平面与圆柱面的截线 课件

2．如图乙所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD， AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为点F1、 F2，交BA、DC的延长线于点E、F，交AD于点G1，交BC于点 G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
图乙
图丙
(1)G2F1＋G2F2______AD.
(2)G1G2______AD. (3) G2F1 ______cos φ______sin θ.
AA 2 (2)所求截面为矩形 AA′B′B，面积等于 2 2 cm2. (3)点 O 到截面的距离即 OO′到截面的距离，也是点 O′ 到截面的距离为 2 cm.
2
的面积．
如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆
解析：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截
面截得的，且斜截面与母线所成角为，则 b=r，a= r . sin
5．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截
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线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为____2 __．
6．已知平面δ斜截一准线半径为r的圆柱面，轴线与平面δ
所成的角为α，求证：存在圆柱面的内切球与平面δ相切．
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于
圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的
内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一
公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
(1)求OO′与AB′所成角的正切值；(2)求过AB′与OO′平 行的截面面积；(3)求点O到截面的距离．
解析：(1)设过点 A 的母线为 AA′，连接 AB′，则 OO′∥AA′，OO′A′A 是矩形，易知△O′B′A′是等腰 直角三角形，
∴A′B′= 2 .又 AA′=2，OO′与 AB′所成的角为 ∠B′AA′，∴tan∠B′A概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴 短轴 2 a2 b2
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径 无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的 半径
4．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦
球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝ 4
_____5_.
由于 AB= l = 5π cm，BC=AD=5 cm， 22
∴AC=
25π2
5
25 =
π2 4 cm.
4
2
答案：B
2．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45°角，则截线椭圆的焦距为( C )
A．2 2
B．2
C．4
D．4 2
3．下列说法不正确的是( D )
A．圆柱面的母线与轴线平行
为( )
A．10 cm
B. 5 π2 4 cm 2
C．5 2 cm
D．5 π2 1 cm
解析：如图(1)，ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面圆半径为r，则r＝ 5 cm.
2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm.
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)，
则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长．
取圆柱面一直截面，则其面积 S 圆=r2，直截面与斜截面
的夹角为 π -.由面积射影定理，有
2
S 椭圆=
S圆
πr 2
r
= =r =ab.
cos
π 2
sin
sin
即椭圆的面积为ab.
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线 椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 焦球球心距离为 2r =8 3 .
sin 60 截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率 e=cos 60= 1 .
2
1．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为 5
cm 的正方形 ABCD，则圆柱侧面上从点 A 到点 C 的最短距离
G2 E 3．如图丙所示，将两个圆拓宽为球面，将矩形ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓宽为两个平面α、β， EF拓宽为平面γ，平面γ与圆柱面的截线是______．
2．(1)＝ (2)＝ (3)＝ ＝ 3．椭圆
如图所示是夹在圆柱面上的两正截面的部分， 且所截得母线长为2 cm.若OA⊥O′B′，OA＝1 cm.