数学——隐函数在圆锥曲线中的运用
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数学——隐函数在圆锥曲线中的运用
例：已知椭圆方程为1
2
22
2=+
b
y a
x
（a ＞b ＞0），求过椭圆上任意一点)
(00y x P ，（除点（a ±，0）、（0，b ±））的切线斜率。
解法一：（利用隐函数） 对隐函数
12
22
2=+
b y a x 两边的x 求导得：
222
2
=+
dy b
y dx a
x 。
∴
y
x a
b dx
dy ∙
-=2
2 又0≠y
∴过点P(x 。，y 。)的切线斜率0
02
2,0
0y x a
b dx
dy k y y x x ∙
-
====
证明：（运用高中知识解答）
∵12
22
2=+
b
y a
x
（a ＞b ＞0）， ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞-∈--∞+∈-=），（，），（，0y 0y 2222
2222
a x
b b a x b b y
对函数y 求导得：⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧∞-∈--∞+∈-='），（，），（，0y 0y 22
2222
2
2
22
2
2
a x
b b a
x b a x b b a
x b y ∴过点P(x 。，y 。)的切线斜率⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞-∈-∞+∈--='==），（，）
，（，0y 0y 2202
2
202
2
202
2
2
02
a x
b b a
x b a x b b a x b y k x
x 又点
P(x 。，y 。)在椭圆上，∴⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞-∈--∞+∈-=），（，），（，0y 0y 020222
02
0222
0a x b b a x b b y
又0000≠≠y x ，
∴⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧∞-∈-∙∞+∈-∙-=∙-=）
，（，），（，0y 10y 1
102
202
220
2022022
2020202a x b b a x b a x b b a x b y a x b k （符号得到统一） ∴过点P(x 。，y 。)的切线斜率0
02
2,0
0y x a
b dx
dy k y y x x ∙
-
==
==
这样运用隐函数求导，可以推广到标准圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）上的任意一点p（x。，y。）（除去x。=0，y。=0的点）的斜率，解决斜率k与这个点坐标的关系。
调和平均数≤算术平均数≤几何平均数≤平方平均数