3.4(随机变量的相互独立性)
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3-4随机变量的独立
0
2
2. 连续随机变量 X 、Y 相互独立的充分必要条件是： 相互独立的充分必要条件是： 都有： 对所有的实数 x、y ，都有： 、 f (x,y) = fX (x)×fY (y) , × 补充： 补充： 连续随机变量 X、Y 相互独立，当且仅当： 、 相互独立，当且仅当： 联合密度函数能够分解成： 对所有实数 x、y ，联合密度函数能够分解成： 、 f(x,y) = g (x)×h (y) 的形式 。 , × 并且，边缘密度函数可以直接写出： 并且，边缘密度函数可以直接写出： fX (x) = C1 g (x) ，fY (y) = C2 h (y) 这里C 是常数因子。 这里 1、 C1 是常数因子。
3
例3.4.2(续) 从 1，2，3，4 中随机地取一个数 X ， 续 ， ， ， 再从 1，· · ·，X 中随机地取一个数 Y，判断 X、Y ， ， ， 、 是否独立？ 是否独立？ 联合分布律以及边缘分布律是： 解. 联合分布律以及边缘分布律是： X\Y 1 2 3 4 p· j 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 3 0 0 1/8 0 1/12 1/12 1/16 1/16 13/48 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 pi · 1/4 1/4 1/4 1/4 1
0
+∞
−2x−3y
dy = 2e
−2x
ϕX (x) = 0
−2x
2e , 所以， 所以， ϕX (x) = 0, 3e−3y , 同理可得 ϕY ( y) = 0,
(x ≥ 0) (x < 0) ( y ≥ 0) ( y < 0)
12
③
2e , x ≥ 0 ϕX (x) = , 0 , x < 0
2
2. 连续随机变量 X 、Y 相互独立的充分必要条件是： 相互独立的充分必要条件是： 都有： 对所有的实数 x、y ，都有： 、 f (x,y) = fX (x)×fY (y) , × 补充： 补充： 连续随机变量 X、Y 相互独立，当且仅当： 、 相互独立，当且仅当： 联合密度函数能够分解成： 对所有实数 x、y ，联合密度函数能够分解成： 、 f(x,y) = g (x)×h (y) 的形式 。 , × 并且，边缘密度函数可以直接写出： 并且，边缘密度函数可以直接写出： fX (x) = C1 g (x) ，fY (y) = C2 h (y) 这里C 是常数因子。 这里 1、 C1 是常数因子。
3
例3.4.2(续) 从 1，2，3，4 中随机地取一个数 X ， 续 ， ， ， 再从 1，· · ·，X 中随机地取一个数 Y，判断 X、Y ， ， ， 、 是否独立？ 是否独立？ 联合分布律以及边缘分布律是： 解. 联合分布律以及边缘分布律是： X\Y 1 2 3 4 p· j 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 3 0 0 1/8 0 1/12 1/12 1/16 1/16 13/48 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 pi · 1/4 1/4 1/4 1/4 1
0
+∞
−2x−3y
dy = 2e
−2x
ϕX (x) = 0
−2x
2e , 所以， 所以， ϕX (x) = 0, 3e−3y , 同理可得 ϕY ( y) = 0,
(x ≥ 0) (x < 0) ( y ≥ 0) ( y < 0)
12
③
2e , x ≥ 0 ϕX (x) = , 0 , x < 0
§3.4相互独立的随机变量
故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
随机变量的相互独立性
p ij = p i • × p • j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 与 的边缘分布律分别为
X p.i -1 2/5 0 1/5 2 2/5 Y 1/2 Pj. 1/4 1 1/4 2 2/4
2 1 p11 = p12 = = p1. ⋅ p.1 = p1. ⋅ p.2 20 20 4 p13 = = p1. ⋅ p.3 20 p21 = p2. ⋅ p.1 p22 = p2. ⋅ p.2 p23 = p2. ⋅ p.3
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
y ≤ 0 或 y ≥1 时
fY ( y ) = 0
0 < y ≤ 1 时，
0
fY ( y ) = ∫ y −1 4dx = 2(1 − y )
2
所以，关于 的边缘分布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为
2(1 − y ), fY ( y ) = 0,
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 的联合分布函数为F(x,y) F(x,y)， 边缘分布函数分别为F 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y (y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 (y)，则称随机变量X 相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量， 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分 别等价于
(0 < y ≤ 1) 其它
所以
1 8(2x +1)(1− y),(− < x ≤ 0,0 < y ≤ 1 ) f X ( x) ⋅ fY ( y) = 2 0, 其它
3.4多维随机变量的独立性
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1
Y 0 2/9 0 1/9 1/3 1 1/9 2/9 0 1/ 3 2 0 1/9 2/9 1/3
X
0 1 2
p
X i
pi
1/3 1/3 1/3
p j
例2
Y
若X,Y具有联合分布率
xe ( x y ) , x 0, y 0 f (x, y) f X ( x) fY ( y) f ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
问X和Y是否独立？
解：f X ( x )
0
xe
( x y )
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
3. 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对任意的 x, y, 有
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
几乎处处成立，则称X,Y相互独立 .
