定解问题

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本征（特征）值问题

在求解方程过程中，我们遇到如下问题：

()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩

通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题

经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

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分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：

1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，

而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量

分离的解。

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分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

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非齐次方程—有界弦的受迫振动

考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：

容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。

()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0

,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪

==≥⎨⎪

==∈⎪⎩

分离变量法处理问题的程序

1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件

是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

2、求解常微分方程的本征值问题

3、构造变量分离形式的特解

4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数

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The End

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