初中九年级数学 圆 1、圆的认识
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教学课件27.1.1圆的基本元素
圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.
①
其中正确的是____.(填序号)
.
5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，
D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有
几条弦？分别是哪些？
解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.
随堂训练
6． 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一
人都公平吗？如果不公平，你认为他们应排成什么样的队形才公平？
不公平，应该站成圆形.
随堂训练
7.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或
等于3cm的点组成的图形.
·
O
2cm
课堂小结
同心圆
定
义
有
概
等圆
关
念
弦（直径）
弧
圆心角
等弧
同 圆 半 径 相 等
集 合 定 义
圆
同圆
要素：圆心和半径
旋 转 定 义
离等于定长r的所有点的集合．
D
A
E
知识讲解
（3）确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
无数个圆
等圆
半径相同，圆心不同
无数个圆
知识讲解
（4）圆的基本性质
同圆的半径相等.
• o
知识讲解
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点
O
●
经过圆心的弦（如图中的AC）叫做直径．
注意：
（1）弦和直径都是线段.
C
（2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦
苏科版九年级上册圆知识点精讲
苏科版九年级上册圆知识点精讲圆是几何学中最基础的概念之一，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。
今天我们就来精讲苏科版九年级上册关于圆的知识点，深入了解圆的性质和相关定理。
1. 圆的定义圆是由在同一平面内离该平面一定距离的所有点组成的集合。
其中，距离被定义为圆心到圆上任意点的距离，称为半径。
2. 圆的性质(1) 圆心：圆心是圆上任意两点间的线段的中点，用字母O表示。
(2) 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。
(3) 直径：直径是通过圆心且在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
(4) 弦：弦是圆上两点之间的线段。
(5) 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
(6) 弧长：弧长是弧的长度，在计算时用字母L表示。
(7) 圆周：围绕圆形的线段，它的长度用字母C表示。
3. 圆的相关定理(1) 圆的半径相等性质：在同一圆中，任意两条半径相等。
(2) 弧对应角相等定理：在同一圆中，对应于同一弧的两个交角相等。
(3) 弧的度数：一个弧所对应的圆心角的度数等于这个扇形所占的整个圆所对应的度数。
(4) 弧长公式：弧长L等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长C。
(5) 弦切定理：如果一条切线与一条弦相交，那么它的切点到圆心的线段是弦的中垂线。
(6) 切线与半径的垂直性：当半径和切线相交时，相交点处的半径垂直于切线。
通过对这些圆的性质和相关定理的理解，我们可以在解决几何问题时灵活运用，进一步推导和分析。
同时，这也为我们理解更高级的几何知识打下了基础。
4. 应用示例(1) 例题一：已知圆的半径是3cm，求圆的面积。
解答：圆的面积公式为A = πr²，其中r是半径。
代入已知条件，即可求得圆的面积为A = 3.14×(3)² = 28.26cm²。
(2) 例题二：已知圆的周长是10π，求圆的半径。
解答：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是半径。
九年级数学人教版(上册)24.1.1圆课件
D
F
O
B
I
E
A
⌒ ⌒ ACD ACF
⌒⌒
AC AE
C
⌒⌒
ADE ADC
⌒
AF
⌒
A
D
课堂小结
课堂小结
1.圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本要素. 2.掌握圆的相关概念： （1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧.
重点： 1.直径是最长的弦！ 2.等圆：两个圆能够完全重合 3.等弧：能够完全重合的弧。（所在的圆的半径相等！） 4.劣弧长度<半圆长度<优弧长度 5.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r） 6.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
Oo rr AA
固定的端点O叫做圆 心 线段OA叫做半径
确定圆心 确定半径大小
以点O为圆心的圆，记“⊙O”， 读作“圆O”．
确定一个圆的 两个要素
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都 AA
作业布置
如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°， ∠D=90°， 点O是AB的中点.
求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的 同一圆上.
