分类讨论专题
专题四：分类讨论思想在解题中的应用
专题四：分类讨论思想在解题中的应用一．知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。
根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。
初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)
“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。
例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。
9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。
高中数学分类讨论专题
高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。
2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。
3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。
4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。
5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。
6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。
7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。
8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。
以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。
数学分类讨论思想专题训练
题 训 练 B R A N D
PLANING
分类思想是根据数学本 质属性的相同点和不同 点，将数学研究对象分 为不同种类的一种数学 思想。分类以比较为基 础，比较是分类的前提， 分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准， 标准不同分类的结果也 就不同。分类要做到不 遗漏，不重复。分类后， 对每个类进行研究，使 问题在各种不同的情况 下，分别得到各种结论， 这就是讨论。
函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式
是
.
二．函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交 点坐标 .
二.图形位置的分类 D
O
1如图，线段OD的一个端
点O在直线a上，以OD为
一边画等腰三角形，并且
使另一个顶点在直线a上，
这样的等腰三角形能画多
a 少个?
4
▪ 2在下图三角形的边上找出一点，使得该点 与三角形的两顶点构成腰三角形！ 6
求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
在直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１） ○ 上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， ○ 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角 ○ 形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角 ○ 形相似，求点Ｐ的坐标。
y
o AB
C
Dx
x=m
3. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=900 ,BC=16, DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的 方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发， 在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P， Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t（秒）.
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式.
（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时， 求∠BQP的正切值.
分类讨论专题
课题：分类讨论思想的应用简略分析：1、分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想。
正确地使用分类思想，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁为简，化难为易，分而治之的目的。
2、针对中考常用的分类原则有同一性原则和层次性原则。
3、分类讨论关键是要弄清楚引起分类的原因（定义、概念、性质等），明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，从而得出正确答案。
教学过程：一、与方程概念有关练习：已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；二、三角形概念有关：（腰和底不确定或顶角和底角不确定）例1：有同学将三角形这样分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形和等腰三角形。
这样的分类是否正确？问题出在哪了？例2：已知在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 度时，△ABC是等腰三角形？，0）两点，与y轴交于点C(0，3)．例3、抛物线与x轴交于A(1，0)，B（3(1)求此抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标．例4、半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA ＝60º，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线经过点A、B、C．(1)求点A 、B 的坐标；(2)求抛物线的函数关系式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D ，使得△BCD 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．课后练习1、如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）.2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线。
初中数学分类讨论专题
初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
分类讨论专题练习
分类讨论专题练习1、（由点的不确定性引起分类讨论）已知抛物线n x n x y 2)1(212-+--= (n ＜0)经过点A(1x ，0)、B(2x ，0)，D(0，1y )，其中1x ＜2x ，△ABD 的面积等于12。
(1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；(2)如果点C(2，2y )在这条抛物线上，点P 在y 轴的正半轴上，且△BCP 为等腰三角形，求直线PB 的解析式。
2、（由图形运动导至图形之间位置发生变化引起分类讨论）已知：在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=4cm ，AB=8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的中点。
