应用泛函分析习题解答

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泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

第 一 节

3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞

∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。取0N m =，则有

0 ,0N n x x N n >+<ε，

令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则

1 ,≥

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞

=1

k k

x

（此时称级数∑∞

=1

k k x 绝对收

敛），证明存在E ∈x ，使∑∞

=∞

→=1

lim k k

n x

x （此时记x 为

∑∞

=1

k k

x

，即∑∞

==

1k k

x

x ）.

证明：令∑==

n

k k

n x

y 1

，则∑∑++=++=+≤

=

-p

n n k k

p

n n k k

n p n x

x

y y 1

1

。由于

∞<∑∞

=1

k k

x

绝

对收敛，则它的一般项0→k x 。因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有

ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必

存在E ∈x ，使得∑∑∞

==∞

→==1

1

lim

k k n

k k

n x x

x 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。通常用E dim 表示

E 的维数，

并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。证明酉空间n

C 的维数为n ，并问当视n

C 为实线性空间时，其维数是多少？

证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,，

则有n

y x C ∈+βα。令)0,0,1,0,0(

项

共项

第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x =，必有∑==n

k k

k x x 1

e

，因此},,,{21n e e e 是空间n

C

的基，则n n

=C dim 。

当视n

C 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ，则对任意的

)

,,(21n x x x x =，有

∑∑==+=n

k k k n k k k i x g x x 1

1

)

)((Im )Re(e e ，所以

n n 2dim =C 。

10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。

证明：取],[,0,)(b a t k t t x k

k ∈≥=，只需证},,{10 x x 线性无关。为此对

0≥∀n ，令01

=∑=n k k k x c 。则00!01

=⇒=⇒=∑=n n n n

k k k c c n x c 次求导

。因此必有

01

1

=∑-=n k k k

x c

，求该式求1-n 导后有00)!1(11=⇒=---n n c c n 。依次类推，有

001====-c c c n n ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x 线性无关，即∞=],[dim b a C 。

第 二 节

2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。定义x 到A 的距离为：

}|inf{),(A A ∈-=y x y x d

证明：

1) x 是A 的内点⇔0),(>c x d A ；

2) x 是A 的孤立点⇔A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ； 3) x 是A 的外点⇔0),(>A x d 。

解：

1）必要性：

x

是

A 的内点

内点的定义

⇒ε

∃，使得

2

A

⊂B ),(εx ⇒Φ=B c x A ),(ε⇒

c y A ∈∀，都有

x y ≠⇒0}|inf{>∈-c y x y A ⇒0),(>c x d A 。

充分性：0

),(>c

x d A 距离的定义

⇒

ε∃，使得Φ=B c x A ),(ε⇒ε∃，使得

A

⊂B ),(εx 内点的定义

⇒x 是A 的内点。

2）必要性：x 是A 的孤立点孤立点的定义

⇒

A ∈x ，且ε∃，使得}{),(x x =

B A ε⇒A

∈x ，

且ε

∃，使得Φ

=B }}/{{),(x x A ε距离的定义

⇒

A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 。

充分性：

A ∈x ，且0

}){\,(>x x d A 距离的定义

⇒

ε∃，使得

Φ=B }}/{{),(x x A ε⇒ε∃，使得}

{),(x x =B A ε孤立点的定义

⇒

x 是A 的孤立

点。

3）必要性：x 是A 的外点

外点的定义

⇒ε∃，使得Φ=B A ),(εx ⇒A ∈∀y ，都

有x y ≠⇒0

}|inf{>∈-A y x y 距离的定义

⇒0),(>A x d 。

充分性：0),(>A x d 距离的定义

⇒ε∃，使得Φ=B A ),(εx 外点的定义

⇒x 是A 的外点。

3．设A 是E 中的非空闭集，证明：A ∈x ⇔0),(=A x d 。 解

：

必

要

性

：

A

∈x ⇒A

∈∃y ，使得

x y =⇒0

}|inf{=∈-A y x y 距离的定义

⇒0),(=A x d 。

充分性：0

),(=A x d 距离的定义

⇒

0}|inf{=∈-A y x y ⇒A ⊂∃}{k x ，使得

x x k →是闭集

A ⇒A ∈x 。

7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。 解：

∞

==-1

)1,0[]11,0[k k 。

8．证明A A A '= 。

证明：设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →。若}{k x ∃中有无穷项互异，则

A '∈x ；否则有无穷多相取同一个值，则A ∈x ，由此可知：A A '∈x ，则

A A A '⊂ 。另一方面，由于A A ⊂且A A ⊂'，所以A A A ⊂' 。综上所述，有A A A '= 。

9．证明：1）A 的内部是含于A 的最大开集，即}|{int A B B B A ⊂=是开集，且

；

2）A 的闭包是包含A 的最小闭集，即}|{A B B B A ⊃=

是闭集，且 。

证明：1）设G 是含于A 的最大开集，则A A ⊂int ⇒G A ⊂int 。设

G ∈x 是开集

G ⇒ε

∃，使得

G ⊂B ),(εx A

G ⊂⇒ε

∃，使得

A ⊂

B ),(εx 内点的定义

⇒A int ∈x 。所以A G int ⊂。综上所述，A G int =，则表明A 的内部是含于A 的最大开集。

2）设G 是包含A 的最小闭集，且A A ⊂⇒A G ⊂。设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，

使得x x k →G A ⊂⇒G ⊂∃}{k x ，使得x

x k →是闭集

G ⇒G ∈x ，所以G A ⊂。综上

所述，A G =，则表明A 的闭包是包含A 的最小闭集。

10．利用习题9的结论证明：1）)int()(c

c

A A =，2）)()(int c c A A =。

证明：1）A A ⊂⇒c c A A ⊂)(。c

)(A 是开集，而由习题9的结论可知，

)int(c A 是含于c

A 的最大开集，所以)int()(c

c

A A ⊂。

此外，设)int(c x A ∈，而c x )(A ∉。由)

int(c

x A ∈是开集

)int(c A ⇒

ε∃，使得

c

c x A A ⊂⊂B int ),(ε⇒ε

∃，使得

ΦB ＝A ),(εx 。

（1）