中科院研究生入学考试-高等数学(甲)2007
中科大历年考研数学真题
则向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 的秩等于
.
5. 在 3 维实向量空间 R3 中，设 α1 = (−1, 1, 1)T , α2 = (1, −1, 0)T , α3 = (1, 0, −1)T , β =
(−4, 3, 4)T , 则 beta在基 α1, α2, α3 下的坐标是
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–6–
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题 (每题 5 分)
1. 在 R3 中，直线 x = y = z 与平面 z = x − y 的夹角的余弦值等于
2. 在 R3 中, 方程 xy − yz + zx = 1 所表示的二次曲面类型为
−2
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5
=
0
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–3–
2.
设空间上有直线 l1
:
x−1 3
=
y 1
=
z 0
和 l2 √
: (x, y, z) = (3 + 2t, t, 3t − 3). 设平面 π 与
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
角化。 8. A 是复方阵，定义 eA = ∑ +∞ Ak ，证明：det(eA) = etr(A)
中国科学院研究生院高等数学3
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
高数甲
中国科学院研究生院硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。
二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x→=， e x x x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）()ln(sin cos ),[0,]4f x x x x π=+∈（18）(Ⅰ) ()2ln a V a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ)a e =时()V a 最小，最小体积为()2V e e π= （19）322133y x =+（20）0x dzdx==，2021x d z dx==（21）略（22）11)3+ （23）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（24）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ）【解析】方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，有：0x +→时，1(1-::211,2-:所以选（B ）. 方法2：当0x +→时，ln[1~~~x =+选（B ）.方法3：00lim lim 11x x x →→+⎡⎤=⎢+⎣，选（B ）. （2）【答案】（A ）【解析】逐个考虑各个选项即可.110111tan lim ()lim 1,1tan lim ()lim 1.xx x xxx x x eexf x xe ee e xf x xe e++---→→-→→+=⋅=-+=⋅=--所以0x =是()f x 的第一类间断点，选（A ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】(D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim 0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （5）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)lim lim lim lim 1,1x x xx x x x x y e e e x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫++=+== ⎪+⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （6）【答案】(D)【解析】由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==L12n .ξξξ<<<<L L由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<L L由于121'()0,f u u ξ=->所以1111k 1111()'()'().n nn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散.选（D ）（7）【答案】( C)【解析】由( C)，推知(,)(0,0)00(),f x y f x y o ρ-==⋅+⋅+其中ρ=0()limlim 0o ρρραρ→→==⋅对照全微分定义，相当于000,0,,,0,0.x y x x y y A B ==∆=∆===可见(,)f x y 在(0,0)点可微，故选择（C ）.（8）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（9）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. (10)【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
中科院历年高等数学甲真题
（3）求极限 lim
b 0
b
，其中 由（2）确定。
14.利用欧拉积分及 函数的余元公式 (s)(1 s)
sin( s )
(0 s 1) 计算积分 (
a
L
b
b x p ) dx ，其中常数 p 满足 0 p 1 。 xa
15.设第二型曲线积分 ( f ( x) y 2 f (0) y ye xy )dx ( x 2 y x xe xy )dy 与路径 无关。 （1）求 f ( x) ； （2）求
四、 （8 分）设 f ( x) 满足条件 f ( x) f ( x) 1 ， f (0) 2 。 （1）求 f ( x) ； （2）求不定积分 ( f ( x) 1) ln f ( x)dx 。 五、 （8 分）求幂级数 (1) n
n 0
n n1 x 的收敛半径和函数。 n 1
2
D
f ( x, y)dxdy ___________________。
D
9.积分
0
ex e2x dx ___________________。 x
10.积分
1
0
( x )
n 0
2 n
dx __________________。
三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 11.设 y y( x) 是由 ln x 2 y 2 arctan
dy d 2 y y 确定的隐函数，求 和 2 。 dx dx x
12.计算 zdxdydz ，其中 V 是球面 x 2 y 2 z 2 2az 和 x 2 y 2 z 2 az 所围