这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立.
例3
设(X,Y)的概率密度为
一切x, y, 均有
15 45 60
y
x
xy
x
=1/2
1 dy ]dx 1800
40
10
0
15
45
x
1 [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1800
解二：P(| X-Y| 5) 1 dxdy 1800 | x y | 5
y
60
40
3.4随机变量的独立性(易)
( x 1 )
2 2 1
2
e
1 2 2
( y 2 ) 2 2
2
e
取 x 1 , y 2
1 2 1 2 1
2
故 0
将 0 代入 f ( x, y ) 即得
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
所以X与Y相互独立
( X , Y ) 的分布函数及边缘分布
函数 . 若对于所有 x , y
它表明，两个 则称随机变量 X 和 Y 是 相互独立 的 . r.v相互独立时， 联合分布函数等 注：X 和 Y 相互独立 , 则 于两个边缘分布 对任意 x1 x 2 , y 1 y 2 ， 函数的乘积
事件 x1 X x 2 与 y 1 Y y 2 也相互独立 .
的时间 ,
由假设 X 和 Y 的概率密度分别为
1 2 , 7 y 9 , 1 4 , 8 x 12 , fY ( y ) fX ( x) 其他 , 0, 0 , 其他 , 由于 X , Y 相互独立 , 得 ( X , Y ) 的概率密度为 1 8 , 8 x 12 , 7 y 9 , f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 其他 . 0,
有的书称为“几乎处处成立”，含义是：在 平面上除去面积为0的集合外，处处成立.
例1
已知 ( X , Y ) 的分布律为
(1 , 3 ) ( 2 ,1 ) ( 2 ,2 ) ( 2 ,3 )
( X , Y ) (1 ,1 ) ( 1 , 2 )
p ij
1 6
1 9
1 18
1 3
3.4 相互独立的随机变量
YX 0
100 0 144
1
20
144
P{X i} 10 12
1 P{Y j}
20 10
144 12
4
2
144 12
2
12
由相互独立的充分必要条件知 X 与 Y 相互独立。
1.分布函数
n 维随机变量 ( X1, X2 ,, Xn ) 的分布函数
F(x1, x2,, xn) P{X1 x1, X2 x2,, Xn xn},
其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
2.概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
1
e ,
(
x μ1 2 σ12
)2
2πσ1
fY ( y)
1
e .
(
x μ2
2σ
2 2
)2
2πσ2
重要结论：“二维正态变量X,Y独立 ρ 0 ”
//若=0，易得f (x, y) fX (x) fY (y)对所有x,y成立，故X,Y独立；
//若X,Y独立,则对所有x,y 有 f (x, y) fX (x) fY (y)成立,
的联合概率密度.
解
fX (x)
1
e ,
(
xa)2 2σ2
x ;
2 σ
fY
(
y)
1 2b
,
b y b, 而X 与Y 相互独立,
0, 其它.
