人教版九年级数学知识点及例题总结
新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断,归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点,并根据这些特点对有关事件作出准确判断;2、初步理解概率定义,通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称:随机事件与概率初步:随机事件】1.定义:(1)必然事件在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件,叫做必然事件.(2)不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件.(3)随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.要点诠释:1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”,随机事件又称为“不确定事件”;2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地,必然发生的事件发生的可能性最大,不可能发生的事件发生的可能性最小,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近,那么这个常数就叫做事件A的概率(probability),记为.要点诠释:(1)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;(3) 事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数,,即,其中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.(1)指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是随机事件?①若 a、b、c都是实数,则a(bc)=(ab)c;②没有空气,动物也能生存下去;③在标准大气压下,水在 90℃时沸腾;④直线 y=k(x+1)过定点(-1,0);⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0;⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球,从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件;②③是不可能事件;⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义,依据定义判别.【 391875 名称:随机事件与概率初步:经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( ).A.明天要下雨;B.打开电视机,正在直播足球比赛;C.抛掷一枚正方体骰子,掷得的点数不会小于1;D.买一张彩票,一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中,正确的是( ).A.生活中,如果一个事件不是不可能事件,那么它就必然发生;B.生活中,如果一个事件可能发生,那么它就是必然事件;C.生活中,如果一个事件发生的可能性很大,那么它也可能不发生;D.生活中,如果一个事件不是必然事件,那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中,装有10个除颜色外其它完全相同的球,其中5个红球,3个蓝球,2个白球,它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中,哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?哪些是可能发生的?(1)从口袋中任取出一个球,它恰是红球;(2)从口袋中一次性任意取出2个球,它们恰好全是白球;(3)从口袋中一次性任意取出5个球,它们恰好是1个红球,1个蓝球,3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生,因为袋中有红球;(2)可能发生,因为袋中刚好有2个白球;(3)不可能发生,因为袋中只有2个白球,取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏,双方规定,若掷出的骰子的点数大于3,则甲胜,若掷出的点数小于3,则乙胜,游戏公平吗?若不公平,请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平,小于3的点数有1、2,大于3的点数有4、5、6,因此,它们的可能性是不同的,所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜,掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.(2015春•山亭区期末)一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球,这三种球除颜色外没有任何区别,并搅匀.(1)取出红球的概率为,白球有多少个?(2)取出黑球的概率是多少?(3)再在原来的袋中放进多少个红球,能使取出红球的概率达到?【答案与解析】解:(1)设袋中有白球x个.由题意得:4+8+x=4×5,解得:x=8,答:白球有8个;(2)取出黑球的概率为:,答:取出黑球的概率是,(3)设再在原来的袋中放入y个红球.由题意得:3(4+y)=20+y,或2(4+y)=8+8,解得:y=4,答:再在原来的袋中放进4个红球,能使取出红球的概率达到.【总结升华】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.举一反三【变式】(2014•宁波模拟)中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节,在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物,银蛋也是如此.有一个打进电话的观众,选择并打开后得到礼物的可能性是()A.B.C.D.【答案】D.【 391875 名称:随机事件与概率初步:例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率;(2)这位运动员每次投篮,进球的概率约为多少? 【答案与解析】 (1)投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系:当大量重复试验时,频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(m)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01);(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)?【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是:0.90,0.95,0.88,0.91,0.89,0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习(含答案)

反比例函数26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如xky =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①xky =(0k ≠), ②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数xky =(0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。
(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
(1)图象的形状:双曲线.越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随x 的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随x 的增大而增大.(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上. 图象关于直线对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k 的几何意义如图1,设点P (a ,b )是双曲线上任意一点,作PA ⊥x 轴于A 点,PB ⊥y 轴于B 点,则矩形PBOA 的面积是(三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上,作QC ⊥PA 的延长线于C ,则有三角形PQC 的面积为.图 1图25.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:反比例函数xky =(0k ≠)k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小。
人教版九年级数学复习:第二十四章 圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结(一)圆的有关性质[知识归纳]1. 圆的有关概念:圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
初中数学知识点总结人教版(精选7篇)

初中数学知识点总结人教版(精选7篇)初中数学知识点总结篇一1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;当△0时,一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质:①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。
③平行四边形的对边/对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。
菱形:①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等,两条对角线互相垂直平分,每一组对角线平分一组对角。
③判定条件:定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形:①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
②矩形的对角线相等,四个角都是直角。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
④正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质。
⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
多边形:①N边形的内角和等于(N-2)180度②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角,在每个顶点处取这个多边形的一个外角,他们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度) 平均数:对于N个数X1,X2…XN,我们把(X1+X2+…+XN)/N叫做这个N个数的算术平均数,记为X加权平均数:一组数据里各个数据的重要程度未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权,这就是加权平均数。
初中九年级数学知识点总结篇二第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表:说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数:正实数与零的统称。
(表为:x≥0)性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。
3.倒数:①定义及表示法②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01时,1/a1;D.积为1.4.相反数:①定义及表示法②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1.5.数轴:①定义(“三要素”)②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
最新人教版九年级数学上册知识点总结全套

最新人教版九年级数学上册知识点总结全套数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义一元二次方程是指等号两边都是只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程。
注意以下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+ bx + c = 0(a≠0)。
其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三:一元二次方程的根一元二次方程的根是指使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一:直接开平方法解一元二次方程1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a。