若P 为AB 边上的一个动点，PQ ∥BC ，且交AC 于点Q ，以PQ 为一边，在点A 的异侧作正方形PQMN ，记PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为y 。
(1)如图，当AP=3cm 时，求y 的值；(2)设AP=xcm ，试用含x 的代数式表示y(2cm )；(3)当y=22cm 时，试确定点P 的位置。
3、（由图形全等及相似的对应关系的不确定引性引起分类讨论）已知抛物线c bx ax y ++=2 (a ≠0)与x 轴相交于不同的两点A(1x ，0)、B(2x ，0)( 1x ＜2x )与y轴的负半轴交于点C 。
若抛物线顶点的横坐标为-1，AB 两点间的距离为10，且△ABC 的面积为15。
(1)求此抛物线的解析式；(2)求出点A 和点B 的坐标；(3)在x 轴上方，(1)中的抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
4、（由图形存在方式的多样性引起分类讨论）如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上。
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
专题04分类讨论型【讲】【通用版】
专题04 分类讨论型【讲】【通用版】专题04分类讨论型【讲】【通用版】分类讨论型问题，是指解决此类试题，必须确定好分类标准，并按此标准对问题进行正确分类，使复杂问题简单、清晰起来．先给出近几年高考分类讨论型试题，列举如下：【典例1】已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R．(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．【答案】（1）当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．（2）1【解析】（1）先确定定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)关系，最后根据奇偶性定义确定奇偶性；（2）先研究x≥0时，函数最小值，再根据偶函数性质求最值试题解析：解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．方法二（分类讨论）由题设知，求OMN 的面积S ，并观察S 最大值时l 的位置特点．类型三 与三角函数、解三角形相结合的分类讨论型【典例3-1】已知方程22sin cos 1x y αα+=，其中[0,α∈曲线？απ类型六 与立体几何相结合的分类讨论型【典例6-1】六盒磁带按“规则方式”打包．所谓“规则方式”，是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体．若磁带盒长、宽、高的尺寸分别为,,a b c ，且a b c >>，请你给出一种使表面积最小的打包方式，予以证明，并画出其示意图．【解析】如果不考虑磁带盒之间的空隙，那么就要考虑长方体表面积可能的值．因为62316=⨯=⨯，所以“规则打包”只有两种类型．设磁带盒过同一顶点的三个面的面积为、、A B C ．（1）若“16⨯”类型，表面积21212S A B C =++．要使S 取值最小，由于磁带盒三边长为a b c >>，从而令A a b =⋅，,B a c C b c =⋅=⋅，则121212S ab ac bc =++；（2）若“23⨯”类型，表面积4612S A B C =++．要S 最小，应为24612S ab ac bc =++．比较两种方式，即()126223S S ac ab a c b -=-=-．当3c b >时，2S 小，故采用“23⨯”打包类型；当3c b <时，1S 小，故采用“16⨯”打包类型；当3c b =时，两种类型都可以．示意图如图所示．【举一反三】7．在长方体1111ABCD A B C D -中，()2,0AB BC a a ==>，12AA =．(1)在BC 边上是否存在点Q ，使得1A Q QD ⊥，为什么？(2)当存在点Q ，使1A Q QD ⊥时，求a 的最小值，并求出此时二面角1A A D Q --的正弦值．类型七 与解析几何相结合的分类讨论型证明：（1）当2AB p ≥时，如图，记综上所述，满足条件的正整数(1)求315C -的值．(2)组合数的两个性质：①C C m n m n n -=；②11C C C m m m n n n -++=是否都能推广到C mx （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z ．参考答案：）BC 上存在点Q ，且1A Q QD ⊥，且11,A Q A A ⊂平面1A AQ ，∴））知a 的最小值是4；4时，2x =，即Q 是BC 的中点，作作1PF A D ⊥，连结QF ．∵QP对上面a 的各种取值范围，作出这两条曲线只有一个公共点的证明如下：上述探究中的方程()214ay a y +-若0a >，则210y a =-<，从而x。
分类讨论思想专题
分类讨论思想专题一、概述1.定义：数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.关键：明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。
二、例题分析1.分式方程无解的分类讨论问题例1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x解：去分母，得：2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题例2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且02≠m综（1）（2）得， 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m 41-≥m视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
3.三角形的形状不定需要分类讨论例3: 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·， 得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。
由 ∠B ＝25°。
可知∠BAD ＝65°。
所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。
如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。
中考数学分类讨论专题复习导学案
m 第二轮复习二分类讨论ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．ⅱ、典型例题剖析解：由已知od＝2ob＝4oa＝4，得a（0，－1），b（－2，0），d（－4，0）．设一次函数解析式为y＝kx＋b．点a，b在一次函数图象上，∴即则一次函数解析式是设反比例函数解析式为．故反比例函数解析式是：．【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点o1的坐标为（－4 ，0），以点o1为圆心，8为半径的圆与x轴交于a、b两点，过点a作直线l与x轴负方向相交成60°角。
以点o2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点d.（1）求直线l的解析式；（2）将⊙o2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙o2第一次与⊙o2相切时，直线l也恰好与⊙o2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将⊙o2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点e，eg为⊙o2的直径，过点a作⊙o2的切线，切⊙o2于另一点f，连结a o2、fg，那么fg•a o2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