所以 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
1 2b
0
1
e
(
xa)2 2σ2
2 σ
, x ,
§3.3 随机变量的独立性§3.4 两个随机变量函数的分布
第9页
例3.3.2 已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, …), 则X与 Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2,… , 有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}· P{Y= yi}
（Pij Pi P ） j
第3章
§3.3—3.4
第7页
2. (X, Y)是连续型
14
14
16
18
18
1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 0 1 -1 -1 0 0 2 -1 1 1 0 1 3 -2 2 2 0
dx
0
1/2
e y dy
1 2
1 e1 2e
第3章
§3.3—3.4
第6页
§3.3 随机变量的独立性
定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y) 即 P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y}
则称随机变量X与Y是相互独立的。 1. (X, Y)是离散型
e y , 0 x y f ( x, y ) 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}.
第3章
§3.3—3.4
第4页
D为 2x+3y≤6. 1.解:
概率论：相互独立的随机变量
第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性
二、小结
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.
本节主要讨论两个随机变量相互独立的一
般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中 的任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
4 xy 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) . 其它 0
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x)
1 4 xydy 0 x 1 2 x 0 x 1 f ( x, y )dy 0 0 其它 0 其它
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e , x ; 2 πσ 1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X }
2
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性
二、小结
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.
本节主要讨论两个随机变量相互独立的一
般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中 的任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
4 xy 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) . 其它 0
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x)
1 4 xydy 0 x 1 2 x 0 x 1 f ( x, y )dy 0 0 其它 0 其它
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e , x ; 2 πσ 1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X }
2
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
概率论-3.4 相互独立的随机变量
1 18
得 1
9
2020年4月26日星期日
4
目录
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返回
例：证明当
(X,Y) :
N
(1,
2
,12
,
2 2
,
， )
X
和Y
相互独
立的充分必要条件为ρ=0.
证明： 当
(X ,Y) :
N
(
1
,
2
,
2 1
,
，22有,
)
X
:
N
(1
,
2 1
)，Y
:
N
(
2
,
2 2
)
即
fX (x)
1
e
(
x 1 212
)2
对于连续型随机变量(X, Y)， X 和Y相互独立等价于
f (x, y) fX (x) fY ( y)
2020年4月26日星期日
2
目录
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返回
例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为
求α，β。
X Y
0
1
2
01 1 1 6 9 18
11
3
解：由于随机变量 X 和Y 相互独立，可知
PX 1,Y 0 PX 1 PY 0
即
1 9
1 9
1 6
1 9
1 18
得 2
9
2020年4月26日星期日
3
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返回
例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为
求α，β。 续解。。。
X Y
0
1
2
01 1 1 6 9 18
概率论：相互独立的随机变量
2. 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
Y
0
1
p i.
0.3 0.4
0.7
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0) p
0.2 0.1
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
Y
0
1
p i.
0.3 0.4
0.7
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0) p
0.2 0.1
3.4 二维随机变量的独立性
对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律 与概率密度来判定独立性.
(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的所有可能
取值 ( xi , yj ) ,有
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：
3.4 二维随机变量的独立性
回顾：事件A与B独立性 P(AB)=P(A)P(B)
定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y),若对任意的x, y 有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y},
即
F ( x, y) FX ( x) FY ( y),
则称随机变量X与Y是相互独立的.
解一
P{|X-Y|≤5}= P{-5≤X-Y≤5}
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
1 6
1 45 60
P{X<Y}= [
dy]dx
15 x 1800
1 2
解二 P{|X-Y|≤5}
1
dxdy
|XY|5 1800
被积函数为常数， 1
直接求面积
作业 习题册： 3.3节：P24: 3； 3.4节：P25: 2,3,6
，15
30
x
45，
fY ( y)
1 ，0 60
y
60
0， 其它
0， 其它
由于X与Y相互独立，故
f ( x, y) 18100，15 x 45, 0 y 60, 0， 其它
3-3,4条件分布及变量的独立性
O
•
8
•
12 x
因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差
不超过5分钟的概率为 1 . 48
二、二维随机变量的推广
1.分布函数
n 维随机变量 ( X1, X2 ,, Xn ) 的分布函数
F ( x1, x2 ,, xn ) P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn }, 其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
Y 的条件概率密度为
fY
X
(
y
x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
因此 X 和 Y 的联合概率密度为
f ( x, y) fY X ( y x) fX ( x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
故得 Y 的边缘概率密度
fY ( y)
f (x, y)d x
y1 0 1
d x
x
ln(1
y),0
y
1,
0,
其它.