A O
C
BDBiblioteka 等于定长（半径r）；r
（2）到定点的距离等于定长的点
都在同一个圆上．
r OO r
BC
CB
判断几个点是否在同一个圆上。
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是: 所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
圆的两种定义
华东师大版九年级下册：圆的认识
圆的认识教学目标1.理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念；2.理解圆的对称性；3.并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；学习内容知识梳理一、圆的定义1.圆的定义如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．总结：⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.2. 等圆的概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：⊙定点为圆心，定长为半径；⊙圆指的是圆周，而不是圆面；⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.3.弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.注意：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)⊙直径AB是⊙O中最长的弦.4.弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.总结：⊙半圆是弧，而弧不一定是半圆；⊙无特殊说明时，弧指的是劣弧.5. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.总结：⊙等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；⊙圆中两平行弦所夹的弧相等.二、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．（一）圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，⊙AOB 就是一个圆心角. 要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结圆作为数学中的基本图形之一，是九年级数学教学中的重要内容之一。
在九年级的学习中，学生将会接触到圆的相关定义、性质、定理等知识点。
以下是对九年级圆的知识点的总结。
一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个定点的距离相等于定长的点构成的图形。
在平面直角坐标系中，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心：圆心为圆上任意两点的中点。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用r表示。
3. 直径：通过圆心的一条线段，且两端点在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦，弦的长度小于等于直径。
5. 弧：由圆上两点之间的部分所构成的曲线称为弧。
6. 周长：圆的周长为2πr，其中π=3.14或22/7。
二、圆的相关定理在九年级的学习中，我们会接触到一些和圆相关的定理，这些定理可以用于解题，并且进一步拓展我们对圆的认识。
1. 切线的性质：过圆外一点，有且仅有一条直线与圆相切，且切线垂直于半径。
2. 弦切角定理：两条弦交于圆内一点，两个交角之和等于它们所对的弧所对圆心角的一半。
3. 切线切圆定理：圆的切线与半径的垂直线段所构成的直角三角形，直角边上的两条线段相乘等于切点到圆心的距离的平方。
4. 弧切角定理：连接弧上两点与圆心的线段所夹的角等于这两个弧所对圆心角的一半。
5. 直径的性质：两个相互垂直的割线所对的圆心角之和等于180度，其中一个割线与圆的直径重合。
三、圆和其他几何图形之间的关系圆与其他几何图形之间存在着一些重要的关系，这些关系能帮助我们解题，进一步掌握几何知识。
1. 圆与直线的关系：直线与圆的交点可以有0个、1个或2个。
当直线不与圆相交时，称为直线和圆之间无关系；当直线与圆相切时，称为直线切圆；当直线穿过圆时，称为直线截圆。
2. 圆与角的关系：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的大小等于所在的弧所对圆心角的一半。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)
圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一 圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二 垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。
上册圆的认识人教版九年级数学全一册ppt课件
第二十四章 圆
第1课时 圆的认识
上册圆的认识人教版九年级数学全一 册ppt课 件
学习目标
1．理解圆及其相关概念，熟知圆的定义． 2．运用圆的定义解决四点共圆的问题.
知识要点
知识点一：圆的定义 (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆．以O为圆 心的圆记作 ⊙O . (2)理解：圆上各点到圆心O的距离等于半径；到定点距离等 于定长的点都在同一圆上． (3)注意：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小.
证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO＝BO，
∵C，D 分别是半径 OA，OB 的中点，∴OC＝OD，
AO＝BO
在△ODA 和△OCB 中，∠O＝∠O ，
OD＝OC
∴△ODA≌△OCB(SAS)，∴AD＝BC.
6.【例2】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC. 求证：BA＝BC.
证明：如图，连接OA，OC， ∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO， ∠CBO＝∠BCO， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAO＝∠BCO， ∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA＝BC.
小结：将点在圆上转化为该点到圆心O的距离等于半径.
