五版)
区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计 区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
5 - 11
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统计学
STATISTICS (第五版)
区间估计的图示
5 - 12
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STATISTICS (第五版)
置信水平
(confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例，也称置信度
2. 表示为 (1 -
3. 总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表 达为
样本均值±分位数值×样本均值的标准误差
5 - 26
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STATISTICS (第五版)
总体均值的区间估计
(大样本的估计)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2
样本统计量
x p s2
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STATISTICS (第五版)
总体均值区间的一般表达式
1. 总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差 得到的
2. 估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误 差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计 时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积 为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度
36个投保人年龄的数据
23
35
39
27
36
44
36
42
46
43
31
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53
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48
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5 - 28
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总体均值的区间估计
(大样本的估计)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
5 - 14
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STATISTICS (第五版)
置信区间的表述
(confidence interval)
1. 总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区 间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区 间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有 的区间都包含总体参数
2. 实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造 的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%) 下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量 包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可 能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
5 - 31
101.0 107.5 123.5
95.4 102.8
25袋食品的重量 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5
102.0 108.8 101.6 108.6
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间 包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数 的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水 平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区 间也可以用类似的方式进行表述
5.2 一个总体参数的区间估计
5.2.1 总体均值的区间估计 5.2.2 总体比例的区间估计 5.2.3 总体方差的区间估计
5.2 一个总体参数估计的区间估计 5.2.1 总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS (第五版)
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
5 - 25
符号表示
2. 一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数 的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问 题
3. 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概 有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取 的这个样本所构建的区间而言的
4. 正确的表述：计算置信水平为95%的置信区间是一种 方法，该方法使得区间以95%的概率覆盖总体参数
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效
5 - 21
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统计学
STATISTICS (第五版)
一致性
(consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
5 - 22
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第 5 章 参数估计
如样本均值，样本比例，样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
3. 参数用 表示，估计量用 ˆ 表示
4. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
如果样本均值 x =80，则80就是 的估计值
5-9
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统计学
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2. 使用正态分布统计量 z z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
5 - 27
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总体均值的区间估计
(大样本的估计)
【例5-1】一家保险公司收集到由36个投保人组成的 随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据 如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间
➢ 问卷调查由调查员直接到宿舍发放并当场回收。对 四个年级中每年级各发60份问卷，其中男、女生各 30份。共收回有效问卷共200份。其中有关上网时 间方面的数据经整理如下表所示
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大学生每周上网花多少时间？
回答类别
人数（人）
频率（%）
3小时以下
32
16
3～6小时
35
17.5
6～9小时
33
16.5
9～12小时
29
14.5
12小时以上
71
35.5
合计
200
100
平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。全校学生每周 的平均上网时间是多少？每周上网时间在12小时以上的学生比 例是多少？你做出估计的理论依据是什么？
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第 5 章 参数估计
据计算得：x 39.5 ，s 7.77
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
5 - 29
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10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
5 - 32
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总体均值的区间估计
(小样本的估计)
【例5-3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从 一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h) 如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用 两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2. 无法给出估计值接近总体参数程度的信息
由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的 估计值很可能不同于总体真值
一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来 衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估 计的可靠性的度量
为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
5 - 13
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置信区间的表述
(confidence interval)
1. 由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平 下的估计区间
3. 区间估计总是要给结论留点儿余地
5 - 18
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5.1 参数估计的基本原理 5.1.2 评价估计量的标准
统计学
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无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
5 - 20
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5 - 15
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置信区间的表述
(confidence interval)
1. 当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是 一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生 的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含 总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值 的那一个
5 - 16
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点估计值
置信区间的表述
(95%的置信区间)
☺ 我没有抓住参数！
从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间
5 - 17
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置信区间的表述
(confidence interval)
5.1 参数估计的基本原理
5.1.1 点估计与区间估计 5.1.2 评价估计量的标准
5.1 参数估计的基本原理 5.1.1 点估计与区间估计
统计学
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估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 参数估计(parameter estimation)就是用样本统计 量去估计总体的参数
统计学
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学习目标
参数估计的基本原理 点估计与区间估计 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本量的确定方法
5-4
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大学生每周上网花多少时间？
➢ 为了解学生每周上网花费的时间，中国人民大学公 共管理学院的4名本科生对全校部分本科生做了问 卷调查。调查的对象为中国人民大学在校本科生， 调查内容包括上网时间、途径、支出、目的、关心 的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费 方式、价格等
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总体均值的区间估计
(小样本的估计)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96 。根据样本数据计算得：x 105.36。由于是正态总 体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的
置信区间为
x z 2
n
105.36 1.96
1. 使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区 间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较 窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能 性包含参数
2. 但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有 把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄) 的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很 准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现 实中样本量总是有限的
统计学 数据分析
(方法与案例)
作者 贾俊平
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统计名言
不象其他科学，统计从来不打算使 自己完美无缺，统计意味着你永远 不需要确定无疑。
—— Gudmund R.Iversen
5-2
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第 5 章 数值变量的推断—参数估计
5.1 参数估计的基本原理 5.2 一个总体参数的区间估计 5.3 两个总体参数的区间估计 5.4 样本量的确定
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
【例5-2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量 质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
1. 假定条件
总体服从正态分布,但方差(２) 未知
小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
t x ~ t(n 1)
sn
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
x t 2
s n
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5 - 10
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区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计 区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
5 - 11
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区间估计的图示
5 - 12
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置信水平
(confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例，也称置信度
2. 表示为 (1 -
3. 总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表 达为
样本均值±分位数值×样本均值的标准误差
5 - 26
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总体均值的区间估计
(大样本的估计)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2
样本统计量
x p s2
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总体均值区间的一般表达式
1. 总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差 得到的
2. 估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误 差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计 时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积 为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度
36个投保人年龄的数据
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总体均值的区间估计
(大样本的估计)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
5 - 14
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置信区间的表述
(confidence interval)
1. 总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区 间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区 间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有 的区间都包含总体参数
2. 实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造 的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%) 下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量 包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可 能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
5 - 31
101.0 107.5 123.5
95.4 102.8
25袋食品的重量 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5
102.0 108.8 101.6 108.6
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间 包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数 的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水 平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区 间也可以用类似的方式进行表述
5.2 一个总体参数的区间估计
5.2.1 总体均值的区间估计 5.2.2 总体比例的区间估计 5.2.3 总体方差的区间估计
5.2 一个总体参数估计的区间估计 5.2.1 总体均值的区间估计
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一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
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符号表示
2. 一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数 的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问 题
3. 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概 有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取 的这个样本所构建的区间而言的
4. 正确的表述：计算置信水平为95%的置信区间是一种 方法，该方法使得区间以95%的概率覆盖总体参数
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效
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2020-4-8
统计学
STATISTICS (第五版)
一致性
(consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
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2020-4-8
第 5 章 参数估计