2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:①把常数项移到等号的右边;②方程两边都除以二次项系数;③方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;④若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一:公式法解一元二次方程一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=b±b2-4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.(1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:3.①点P在圆外⇔d>r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d<r6.(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.7.(3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆.注意:这里的“三个点”不是任意的三点,而是不在同一条直线上的三个点,而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”,即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆,过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆,过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.3.三角形的外接圆与外心(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.(2)(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.(3)(3)概念说明:(4)①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.(5)②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.(6)③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.4.反证法(了解)(1)对于一个命题,当使用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,反证法就是一个间接证法.反证法主要适合的证明类型有:①命题的结论是否定型的.②命题的结论是无限型的.③命题的结论是“至多”或“至少”型的.(2)(2)反证法的一般步骤是:(3)①假设命题的结论不成立;(4)②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(5)③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.5.直线和圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d>r.6.切线的性质(1)切线的性质(2)①圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(4)③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(5)(2)切线的性质可总结如下:(6)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.(7)(3)切线性质的运用(8)由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.7.切线的判定8.(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.9.(2)在应用判定定理时注意:10.①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.12.③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.8.切线的判定与性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)常见的辅助线的:①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.9.切线长定理(1)圆的切线定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)(3)注意:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.(4)(4)切线长定理包含着一些隐含结论:(5)①垂直关系三处;(6)②全等关系三对;(7)③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.10.三角形的内切圆与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.11.圆与圆的五种位置关系(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;②两圆外切⇔d=R+r;③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);④两圆内切⇔d=R-r(R>r);⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).12.相切两圆的性质相切两圆的性质:如果两圆相切,那么连心线必经过切点.这说明两圆的圆心和切点三点共线,为证明带来了很大方便.13.相交两圆的性质(1)相交两圆的性质:(2)相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线),垂直平分两圆的公共弦.(3)注意:在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.(4)(2)两圆的公切线性质:(5)两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等.(6)两个圆如果有两条(内)公切线,则它们的交点一定在连心线上.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种:(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=34,D是线段BC的中点.(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.【例6】如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB 的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系:2. 切线的定义和性质:3.三角形与圆的特殊位置关系:4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为d ,半径分别为21,r r )相交⇔2121r r d r r +<<-; 外切⇔21r r d +=;内切⇔21r r d -=; 外离⇔21r r d +>; 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算.【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含例 2. 如图1,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,则EDF ∠等于( )A .40°B .55°C .65°D .70°例3. 如图,已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ,且A 、B 到直线L 的距离相等,则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有( )A .0个B .1个C .无数个D .0个或1个或无数个例4.已知⊙O 1半径为3cm ,⊙O 2半径为4cm ,并且⊙O 1与⊙O 2相切,则这两个圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5.两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,另一个圆的半径为 例6.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时,•两圆相交;•当d•满足___ ___时,两圆不外离.例7.⊙O 半径为6.5cm ,点P 为直线L 上一点,且OP=6.5cm ,则直线与⊙O•的位置关系是____例8.如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在弧AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是 _.例9. 如图,⊙M 与x 轴相交于点(20)A ,,(80)B ,,与y 轴切于点C ,则圆心M 的坐标是例10. 如图,四边形ABCD 内接于⊙A ,AC 为⊙O 的直径,弦DB ⊥AC ,垂足为M ,过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ,若AC=10,tan ∠DAE=43,求DB 的长.【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4,圆心距为7,那么两圆位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为( )A .10cmB .6cmC .10cm 或6cmD .以上答案均不对3.如图,P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于( )A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于( ) A )6 (B )25 (C )210 (D )2145.如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长).⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于( )A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图,在ABC △中,12023AB AC A BC =∠==,°,,A ⊙与BC 相切于点D ,且交AB AC 、于M N 、两点,则图中阴影部分的面积是 (保留π).9.如图,B 是线段AC 上的一点,且AB :AC=2:5,分别以AB 、AC 为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.10. 如图,从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆,则剩下的纸板面积是___.11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm .则大圆的半径是______cm .12.如图,直线AB 切⊙O 于C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30º,弦EF ∥AB ,连结OC 交EF 于H 点,连结CF ,且CF=2,则HE 的长为_________.13. 如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为A 、B ,若直径AC=12cm ,∠P=60°.求弦AB 的长. 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆,⊙O 的半径为2,则ABC △的边长为( )A .3B .5C .23D .253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30,过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点.PC =5,则⊙O 的半径为 ( )A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PC =26,PA =4,则⊙O 的半径等于( )A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆,在某一平面内,让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切,该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中,你认为正确的有( )①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧BC 上的一点,已知∠BAC =80°,那么∠BDC =__________度.7. 如图,AB 是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,,,的度数比为3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,则∠BCM 的度数为________.8.如图,在△ABC 中,5cm AB AC ==,cos B 35=.如果⊙O 的半径为10cm ,且经过点B 、C ,那么线段AO = cm .9.两个等圆⊙O 与⊙O ′外切,过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB = .10.如图6,直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图中直角三角形有 个.11.如图,60ACB ∠=°,半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ,若将O ⊙在CB 上向右滚动,则当滚动到O ⊙与CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离是__________cm .12.如图, AB 与⊙O 相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,∠AOB =60°,B C=4cm ,则切线AB = cm.13.如图,⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上,则阴影部分面积等于 .14. Rt △ABC 中,9068C AC BC ∠===°,,.则△ABC的内切圆半径r =______.15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.16.已知:⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5,且两两相切,则AB 、BC 、CA 分别为 .17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.三、解答题18. 如图,AB 是⊙O 的弦,OA OC ⊥交AB 于点C ,过B 的直线交OC 的延长线于点E ,当BE CE =时,直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由. 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,4OC =,60OAC ∠=. (1)求∠AOC 的度数;(2)在图1中,P 为直径BA 延长线上的一点,当CP 与⊙O 相切时,求PO 的长;(3)如图2,一动点M 从A 点出发,在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动,当MAO CAO S S =△△时,求动点M 所经过的弧长.第18题图。