9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长 线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°，求∠AOC的度 数．
3.如图，AB为⊙O的直径，以点A为端点的优弧有 2 条，分
︵︵
别是 ABD，ABC ；以点A为端点的劣弧有 2 条，分别是
︵︵
__A_D__，__A_C____.
九年级数学《圆》知识点总结
圆1．圆的认识（1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。
（2）线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AC 为直径。
（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。
直径是圆中最长的弦。
（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。
小于半圆周的圆叫做劣弧。
大于半圆周的圆弧叫做优弧。
（5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
（6）同心圆：圆心相同，半径不同的圆。
（7）等圆：圆心不同，半径相同的圆。
2．圆的对称性（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
此定理中共5个结论中，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD只要知道其中2个即可推出其它3个结论，简称知2得3。
3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BDF E DCAOO EDCB A上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论。
4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5.圆内接四边形：如果四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.性质定理：（1）圆的内接四边形的对角互补。
九年级上册数学圆上知识点
九年级上册数学圆上知识点在九年级的数学课程中，圆是一个重要的内容。
我们将通过本文介绍九年级上册数学中关于圆的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的周长和面积等。
1. 圆的定义圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，距离叫做半径。
圆可以由圆心和半径唯一确定。
2. 圆的性质（1）圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。
直径等于两倍的半径。
（2）圆的弦是圆上的一条线段，它的两个端点在圆上。
直径也是一条弦。
（3）圆的切线是与圆相切的直线，切线与半径相垂直。
（4）圆的弧是圆上的一段曲线，它与弦的两个端点相连。
3. 圆的周长圆的周长是圆上任意两点间的弧长。
弧长等于圆心角所对的弧，而圆心角是以圆心为顶点的角。
圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点的集合。
圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，r表示半径。
圆的面积公式可以通过求圆的周长来推导出来。
5. 圆的公式（1）圆的周长和面积公式是圆的重要公式，可以应用到许多问题中。
它们的推导和证明都是基于圆的性质和几何关系。
（2）在解题时，我们可以根据已知条件运用圆的周长和面积公式，求解未知量。
例如，给定圆的半径，可以计算出周长和面积；反之，给定面积，可以计算出半径。
6. 圆的应用（1）圆的应用非常广泛，不仅仅在数学中。
在日常生活中，我们可以看到许多圆形的物体和结构，例如钟面、轮胎等。
（2）圆的几何性质也可以应用到其他几何形体的推导和计算中。
例如，利用圆的性质可以求解与圆相关的三角形、四边形的问题。
总结：本文主要介绍了九年级上册数学中关于圆的知识点，包括圆的定义、性质、周长和面积公式以及应用等内容。
通过学习圆的知识，我们可以更好地理解和应用数学概念，为日常生活和进一步学习打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文对圆的认识有所启发，并能够运用所学知识解决实际问题。
九年级上册圆的知识点讲解
九年级上册圆的知识点讲解圆的知识点讲解一、圆的定义和性质圆是指由平面上任意一点到另一点距离保持不变的点的集合。
其中，距离保持不变的点称为圆心，距离称为半径（r）。
圆的边缘称为圆周，圆周上的任意两点到圆心的距离均相等。
圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心角：以圆心为顶点的角，其对应的弧长与圆周长的比称为圆心角的度数。
2. 弧长：圆周上的一段部分称为弧，其长度称为弧长。
3. 弦长：圆上任意两点间的线段称为弦，弦的长度称为弦长。
4. 弧度制：角度制是一种常用的度量角的方法，而弧度制是一种比较精确的度量角的方法。
弧度是以旋转角的一种特殊单位，记作“rad”。
而对于一个完整的圆而言，它的圆心角所对应的弧长就是半径的弧度数。
二、圆的重要公式1. 圆面积公式：圆的面积S等于Pi乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆周长公式：圆的周长L等于Pi乘以直径d，即L = πd。
3. 圆弧长度公式：圆的弧长L等于圆心角度数θ除以360度乘以圆周长L，即L = (θ/360) × L。
三、常见圆相关术语1. 直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段称为直径。
直径的两倍等于半径的长度。
2. 弦：在圆上连接两点的线段称为弦。