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当0x +→等价的无穷小量是（ ）A.1-B1C.1D -（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是x =（ ）.A 0 .B 1 .C 2π-.D 2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在（5）曲线1ln(1)xy e x=++渐近线的条数为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==L ，则下列结论正确的是（ ）.A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散（7） 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).A[](,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.B []0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=且[]0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.C(,)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=.D []0lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A 与B （ ） .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似.C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）30arctan sin lim_____x x xx →-=（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____（13）设函数123y x =+，则()(0)_____n y = （14）二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为_____y =（15）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zxy x y∂∂-=∂∂_____ (16) 设矩阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_____.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()10cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰其中1f-是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解. （20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin )z f y x =-，求2002,x x dz d zdxdx ==.（21）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=（22）（本题满分11分）设二元函数2,1(,)12x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤（23）（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩12321(2)x x x a ++=-与方程有公共解，求a 得值及所有公共解.（24）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B .。
中国科学院2007年硕士研究生入学试题参考答案
2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题说明：全部答题包括填空、选择题必须答在考点下发的答题纸上，否则，一律无效。
试题名称：固体物理一 铜、银、铝等很多元素晶体具有面心立方结构，试： 1 原子位置：,21210,21021,02121,000最近邻12，次近邻6，最密排面（111）2 面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。
3 4个3次旋转轴，3个4次轴，6个2次轴，一个反演中心。
4 布拉格定律：θλsin 2d =，这里Θ＝19.235度，第一衍射峰应是（111）晶面，3111a d =，101005.4sin 23-⨯==θa二 已知某晶体中相邻原子之间的相互作用势可以表示为n mr r u βα+-=其中m ，n ，α，β都是>0的常数。
1 说明右式两项代表的物理意义并求出处于平衡状态时的原子间距r 02 证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m 。
3 只考虑最近邻相互作用，写出由N 个相同原子组成的该晶体的总相互作用能U 0表达式。
4 证明其体弹模量 0V mnU K = （U 0，V 0分别是晶体处于热平衡时的能量和体积）。
解：1 第一项代表吸引势，第二项代表斥力势。
()011=+=++n m rn r m dr r du βα给出平衡状态时的原子间距mn m n r -⎪⎭⎫⎝⎛=10αβ2 满足稳定态的条件()0)()1()1(,020202022>-=+++-==+++m n r m r n n r m m dr r u d dr du m n m αα，所以n>m 。
3 )(2)(2000n mn r N r u N U m --==α4 体积弹性模量 0222022000V dr U d dV dr V dV Ud K V V V •⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=晶体体积300Ar N V •=，A 是和晶体结构有关的参数。
中科院高等数学甲考研题库
中科院高等数学甲考研题库中科院高等数学甲考研题库中科院高等数学甲考研题库是广大考研学子备战中科院高等数学甲考试的重要工具。
该题库覆盖了高等数学甲课程的各个知识点，题目类型丰富多样，涵盖了选择题、填空题、解答题等多种形式。
通过做题，考生可以巩固知识，提高解题能力，为考试积累经验。
首先，中科院高等数学甲考研题库的题目难度较高，对考生的数学基础要求较高。
这是因为中科院作为国内一流的科研机构，其培养的研究生需要具备扎实的数学基础和较高的数学水平。
因此，中科院高等数学甲考研题库的题目往往涉及到较为深入的数学理论和较为复杂的计算方法。
考生在做题过程中，需要对各个知识点有清晰的理解，并能够熟练运用相关的数学方法进行解题。
其次，中科院高等数学甲考研题库的题目设计灵活多样，能够全面考察考生的数学能力。
题目类型包括选择题、填空题和解答题等多种形式。
选择题能够考察考生对基础知识的掌握程度和对解题思路的理解能力。
填空题则要求考生在给定的条件下进行计算，考察考生的计算能力和推理能力。
解答题则需要考生对问题进行全面的分析和解答，考察考生的综合能力和创新能力。
通过做题，考生可以全面提高自己的数学能力，培养解决实际问题的能力。
最后，中科院高等数学甲考研题库的题目选材广泛，涵盖了各个知识点和难度级别。
这样的设计可以帮助考生全面复习和巩固知识，提高解题能力。
考生可以根据自己的实际情况选择合适的题目进行练习，逐渐提高自己的解题水平。