【精品讲义】人教版九年级数学(上)专题25.3 用频率估计概率-(知识点+例题+练习题)含答案

第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率用频率估计概率连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数,求出“正面向上”和“反面向上”的频率,分析数据,可探索出频率的变化规律.用频率估计概率(1)从长期实践中,人们观察到,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ,那么事件A 发生的概率P (A )=p .n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3,那么估计摸到黄球的概率为A.0.3 B.0.7C.0.4 D.0.6【答案】A【解析】∵通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3,∴估计摸到黄球的概率为0.3,故选A.【名师点睛】一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数p,那么估计事件A发生的概率P(A)=p.试验得出的频率只是概率的估计值.概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生.(1)将表格补充完成;(精确到0.01)(2)估计这名同学投篮一次,投中的概率约是多少(精确到0.1)?(3)根据此概率,估计这名同学投篮622次,投中的次数约是多少?【解析】(1)153÷300=0.51,252÷500≈0.50;故答案为:0.51,0.50;(2)估计这名同学投篮一次,投中的概率约是0.5;(3)622×0.5=311(次).所以估计这名同学投篮622次,投中的次数约是311次.1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是A.频率等于概率B.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近C.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近D.试验得到的频率和概率不可能相等2.随机事件A出现的频率mn满足A.mn=0 B.mn=1C.mn>1 D.0<mn<13.两人各抛一枚硬币,则下面说法正确的是A.每次抛出后出现正面或反面是一样的B.抛掷同样的次数,则出现正、反面的频数一样多C.在相同条件下,即使抛掷的次数很多,出现正、反面的频数也不一定相同D.当抛掷次数很多时,出现正、反面的次数就相同了4.一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:先将口袋中的球摇匀,再从口袋中随机摸出1球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了1000次,其中有200次摸到白球,因此小亮估计口袋中的红球有A.60个B.50个C.40个D.30个5.在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共15个,每个球除颜色外都相同,每次摇匀后随即摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球实验后,发现摸到黑球的频率稳定于0.6,则可估计这个袋中红球的个数约为__________.6.在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,然后把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据:(1)上表中的a=__________;(2)“摸到白球”的概率的估计值是__________(精确到0.1);(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?7.某批彩色弹力球的质量检验结果如下表:(1)请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图(2)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少?(精确到0.01)(3)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球,它们除了颜色外都相同,将它们放入一个不透明的袋子中,求从袋子中摸出一个球是黄球的概率.(4)现从第(3)问所说的袋子中取出若干个黑球,并放入相同数量的黄球,搅拌均匀,使从袋子中摸出一个黄球的概率为14,求取出了多少个黑球?1.在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色后放回……如此大量摸球试验后,小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2,摸出黑球的频率稳定于0.5,对此试验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率应稳定于0.3;②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是A.①②③B.①②C.①③D.②③2.抛掷一枚质地均匀的硬币2000次,正面朝上的次数最有可能为A.500B.800C.1000D.12003.在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外完全相同,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有________个白球.4.一鱼池里有鲤鱼,鲫鱼,鲢鱼共1000尾,一渔民通过多次捕捞试验后发现,鲤鱼,鲫鱼出现的概率约为31%和42%,则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾,鲫鱼______尾,鲢鱼______尾.5.某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表.(1)从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为多少?(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换?6.小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表,阅读并回答问题:(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么,小明抛完10次时,得到__________次反面,反面出现的频率是__________;(2)当他抛完5000次时,反面出现的次数是__________,反面出现的频率是__________;(3)通过上表我们可以知道,正面出现的频数和反面出现的频数之和等于__________,正面出现的频率和反面出现的频率之和等于__________.1.(2019•湖北襄阳)下列说法错误的是A.必然事件发生的概率是1B.通过大量重复试验,可以用频率估计概率C.概率很小的事件不可能发生D.投一枚图钉,“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得2.(2019•江苏泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表:若抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近A.20 B.300C.500 D.8003.(2019•绍兴)为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高x(cm)统计如下:根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180cm的概率是A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.154.(2019•柳州)柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下,对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据:依据上面的数据可以估计,这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是__________(结果精确到0.01).5.(2019•长沙)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是__________.(结果保留小数点后一位)6.(2019•雅安)某校为了解本校学生对课后服务情况的评价,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果制成了如下不完整的统计图.根据统计图:(1)求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数;(2)补全折线统计图;(3)根据调查结果,若要在全校学生中随机抽1名学生,估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少?1.【答案】C【解析】概率是一个确定的数,频率是一个变化量,当试验次数很大时,频率会稳定在概率附近.由此可得,选项C 正确.故选C . 2.【答案】D【解析】大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,故频率mn的含义是在n 次试验中发生m 次,即必有0<mn<1.故选D . 3.【答案】C【解析】抛硬币是一个随机事件,抛一枚硬币,出现正面朝上或者反面朝上都有可能,但事先无法预料.故选C . 4.【答案】C【解析】∵小亮共摸了1000次,其中200次摸到白球,则有800次摸到红球, ∴白球与红球的数量之比为1:4, ∵白球有10个,∴红球有10×4=40(个), 故选C . 5.【答案】6【解析】黑球个数为:150.69⨯=,红球个数:1596-=.故答案为:6.【名师点睛】本题考查了频数和频率,频率是频数与总数之比,掌握频数频率的定义是解题的关键. 6.【解析】(1)a =290500=0.58,故答案为:0.58; (2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60,所以其概率的估计值是0.60,故答案为:0.60; (3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60,所以可估计口袋中白球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个). 答:黑球8个,白球12个.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率,事件A 发生的频率等于事件A 出现的次数除以实验总次数;在实验次数非常大时,事件A 发生的频率约等于事件发生的概率,本题可据此作答;对于(3)可直接用概率公式.7.【解析】(1)如图,(2)()10.9420.9460.9510.9490.9485⨯++++=1 4.7365⨯=0.9472≈0.95. (3)P (摸出一个球是黄球)=551322++=18.(4)设取出了x 个黑球,则放入了x 个黄球,则551322x +++=14,解得x =5.答:取出了5个黑球.【名师点睛】本题考查利用频率估算概率,数量较大、批次较多时用求平均值的方法更接近概率,理解题意灵活运用概率公式是解题关键.1.【答案】B【解析】∵在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,∴①若进行大量摸球实验,摸出白球的频率稳定于:1–20%–50%=30%,故此选项正确; ∵摸出黑球的频率稳定于50%,大于其它频率,∴②从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大,故此选项正确;③若再摸球100次,不一定有20次摸出的是红球,故此选项错误;故正确的有①②.故选B.【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,根据频率与概率的关系得出是解题关键.2.【答案】C【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2000次,正面朝上的次数最有可能为1000次,故选C.【名师点睛】本题主要考查随机事件,关键是理解必然事件为一定会发生的事件;解决此类问题,要学会关注身边的事物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题,提高自身的数学素养.3.【答案】12【解析】∵共试验40次,其中有10次摸到黑球,∴白球所占的比例为:40103 404-=,设盒子中共有白球x个,则344xx=+,解得x=12,经检验,x=12是原方程的根,故答案为:12.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.4.【答案】310;420;270【解析】根据所给数据可得:鲤鱼:1000×31%=310(尾);鲫鱼:1000×42%=420(尾);鲢鱼:1000–310–420=270(尾).故答案为:310;420;270.5.【答案】(1)0.06;(2)36件【解析】(1)抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550,次品件数n=0+4+16+19+24+30=93,P(抽到次品)=931550=0.06.