谢寿才版概率统计第四章习题及其解答

习题四

1．设随机变量X 的分布律为

X

-1 0 1 2

k p

0.1

0.2

0.3

p

求p ，)(X E ，)12(-X E .

答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ； 2.设随机变量X 的分布律为

X -1 0 1

p

1p 2p 3p

且已知1.0)(=X E ,9.0)(2

=X E ,求1p ，2p ，3p .

【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

2222

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 3.设随机变量X 的概率密度为

=)(x f

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其它x x x x

求)(X E ，)(X D . 【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=

=+-⎰

⎰⎰

2

1

3

32011 1.33x x x ⎡⎤

⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

12

22320

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

⎰

⎰⎰ 故 2

2

1()()[()].6

D X

E X E X =-= 4.设随机变量X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨

⎧<≥=-.

0,

0,0,e )(2

2x x cx x f x

k

求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D .

【解】(1) 由

22

2

()d e d 12k x c

f x x cx x k

+∞

+∞

--∞

==

=⎰

⎰得22c k =. (2) 22

20

()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞

+∞

--∞

=

=⎰

⎰

22

2

20

π2e

d .2k x k

x x k

+∞

-==

⎰

(3) 22

2

2

22

2

1()()d()2e

.k x E X x f x x x k x k +∞

+∞--∞

=

=⎰

⎰

故 2

22

221π4π()()[()].24D X E X E X k k k

⎛-=-=-= ⎝⎭ 5. 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从区间⎪⎭

⎫

⎝⎛-2,2ππ上的均匀分布，求弦PA 的长度的数学期望.

解：弦PA 的长为随机变量X ，由任意θ的密度函数为

π

θπθθθθπθπ

πθπ

π4

1cos 2)cos 2(cos 2cos ,02

2,1)(22

=

=====⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰-d E EX PB X PA p 故其他

6．设X 服从柯西分布，其密度函数为

+∞<<-∞+=

x x x f ,)

1(1

)(2π

问)(X E 是否存在？ 解：因为

∞=+⎰

+∞

∞

-dx x

x

2

11

1

π 所以EX 不存在。

7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求⎪⎭

⎫

⎝⎛+X E 11. 答案：

96

67

8．设随机变量X 服从区间⎪⎭⎫

⎝⎛

-

21,21上的均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差.

解：⎰

-==

212

1,0sin xdx EY π

⎰-===212

122

2/1sin xdx EY DY π。

9.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，其概率密度为

⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=-.

0,

0,0,

e 41)(4x x x

f x

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，

而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元 /4

1/41

1{100}{1}e d e 4

x P Y P X x +∞

--==≥=

=⎰

1/4

{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-

故1/4

1/41/4()100e

(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).

10.设随机变量Z Y X ,,相互独立，且,5)(=X E ,11)(=Y E ,8)(=Z E 求下列随机变量的数学期望. （1）132-+=Y X U ；（2）X YZ V 4-=. 【解】(1) 42)(=U E ；(2) 68)(=V E 11.设随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧<<<=.,

0,

10,),(其它x y k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E . 【解】因

1

001

(,)d d d d 1,2

x

f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

-∞

===⎰⎰

⎰⎰故k=2

10

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

-∞

===⎰

⎰

⎰⎰.

12.设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其它x x =)(y f Y ⎩⎨

⎧>--.

,

0,5,)5(其它y e y

求)(XY E .

【解】先求X 与Y 的均值