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, pij ( i, j 1,2,) 为其联合分布律,在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为
P{ X
xi Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p• j
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考 虑 一 大 群 人, 从 其 中 随 机 挑 选 一 个 人, 分 别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高,则X 和 Y 都是随 机 变 量, 他 们 都 有 自 己 的 分 布.
现在如果限制 Y 为1.7m , 求在这个 限制下求 X 的分布.
概率与数理统计3.4 相互独立的随机变量
26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节 相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变 量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp
3.4二维随机变量的独立性
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
则称X与Y相互独立。
证明：若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 22 , ρ) 则
X与Y相互独立
0
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
2 y μ2 x μ1 y μ2 2 ρ σ2 σ1 σ2
将其余数值 填入空白处.
X
Y
y1
1 24 1 8 1 6
y2
1 8 3 8 1 2
y3
1 12 1 4 1 3
P X xi pi
1 4 3 4 1
x1 x2
P Y y j p j
二、二维连续型随机变量的独立性 定义3.4.2 设(X，Y)为二维连续型随机变量， 如果对任意的实数 x 和 y 都有
X
Y
y1
p11 p21 pi 1
y2 ...
p12 ... p22 ... pi 2 ...
yj
p1 j p2 j pij
x1 x2 xi Y
... X ... p1
... ...
p 2 pi
p1
p2 pபைடு நூலகம் j
例 设随机变量 X 与 Y 独立, 下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律 及边缘分布律 的部分数值,
证明：X与Y相互独立
f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 2πσ1σ 2 1 ρ
2
e
1 2(1 ρ2 )
x μ1 σ1
2
1 2πσ1
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证：二维正态分布的概率密度为
f ( x , y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ ( 2 } 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 2
由例3.11知，f X ( x ), fY ( y)的乘积为
0
1
x2 2
)dx
1 1 2 e 2 0
1
x2 2
dx
1 2 (1) (0)
1 2.5066 0.8413 0.5
0.1445
□
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.19】对于二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的 充要条件是ρ=0.
0.5
pj
0.5
0.5
及独立性得到下表：
3.4 随机变量的相互独立性
pij
Z
0.25
1
0.25
0
0.25
0
0.25
1
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X Z 0 0 0.25 1 0.25 p i. 0.5
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi } 即 F ( x1 , x2 , , xn ) FX i ( xi )
1 2 e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有
y 1 2 1, 0 x 1, f ( y) e , y 0, 2 Y f X ( x) 0, 其它, 0, 其它,
若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．
解：
X
x1 x2
首先写出两个边缘边缘分布律
Y y1 a 1/9 y2 1/9 b y3 c 1/3 p i. a+c+1/9 b+4/9
p.j
a+1/9
b+1/9
c+1/3
a+b+c+5/9=1
3.4 随机变量的相互独立性
Y X x1 y1 a y2 1/9 y3 c p i. a+c+1/9
（2）连续型随机变量，如果下式几乎处处成立
f ( x1 , x2 , , xn ) f X i ( xi )
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立． 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集 外处处成立．
3.4 随机变量的相互独立性
特别地，二维的情形
1) 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ), 边缘分布函数分别为 FX ( x ), FY ( y ), 则有
C. / 8
D. / 4
2013 设r.v.X与Y相互独立， X pi 0 1/2 1 1/4 2 3 Y pi -1 1/3 0 1
1/8 1/8
1/3 1/3
则P{ X Y 2}
1/6
即 X 和 Y 相互独立
P PP
ij
i. . j
3.4 随机变量的相互独立性
3) 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为 f ( x, y), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y), 则有
X 和 Y 相互独立
f ( x, y) f
X
( x ) fY ( y ).