(2)根据(1)的结论:P(抽到次品)=0.06,则600×0.06=36(件).答:至少准备36件正品衬衣供顾客调换.6.【答案】(1)7;70%;(2)2502;50.04%;(3)抛掷总次数;1【解析】(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么,小明抛完 10次时,得到7次反面,反面出现的频率是710=0.7=70%; (2)当他抛完5000次时,反面出现的次数是5000–2498=2502,反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%;(3)通过上面我们可以知道,正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数,正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.1.【答案】C【解析】A 、必然事件发生的概率是1,正确;B 、通过大量重复试验,可以用频率估计概率,正确;C 、概率很小的事件也有可能发生,故错误;D 、投一枚图钉,“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得,正确,故选C .2.【答案】C【解析】观察表格发现:随着实验次数的增加,正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近,所以抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次,故选C .3.【答案】D【解析】样本中身高不低于180cm 的频率==0.15,所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15.故选D .4.【答案】【解析】概率是大量重复试验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值,即次数越多的频率越接近于概率,∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95.故答案为:0.95.5.【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4;故答案为:0.4.6.【解析】(1)由折线统计图知“非常满意”9人,由扇形统计图知“非常满意”占15%,所以被调查学生总数为9÷15%=60(人),所以“满意”的人数为60–(9+21+3)=27(人);15100(2)如图:(3)所求概率为.=6927035。
最新人教版数学九年级上册第二十三章—旋转知识点总结及其练习

第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
)(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
(3)旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤(1)明确三个条件:旋转中心,旋转方向,旋转角度;(2)确定关键点,作出关键点旋转后的对应点;(3)顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形,以哪个点为中心,按哪个方向(顺时针或逆时针)旋转多少度,连续旋转几次,便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后,得到的图形是( )2.如图,在等腰直角△ABC中,B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于()A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在位置,A点落在位置,若,则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是()8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则有:sin cos a A B c ==,cos sin b A B c ==,tan aA b=,这就是锐角三角函数的定义.根据锐角三角函数的定义,再结合直角三角形的性质,我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系. 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ,cos A =sin B ,而在直角三角形中,∠A +∠B =90°,即∠B =90°-∠A .因此有:sin A =cos (90°-A ),cos A =sin (90°-A ).应用这些关系式,可以很轻松地进行三角函数之间的转换.例1 如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D ,已知1sin 2A =,BD =2,求BC 的长.解:由于∠A +∠B =90°,所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==.在Rt△BCD 中,cos BD B BC =,所以212BC =.所以BC =4. 二、平方关系 由定义知sin a A c =,cos b A c=, 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=(sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方).又由勾股定理,知a 2+b 2=c 2,所以sin 2A +cos 2A =22c c=1.应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算. 例2 计算:sin256°+sin245°+sin234°.解:由余角关系知sin56°=cos(90°-56°)=cos34°. 所以原式=sin245°+(sin234°+cos234°)223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 三、相除关系 由定义中sin a A c =,cos bA c=, 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==.利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单. 例3 已知α为锐角,tan α=2,求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值.解:因为sin tan 2cos ααα==,所以sin α=2cos α, 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---.求三角函数值的方法较多,且方法灵活.是中考中常见的题型.我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.四、设参数法例4 如图1, 在△ABC 中,∠C =90°,如果t a n A =125,那么sin B 等于( ) (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析:本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质.因为tan A =125=b a ,所以可设a =5k ,b =12k (k >0),根据勾股定理得c =13k , 所以sin B =1312=c b .应选(B).五、等线段代换法例5 如图2,小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠,B 点恰好落在A D 边上,设此点为F ,若BA :BC =4:5,则c os∠DCF 的值是______.分析:根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ,所以C F=CB , 又C D=AB ,AB :BC =4:5, 所以C D :C F=4:5,图1 图2在Rt△D C F 中,c os∠D C F=54=CF DC . 六、等角代换法例6 如图3,C D 是平面镜,光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α (入射角等于反射角),AC ⊥C D ,B D⊥C D ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,B D =6,C D =11,则tan α的值为( ) (A )311 (B )113 (C )119 (D )911分析:根据已知条件可得∠α=∠CA E ,所以只需求出tan∠CA E .根据条件可知△AC E∽△B DE,所以ED CE BD AC =,即CECE-=1163, 所以C E=311,在Rt△A E C 中,tan∠CA E=9113311==AC CE .所以tan α=911.七、等比代换法例7 如图4, 在Rt△ABC 中,ACB =90,C D⊥AB 于点D ,BC =3,AC =4,设BC D=α,tan α的值为( )(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析:由三角形函数的定义知tan α=DCDB, 由Rt△C D B ∽Rt△ACB , 所以43==AC BC DC DB ,所以tan α=43,选(A). ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1.比较大小:sin41°________sin42°.2.比较大小:cot30°_________cot22°.3.比较大小:sin25°___________cos25°.4.比较大小:tan52°___________cot52°.5.比较大小:tan48°____________cot41°.6.比较大小:sin36°____________cos55°.7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积;②在△ABC中,若∠C=90°,则c=αsinA成立;③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为()A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9(新疆中考题)(1)如图(1)、(2),锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大.它的正弦值和余弦值变化的规律.(2)根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)

一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义;2. 会解一元二次方程;3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况; 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式:200),,,ax bx c a a b c ++=≠(其中是常数. 2、在一般式中,当b =0时,则有220c 00ax c ax bx +=+=或当=时,则有,这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠() 分析:一元二次方程,必须满足:(1)整式方程;(2)含有一个未知数,并且最高次数是2.解:方程(1)、(6)、(7)的左边是分式,不属于整式方程,方程(3)含有两个未知数,方程(4)的左边不是整式,方程(5)经整理候,得-6x =1,方程(8)中未确定ab≠0,因此,只有(2)、(9)、(10)是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=((1) m 为何值时,此方程为一元二次方程? (2) m 为何值时,此方程为一元一次方程?分析:形如0nax bx c ++=的方程,当n =2且a≠0时为一元二次方程;当a =0时且b≠0时为一元二次方程.解:(1)当m -2=2时,m =4,这时5)(3)0.m m --≠(当m =4时,此方程为一元二次方程.(2)5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当(为自然数,且-时,方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠(得=或=,又因为3,∴当m =5时,此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固,由于采用了新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填,为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还应再增加多少米?(只需列出方程,并整理成一般一元二次方程形式.)分析:根据题意本题有两个关系式:一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米,而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天,由时间关系列出方程.解:设现在计划每天加固河堤x 米,则原来计划每天加固河堤(x -20)米.根据题意德22402240220x x-=-,整理,得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1.一元二次方程得一般形式是( )A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2.下列方程为一元二次方程的有( )A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中),经化简整理,化为200)ax bx c a ++=≠(的形式后,二次项系数、一次项系数及常数项分别是( )A.m -n ,p ,qB. m -n ,-p ,qC.m -n ,-p ,-qD.m -n ,p ,-q4.将一元二次方程21x 2x 302-+=-的二次项系数变为正整数,且使方程的根不变的是( )A. 2x 2x 30+=- B. 2x x 60+=-4C 2x x 60=-4-D 2x x 60-=+4二、填空题5.方程24x 0=是_____元______次方程,二次项系数是______,一次项系数是____,常数项是_______.6.