在做题的过程中，考生可以发现自己的薄弱环节，并有针对性地进行强化训练。
通过反复的练习，考生可以逐渐提高自己的解题速度和准确性，为考试做好充分的准备。
总之，中科院高等数学甲考研题库是备战中科院高等数学甲考试的重要工具。
通过做题，考生可以巩固知识，提高解题能力，为考试积累经验。
考生可以根据自己的实际情况选择合适的题目进行练习，逐渐提高自己的解题水平。
通过反复的练习，考生可以逐渐提高自己的解题速度和准确性，为考试做好充分的准备。
2007年硕士研究生入学考试(数学一)试题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是(A) 1xe-. (B) 1ln1x x+-. (C)11x +-. (D) 1c o s x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~xxee x -=---；111~2x x +-；2111c o s~().22x x x -=利用排除法知应选(B).(2) 曲线1ln (1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim [ln (1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln (1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln (1)ln (1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1lim [1]lim [ln (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln (1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln (1)0x xxx x e ex e--→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t d t =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
中国科学院高等数学甲试题2007
中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、填空题(本题满分30分，每个空格6分。
请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。
)1．30tansinlimln(1)xxxx→.+=（）。
2. 设函数(,)fxy可微，(0,0)0,(0,0)xffm′==，(0,0)yfn′=，()(,(,))tftftt.=，则(0).′=（）。
3. 312dxx++∫=（）。
4. 微分方程22xyxyy′+=的满足(1)2y=的解为（）。
5. 设是曲面Σ222xyza++=的外侧，cos,cos,cosαβ是其外法线向量的方向余弦，则32222coscoscos()xyzdSxyzαβγΣ++++∫∫=( )。
二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)1.设1sin(1)1(),()2,1xxbxfxxeax....≠.=...=.。
若 f(x) 在x=1处连续，则。
A．; B. ; C. 0,1ab==1,1ab==.1,1ab=.=; D. 1,0ab==2. 设()fx和都在()gx0x处二阶可导，且0000()()0,()()0fxgxfxgx′′==.，则。
A. 0x不是()()fxgx.的驻点B. 0x是()()fxgx.的驻点，但不是()()fxgx.的极值点科目名称：高等数学（甲）第1页共3页C. 0x是()()fxgx.的驻点，且是它的极小值点D. 0x是()()fxgx.的驻点，且是它的极大值点3. 已知连续函数()fx满足()(2)(0)fxfaxa=.≠，为任意常数，则c()ccfaxdx. .∫。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
中国科学院大学《高等数学(甲)》考试大纲
中国科学院大学硕士研究生入学考试《高等数学（甲）》考试大纲中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。
二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
601高等数学(甲)
4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数
6. 会求反函数的导数。
7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西
中值定理和泰勒定理。
8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
10. 掌握用洛必达法则求未定式连续性 闭区间上连续函数的
性质 函数的一致连续性概念
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积、向量积和混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。
7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
(整理)中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.
中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.txt我这人从不记仇，一般有仇当场我就报了。
没什么事不要找我，有事更不用找我！就算是believe中间也藏了一个lie！我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币，怎么能让人人都喜欢我？中科院考研高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
四、试卷分类及适用专业根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将高等数学试卷分为高等数学（甲）、高等数学（乙）。
每种试卷适用的招生专业如下：高等数学（甲）适用的招生专业：理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业。
高等数学（乙）适用的招生专业：大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。
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中国科学院研究生院
2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 填空题(本题满分30分，每个空格6分。
请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，
直接填在试题空格内无效。
) 1．30tan sin lim
ln(1)
x x x
x →−+=（ ）。
2. 设函数(,)f x y 可微，(0,0)0,(0,0)x f f m ′==，(0,0)y f n ′=，()(,(,))t f t f t t ϕ=，则(0)ϕ′=（ ）。
3.
