函数图像中求函数的解析式

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.

(2)在Rt△POH中, , ∴.

在Rt△MPH中,

.

∴=GP=MP= (0<<6).

(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:

①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.

②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH时,.

综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2

二、应用比例式建立函数解析式

例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,

又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,

∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB∽△EAC, ∴,

∴, ∴.

(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,

∴=, 整理得.

当时,函数解析式成立.

例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.

(1)求证: △ADE∽△AEP.

(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP的长.

解:(1)连结OD.

根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴,,

∴OD=,AD=. ∴AE==.

∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴ ().

(3)当BF=1时，

①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,

∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.

∴5-=4,得.可求得,即AP=2.

②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.

类似①,可得CF=CE.

∴5-=2,得.

可求得,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点

B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.

(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,

△AOC的面积.

解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-.

∵, ∴ ().

(2)①当⊙O与⊙A外切时,

在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.

此时,△AOC的面积=.

②当⊙O与⊙A内切时,

在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.

此时,△AOC的面积=.

综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.