3. 弦分割的弧：当一条弦把圆分割成两个部分时，它所分割的两段弧称为弦分割的弧。
4. 切线：与圆相切且只与圆有一个交点的直线称为切线。
切线与半径所在的直线垂直。
5. 弧度：以半径长为1的圆所对应的弧长。
四、圆的相关定理和推论1. 圆的半径相等：圆周上的任意两个半径均相等。
2. 在圆周上，等弧对应的圆心角相等。
3. 在同一个圆中，圆心角相等的弧相等。
4. 在同一个圆中，弦相等的圆心角相等。
反之亦成立。
5. 在同一个圆中，过圆心的弦是直径。
反之亦成立。
五、应用实例1. 已知圆的半径为5cm，求圆的面积和周长。
解答：根据公式，可知圆的面积S等于πr²，圆的周长L等于πd。
代入半径r=5cm，可得圆的面积S = π × 5² = 25π cm²，圆的周长L = π × 2 × 5 = 10π cm。
初三数学复习圆的认识与证明
初三数学复习圆的认识与证明①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征③了解三角形的内心和外心.④了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积【知识精要】一、圆的认识1 •圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2 •有关概念：弦、直径，弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、弧、优弧、劣弧。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. （补充）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个；（1）垂直于弦；（2）过圆心；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
其中重点注意：（2）（3） = （1）（4）（5），所平分的弦要不是直径。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
5•与圆有关的角：⑴圆心角，圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
⑵圆周角，圆周角定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。
注意：一、由于圆特殊的对称性，造成点与圆心相对位置不同，就有可能产生双解情况。
1、点0 是ABC 的外心，.BOC =80 °，则.A=.解读：应考虑外心O在-ABC的内部和外部两种情况.A=40 °，140°2、点C是直径AB=13的半圆上的一点，CD丄AB于D点，且CD=6则U AD=.解读：点A，D应分在圆心同侧或异侧，AD=4 93、（江西）0 O中，AB是直径，CD是弦，AB _CD，P是圆周上一点，判断.CPD与.COB的数量关系。
九年级数学下册圆的知识点
九年级数学下册圆的知识点圆是数学中的基本图形之一，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级数学下册的学习中，我们将会接触到关于圆的知识。
本文将带领大家一起探索一下圆的性质、圆的公式以及一些与圆相关的应用问题。
一、圆的基本概念圆是由一组与某个点距离相等的点组成的图形。
这些距离都等于圆心到该点的距离，称为半径。
圆心到圆上任意一点的距离都相等。
我们用“O”来表示一个圆的圆心，用“r”来表示圆的半径。
二、圆的性质1. 圆内任意两点之间的距离都小于圆的直径，大于圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离。
3. 圆的弦是在圆上连接两个点的线段。
当弦的两个端点与圆心相连时，将会形成两个角，这两个角的和为180度。
4. 圆的切线是与圆恰好只有一个交点的直线。
切线与半径垂直相交，所以切线的斜率是半径的负倒数。
三、圆的公式1. 周长公式一个圆的周长是圆周上所有点到圆心的距离之和。
周长用“C”来表示。
当我们知道圆的半径时，我们可以使用周长公式来计算圆的周长。
周长公式：C=2πr其中，π（圆周率）≈3.14159。
2. 面积公式圆的面积是指圆内的所有点组成的图形占据的面积。
面积用“A”来表示。
当我们知道圆的半径时，我们可以使用面积公式来计算圆的面积。
面积公式：A=πr²四、圆的应用问题1. 弧长问题弧是圆周上两个点之间的一段曲线。
当我们知道弧的长度和圆的半径时，我们可以使用弧长公式来计算弧的长度。
弧长公式：L=α/360° × 2πr其中，α表示弧所对的圆心角的度数。
2. 扇形面积问题扇形是由圆心、弧和两条半径所围成的部分。
当我们知道扇形的圆心角度数和圆的半径时，我们可以使用扇形面积公式来计算扇形的面积。
扇形面积公式：A=α/360° × πr²3. 圆柱体的表面积和体积问题圆面是圆绕着半径所形成的面，圆柱体是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的立体。
九年级数学圆的基础知识点
九年级数学圆的基础知识点圆是几何学中非常重要的基本图形之一，具有广泛的应用价值。
在九年级的数学学习中，学生将会接触到与圆相关的许多基础知识点。
本文将以深度和广度的角度，来介绍九年级数学中与圆相关的一些重要概念和应用。
一、圆的定义和性质圆是由平面上任意一点到另一点的距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离叫做圆的半径。
我们可以用数学符号R表示。
圆的中心即距离任意一点距离恒定的那个点。
圆的中心通常用字母O表示。
圆的周长则等于圆的直径与圆周率π的乘积，用数学公式表示为C = 2πR。
二、圆的直径、弦和弧圆的直径是穿过圆心并且两端点同时在圆上的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
弦是圆上任意两点间的线段。
弧是圆上的一段弯曲部分，可以用一条弦的两个端点来确定。
三、圆的正弦、余弦和切线在学习三角函数时，我们会接触到圆的正弦、余弦和切线。
正弦是一个角的对边与斜边的比值，余弦是一个角的邻边与斜边的比值，而切线则是角的对边与邻边的比值。
