振动能量和合成
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第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
8.4 简谐运动能量 8.5简谐运动的合成 8.6阻尼振动 受迫振动 共振
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
6
3
1 2 4
5
本章小结
一、谐振动的基本规律
1.受力特征：物体受回复力作用 F kx
x A cos(t )
2.运动规律：
v A sin(t )
a A cos(t )
在阻尼作用较小时,方程的解为:
x A0 e t cos( t )
振幅 其中:
02 2
x
角频率
Ae
o
t
T
2π
2π
2 0
2
t
(1)这种阻尼作用较小的情 况称为欠阻尼。 阻尼振动位移时间曲线
(2)过阻尼振动------阻尼很大
(3)临界阻尼振动---阻尼适中 临界阻尼时，系统一次性地 回到平衡状态，但所用的时 间比过阻尼状态要短。达到 平衡位置的时间最短。
t 大的多
2
1 2
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
t
Amax 2A1
Amin 0
振幅是随时间变化的，由于振幅这种改变也是周 期性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
T 4
T 2
3T 4
T
t
Ek
1 m 2 A2 sin 2 t 2
3. 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
大学物理简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理振动
4.1 简谐振动
一.简谐振动
一物理量随时间的变 化规律遵从余弦函数 关系，则称该物理量 作简谐振动。
表达式 x(t)=Acos( t+)
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
－A 0 A
X
表达式 x(t)=Acos( t+)
二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A： 即最大位移：x＝±A 2. 角频率 （圆频率）ω （弧度/秒：rad/s） 3. 周期T 和频率 v ∵ ωT＝2π ∴ T＝2π/ω （s） （完成一次全振动所需的时间） 而 v = 1/T ＝ω/2π （Hz）
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 v 、a
2A
A v
A
x
0
-A
- A
- 2A v > 0
<0
a<0 减速
<0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
解题方法
由初始条件求解振幅和初位相：
设 t =0 时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x Acos（ t ） xo Acos
谐振系统的总机械能：
E Ek Ep
1 m 2 A2 sin 2 ( t ) 1 kA2 cos2 ( t )
2
2
E
1 2
kA2
1 2m2 A2来自1 2mvm 2
x Acos t
X
Ep
Ek
E 1 kA2
2
X
结论：
16 简谐振动能量 振动合成
x x1 x2 A cos( t )
由几何关系得:
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) A A1 A2
合振动的初相: A sin 1 A2 sin 2 arctan 1 A1 cos1 A2 cos2 用旋转矢量法推导: A2
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
x
讨论: 1) 2 1 kπ 时
x 2 y 2 2 xy 2 0 2 A1 A2 A1 A2
2) 2 1
x y 0 A A 2 1
2
y
A2 x, A1
1
1.相位差 2 1 2k
k=0, ±1, ±2, ±3, ……
x 合振幅加强: A A1 A2
x2
x A A1 A2 x x1 x2 A cos( t )
A A A 2A1A2 cos(1 2 )
2 1 2 2
第5章 机械振动
§5.4 简谐运动的能量 系统势能:
Ep 1 2 1 2 kx kA cos 2 ( t ) 2 2
1 2 kA sin 2 (t ) 2 m 2 k
谐振动系统的机械能:
1 1 2 2 2 E Ek Ep m A kA 2 2
5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成 1. 相互垂直同频率简谐运动的合成
质点运动轨迹为直线
A2 ； A1 A 2 1 π，斜率 2 A1 y
2 1 0，斜率
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1 y cos t cos 2 sin t sin 2 A2 x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
02 x
h cos
pt
• 共振
同方向、同频率的简谐振动的合成(干涉)
A A12 A22 2A1A2 cos2 1
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
同方向、不同频率的简谐振动的合成(拍) 21
垂直方向、同(不同)频率简谐振动的合成
李萨如图
23
mghsin I
O
mgh 0Iຫໍສະໝຸດ 2 0mgh IC
简谐振动的能量
mg
E
Ek
E p
1 4
kA2
1 4
kA2
1 2
kA2
* 任一简谐振动总能量 与振幅的平方成正比
22
• 谐振子的阻尼振动
mx kx x
令
2 0
k ;
m
；h
2m
H m
• 谐振子的受迫振动
d 2x dt 2
2
dx dt
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
24
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。13
x2 A12
用李萨如图形在 无线电技术中可 以测量频率：
Tx :Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所 成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就 可得知另一个未知的频率。