当m__________时,方程2m-1)x 21)x 0m m -+=(-(不是关于x 的一元二次方程;当m___________时,上述方程才是关于x 的一元二次方程;7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程,则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8.若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程,求k 的值.9.若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0,求a 的值.10.某大学改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度相等的步行道,求步行道的宽度,根据题意列出泛称,并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程:将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式,则x=0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程:利用公式222a 2()ab b a b ±+=±,把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥,再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程: x 0px q ++=2分析:配方法解一元二次方程,关键要搞清配方的目的是什么,即配方要使方程能运用直接开平方法解决,该题是一种字母系数的一元二次方程,故可按上述步骤进行求解,先将其整理成一般形式,二次项系数化为1.因二次项系数为1,所以移项得2x x p q +=-,方程两边配方,然后利用完全平方公式,直接开平方法解出方程.解:22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项,得配方,得整理,得(+)=(1)当时,方程两边直接开平方,得当=时,==;()当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程(1)2x 6x 50+-=; (2)24x 7x 20-+=分析:方程经过移项,配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解:(1)(2)移项,得24x 7x 2-=-化二次项系数为1,例3 试证:不论x 为何实数,多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析:比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解:∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1. 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3,则代数式的值为( ) A.5B. -5C. 5或-5D.02.将二次三项式22x 4x 6-+进行配方,正确的结果是( )A.24-2(x-1) B.24+2(x-1)C.22-2(x-2)D. 22+2(x-2) 3.方程2(1)9x +=的解是( ) A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项,得配方,得即(x +)2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即()=,===4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数,总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+,则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是( ) A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5.224___9(___3)x -+=-6.将二次三项式2x 2x 2--进行配方,其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根,则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8.用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示,2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台,相当于2018年全年手机产量的80%,预计到2020年年底收机产量将达到9800万台,试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1.公式法:一般地,对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥,(当-时, 2.2b 4ac 0≥V 当=-,方程可用公式法求解;当2b 4ac 0<V 当=-时,方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=() 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析:首先把每个方程化成一般式,确定a 、b 、c 的值,在2b 4ac 0≥-的前提下,代入求根公式求出方程的根.解:2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项,得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为(-1)=12>0,-(x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料,并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2-=22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析:可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式,方程的解为:;;. 2.注意(1)方程一边一定化为0;(2)常用的方法:①提公因式法;②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年,某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务,为了尽量减少施工带来的交通不便,实际施工时每天比计划多修1千米,结果提前16天完成任务,问原计划每天修多少千米?分析:如果把修路队原来计划每天修(千米),则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方(5)=0的两个根为( )A.,B.,C.,D.,2.方程()=5()的根为( )3.方程的根是,则这个方程为( ).-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为,则这个方程为( )22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割:如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ,且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为:审(审题);设(设未知数);列(列方程)解(解方程);答(答案).3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析:本题属于平均增长率问题,由已知可设月平均增长率为x ,那么3月份的营业额为400(1+10%)(1+x ),5月份营业额为400(1+10%)(1+x )2.解:设平均月增长率为x ,由题意得400(1+10%)(1+x )2=633.6 整理得:(1+x )2=633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20%.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽?分析:这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关,而与渠道的位置无关,为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起,那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x )米,宽为(64-4x )米.解:设水渠应挖x 米宽,以题意,得(162-2x )(64-4x )=9600化简,297960x x -+=解得11x =,296x =(舍去)答:水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1. 某商店十月份营业额为5000元,十二月份上升到7200元,平均每月增长的百分率是( ) A .20% B ..12% C .22% D.10%2. 从正方形的铁皮上,截去2cm 宽的一条长方形,余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是( )A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23.有一个两位数,它的数字和等于14,交换数字位置后,得到新的两位数比原来的两位数大18,则原来的两位数是( )A .68 B.86 C.-68 D.-864.随着通讯市场竞争日益激烈,某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后,再次下降25%,现在的收费标准是每分钟b 元,则原收费标准是每分钟( ) A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5.三个连续偶数,较小的两个数的平方和等于较大的数的平方,则这三个数为________. 6.一个两位数,它的数字之和为9,如果十位数字为a ,那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数,则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8.某工厂计划用两个月把产量提高21%,如果每月比上个月提高的百分数相同,求这个百分数.9.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支出1000元用来购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变,到期后得本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.10.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件.问售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润.第1讲一、1.C 2.C 3.D 4.D 二、5.一、二,4,0,0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k -1=-2解得k=3或k=-1,由②得k ≠3,所以k=-19.由于方程的解使方程的左右两边相等,故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程,求出a 得值,但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零,故只取a=-1. 10.设步行道的宽度为x 米,根据题意得(80-2x ).(60-2x)=3500整理,得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1.A 2.B 3.C 4.B二、5.12x,2x ;6.2(1)3x --;7.22m m -=三、8.121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2()x=29.2711110)002040x --<原式配方得-( 2210740,10740x x x x +-=+-即-故-的值恒小于 10.设这两年手机产量平均每年的增长率为x ,根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得%(舍去) 第3讲一、1.B 2..B 3.D 4.A 二、5.24-- 6.2 7.x=-1三、8.设直角三角形的较短的直角边长为xcm ,则较长的直角边长为(x+2)cm.根据题意得:2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得,(2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6+8+10=24(cm )9. 10.要使方程是x 的一元二次方程,则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1.C 2.A 3.C 4.C 二、5.- 1或4 6.x =-27.260,y y x +-==三、8.(1)y=12±(2)121x x 5==- 9. 3,4,5 10. 32,23第5讲一、1.C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81-18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ,以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去)为%9.设此种存款的年利率为x ,由题意得: 【2000(1+x )-1000】(1+x)=1320 所以年利率为10%10.设此种商品的售价为x 元,商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时,取最大值。
人教版九年级数学:一元二次方程知识点总结及基础题型

