北京市西城区2017年高三理科数学二模试题及答案

西城区高三模拟测试

高三数学（理科） 2017.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +

（D ）2i -

2．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）2

1

1

y x =

+ （D

）y 3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极坐标．．．

是 （A ）(1,

)2

π

（B ）(1,0)

（C ）1(,)22π

（D ）1

(,0)2

4．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -⎧⎪

--⎨⎪⎩

≤≥≥表示的平面区域的面积是

（A ）1

（B ）

32

（C ）2

（D ）

52

5．设双曲线22

221(0,0)y x a b a b

-=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为

（A

）0x ±= （B

）0y ±= （C ）80x y ±=

（D ）80x y ±=

6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35

⋅=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是 （A ）

34

（B ）

43

（C ）

45

（D ）

54

7．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞

（C ）1(,)2

+∞

（D ）1(,)4

+∞

8．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票． 在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是 （A ）7 （B ）6

（C ）5

（D ）4

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____．

10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，

则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．

11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π

3

A =

，a =，1b =，则c = ____．

12．函数22, 0,()log , 0.

x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ 则1()4f =____；方程1

()2f x -=的解是____．

13．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一

部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）

14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的一组正

投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数π

()tan()4

f x x =+．

（Ⅰ）求()f x 的定义域；

（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π

()2cos()4

f ββ=-，求β的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ， AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．

（Ⅰ）求证：//AD MN ；

（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；

（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平面ADE I 平面BCF l =，求二面角

A l

B --的大小．

17．（本小题满分13分）

某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．

整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，

[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：

B 餐厅分数频数分布表

（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；

（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；

（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．

19．（本小题满分13分）

已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；

（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．

20．（本小题满分13分）

设集合*

2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N L ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元

素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．

（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；