解（1）直线l经过点a（－12，0），与y轴交于点（0，），设解析式为y＝kx＋b，则b＝，k＝，所以直线l的解析式为 .（2）可求得⊙o2第一次与⊙o1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。
在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－＝30－，所以直线l平移的速度为每秒（6－）个单位。
专题10 分类讨论法解决含参函数单调性问题(解析版)
专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程3．口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓．因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负．首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中．题型一可求根或因式分解1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )4．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x ．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，1)②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x (1，＋∞)时，f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )(1，＋∞)综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )(1，＋∞)5．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )6．已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析：易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x f ′(x )＞0，所以f (x )综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解析：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．8．已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解析：(1)g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )(1，＋∞)若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )减，在(1，＋∞)上单调递增．10．函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1，当a ≠0时，求f (x )的单调区间与极值．解析：因为f ′(x )＝－2ax 2＋2(a 2－1)x ＋2a (x 2＋1)2＝－2a(x 2＋1)2·(x －a (1)a >0时x (－∞，－a －1)(－a －1，a )(a ，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.(2)当a <0时，x (－∞，a )(a ，－a －1)(－a －1，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.综上，当a >0时，f (x )的递增区间是(－a －1，a )，递减区间是(－∞，－a －1)，(a ，＋∞)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.当a <0时，f (x )的递增区间是(－∞，a )，(－a －1，＋∞)，递减区间是(a ，－a －1)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.11．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝x (x －(a 2－2a ))(x ＋1)(x ＋a )2.①当a 2－2a <0时，即1<a <2，又a 2－2a ＝(a －1)2－1>－1.②当a ＝2时，f ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋2)2≥0，f (x )在(－1，＋∞)上递增．③当a 2－2a >0时，即a >2时，x (－1,0)(0，a 2－2a )(a 2－2a ，＋∞)f ′(x )＋－＋综上，当1<a <2时，f (x )的递增区间是(－1，a 2－2a )，(0，＋∞)，递减区间是(a 2－2a,0)；当a >2时，f (x )的递增区间是(－1,0)，(a 2－2a ，＋∞)，递减区间是(0，a 2－2a )；当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上递增．12．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝当x ∞，f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.故f (x )∞，13．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析：f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x 1f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x －a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)－a ＋22，＋14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ·(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R)的单调性．解析：(1)g ′(x )＝(e x )′·(cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (cos x －sin x ＋2x －2)′＝e x (cos x －sin x ＋2x －2－sin x －cos x ＋2)＝2e x (x －sin x )．记p (x )＝x －sin x ，则p ′(x )＝1－cos x ．因为cos x ∈[－1，1]，所以p ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数p (x )在R 上单调递增．而p (0)＝0－sin 0＝0，所以当x <0时，p (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >0时，p (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h (x )＝g (x )－af (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )，所以h ′(x )＝2e x (x －sin x )－a (2x －2sin x )＝2(x －sin x )(e x －a )．由(1)知，当x >0时，p (x )＝x －sin x >0；当x <0时，p (x )＝x －sin x <0．