P{Y X 2 }
y x2
f ( x, y)dxdy
例2-续2
1 P{Y X } f ( x, y)dxdy e dxdy 2D y x2
2
y 2
1 dx e dy e 20 0 0
1
x2
y 2
1
y 2 2 x 0
| dx (1 e
在平面上几乎处处成立。 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面 积为零的集合，在其上等式 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 不成立.
3.4 随机变量的相互独立性
【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为
Y
X x1
x2
y1 a 1/9
y2 1/9 b
y3 c 1/3
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解：将( X ,Y ) 的分布律改写为 Y 1 2 3 X
1 2
1 ( x 1 )2 ( y 2 )2 f X ( x ) fY ( y) e xp{ [ ]} 2 2 21 2 2 1 2 1
若ρ=0，充分必要条件为，对所有x,y有 即X与Y独立．
f ( x, y) f X ( x ) fY ( y)
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij P{ X xi } P{Y y j }, (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
1 p12 9
又
11 2 , 9 39
1 1 , 得 . 3 9
2012数学一
i 1 n i 1 n
则称X1，X2，…，Xn相互独立．
3.4 随机变量的相互独立性
（1）离散型随机变量，如果对于任意n个取值
x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi }
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立．
X 和 Y 相互独立
F ( x, y) F ( x)F ( y).
X Y
2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, 来自1 p.j0.25 0.5
0.25 0.5
0.5 1
由于P{X = i，Z = j} = 0.25 = 0.50.5 = P{X = i}P{Z = j} （i，j= 0，1）， 所以X与Z独立．
【例2】(典型题）
例2:设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均 匀分布,Y的概率密度为 y
（7）
设随机变量X与Y相互独立，且分别服从 参数为1和4的指数分布，则P{X<Y}=( )
1 A. 5
答案 A
1 2 B. C. 3 5
4 D. 5
2012 设r.v.X与Y相互独立，且都服从区间（0,1）上的 均匀分布，则 P{X 2 Y 2 1 } ( A.1/4
答案：D
)
B.1/2
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.17】已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律
X 0 1 Y 与 0 1
pi
0.5
例2-续1
所以,X与Y的联合概率密度为
y 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 2 其它. 0,
(2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{X xi }
1 3 1 3
1 6 1 3
1 2
1 9
1 18
1 9
1 18
P{Y y j }
2 3
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3 1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
x2
p.j
1/9
a+1/9
b
b+1/9
1/3
c+1/3
b+4/9
a+b+c+5/9=1
利用X与Y相互独立的条件， 4 1 由 p22 p2 p2 , 即 b ( b )( b ), 解之得b 2 / 9. 9 9 1 4 1 再由 p23 p2 p3 , 即 ( b )( c ), 3 9 3 2 1 将 b 代入解得c , 9 6 5 1 最后利用 a b c 1得a . 9 18
f ( x , y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ ( 2 } 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 2
由例3.11知，f X ( x ), fY ( y)的乘积为
0
1
x2 2
)dx
1 1 2 e 2 0
1
x2 2
dx
1 2 (1) (0)
1 2.5066 0.8413 0.5
0.1445
□
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.19】对于二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的 充要条件是ρ=0.