四、圆的内切与外切内切是指一个图形恰好与圆的内部相切，而外切则是指一个图形恰好与圆的外部相切。
在九年级数学中，学习过程中可能会遇到这两种情况，并需要用到相应的计算方法。
五、圆的面积和体积圆的面积是一个圆所占据的平面空间大小。
圆的面积等于半径的平方乘以圆周率π。
用数学公式表示为A = πR²。
在学习中，我们会用到圆的面积来解决与圆相关的问题。
而体积则是指球体所占据的空间大小。
球体的体积等于半径的立方乘以4π/3。
用数学公式表示为V = (4/3)πR³。
六、圆的应用圆不仅仅是数学中的一个抽象概念，它在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。
例如，数学中的圆的运动学概念被应用于物理学中的运动轨迹分析；圆的几何特性被应用于建筑设计中的弧形美学；圆的轨迹则可以用于机器人技术中的路径规划等等。
在科学和工程学领域，应用圆的知识可以解决很多实际问题。
总结：通过学习九年级数学中与圆相关的基础知识点，我们可以更好地理解圆的定义和性质，掌握圆的直径、弦和弧的概念，熟悉圆的正弦、余弦和切线的计算方法，在应用问题中灵活运用圆的内切与外切的原理，掌握圆的面积和体积的计算方法。
九年级数学上册圆的知识点总结
九年级数学上册圆的知识点总结一、圆的认识1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长的点的集合）2.圆的表示方法：①圆心用字母O表示，半径用字母r表示；②弧用弧长表示，扇形用圆心角表示；③圆是一种曲线图形，圆上任意一点P到圆心的距离OP都等于半径r；④圆心角是指顶点在圆心上的角，圆心角的一边与圆相交，另一边与圆相切或相割；⑤在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；⑥半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
1.圆的各部分名称及性质：①圆心：将圆对折，两个折痕相交于一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
圆心决定圆的位置。
②半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径用字母r表示。
圆的半径决定圆的大小。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
③直径：通过圆心且两个端点都在圆周上的线段叫做圆的直径。
直径用字母d表示。
直径是半径的2倍，同一个圆内所有的直径都相等。
直径是圆中最长的线段。
④弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
在同一个圆内最长的弦是直径。
直径是最长的弦。
⑤弧：经过圆上任意两点间的部分叫做弧。
在同一个圆内，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧只有在同一个圆里才能出现。
⑥扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
顶点在圆心上的扇形叫做圆心扇形，顶点在圆周上的扇形叫做圆周扇形。
在同一个圆里，由过一条弧的中点且垂直于这条弧所平分的那条弦与这条弧所组成的图形叫做弓形。
弓形的弧小于半圆的弧，弓形的弦大于半圆的弦。
二、点和圆的三种位置关系1.点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r.1.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.常用符号“（1）P （2）r （3）”表示.即要确定一个圆必须知道它的和圆的半径.若已知三点的位置关系是①②③,则可确定一个圆,若位置关系是①③,则可确定无数个圆；若是位置关系②,则不能确定一个圆,应先找出这三点所在直线的垂线段的中垂线,再根据垂径定理作出中垂线,它和三点确定的直线外一点和以该点为圆心,垂线段的长度为半径确定一个唯一的圆.若是位置关系③,则根据从直线外一点向这条直线所作的垂线段最短,确定垂足的位置,再根据垂径定理作出中垂线,它和三点确定的直线外一点和以该点为圆心,垂线段的长度为半径确定一个唯一的圆.若是位置关系①②,则以不共线的三点为三个顶点作三个三角形,这三个三角形的三条边分别两两相交且交点不重合的三个交点为三个圆心,以各顶点到相应交点的距离为半径作三个圆,这三个圆的公共部分即为以不共线的三点确定的圆的三个交点组成的图形,简称“三交圆”.若是位置关系①③,则以不共线的三点为三个顶点作三个三角形,这三个三角形的三条边分别两两相交且交点不重合的三个交点为三个圆心,以各顶点到相应交点的距离为半径作三个圆,这三个圆的公共部分即为以不共线的三点确定的圆的三个交点组成的图形,简称“三交圆”.若是位置关系②③,则不能确定一个唯一的圆.若是位置关系①②③也不能确定一个唯一的确定的唯一的确定的确定的确定的确定的确定的。
九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆(23个考点)
专题02对称图形——圆（23个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝P A•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝P A•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝P A•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．五．圆周角定理（共2小题）9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC 的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．18°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．