=（ ）。
4. 微分方程2
2
x y xy y ′+=的满足(1)2y =的解为（ ）。
5. 设是曲面Σ2
2
2
2
x y z a ++=的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是其外法线向量的方向余弦，则
3
2
2
2
2
cos cos cos ()
x y z dS x y z αβγ
Σ
++++∫∫
=( )。
二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)
1.设1sin(1)1
(),()2,1x x b x f x x
e a x −−⎧−≠⎪
=−⎨⎪1=⎩。
若 f (x ) 在x =1处连续，则 。
A ．; B. ; C. 0,1a b ==1,1a b ==−1,1a b =−=; D. 1,0a b ==2. 设()f x 和都在()g x 0x 处二阶可导，且0000()()0,()()0f x g x f x g x ′′==⋅>，则 。
A. 0x 不是()()f x g x ⋅的驻点
B. 0x 是()()f x g x ⋅的驻点，但不是()()f x g x ⋅的极值点
科目名称：高等数学（甲） 第1页 共3
页
C. 0x 是()()f x g x ⋅的驻点，且是它的极小值点
D. 0x 是()()f x g x ⋅的驻点，且是它的极大值点
3. 已知连续函数()f x 满足()(2)(0)f x f a x a =−≠，为任意常数，则
c ()c
c
f a x dx −−∫
= 。
A. 0
2
(2)c
f a x dx −∫
B. 2(2)c
c f a x dx −−∫
C. 0
D. 0
2()c f a x dx −∫
4. 点关于直线L ：1P (2,3,1)−x y z ==的对称点的坐标是 2P 。
A. 21(,1,33−
) B. 21(,1,33−− C. 1051(,,333−− D. 1051(,,333
−
5. 设()f x 在区间[,]ππ−上连续，且满足()()f x f x π+=−，则()f x 的傅里叶系数
2n a = ，。
(1,2,n =L )A ．0 B.
π C ．1π D. 4
π
三、(本题满分10分) 已知f (x )在(,)−∞+∞内有二阶连续导数，且，又
(0)0f =(0),0()(),0x
f x x e f x x x
ϕ′=⎧⎪
=⎨≠⎪⎩， 求()x ϕ′。
四、(本题满分10分) 求满足0
()()x
x
x f t dt tf t x dt =
+−∫
∫的可微函数()f x 。
五、(本题满分10分) 若(),(0)0,(1)u f xyz f f 1′===，且
3222()u
x y z f xyz x y z
∂′′′=∂∂∂，求函数u 。
六、(本题满分10分) 设L 是分段光滑的简单闭曲线，且点(2,0),(2,0)−均在闭曲线L 所围区域的内部，计算曲线积分
2222222222(2)(2)(2)(2)L y y x x I dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡−+=++−⎢⎥⎢−+++−+++⎣⎦⎣∫ ，⎤⎥⎦
其中L 取正向。
科目名称：高等数学（甲） 第2页 共3页
七、(本题满分10分) 求方程432444x y x y x y 1′′′′′′−+=的形如1
y ax −=的特解，进而求该方程的通解。
八、(本题满分10分) 在曲线2
214
x y +=上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点处的切线与该曲线、以及x 轴和y 轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。
九、(本题满分10分)
证明：
2222()
()
D
R r R R K
r K
π−−≤≤
+−∫∫
r π
，其中
0K r <=<<R 2，222:D r x y R ≤+≤。
十、(本题满分10分) 设函数()f x 在区间[0上可导，且,1](0)0,(1)1f f ==，证明在区间
上存在两点[0,1]12,x x ，使
1211
2()()
f x f x +=′′。
十一、(本题满分10分) 设级数
的各项，{为一正实数数列，记
1
n
n u
∞
=∑0,1,2,n u n >=⋅⋅⋅}n v 11n n
n n u v a u ++=−n v ，证明：如果lim n x a a →∞=，且a 为有限正数或正无穷，则收敛。
1
n n u ∞
=∑
科目名称：高等数学（甲） 第3页 共3页。