简谐振动振动合成
前言：振动和波动是物理中的重要领域：
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都 是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t) Acos(t )
二、简谐振动的速度、加速度
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
速度与加速度也都是周期变化的。
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cos(t )
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
T 2
2 2
T
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都 是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t) Acos(t )
二、简谐振动的速度、加速度
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
速度与加速度也都是周期变化的。
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cos(t )
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
T 2
2 2
T
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
4
2.简 谐 振 动 的 微 分 方 程 (动力学方程) 动力学方程)
k F
m
o x
x
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
a = −ω x
2
作者 杨 鑫
k ω = m
2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
5
3.简谐振动的运动方程(振动方程) 3.简谐振动的运动方程 振动方程)
ω
2 0 2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
8
1 ω ν= = T= ω = 2πν T 2π ω 1 1 k 弹簧 2π m k ω = T = = 2π ν = T= 2π m 振子 k m ω
2.周期 2.周期 (T )
2π
频率 ( ) ν
圆频率 (ω)
单 摆
作者 杨
鑫
g l 1 1 g 2π ω = T = = 2π ν = = g T 2π l l ω
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
9
求一个振动系统固有ω,T,ν的方法 求一个振动系统固有 的方法 2 ( 1 ) 建立振动系 d x + Bx = 0 统的微分方程 2
dt
x前的系数的开方就是振
( 2 ) 利用公式
ω = 2πν = 2π T 2 (3)利用速度 vm = ωA am = ω A 和加速度幅值
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
1
作者
杨
鑫
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
2
一、简谐振动 的特征方程 1.回复力 1.回复力
大学物理(一)_ 简谐振动_41运动方程及特征量_
弹簧振子周期
T = 2π m
k
单摆周期
T = 2π l
g
表示一个质点一秒内振动的次数
2π T 表示一个质点2π 秒内振动的次数
简谐振动方程
y = A co s(ω t + ϕ )
三、特征量
1 振幅 A = ym ax
2 周期、频率、角频率
y
A o
−A
y−t 图
T
t
T
2
y = A c o s (ω t + ϕ ) = A cos[ ω ( t + T ) + ϕ ]
压，电磁场中电场强度和磁场强度
合成 3．最简单、最基本的振动是简谐振动
简谐振动 分解 复杂振动
§4-1 简谐振动的运动方程及特征量
一、简谐振动的定义
切向合力：在振动方向上所受合力
F t = − ky
Ft
=
mat
=
d2y m
dt 2
=
−ky
at
=
d 2y dt 2
=
−
k m
y
k =ω2
m
d 2y dt 2
= 2π
l （周期）
g
周期由系统本身性质决定
微振动是谐振动
二、简谐振动的振动表达式
解方程
d2 y dt2
+
ω
2y
=
0
简谐振动的微分方程
解得 y = A c o s ( ω t + ϕ )
简谐振动方程
积分常数，根据初始条件确定
运动速度 加速度
v
=
a
dy = − Aω sin (ω t + ϕ )
第四章-机械振动
x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2） 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动
机械振动知识点总结
机械振动知识点总结1. 振动的基本概念振动是物体围绕某一平衡位置做周期性的往复运动。
振动可以分为自由振动和受迫振动两种。
•自由振动指的是没有外界强制作用下的振动，物体的振动频率和振幅由其固有的性质决定。
•受迫振动指的是在外力的驱动下，物体做的振动。
2. 振动的参数在分析振动时，常用以下参数描述振动的特性：•振幅（Amplitude）：振动物体从平衡位置偏离的最大距离。
•周期（Period）：振动物体完成一个完整周期所需的时间。
•频率（Frequency）：振动物体单位时间内完成的周期数。
频率的倒数称为周期。
•相位（Phase）：描述振动物体在某一时刻的位置与特定参考点的关系。
3. 简谐振动简谐振动是一种特殊的振动，其运动方程可以用正弦函数或余弦函数表示。
简谐振动满足以下条件：•振动物体受到的恢复力与其偏离平衡位置的距离成正比。
•振动物体的加速度与其位移成正比，且加速度与位移的方向相反。
简谐振动的特点是振动频率恒定，振幅随时间变化。
4. 阻尼振动阻尼振动是考虑振动系统存在阻力的情况下的振动。
阻尼振动可以分为三种情况：•无阻尼振动：振动系统不存在阻力，振动将持续进行。
•临界阻尼振动：振动系统阻尼恰好等于临界阻尼，振动将在最短时间内回到平衡位置，不发生超调。
•过阻尼振动：振动系统的阻力大于临界阻尼，振动将缓慢回到平衡位置，没有超调。
5. 谐波振动谐波振动是指振动物体的位移与外力的驱动频率成正比的振动。
在受迫振动中，外力的频率与振动系统的固有频率相等时，将出现谐波振动。