六．圆内接四边形的性质（共1小题）11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．90°七．相交弦定理（共2小题）12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．八．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜2九．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是．24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．一十二．切线的性质（共3小题）25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．426．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．一十三．切线的判定（共1小题）28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．一十四．切线的判定与性质（共6小题）29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．一十五．弦切角定理（共1小题）35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°一十六．切线长定理（共2小题）36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．一十七．切割线定理（共1小题）38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，P A＝4，那么PC的长等于（）A．6B．2C．2D．2一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm一十九．正多边形和圆（共2小题）40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝．二十．弧长的计算（共4小题）42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A．B．C．πD．2π43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF ＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．（1）求的长；（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，求的长．二十一．扇形面积的计算（共1小题）46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．二十二．圆锥的计算（共2小题）47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．448．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A．2πB．C．4πD．π二十三．圆柱的计算（共2小题）49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm250．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．答案与解析【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）。
九年级数学圆的认识知识点
九年级数学圆的认识知识点数学中的圆是一个经典的几何图形，它有着独特的性质和特点。
对于九年级的学生来说，掌握圆的基本知识非常重要，不仅涉及到几何的理论，还与实际生活中的应用息息相关。
本文将介绍一些九年级数学中关于圆的认识知识点，帮助学生更好地理解和应用。
1. 圆的基本定义和性质圆，简言之就是由一个平面内离一个固定点一定距离的点组成的集合。
圆的这个固定点叫做圆心，离圆心最远的点叫做圆上的点，这个距离叫做半径。
圆是一种特殊的椭圆，圆心到任意一点的距离都是相等的。
圆的性质有很多，如直径是圆上任意两点间的最长距离，弦是圆上任意两点间的线段，弧是两点之间的一段圆周，等等。
2. 圆的周长和面积圆的周长是指围绕圆的一条线段长度，常用符号C表示。
圆的周长公式是C = 2πr，其中r是圆的半径。
圆的面积是指圆内部的区域大小，常用符号A表示。
圆的面积公式是A = πr²。
这两个公式是九年级数学中最基本的圆的计算公式，需要学生熟练掌握，并能灵活运用于解决实际问题。
3. 弧长和扇形面积弧是圆上的一段圆周，它的长度称为弧长。
弧长与圆上的角度有关，根据圆的性质可以得出一个重要的关系式：弧长 = 圆的周长 × (弧所对圆心角度 ÷ 360°)。
扇形是由圆心、圆上的两点和圆弧组成的区域，扇形的面积是指扇形所包围的区域大小。
扇形面积的计算公式是A = (圆的面积 ×扇形所对圆心角度) ÷ 360°。
4. 切线和切圆问题在圆的外部，与圆相切于一点的直线称为切线，切线与半径在切点处垂直。
九年级数学中经常出现关于切线和切圆的问题，学生需要通过运用圆的性质和几何知识来解决这些问题。
切线与圆的关系可以通过利用切线和半径的垂直性以及切线长度和半径长度的关系来推导和理解。
5. 弦切角和弧切角九年级数学中，还有两个与切线相关的重要概念，分别是弦切角和弧切角。
弦切角指的是与弦相切的两条切线所夹的角，而弧切角指的是与弧相切的一条切线与半径所夹的角。
九年数学下册第二十七章圆.1圆的认识4圆周角__圆周角和直径的关系课件新版华东师大版0301283
知1－讲
总结
知1－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线，构造直径所对的 圆周角〔直角〕是常用的作辅助线的方法，而题中有 条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一〞 性质证明BD=CD.