0.5
pj
0.5
0.5
及独立性得到下表：
3.4 随机变量的相互独立性
pij
Z
0.25
1
0.25
0
0.25
0
0.25
1
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X Z 0 0 0.25 1 0.25 p i. 0.5
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi } 即 F ( x1 , x2 , , xn ) FX i ( xi )
1 2 e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有
y 1 2 1, 0 x 1, f ( y) e , y 0, 2 Y f X ( x) 0, 其它, 0, 其它,
若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．
解：
X
x1 x2
首先写出两个边缘边缘分布律
Y y1 a 1/9 y2 1/9 b y3 c 1/3 p i. a+c+1/9 b+4/9
p.j
a+1/9
b+1/9
c+1/3
a+b+c+5/9=1
3.4 随机变量的相互独立性
Y X x1 y1 a y2 1/9 y3 c p i. a+c+1/9
（2）连续型随机变量，如果下式几乎处处成立
f ( x1 , x2 , , xn ) f X i ( xi )
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立． 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集 外处处成立．
3.4 随机变量的相互独立性
特别地，二维的情形
1) 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ), 边缘分布函数分别为 FX ( x ), FY ( y ), 则有
C. / 8
D. / 4
2013 设r.v.X与Y相互独立， X pi 0 1/2 1 1/4 2 3 Y pi -1 1/3 0 1
1/8 1/8
1/3 1/3
则P{ X Y 2}
1/6
即 X 和 Y 相互独立
P PP
ij
i. . j
3.4 随机变量的相互独立性
3) 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为 f ( x, y), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y), 则有
X 和 Y 相互独立
f ( x, y) f
X
( x ) fY ( y ).
P{Y X 2 }
y x2
f ( x, y)dxdy
例2-续2
1 P{Y X } f ( x, y)dxdy e dxdy 2D y x2
2
y 2
1 dx e dy e 20 0 0
1
x2
y 2
1
y 2 2 x 0
| dx (1 e
在平面上几乎处处成立。 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面 积为零的集合，在其上等式 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 不成立.
3.4 随机变量的相互独立性
【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为
Y
X x1
x2
y1 a 1/9
y2 1/9 b
y3 c 1/3
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解：将( X ,Y ) 的分布律改写为 Y 1 2 3 X
1 2
1 ( x 1 )2 ( y 2 )2 f X ( x ) fY ( y) e xp{ [ ]} 2 2 21 2 2 1 2 1
若ρ=0，充分必要条件为，对所有x,y有 即X与Y独立．
f ( x, y) f X ( x ) fY ( y)
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij P{ X xi } P{Y y j }, (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
1 p12 9
又
11 2 , 9 39
1 1 , 得 . 3 9
2012数学一
i 1 n i 1 n
则称X1，X2，…，Xn相互独立．
3.4 随机变量的相互独立性
（1）离散型随机变量，如果对于任意n个取值
x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi }
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立．
X 和 Y 相互独立
F ( x, y) F ( x)F ( y).
X Y
2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, 来自1 p.j0.25 0.5
0.25 0.5
0.5 1
由于P{X = i，Z = j} = 0.25 = 0.50.5 = P{X = i}P{Z = j} （i，j= 0，1）， 所以X与Z独立．
【例2】(典型题）
例2:设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均 匀分布,Y的概率密度为 y
（7）
设随机变量X与Y相互独立，且分别服从 参数为1和4的指数分布，则P{X<Y}=( )
1 A. 5
答案 A
1 2 B. C. 3 5
4 D. 5
2012 设r.v.X与Y相互独立，且都服从区间（0,1）上的 均匀分布，则 P{X 2 Y 2 1 } ( A.1/4
答案：D
)
B.1/2
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.17】已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律
X 0 1 Y 与 0 1
pi
0.5
例2-续1
所以,X与Y的联合概率密度为
y 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 2 其它. 0,
(2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{X xi }
1 3 1 3
1 6 1 3
1 2
1 9
1 18
1 9
1 18
P{Y y j }
2 3
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3 1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
x2
p.j
1/9
a+1/9
b
b+1/9
1/3
c+1/3
b+4/9
a+b+c+5/9=1
利用X与Y相互独立的条件， 4 1 由 p22 p2 p2 , 即 b ( b )( b ), 解之得b 2 / 9. 9 9 1 4 1 再由 p23 p2 p3 , 即 ( b )( c ), 3 9 3 2 1 将 b 代入解得c , 9 6 5 1 最后利用 a b c 1得a . 9 18