谐波振动的特点是振动频率与外力频率相等。
6. 两个简谐振动的合成当两个简谐振动在时间和空间上同时发生时，将产生合成振动。
合成振动的特点与两个振动的振幅、频率和相位差相关。
•两个振幅相等、频率相同且相位差为0的简谐振动合成，得到幅值加倍的简谐振动。
•两个振幅相等、频率相同且相位差为π的简谐振动合成，得到幅值减小为0的简谐振动。
7. 能量和功率在振动中，能量和功率是重要的参数。
振动的合成与分解
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (2) 2 1 ( A1 A1 A2
x2 A2 cos(2t 2 )
设 1 2 但： 1 2 1
为简单： 令A1 A2 A 先用函数曲线叠加：
1 2
分振动
x1 A cos( 1t ) x2 A cos( 2 t )
合振动
x x1 x2
y
x
y
x
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
0 时，逆时针方向转动。 0 时，顺时针方向转动。
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
合振动
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j
合振动质点的轨迹方程
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 讨论 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (1) 2 1 0 ( A1 A1 A2
振动能量 振动合成
五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成 五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成
合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论
情况1：两个分振动的频率相差很小
ν 2 −ν1 ≈ 0 视为同频率的合成：两个振动的相位差缓
θ
l
2、运动方程
F = − mg sin θ ≈ − mgθ
2
T
（摆角小于5°)
2
d x dθ = m 2 = ml 2 dt dt
F
v mg
dθ − mgθ = ml 2 dt
2
2
d θ g + θ =0 2 dt l
2
g g 单摆的圆频率 ω = ω= l l l 1 1 频率 ν = ＝ 周期 T ＝2π T 2π g
2π (3) ωt + ϕ = 3
O
ω
t=0.5s 0.12m
ωt + ϕ =
x
π
6
ϕ
A
t=0
3π 5 3π 2π ′+ϕ = ωt ) /ω = s Δt = ( − 2 6 2 3
v
5π ϕ = − (或 ) 3 3
π
单摆——数学摆 单摆——数学摆 1、概念
单摆是一个理想化的振动系统： 它是由一根无弹性的轻绳挂一 个摆锤构成。
| A1 − A 2 |< A < | A1 + A 2 |
v A2
三、同方向、不同频率谐振动的合成 设两个初相相同，振幅、频率不同的简谐振动 t=0时合振动振幅最大，为A=A1+A2; 设ω2>ω1,则A2矢量比A1旋转更快，经历 时间 t1 =
x1 = A1 cos ω1t x2 = A2 cos ω 2t
两个简谐振动合成后的总能量
两个简谐振动合成后的总能量说到两个简谐振动合成后的总能量，嗯，听起来是不是有点儿晦涩？别着急，我们慢慢来，打破这层神秘面纱。
简谐振动，这个概念其实说白了就是物体在某个固定点附近来回摆动，就像是你摇晃手机屏幕时，那个小球来回晃动的样子。
它有个特点，就是振幅固定，频率也固定，像钟摆一样，规律性十足。
你可以想象成是一个稳定的节奏，不管是大钟的“咔哒咔哒”还是你家电风扇的旋转，简谐振动都在其中找到了它的影子。
至于能量嘛，那可就更有意思了。
你可别以为能量就是单纯的一个数字，它可随振动的状态变化而变化。
振动到哪儿，能量就在哪儿。
所以，当这两个简谐振动合成在一起的时候，情况就有点复杂，但同时也让人激动。
想象一下，如果两个振动像两只不同的猫，一只懒懒的，另一只活泼得像是刚喝了浓咖啡，这两只猫要是合起来跳舞，那画面肯定是奇怪又好玩的。
一个振动是在一个频率下走得慢，另一个是在另外一个频率上走得快。
它们“碰撞”在一起的那一刻，总能量肯定不一样了。
具体来说，合成后的总能量，其实是由每个振动的能量加起来的。
所以，你得先搞清楚这两只猫的“本能”，也就是它们各自的能量。
这就得用到一个东西，叫做“振动的能量公式”，别怕，听着很复杂，实际上也没啥难度。
能量就像是物体振动的“背后支持者”，它的计算需要考虑振幅、频率这些因素。
振幅越大，能量越多；频率越高，能量也越高。
你可以想象成两个人在一起玩拉力赛，谁的车快，谁的车大，谁就能跑得更远，能量也就越大。
但是，等这两个振动合起来，怎么办呢？它们俩的能量会相互叠加。
嗯，听起来有点像两个拼命拍击的鼓手，这时的总能量其实就是两个鼓手分别打出的声浪的叠加。
并且这个合成后的总能量，和它们的相对位置也有关系。
比如，它们要是正好“合拍”，就会互相增强，像是搭档默契得像是两个老搭档。
而要是节奏不对，合成后的能量就可能会有所抵消，这就像是两只猫跳舞的时候，有时候会撞得四脚朝天，能量损失掉了。
这个情况和两个波叠加起来时的情况类似，有时是加强，有时是削弱，真是要看命运了。
单摆机械振动的能量与合成.ppt
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2 A2
合振动 假设Βιβλιοθήκη A1x A2
xA1 0，x12
2
0
1 A1
1 2 1 2
1 2
mA 2
2
sin2 t
＋ 1
2
kA2
cos2 t
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2x k dt 2 m x 0
d
dt Ek E p 0
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos 2
1
sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
9-2振动合成(简)
设：
2 1 ( 2 1 )
1 2 = 1 - 2
合振动的振幅忽强忽弱的现象----拍
12
1. 拍的形成
x1 A cos 1t A cos 21t x2 A cos 2t A cos 22t
设φ1=φ2=0 ，
2 1 ( 2 1 )
(k 0 ， 1, )
x1 A1 cost x2 A2 cos( t π )
A
A A1 A2
2
T
x ( A2 A1 ) cos( t π)