当a ≤0时，e x －a >0，所以x >0时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x <0时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．当a >0时，令h ′(x )＝2(x －sin x )(e x －a )＝0，解得x 1＝ln a ，x 2＝0．①若0<a <1，则ln a <0，所以x ∈(－∞，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(ln a ，0)时，e x －a >0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(0，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．②若a ＝1，则ln a ＝0，所以x ∈R 时，h ′(x )≥0，函数h (x )在R 上单调递增．③若a >1，则ln a >0，所以x ∈(－∞，0)时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(0，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a <1时，函数h (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减；当a ＝1时，函数h (x )在R 上单调递增；当a >1时，函数h (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．题型二导函数不可因式分解1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析：由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞2．已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )－k 3，∞k3，＋3．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．解析：由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增；②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a，－1综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a ，－14．已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.所以f (x )综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )5．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解析：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1.(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a －14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )－23，－a 的取值范围．解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.①当Δ≤0⇒－3≤a ≤3，f ′(x )≥0，且在R 的任给一子区间上，f ′(x )不恒为0，所以f (x )在R 上递增；②当Δ>0⇒a <－3或a > 3.由f ′(x )＝0⇒x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33.x(－∞，x 1)(x 1，x 2)(x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋所以f (x )的单调递增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)；单调递减区间是(x 1，x 2)．(2)因为f (x )－23，－－23，－(x 1，x 2)．所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≤0－23，－所以2a ≥－3x －1x在－23，－a ≥2.7．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0，讨论f (x )的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.由f ′(x )>0，得0<x <x 1或x >x 2.由f ′(x )<0，得x 1<x <x 2.所以f (x )在。
分类讨论专题
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
①当 a 1 时，在区间[1，2]上， f ( x) x 3 ax2 ， 因为 f ' ( x) 3x 2ax 3x( x
2
2 a) 0 ， x (1,2) ， 3
王新敞
奎屯 新疆
则 f ( x) 是区间[1，2]上的增函数，所以 m f (1) 1 a
2
（Ⅰ）当 a=2 时，求使 f（x）＝x 成立的 x 的集合； （Ⅱ）求函数 y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 解： （Ⅰ）由题意， f ( x) x | x 2 |
2
当 x 2 时，由 f ( x) x 2 (2 x) x ，解得 x 0 或 x 1 ； 当 x 2 时，由 f ( x) x 2 ( x 2) x ，解得 x 1 2 综上，所求解集为 {0,1,1 2} (Ⅱ)设此最小值为 m
即等价于 {sin x,cos x}min ，故选择答案 C。
【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和 估算能力。 问题 2 由公式、定理的应用条件引起的分类讨论 例 2 设等比数列｛an｝的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0（n=1，2，3„） ． （1）求 q 的取值范围； （2）设 bn=an+2－
1-q>0， 1-q<0， 则有 n ①或 ② n 1-q <0. 1-q >0，
由②得 q＞1，由①得－1＜q＜1． 故 q 的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞） ． （2）由 bn=an+2－ ∴Tn=（q2－
3 3 an+1=an（q2－ q） ， 2 2
专题七讲分类讨论思想、转化与化归思想课件理
物理中的应用实例
分类讨论思想
在物理学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。例如，在研究物体的运动时， 可以根据物体的运动状态（静止、匀速直线运动、变速运动）进行分类讨论；在 研究电路时，可以根据电路的连接方式（串联、并联）进行分类讨论。
转化与化归思想
在物理学中，转化与化归思想的应用也很多。例如，在研究能量守恒定律时，可 以将复杂的能量转化过程转化为简单的能量计算；在研究力学问题时，可以将复 杂的受力分析转化为简单的力矩平衡问题。
在分类讨论中，需要明确分类的标准 和原则，将问题划分为具有相同性质 的子问题，然后逐一分析、解决。
分类讨论思想的重要性
分类讨论思想能够使问题更加清 晰、具体，有助于深入理解问题
的本质。
通过分类讨论，可以将复杂问题 分解为简单问题，降低问题的难
度，提高解决问题的效率。
分类讨论有助于发现新的解题思 路和方法，促进数学思维的发展
在物理、化学等学科中，转化与化归思想同样适用，如将复杂物理现象转化为数学 模型，化学反应方程式的配平等。
在生活中，转化与化归思想也有很多应用，如将复杂问题分解为多个简单问题，将 繁琐事务整理为有序的工作流程等。
如何培养转化与化归思想
培养转化与化归思想需要多做练习， 通过不断尝试和总结，提高自己的思 维能力和解决问题的能力。