一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数〔一元〕,并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程叫做一元二次方程,一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c ax a bx axa ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1:1.以下方程时一元二次方程的是 ①2032=+x x ;①04322=+-xy x ;①412=-x x ;①02=x ;①0332=+-xx ⑥x 2﹣1=y ⑦〔x+2〕〔x+1〕=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ;⑪ x+y+1=0 ;⑫ 213122+=+x x ; ⑬ 0512=++x x⑭;⑮3y 2﹣2y=﹣1;⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0;⑰⑱ 2x 2+3=3;⑲ x 2+5x =0;⑳ x 2+4xy?10=0;① √x +2x =3;① 2x (x −3)=2x 2+1; ① 1x +2x =x?6;① 2x 2+1=12x ;① abx 2+(a +b )x +1=0;① x 2−3√3x +4=0;1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=2① px 2+qx +m =0〔p ≠0〕.2.关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程,那么m 应满足条件是 _________ .3.关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中,a 的取值范围是 _________ .4.当m= _________ 时,方程〔m 2﹣1〕x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程.5.假设关于x 的方程〔k ﹣1〕x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程,那么k 的取值范围是__________ 例2:当=m 时,方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程 6.假设是关于x 的一元二次方程,那么a= _________ .7.假设关于x 的方程〔m ﹣1〕﹣mx ﹣3=0是一元二次方程,那么m= _________ .8.当k= _________ 时,〔k ﹣1〕﹣〔2k ﹣1〕x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程.9.方程〔m+2〕x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程,那么m=__________10.关于x 的方程〔m ﹣2〕x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程,那么m=___________ 知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++,其中2ax 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项①0≠a ;①指出二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号 ①一元二次方程化为一般形式时,假设没出现一次项bx ,并不是没有,而是0=b 例3: 把方程〔1〕()()1231=+-x x 〔2〕x (x −2)=4x 2−3x 〔3〕(x +8)2=4x +(2x −1)2〔4〕x23−x+12=−x−12化为一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________ 142=+xx的二次项系数,一次项系数,常数项分别是3.一元二次方程2x-3x = 4的一般形式是,一次项系数为。
新人教版九年级上册数学[《旋转》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固(提高)知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.2、通过具体实例认识中心对称,探索它的基本性质,理解对应点所连线段被对称中心平分的性质,了解平行四边形、圆是中心对称图形.3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用.4、探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合),灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念:把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′,那么,这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′);(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C''').要点诠释:图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形.要点诠释:作图的步骤:(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.要点诠释:(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;(2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.要点诠释:(1)中心对称图形指的是一个图形;(2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换(合同变换),即变换前后的图形全等.不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换.把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换.图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角.对应线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.*对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即:对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.【典型例题】类型一、旋转1.如图1,ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形,∠ACB 和∠ADE都是直角,点C在AE上,如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度;②用图1作为基本图形,经过怎样的旋转可以得到图2?【答案与解析】①旋转中心:点A;旋转角度:45°(逆时针旋转)②以点A为旋转中心,将图1顺时针(或逆时针)旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三:【变式】如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△DEF为等边三角形,AB=DE,点B、C、D在x轴上,点A、E、F在y轴上,下面判断正确的是()A.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B.△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图,△ABC中A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).⑴将△ABC向右平移4个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3;⑷在△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3中,△______与△______成轴对称,对称轴是______;△______与△______成中心对称,对称中心的坐标是______.【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称,对称轴是y轴.△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称,对称中心的坐标是(2,0).【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三:【变式】如图是正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形.【答案】类型三、平移、轴对称、旋转【: 388636:经典例题2-3】3.(2015•北京校级模拟)如图所示,△ABC,△ADE为等腰直角三角形,∠ACB=∠AED=90°.(1)如图1,点E在AB上,点D与C重合,F为线段BD的中点.则线段EF与FC的数量关系是;∠EFD的度数为;(2)如图2,在图1的基础上,将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置,其中D、A、C在一条直线上,F为线段BD的中点.则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系?证明你的结论;(3)若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置,F为线段BD的中点,连接EF、FC,请你完成图3,并直接写出线段EF与FC的关系(无需证明).【思路点拨】(1)易得△EFC是等腰直角三角形,那么EF=FC,∠EFD=90°.(2)延长线段CF到M,使CF=FM,连接DM、ME、EC,易证△BFC≌△DFM,进而可以证明△MDE≌△CAE,即可证明EF=FC,EF⊥FC;(3)基本方法同(2).【答案与解析】解:(1)EF=FC,90°.(2)延长CF到M,使CF=FM,连接DM、ME、EC,如下图2∵FC=FM,∠BFC=∠DFM,DF=FB,∴△BFC≌△DFM,∴DM=BC,∠MDB=∠FBC,∴MD=AC,MD∥BC,∵ED=EA,∠MDE=∠EAC=135°,∴△MDE≌△CAE,∴ME=EC,∠DEM=∠CEA,∴∠MEC=90°,∴EF=FC,EF⊥FC(3)图形如下,结论为:EF=FC,EF⊥FC.【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法,证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决.举一反三:【变式】如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2,AB=23,△ACD 是等边三角形. (1)求∠ABC 的度数.(2)以点A 为中心,把△ABD 顺时针旋转60°,画出旋转后的图形. (3)求BD 的长度.【答案】(1)Rt △ABC 中,AC=2,AB=23, ∴BC=4, ∴∠ABC=30° (2)如图所示:(3)连接BE .由(2)知:△ACE ≌△ADB , ∴AE=AB ,∠BAE=60°,BD=EC , ∴BE=AE=AB=23,∠EBA=60°, ∴∠EBC=90°, 又BC=2AC=4,∴Rt △EBC 中,EC=2223+4=27()4.(2015•东西湖区校级模拟)如图,Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点E在线段AB上,CF⊥CE,CE=CF,EF交AC于G,连接AF.(1)填空:线段BE、AF的数量关系为,位置关系为;(2)当=时,求证:=2;(3)若当=n时,=,请直接写出n的值.【思路点拨】(1)在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CF⊥CE,可推出∠ECB=∠ACF,且CE=CF,由此可得△ECB≌△FCA,即得BE=AF,∠CBE=∠CAF,且∠CBE+∠CAB=90°,故∠CAF+∠CAB=90°,即BE⊥AF;(2)作GM⊥AB于M,GN⊥AF于N,可得出GM=GN,从而有S△AEG=2S△AFG,即证=2;(3)根据(2)的推理过程,知S△AEG=nS△AFG,则,即可求得n的值.【答案与解析】(1)解:∵∠ACB=90°,CF⊥CE,∴∠ECB=∠ACF.又AC=BC,CE=CF,∴△ECB≌△FCA.∴BE=AF,∠CBE=∠CAF,又∠CBE+∠CAB=90°,∴∠CAF+∠CAB=90°,即BE=AF,BE⊥AF.(2)证明:作GM⊥AB于M,GN⊥AF于N,∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到,∴AF=BE,∠CAF=∠CBE=45°.∴AE=2AF,∠CAF=∠CAB,∴GM=GN.∴S△AEG=2S△AFG,∴EG=2GF,∴=2.(3)解:由(2),得当=n时,S△AEG=nS△AFG,则, ∴当n=时,=.【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质,能够从特殊推广到一般发现规律. 【:388636:经典例题4-5】5.已知:点P 是正方形ABCD 内的一点,连结PA 、PB 、PC ,(1)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+,请说明点P 必在对角线AC 上.【思路点拨】通过旋转,把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形,再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形,可以求解∠APD . 【答案与解析】(1)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°,得到△ABE, ∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE ∴△CBP ≌△ABE ∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°,PB=4 ∴∠BPE=45°,PE=42 又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由(1)证得:PE=2BP,PC=AE ∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90°又∵由(1)证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C三点共线,即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三:【变式】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,,K为AB上一点,N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍,求的度数.【答案】显然,绕点D顺时针方向旋转至6如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得它们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,使点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3~图6中统一用F表示)小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm(即)⑵⑶证明:在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1(AAS)∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习