反相，合振动减弱
3
总结：
1）相位差
2 1 2k π
(k 0 ， 1， )
2） 2 1 π 2
o
A1
x
π y A2 cos( t ) 2 2 2 x y 2 1 2 A1 A2
x A1 cost
A2 y
o
A1
x
17
方法2：利用旋转矢量作图 Y
A2
Y X
x A1 cos t
y A2 cos(t
2
)
求合振动的轨迹。
39
乐音的振动虽不一定简谐振动，但仍是有规则的， 振动的周期是一定的；而噪音的振动没有规则，没有 确定的周期．
乐音的音调的高低，由频率决定。把一组音按音调高 低的次序排列起来就成为音阶，dou，ruai，mi，fa， sou，la, xi，dou．
40
[例] 已知：U 形管内液体质量为m，密度为 ，
dx m 2 C kx 0 dt dt
22
d x
2
d x dx dx 2 0 x 0 m 2 C kx 0 2 2 dt dt dt dt
2 1 ( 2 1 )
1 2 = 1 - 2
合振动的振幅忽强忽弱的现象----拍
12
1. 拍的形成
x1 A cos 1t A cos 21t x2 A cos 2t A cos 22t
设φ1=φ2=0 ，
2 1 ( 2 1 )
(k 0 ， 1, )
x1 A1 cost x2 A2 cos( t π )
A
A A1 A2
2
T
x ( A2 A1 ) cos( t π)
反相，合振动减弱
3
总结：
1）相位差
2 1 2k π
(k 0 ， 1， )
2） 2 1 π 2
o
A1
x
π y A2 cos( t ) 2 2 2 x y 2 1 2 A1 A2
x A1 cost
A2 y
o
A1
x
17
方法2：利用旋转矢量作图 Y
A2
Y X
x A1 cos t
y A2 cos(t
2
)
求合振动的轨迹。
39
乐音的振动虽不一定简谐振动，但仍是有规则的， 振动的周期是一定的；而噪音的振动没有规则，没有 确定的周期．
乐音的音调的高低，由频率决定。把一组音按音调高 低的次序排列起来就成为音阶，dou，ruai，mi，fa， sou，la, xi，dou．
40
[例] 已知：U 形管内液体质量为m，密度为 ，
dx m 2 C kx 0 dt dt
22
d x
2
d x dx dx 2 0 x 0 m 2 C kx 0 2 2 dt dt dt dt
单摆、机械振动的能量与合成
二、复摆——物理摆 1、概念 2、运动方程
重力矩
M＝－mgl sin －mgl 2 d 转动定律 －mgl＝J＝J dt 2
3、周期与频率
mgl J
2
d 2 2 ＋ ＝0 2 dt
J T＝2 mgl
4、应用
•测重力加速度 •测转动惯量
mgl J
13－5 简谐运动的能量
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
2、应用旋转矢量法 A y
A2
2
合成振动 是简谐运动
2 1
情况1
3、讨论
A2 sin 2
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2 t 2
合振动 假设
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动 A
A2
2
1 2 1 2 x1 A1 cos 1t＝A0 cos 2 1t
单摆的圆频率
k g m l
2
振动方程
x x0 cost
T＝2 l g
1 1 ＝ T 2 g l
g l
f
周期
频率 3、说明：
mg
•单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力 •单摆的周期与质量无关 •单摆提供了一种测量重力加速度的方法 •单摆可以当作计时器
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 2 cos 2 1 sin 2 1 2 A1 A2 A1 A2
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T
2π
0.314 s
（2）Ek ,max
1 2 1 2 2 mvmax m A 2 2
2.0 10
第九章 振 动
3
J
10
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(3) Esum ； (4)何处动势能相等? 解（3）Esum Ek ,max 2.0 10 3 J
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2 π1t
x2 A2 cos2t A2 cos2 π 2t
x x1 x2
2 1
拍频（振幅变化的频率）
第十章 波动
物理学
第九章 振 动
27
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：B
第九章 振 动
28
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：C
第九章 振 动
29
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：D
第九章 振 动
30
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：C
第九章 振 动
31
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：B
第九章 振 动
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期 性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正 比，且方向相反: d2x 2
dt
2
x
或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:
x A cos( t )
第九章 振 动
25
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
3、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又 高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那 么如何测量此线的长度？ 答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开 一小角度，让其自由振动，测出周期T，便可依据单 摆周期公式 T 2 l 计算摆长。
2 2
所以振幅为：
A v0
m M / k 5 102 (m)