04 分类讨论思想与转化与化 归思想的综合应用
综合应用的步骤和方法
明确问题
首先需要明确问题的类型和涉 及的知识点，确定是否需要采 用分类讨论或转化与化归思想
。
制定策略
根据问题的特点，制定合适的 分类标准或转化途径，将复杂 问题分解为若干个简单问题或 等价问题。
实施解决
对分类后的子问题进行逐一解 决，或对转化后的等价问题进 行求解，注意保持逻辑严密和 推理准确。
分类讨论专题(人教版)(含答案)
分类讨论专题（人教版）试卷简介:明确分类讨论的四种类型：定义法则、关键词不明确、位置不确定、对应关系不确定，做题过程中需注意画出符合题意的图形，并能够根据标准取舍。
一、单选题(共10道，每道10分)1.若是完全平方式,则m的值为( )A.5或7B.-5或-7C.7或-5D.5或-7答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式2.若是完全平方式,则m的值为( )A.1或3B.-3或-5C.1或-3D.3或-5答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：m=1或-3故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式3.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1,x+1,5,则x的值为( )A.1B.2C.4D.1或2或4答案：B解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形（2）解题过程：①当3x-1=x+1时，解得x=1，则等腰三角形的三边为：2，2，5，因为2+2=4<5，不能构成三角形，故舍去；②当3x-1=5时，解得x=2，则等腰三角形的三边为：5，3，5，能构成三角形，符合题意③当x+1=5时，解得x=4，则等腰三角形的三边为：11，5，5，因为5+5=10<11，不能构成三角形，故舍去；综上可得：x=2故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为40°,则△ABC的顶角为( )A.20°或160°B.30°或150°C.40°或140°D.50°或130°答案：D解题思路：（1）如图1：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°；即∠BAC=50°；（2）如图2：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°，∴∠BAC=130°；综上，△ABC的顶角为50°或130°．故选D试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质5.已知C,D两点在线段AB的中垂线上,且∠ACB=50°,∠ADB=80°,则∠CAD的度数为( )A.15°或115°B.15°或125°C.30°或115°D.30°或125°答案：A解题思路：（1）如图1，当C，D两点在线段AB的同侧时，∵C，D两点在线段AB的垂直平分线上∴CA=CB，△CAB是等腰三角形∵CE⊥AB∴CE是∠ACB的角平分线∴∠ACE=∠BCE而∠ACB=50°∴∠ACE=25°同理可得：∠ADE=40°∵∠ADE=∠ACE+∠CAD∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°（2）如图2，当C，D两点在线段AB的两侧同（1）可得：∠ACE=25°，∠ADE=40°∴∠CAD=180°-∠ADE-∠ACE=180°-40°-25°=115°综上，∠CAD的度数为15°或115°故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论6.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点, 且AD=AC,BE=BC,则∠DCE的度数为( )A.20°或70°B.20°或60°或110°C.20°或70°或110°D.60°或70°或110°答案：C解题思路：（1）如图1，当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠BEC=∠ADC+∠DCE∴∠DCE=∠BEC-∠ADC∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（2）如图2，当点D ,E在点A的同侧，且点D在点D′的位置，E在E′的位置时∵BE′=BC∠ABC=∠BCE′+∠BE′C∴∠BE′C=∠ABC÷2∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵∠AD′C=∠D′CE′+∠BE′C∴∠D′CE′=∠AD′C -∠BE′C∴∠D′CE′=（180°-∠BAC）÷2-∠ABC÷2=（180°-∠BAC -∠ABC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（3）如图3，当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时∵BE′=BC∴∠BE′C=（180°-∠CBE′）÷2=∠ABC÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠DCE′=180°-（∠BE′C+∠ADC）∴∠DCE′=180°-（∠ABC+∠BAC）÷2=180°-（180°-∠ACB）÷2=110°（4）如图4，当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∴∠D′CE=180°-（∠BEC+∠AD′C）=180°-（180°-∠ABC）÷2-（180°-∠BAC）÷2=(∠BAC+∠ABC)÷2=（180°-∠ACB）÷2=（180°-40°）÷2=70°故∠DCE的度数为20°或70°或110°故选C试题难度：三颗星知识点：分类讨论7.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15cm和27cm的两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6cmB.22cmC.6cm或22cmD.10cm或18cm答案：A解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形的性质（2）解题过程：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线．①若AB+AD=15，BC+CD=27，则可得3AD=15，∴AD=CD=5，∴AB=AC=10，BC=27-5=22，此时三角形的三边长为10,10,22，不能构成三角形，不成立．②若AB+AD=27，BC+CD=15，则可得3AD=27，∴AD=CD=9，∴AB=AC=18，BC=15-9=6．此时三角形的三边长为18,18,6，能构成三角形，成立．即底边长为6cm．故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论8.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动.同时,点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动.一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时,点P运动的时间为( )A. B.C.1D.1或答案：C解题思路：∵AB=AC，∴∠B=∠C，设点P，Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，∴BD=×10=5cm，PC=（8-3t）cm，①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC，BP=CQ，∴5=8-3t且3t=3t，解得t=1，②当△BDP≌△CQP时，∴BD=CQ，BP=PC，∴5=3t且3t=8-3t，解得t=且t=（舍去），综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题9.