人教版九年级数学旋转知识点总结与练习旋转知识点总结与练知识点1:旋转的定义旋转是指将平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换,其中点O称为旋转中心,旋转角为旋转的角度。
旋转的三个要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。
1.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是()。
2.如图2,该图形围绕自己的旋转中心,按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是()。
知识点1:旋转的性质旋转具有以下性质:1)对应点到旋转中心的距离不变;2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角度;3)旋转前后的两个图形全等。
图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
3.如图,将△XXX绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B′位置,A点落在A′位置,若AC⊥A′B′,则∠BAC的度数是()。
4.如图,直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO' B',则点B'的坐标是()。
知识点1:旋转的作图在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形。
5.在下图4×4的正方形网格中,△XXX绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是()。
知识点2:中心对称中心对称是指将一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的两个图形能够完全重合,即形状大小都相同,位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合。
6.如图所示,在下列四组图形中,右边图形与左边图形成中心对称的有()。
中心对称的性质是,中心对称的两个图形,对称点所连线段经过对称中心,并且被对称中心所平分。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系:两圆相交于两点,相切于一点,相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系:内切圆和外切圆的切点在圆心连线上,内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释:在解决两圆位置关系问题时,需要注意圆心的位置关系,切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1.切线的定义:过圆上一点,且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2.切线的性质:1)切线与半径的关系:切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理:切线与半径的关系可以推出切线定理:过圆外一点作圆的切线,切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法:切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释:切线是圆的一个重要性质,切线定理是判定切线的重要工具,切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1.圆的面积公式:S=πr².2.弧长公式:L=αr(α为圆心角的度数).3.扇形的面积公式:S=(α/360°)πr².要点诠释:圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式,扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的侧面积公式:S=πrl.2.圆锥的全面积公式:S=πr(l+r).要点诠释:圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式,其中l为斜高,r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形,其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦,相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上,两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括:①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半;②同弧或等弧所对应的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对应的弧相等;③90度的圆周角所对应的弦为直径;半圆或直径所对应的圆周角为直角;④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角。
新人教版九年级数学(上)一元二次方程的解法——配方法、求根公式法

新人教版九年级数学(上)一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数,求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、已知,x、y y x y x 0136422=+-++为实数,求yx 的值。
例4、分解因式:31242++x x一元二次方程的解法(二)针对练习:★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ,则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ,则t 的最大值为,最小值为。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。
知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ;而当04422<-a ac b ,是不能开方的,所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-;所以:当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根;当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根;当042<-ac b 时,方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把ac b 42-称作根的判别式,用符号“Δ”表示;即:ac b 42-=? 根的判别式的作用:①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。
典型例题:例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证:无论k 取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰?ABC 的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求?ABC 的周长。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)

人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。
有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。
加、减、乘、除有理数的运算规则。
二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。
三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。
其中数叫做常数项,变量叫做一次项。
四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。
五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。
六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。
七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。
2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。
八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。
九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。
十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。
2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。
十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。
2、弧是圆上任意两点之间的弧。
3、圆心角,切线和弦的关系。
十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。
2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。
十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。
2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。
十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。
2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。
人教版初中九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1.如图,已知点D ,E 是AB 的三等分点,DF ,EG 将ABC 分成三部分,且////DF EG BC ,图中三部分的面积分别为1S ,2S ,3S ,则123::S S S 的值为( )A .1:2:3B .1:2:4C .1:3:5D .2:3:4 2.如图所示,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ,则AE 的长是( )A .2B .3C .1D .1.5 3.如图,点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上,若DE ∥BC ,AD =5,AC =10,DE =6,则BC的值为( )A .10B .11C .12D .134.如图,在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框,保证外框的边界与原图形对应边平行,则外框与原图一定相似的有( )A .1个B .2个C .3D .4个5.如图,已知////AB CD EF ,它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ,如果:3:1AD DF =,10BE =,那么CE 等于( )A .103B .203C .52D .152 6.有下列四种说法:其中说法正确的有( ) ①两个菱形相似;②两个矩形相似;③两个平行四边形相似;④两个正方形相似. A .4个B .3个C .2个D .1个 7.如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是( )A .1:2B .1:4C .1:2D .2:1 8.如图,已知在ABC 中,D 为BC 上一点,//EG BC ,分别交AB ,AD ,AC 于点E ,F ,G ,则下列比例式正确的是( )A .AE EF BE BD = B .EF AF DC AD = C .AC FG CG DC = D .AE FG AB DC= 9.已知a 3b 4=,则下列变形错误的是( ) A .34a b = B .34a b = C .4a=3b D .43b a = 10.