谢寿才版概率统计第四章习题及其解答

习题四1．设随机变量X 的分布律为X-1 0 1 2k p0.10.20.3p求p ，)(X E ，)12(-X E .答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ； 2.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1p1p 2p 3p且已知1.0)(=X E ,9.0)(2=X E ,求1p ，2p ，3p .【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 3.设随机变量X 的概率密度为=)(x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其它x x x x求)(X E ，)(X D . 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-= 4.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(22x x cx x f xk求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D .【解】(1) 由222()d e d 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2ed .2k x kx x k+∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 5. 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的均匀分布，求弦PA 的长度的数学期望.解：弦PA 的长为随机变量X ，由任意θ的密度函数为πθπθθθθπθππθππ41cos 2)cos 2(cos 2cos ,022,1)(22======⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰-d E EX PB X PA p 故其他6．设X 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<-∞+=x x x f ,)1(1)(2π问)(X E 是否存在？ 解：因为∞=+⎰+∞∞-dx xx2111π 所以EX 不存在。

7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求⎪⎭⎫⎝⎛+X E 11. 答案：96678．设随机变量X 服从区间⎪⎭⎫⎝⎛-21,21上的均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差.解：⎰-==2121,0sin xdx EY π⎰-===2121222/1sin xdx EY DY π。

9.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 41)(4x x xf x为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).10.设随机变量Z Y X ,,相互独立，且,5)(=X E ,11)(=Y E ,8)(=Z E 求下列随机变量的数学期望. （1）132-+=Y X U ；（2）X YZ V 4-=. 【解】(1) 42)(=U E ；(2) 68)(=V E 11.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,),(其它x y k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E . 【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k=210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.12.设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其它x x =)(y f Y ⎩⎨⎧>--.,0,5,)5(其它y e y求)(XY E .【解】先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=13.袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，从袋中一个一个地 取出（取出后不放回），设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量X ，求)(X E 和)(X D . 【解】其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下：由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=14.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,π0,2cos 21)(其它x x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望. 【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=15.设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，对于任意x ，求函数])[()(2x X E x f -=的最小值，并说明其意义.解：222)(2)(])[()(x X xE X E x X E x f +-=-=)(22)(X E x dx x df -=， 当0)(22)(=-=X E x dxx df 时，有唯一驻点)(X E x =，又02)(22>=dx x f d ，所以在)(X E x =时，取极小值，也是最小值： DX X E X E X E f =-=]))([()]([2这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为其方差。

16.设随机变量U 服从区间[2,2]-上的均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若 试求)(Y X D +.【解】因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及（X+Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+=17.对随机变量X 和Y ，已知1),cov(,3)(,2)(===Y X Y D X D ，求)34,123(-++-Y X Y X Cov . 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-18.设二维随机变量),(Y X 在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求),cov(Y X及相关系数. 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 1Cov(,)1362()()111818XY X Y D X D Y ρ-===-⨯19.设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(||.(1) 求)(X E 及)(X D ；（2） 求),cov(X X ,并问X 与X 是否不相关？ （3） 问X 与X 是否相互独立，为什么？ 【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= ||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X|不相互独立.20.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布)3,1(2N 和)4,1(2N ，且X 与Y 的相关系数5.0=XY ρ,23Y X Z +=. （1） 求)(),(Z D Z E ；（2） 求X 与Z 的相关系数XZ ρ,并判断X 与Z 是否相互独立. 【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=-所以 Cov(,)0.)()XZ X Z D Z ρ==由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立. 21.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X+Y=n ，则有D （X+Y ）=D （n ）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=12, 从而有 ()()4nD X npq D Y === 所以 0()()()2)()XY D X Y D X D Y D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ=-1.。