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个4×4的方格纸中,找出格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的点C共有( )个.A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B为圆心，以AB为半径作圆；作线段AB的垂直平分线；共与格点有8个交点故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形10.在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有( )A.1B.4C.7D.10答案：D解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B，C为圆心，以等边三角形边长为半径作圆；作三边的的垂直平分线；共有满足题意的P点10个.故选D试题难度：三颗星知识点：等腰三角形。
专题一 分类讨论思想
专题一数学思想方法考点一分类讨论思想分类讨论思想常见的五种类型1.二次根式中的分类讨论思想:对于二次根式的化简,往往需要对字母的取值情况进行分类讨论.当a≥0时, =a；当a＜0时，=-a.2.方程中的分类讨论思想:,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论．3.三角形问题中的分类讨论思想:在直角三角形中,如果没有指明哪条边是直角边、斜边,这需要分类讨论；在等腰三角形中,无论边还是顶角与底角不确定或底边与腰不确定的情况下,都需要分类讨论；与三角形的高有关的问题,有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决．4.相似三角形中的分类讨论思想:如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系．5.圆与圆位置关系的分类讨论思想:圆与圆的位置关系常考查两圆相切,此时要考虑分外切和内切这两种情况．【例1】(2012·绵阳中考)已知关于x的方程x²-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根.(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.【例2】1.(2012·黑河中考)若关于x的分式方程无解,则m的值为( )A.-1.5B.1C.-1.5或2D.-0.5或-1.5【例3】(2013·凉山州中考)若实数x，y满足=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_______. 2m x21x3x+-=-《同步训练》1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（ ）A ．500 ，80oB ．650， 650C ．500 ，650 D ．500，800或 650，650 2．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－13．等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）A ．5cm B.3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定4．若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）A ．300B 、600C ．1500D ．300或 15005．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21 D.－6或146．已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.7．已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为__________.8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和 3 cm 两部分，则这个矩形的面积为__________.9．已知⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，半径分别为1cm 和3cm ．则⊙O 1和⊙O 2的圆心距为________. 10 若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()ab b c m m m++-的值是______.11 已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．12 解关于x的方程(2)1-=-．a x b13 已知：如图3－2－8所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线l上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？同步跟踪巩固试题1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（） A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 182．已知11||1,||a aa a-=+则的值为（）..1A C3．若2222122,a b a b ab ab a b+++-=+则值为（）A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或04．若直线4y x b=-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（）...A B C D±±-5．在同一坐标系中，正比例函数-3y x=与反比例函数kyx=的图象的交点的个数是（）A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.12．化简|1|x-.13．抛物线 2y ax c =+与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．14．已知关于 x 的方程22(23)10x k k --++=.⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．15．抛物线222y x bx =+-经过点A (1，0)．⑴ 求b 的值；⑵ 设P 为此抛物线的顶点，B （a ，0）（a ≠1）为抛物线上的一点，Q 是坐标平面内的点．如果以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ 的长．16．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．。
专题14 直角三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt ABC △方法：两线一圆具体图解：①当︒=∠90BAC 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）②当︒=∠90ABC 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。
③当︒=∠90ACB 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。