如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到,矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推,若各种开本的矩形都相似,那么AD AB等于( )A .2B .22C .512-D .211.大自然巧夺天工,一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”.如图,P 为AB 的黄金分割点(AP >PB ),如果AP 的长度为8cm ,那么AB 的长度是( )A .45-4B .12-45C .12+45D .45+4 12.如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点,且DE ∥AC ,AE 、CD 相交于点O ,若S △DOE :S △COA =1:9,则S △BDE :S △CDE 的值是( ).A .1:2B .1:3C .1:4D .2:5 13.下列相似图形不是位似图形的是( )A .B .C .D . 14.如图,在ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,则在下列五个条件中:①AED B ∠=∠;②//DE BC ;③AD AE AC AB=;④AD BC DE AC ⋅=⋅,能满足ADE ACB 的条件有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 15.如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC 相似的是( )A .B .C .D .二、填空题16.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=6,BC=10,点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折 叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处;点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处,有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF ∽△ABG ;③S △ABG = 1.5 S △FGH ;④AG+DF=FG ;其中正确的是______________.(填写正确结论的序号)17.如图,直线////AF BE CD ,直线AC 交BE 于B ,直线FD 交BE 于E ,2AB cm =,1BC cm =, 1.8EF cm =,求DE 的长为______cm .18.如图,矩形ABCD 中,2AB =,E 为CD 的中点,连接AE 、BD 交于点P ,过点P 作PQ BC ⊥于点Q ,则PQ =________.19.如图,在Rt ACB 中,90C ∠=︒,30ABC ∠=︒,4AC =,N 是斜边AB 上方一点,连接BN ,点D 是BC 的中点,DM 垂直平分BN ,交AB 于点E ,连接DN ,交AB 于点F ,当ANF 为直角三角形时,线段AE 的长为________.20.如图,身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处,测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ,则路灯的高度AE 为________.21.如图,EF 是ABC 纸片的中位线,将AEF 沿EF 所在的直线折叠,点A 落在BC 边上的点D 处,已知AEF 的面积为7,则图中阴影部分的面积为______.22.下列五组图形中,①两个等腰三角形;②两个等边三形;③两个菱形;④两个矩形;⑤两个正方形.一定相似的有_______(填序号)23.已知13x y =,则x y y-的值为______ 24.如图,ED 为△ABC 的中位线,点G 是AD 和CE 的交点,过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F,如果GF=4,那么线段BC的长是________.25.如图,Rt△ABC中,AC=5,BC=12,O为BC上一点,⊙O分别与边AB、AC切于E、C,则⊙O半径是________.26.如图,点A在反比例函数kyx=(k≠0)的图像上,点B在x轴的负半轴上,直线AB交y轴与点C,若12ACBC=,△AOB的面积为12,则k的值为_______.三、解答题27.已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形边长为1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1;(2)以B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比2:1,直接写出C2点坐标是;(3)△A2BC2的面积是平方单位.28.已知ABC ,延长BC 到D ,使CD BC =.取AB 的中点F ,连结FD 交AC 于点E .(1)求AE AC的值; (2)若18AB =,FB EC =,求AC 的长. 29.如图,已知矩形ABCD 的顶点A ,D 分别落在x 轴、y 轴上,OD =2OA =6,AD :AB =3:1,CE 垂直y 轴于点E .(1)求证:CDE DAO ∽△△;(2)直接写出点B 和点C 的坐标.30.如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,12DE CD =,连接BE 与AC ,AD ,FE 分别交于点O ,F .(1)若DEF ∆的面积为2,求平行四边形ABCD 的面积.(2)求证2·OB OE OF =.。
数学人教版九年级上册知识点重难点总结

第二十一章 二次根式21.1二次根式1、二次根式的概念 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式 二次根式必需满意:含有二次根号“”;被开方数a 必需是非负数。
★常考点:求被开方数a 的取值范围2、二次根式的性质(1))0(≥a a ≥0(2))0()(2≥=a a a(3)==a a 2★常考点:1、2的区分2、例题:=---x x 11(x+y )2, 求x 、y 的值21.2二次根式的乘除1、二次根式乘除运算法则:(1) 二次根式乘法法则b a ab •==b a ab •=(0,0)a b ≥≥(2) 积的算术平方根的性质)0,0(≥≥•=b a b a ab(3)二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a ba b a ,(4) (a ≥0,b>0)2、最简二次根式若二次根式满意:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,把这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法与步骤:(1)假如被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进展化简。
(2)假如被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式的加减(1)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数一样,这几个二次根式叫做同类二次根式。
(2)二次根式加减法步骤:a.先将二次根式化成最简二次根式b.找出同类二次根式c.合并同类二次根式(3)二次根式混合运算法则:二次根式的混合运算与实数中的运算依次一样,先乘方,再乘除,最终加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。
常考题型:1那么x 取值范围是________2、实数p 在数轴上的位置如图所示: 化简:22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1 二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程0 1 2 p · · · ·1、一元二次方程概念含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
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(a±b) =
7.除法法则:⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9.算术根的性质: = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)
10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A. ;B. ;C. .
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理:①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成 13.公理、定理 14.逆命题
二、三角形 分类:⑴按边分; ⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中,
九年级数学复习计划
第一章 实数
一、重要概念
1.数的分类及概念
数系表:
2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)
常见的非负数有:
性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。
3.倒数:①定义及表示法②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.0<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D.积为1。
4.相反数:①定义及表示法②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴:①定义(“三要素”)
②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)
定义及表示:奇数:2n-1 偶数:2n(n为自然数)
7.绝对值:①定义(两种):
代数定义:
几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;
④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。
二、实数的运算
运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
二、计算方法
1.样本平均数:⑴ ;
⑵若 , ,…, ,则 (a—常数, , ,…, 接近较整的常数a);
⑶加权平均数: ;
⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确。
2.样本方差:⑴ ;
⑵若 , ,…, ,则 (a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数);若 、 、…、 较“小”较“整”,则 ;
11.科学记数法: (1≤a<10,n是整数)
第三章 统计初步
一、重要概念
1.总体:考察对象的全体。 2.个体:总体中每一个考察对象。
3.样本:从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量:样本中个体的数目。
5.众数:一组数据中,出现次数最多的数据。
6.中位数:将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)
4.系数与指数区别与联系:①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并条件:①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据:乘法分配律
6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意:①从外形上判断;②区别: 、 是根式,但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)
几个单项式的和,叫做多项式。
说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。
运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律)
运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
第二章 代数式
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。
3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)
4.两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角) 6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示 8.对顶角及性质
9.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)
运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2.分式的性质
⑴基本性质: = (m≠0) ⑵符号法则:
⑶繁分式:①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质:① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;
⑤ 技巧:
5.乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差:
第四章 直线形
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2交点—三角形的×心 ③性质
⑵算术平方根与绝对值
1联系:都是非负数, =│a│ ② 区别:│a│中,a为一切实数; 中,a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化:把分母中的根号划去叫做分母有理化。
化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。