知1－练
1 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠A＝ 30°，那么∠B的度数为( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
知1－讲
例2 如下图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延 长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
知1－讲
导引：紧扣“直径所对的圆周角是直角〞结合等腰三角形“三 线合一〞性质求解.
证明：如下图，连结AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
总结
知2－讲
圆中求角常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两 直线互相垂直，简记为见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作 直径.
1 以下结论正确的选项是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
(2)在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进 行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为 弦相等或线段相等的问题.
所以
∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = 1
80 2
=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B外〕，
∠ ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角).
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AC 2.如图,弦有:_A_B_、__B__C__、_____
C
在圆中有长度不等的弦，
直径是圆中最长的弦。
与圆有关的概念
弧
圆 C为上端任点意的两弧点记间作的⌒ A部C，分读叫作做“圆圆弧弧，A简C”弧或。“以弧A、
AC”．
B
半圆:圆的任意一条直径两个端点把
圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
E
D 弦有：AB ， CD
圆心角有： ∠DOE ， ∠COE
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段。
画一画
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心
线段OA叫做半径
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和_半__径_ 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 半径相等的圆叫做等圆.
O●
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为 “⊙O”.
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
O·
劣弧与优弧: 小于半圆的弧叫做劣弧； 如：A⌒C
A
C
B
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧. （用三个字母表示 ） 如：ABC
O·
在同圆（等圆）能够互相重合两条弧， A
C
叫等弧
A
1.如图,弧有:____⌒ A_B____⌒B_C____
B A⌒BC A⌒CB B⌒AC 它们一样么？
O●
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
如图,一
根 3m 长 的 绳 子 ,
一端栓在柱子
上,另一端栓
着一只羊,请
5
画出羊的活动
区域.
例如：图中线段AB叫做弦。CD呢？ A
D
思考：一个圆上可画出多少条弦？ E
B
这些弦的长度有范围吗？
C
你能画出一条最长的弦吗？
F
它与其它的弦有何不同？
直径：经过圆心的弦
如图中的线段EF，注：圆中有无数条直径。
A O●
1.如图,半径有:_O_A_、__O_B__、__O_C___ B 若∠AOB=60°，
第28章 圆
1.圆的基本元素
观察下列图形，从中找出共同特点：
一石激起千层浪
乐在其中
观察下列图形，从中找出共同特点：
祥子
小憩片刻
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
在小学，我们已经学过一些
A
圆的知识。你能说说什么是
圆吗？ B
O●
你能找出圆中的直径
和半径吗？：
C
A
r
O·
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
C
优弧有： A⌒CB B⌒AC
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
圆心角
A O●
与圆有关的概念
圆心角是顶点在圆心的角。
圆心角有: ∠AOB、 ∠AOC、∠BOC
B
B
●
A
o
C
∠ABO是不是圆心角
活动& 探索
F
C
M
A
O
问：
B （1）FC是弦吗？为什么？ （2）∠CMB， ∠CMA是不是 圆心角？