例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=2x ，则2x =28；②最长边不是8时，82+62=2x ，则2x =100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在ABC 中，9040BAC C ∠=︒∠=︒，，AH 、BD 分别是ABC 的高和角平分线，点E 为BC 边上一点，当BDE 为直角三角形时，则CDE ∠=︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∵BD 平分ABC ∠∴1DBC ABC ∠=∠=∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒②当90BDE ∠=︒时，如图2，∴902565BED ∠=︒-︒=︒，∵BED ∠=∠综上，CDE ∠的度数为50︒或25︒．故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，题的关键．A．1个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：其中的一条腰．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）外部作等腰直角ABC，或(37)，【答案】(74)∵BAC AOB AEC ∠=∠=∠∵AB AC =，∴AOB △≌△同法可得，当AB BC ='，当AB 是等腰直角三角形的斜边时，综上所述，满足条件的点．【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED ∠'=︒时，先求出时，作AH BC ⊥，证明出ADH 【详解】解：当90B ED ∠'=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，BE ∴=由折叠得BD B D ='，AB AB '=在Rt B DE ' 中，224)8(x -+=当90B DE ∠'=︒时，如图，作AH 90B DE ∠'=︒ ，ADB ADB ∴∠=∠6DH AH ∴==，BD BH DH ∴=-【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，5(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接．．写出AD 的长．【答案】(1)BDF V 是等边三角形；见解析(2)40A ∠=︒；(3)AD 的长是3或6【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD 的长度．【详解】（1）解：BDF V 是等边三角形，理由如下：∵60B DE BC ∠=︒，∥，∴60ADE B ∠=∠=︒，由折叠可得60FDE ADE ∠=∠=︒，∴60BDF ∠=︒，∴60DFB B BDF ∠=∠=∠=︒，∴BDF V 是等边三角形；（2）解：由折叠可得A DFE ∠=∠，∵60FDE ADE ∠=∠=︒，∴120ADC ∠=︒，∵CF EF =，∴FEC FCE ∠=∠，设FEC FCE x ∠=∠=，则2A DFE FEC FCE x ∠=∠=∠+∠=，在ADC △中，180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，即2120180x x ++︒=︒，解得20x =︒，∴240A x ∠==︒；（3）解：AD 的长是3或6，理由如下：当90BFD ∠=︒时，点F 在ABC 内（如图所示）∵60BDF ∠=︒，∴30DBF ∠=︒，∴2BD DF=由折叠得DF AD =，∴2BD AD =，∴39AD =，∴3AD =；当90DBF ∠=︒时，点F 在ABC 外，同理可得2AD DF BD ==，∴6AD =．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线1l 经过点()5,6，交x 轴于点()30A -,，直线2:3l y x=交直线1l 于点B ．(1)求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)在x 轴上是否存在点C ，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．39=+；()1,3(2)9(3)()1,0 y x②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中C 的位置：设【答案】（1）见解析；（2）①721y x =--；②()4,2Q 或2022,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得D E ∠=∠，ACD EBC ∠=∠，然后根据（2）①：过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，由（1三角形的性质求出C 的坐标，再利用待定系数法求2l 的解析式即可；②可得：(AAS)AMQ QNP ≌，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．∵45BAC ∠=︒，∴ABC ∵14:43l y x =+，令y =令0x =，则4y =，∴∴437OD =+=．∴C 将点(3,0)A -，(4,7C -当90AQP ∠=︒时，由（1）同理可证：∴QN AM =，即86(2m m -=--【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练A．2【答案】D【分析】由条件可求得t<<两种情况，根据当610三角形的性质求解即可得．△【详解】解：在Rt ABC【答案】90︒或34︒【分析】分当90A ∠=︒时，当【详解】解：当90A ∠=︒时，满足【答案】2483-或【分析】由等边三角形的性质可得角三角形的性质可求【答案】125或247或325①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12②当46t <≤时，312BP t =-，①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =②当46t <≤时，312BP t =-，在【答案】3-【分析】分两种情况：即可求得EF；当EF．【答案】103或53【分析】分BMN ∠=【详解】解：由题意得，当90BMN ∠=︒时，【答案】30︒或45︒【分析】分两种情况：当点E在∆外时，由折叠可得：AE在ACB【详解】解：分两种情况：如图，由折叠可得：AE AC =，C ∠= AD 平分CAE ∠，45CAD ∴∠=︒，故答案为30︒或45︒．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角【答案】4，6或73【分析】由题意分AD =BD 【详解】解：如图，当AD ∵Rt △ABC 中，∠C =90°∵AB =BD ，∴CD BD BC =-如图，当AB =AD 时，∵AB =BD ，∠C =90°，∴综上可得CD 的长为4，【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键12．（2023春·江苏·八年级期末）在为线段AB 上的动点，当【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠时，通过三角形内角和求出∠【详解】∵80C ∠=︒，∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBE如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画一共可作出6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．5类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC 边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．