第九章 振 动
33
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
（2）振动的圆频率为：
k 40(rad s 1 ) mM
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方 程可设为：x = Acos(ωt + φ)．
7
xt t
0
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
简谐运动能量守 恒，振幅不变
Ep
C
1 E kA2 2
简谐运动势能曲线
E
EkΒιβλιοθήκη EpAOB
x
A
x
8
第九章 振 动
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
例 质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0 10 2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 m s 2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
二、 两个相互垂直的同频率的简谐运 动的合成 x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
第九章 振 动
3
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
（1） 动能 (以弹簧振子为例) 1 2 1 2 Ek mv m A sin(t ) 2 2 1 2 2 2 m A sin (t ) 2
k m
2
m
O
第九章 振 动
x
X
5
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
1 2 1 2 （2） 势能 Ep kx kA cos2 (t ) 2 2 1 1 2 2 （3） 机械能 E Ek Ep m A kA2 2 2
线性回 复力是保守 力，作简谐 运动的系统 机械能守恒.
第九章 振 动
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos( t ) A A1 A2 2 1 (2k 1)π
第十章 波动
m
O x X
6
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
x, v
o
能量
简谐运动能量图
o
T 4
T 2
x A cost T v A sin t vt 1 2 E kA 2 1 2 2 Ep kA cos t 2 3T T t 1 2 2 2 Ek m A sin t 4 2
第九章 振 动
A
A2
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
减弱 （3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
2
x 5cos t 2
2
第九章 振 动
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
(b)由图(b)知 A=6m，x0>0，v0>0
t1=1s ，x1=0，
3
由旋转矢量可求出：
5 t1 3 2 6
=5/6
5 x 6cos t 3 6
第五版
9-3 单摆和复摆
1、简述符合什么规律的运动是简谐运动
当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律， x A cost 时，该质点 遵从余弦函数或正弦函数 的运动便是简谐振动。或：位移x与加速度a的关系为 正比反向关系。
2、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动 的运动学方程和动力学方程。
2
（4）Ek Ep 时
Ep 1.0 10 3 J
由
x
2
1 2 1 Ep kx m 2 x 2 2 2
2 Ep m
2
0.5 10 4 m2
第九章 振 动
x 0.707 cm
11
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
9-5 简谐运动的合成
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
一 两个同方向同频率简谐运动的合 成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
A2
2
O
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
2 2
x A cos( t )
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
用旋转矢量描绘振动合成图
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
四 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
当t = 0时，x = 0，可得：φ = ±π/2
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：
x 5 10 cos(40t ) 2
第九章 振 动
34
2
2
2
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
x 2 y 2 2 xy 讨 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 论 A1 A2 A1 A2 y
2 1 0 或 2 π （1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （2） A2 y x A1
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
第九章 振 动
9
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(1)T ；(2) Ek,max
2
解（1）amax A
2
amax 1 20 s A
g
4、一质量未知的物体挂在一劲度系数未知的弹簧上 ，只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量， 就可知该弹簧振子的振动周期，为什么？ m 答案：因为 T 2 ，若知伸长量为 l ，则 k l 有 mg kl ，于是 T 2 g