24＝5，PB′2，是矩形，2，1，17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，60ABC ∠=︒，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，ABP △形状在发生变化，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当ABP △是直角三角形时，t 的值为______；（2）当ABP △是钝角三角形时，t 满足的条件是__________．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）(1)点M，N运动几秒后，AMN如存在，请求出此时∆？到直角三角形AM N【答案】(1)12秒(2)存在，，AMN ANM ∴∠=∠，∴∠AB BC AC == ，ΔACB ∴AMC ANB Ð=ÐQ ，C ∠=CM BN ∴=，1236t ∴-=2BN t = ，AM t =，AN ∴如图，若90ANM ∠=︒，由2AN AM =，则2(12当点N 在AC 上运动时，点当点N 在BC 上运动时，如图，当点由ABC ∆时等边三角形知如图，当点M 位于BC 中点处时，由ABC ∆时等边三角形知AM 综上，当3t =或245或15或【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．(1)在图2的ABC 中，20C ∠=︒，110ABC ∠=︒．请在图2中画出ABCDBC ∠的度数；(2)已知20C ∠=︒，在图3中画出两种不同于图1、图2的ABC ，所画ABC 同时满足：①∠C 为最小角；②存在关于点B 的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画ABC 中各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质．23．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB=OC ，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若△ABD 的面积为27．（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为y （y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若∴EF=-m+4，∴-m+4=3 2③当∠PFE=90°时，如图∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°∴∠PFR=180°-∠FPE-∠∵点R与点E的纵坐标相同，∴∴PR=FR=-m+4=-107+4=18。
分类讨论专题
2、已知△ABC周长为20cm，AB=AC， 其中一边边长是另一边边长的2倍， BC长多少？
三、分类讨论常见题目：
（三）线段与多边形
3、一个多边形去掉1个角后的内角和 是1440o，原来这个多边形的边数 是多少？
三、分类讨论常见题目：
（四）购物问题 1、富城书店推出售书优惠方案：①一次性购 书不超过100元，不享受优惠；②一次性购 书超过100元，但不超过200元，一律打九折； ③一次性购书超过200元，一律打八折。如 果小明一次性购书 付款162元，那么小明所 购书的价格为多少。
一、什么是分类讨论？
在数学中，如果一个命题的条件 或结论不唯一确定，有多种可能 情况，难以统一解答，就需要按 可能出现的各种情况分门别类的 加以讨论，最后综合归纳出问题 的正确答案，这种解题方法叫做 分类讨论。
二、分类讨论的问题中有三个重 要的注意事项：
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在 题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无 法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代 数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、 不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重 易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合 题意”。
（五）行程问题
A、B两地相距480千米，一列慢车 从A地开出，每小时行60千米；一 列快车从B地开出，每小时行65千 米。慢车先开出1小时，两车相向 而行，慢车开出多少小时后，两车 相距100千米？
三、分类讨论常见题目：
（六）结果是否符合题意。
三人分糖，每人都得整数块，乙比丙 多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍， 已知糖果总数是一个小于50的质数， 且它的各位数字之和为11，试求甲、 乙、丙各分得几块糖？
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课题：分类讨论思想的应用
简略分析：
1、分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的
一种数学思想。
正确地使用分类思想，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁为简，化难为易，
分而治之的目的。
2、针对中考常用的分类原则有同一性原则和层次性原则。
3、分类讨论关键是要弄清楚引起分类的原因（定义、概念、性质等），明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归
纳，从而得出正确答案。
教学过程：
一、与方程概念有关
练习：已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
二、三角形概念有关：（腰和底不确定或顶角和底角不确定）
例1：有同学将三角形这样分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形和等腰三角
形。
这样的分类是否正确？问题出在哪了？
例2：已知在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 度时，△ABC是等腰三角形？
例3、抛物线与x轴交于A(1，0)，B（3，0）两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
求点D的坐标．
例4、半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA ＝60o，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线经过点A、B、C．
A B
O C
－1 1 y
x
M
(1)求点A 、B 的坐标；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D ，使得△BCD 是等腰三角形？若存在，求出符合条
件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
课后练习1、如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AD ⊥DB ，AD=DC=CB ，AB=4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴
L ．（3）若P 是抛物线的对称轴
L 上的点，那么使PDB 为等腰三角形的点
P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）. 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为
x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知
OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，
使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求
该抛物线。