2016届广东省汕头市金山中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
【数学】广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试试卷(文)
广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试数学试卷一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．已知集合P =(−∞，1]∪(4，+∞)，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ． z 2为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 7−S 2=45，则a 5=（ ） A ． 7 B ． 9 C ． 14 D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<6. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x(3−2x)，则f(312)= （ ） A ．−1B ．−12C ．12D ．17.在ΔABC 中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB - D ． 1566AC AB + 8. 已知tan (α+π4)=−2，则sin 2α=（ ）A. 310B. 35C. −65D. −1259. 函数f (x )=A sin (ωx +φ)，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f (x )的图象关于直线x =2π3对称B.f (x )的图象关于点(−5π12,0) 对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f (x )的图象 D.若方程f (x )=m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3] 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．4πB ．9πC ．41π4D ．12π11. 设数列{}n a 满足12a =，且a n+1=a n +2(n +1)，若[]x 表示不超过x 的最大整数， （例如[][]1.61, 1.62=-=-）则[22a 1]+[32a 2]+⋯+[20192a2018]＝（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．201712. 已知函数f (x )={2x +1，x <0|12x 2−2x +1|，x ≥0方程[f (x )]2−af (x )+b =0有5个不同的实根，则ba 取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．[0，23) C ．(0，1) D ．[0，1)二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知曲线 y =ax 3+x 2−a 在(1,1)处的切线过点(2,6)，那么实数a = _______． 14. 设向量a =(√3,1)，b ⃑ =(x,−3)，且a ⊥b ⃑ ，则向量a −b⃑ 在向量b ⃑ 方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =900,AB =2,BC =CC 1=1， 则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC =DB =14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S n ，则（1）S 3=_________；（2）如果对∀n ∈N ∗,S n <2019恒成立，那么线段AB 的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34 .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D,E分别是AC,CC1的中点.（1）求证：AE⊥平面A1BD;（2）求三棱锥B1−ABE的体积.19.（本小题满分12分）汕头市有一块如图所示的海岸，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边OA，OB上分别取点E，F，用长度为1km的围网依托岸边围成三角形EOF（EF为围网）.方案2：在∠AOB的平分线上取一点P，再从岸边OA，OB上分别取点M，N，使得∠MPO=∠NPO=θ，用长度为1km的围网依托岸边围成四边形PMON（PM，PN为围网）.记三角形EOF的面积为S1，四边形PMON的面积为S2. 请分别计算S1，S2的最大值，并比较哪个方案好.20.（本小题满分12分）设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M:x2+y2+2x−15=0的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=x cos x−2sin x+1，g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：f(x)的导函数f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,π]，使得g(x1)≤f(x2)，求实数a的取值范围.注：复合函数y=e ax的导函数y′=a∙e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
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汕头市金山中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三文科数学试题卷I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第I 卷（选择题共50分）选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题冃要求的）已知人={刎兀+1〉0},3 = {-2,-1,0,1},贝 lJ （QA ）nB=（） A. {—2,—1} B. {—2} C. {—1,0,1} D. {0,1} 设 xwR,那么 “xvO” 是“ XH 3 ”的（）A ・充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件设数列{%}的前n 项和= n 2,则禺的值为（）A. 15B. 16C. 49D. 64设加,〃是两条不同的肓线，是两个不同的平而，下列命题屮正确的是（）A.若Q 丄0, mua, nu 卩,则加丄nB.若all 卩，m ua, n up,则血//〃C.若 m I n, m u a, n u 0,则&丄 0D.若m 丄 a, mlln, nil 0,则Q 丄 0 下列命题中正确的是（） 1兀2 + 3A. y = x + —的最小值是2B. y=.的最小值是2C. y = 2 —3x —(x > 0)的般大值是 2 —4^/^D. y = 2-3x--(x> 0)的最小值是2-4^3 X 经过圆x 2+2x+y 2= 0的圆心C,且与肓线x+y = 0垂肓的宜线方程是() x + y + l = 0 B. x+ y-\ =0 C. x-y + l=OD. x- y- \ = 03 7 1 已知a =(2)-o ・2,b = i ・3°7,c = fp,则讪c 的大小为()2 3c<a<b B. c<b<a C. a<b<c D. a<c<bA2. 3. 4. 5. 6.. 7.& 设函f国=£1；&汹贝"满足fM - 2的兀的取值范围是（）9.奇函数/(兀)在(0, +oo)上为减函数，且/(3) = 0 ,则不等式"门一门―Q>0的解集3x为()A. (―co, —3)u(3,+co)B. (―3,0)kJ(0,3)C. (—3,3)D. (3, +oo )10.设函数f\x) = ^e x^x-a (aeR , e为白然对数的底数).若存在&e[0,l]使/(/(/?)) = b成立，则a的取值范围是()A. [l,w]B. [1,1 + e]C. [e, 1 + e]D. [0,1]第II卷(非选择题共100分)二、填空题：(木人题共4小题，每小题5分，共20分.)11.函数y二-—1——的定义域为_____________log2(x-2)12 .若命题“ 3XG/?,X2+(6Z-1)X +1<0”是真命题，则实数。
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2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{4，5}2．（5分）设（x，y∈R，i为虚数单位），则模|x﹣yi|=（）A．1 B．C．D．3．（5分）若实数x，y满足，则使得z=y﹣2x取得最大值的最优解为（）A．（3，0） B．（3，3） C．（4，3） D．（6，3）4．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且，则a n=（）A．B．C．D．5．（5分）去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n是（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．508．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是减函数D．函数f（x）的图象关于直线对称9．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表气温（°C）2016124用电量14284462（度）由表中数据得回归直线方程y=x+中=﹣3，预测当气温为2℃时，用电量的度数是（）A．70 B．68 C．64 D．6210．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”B．“x=2”是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件C．若“ｐ∧q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π12．（5分）已知函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则m=．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于．15．（5分）已知θ为第二象限角，且，则sinθ+cosθ＝．16．（5分）已知函数f（x）=，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f （ln2）]，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=1，a4=﹣5，数列{b n}满足b1=1，b4=21，且{a n+b n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知如图正四面体SABC的侧面积为，O为底面正三角形ABC 的中心．（1）求证：SA⊥BC；（2）求点O到侧面SABC的距离．20．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为n（n∈N），则当天的利润y（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率．（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？21．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立+4=0，直线l的方程为x 极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ﹣y﹣1=0．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+m|，m∈R．（1）当m=﹣4时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{4，5}【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）设（x，y∈R，i为虚数单位），则模|x﹣yi|=（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴x=y=，则|x﹣yi|=||=．故选：D．3．（5分）若实数x，y满足，则使得z=y﹣2x取得最大值的最优解为（）A．（3，0） B．（3，3） C．（4，3） D．（6，3）【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由，解得，即A（4，3），即z=y﹣2x取得最大值的最优解为（4，3）．故选：C．4．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：由，取n=1，得，即．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即（n≥2）．∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，则．故选：D．5．（5分）去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，每位同学选择每一条线路的可能性相同，∴这两位同学选择同一条路线的概率为p==．故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得：a=1，A=1，S=0，n=1，S=2；不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=2，n=2，S=，不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=4，n=3，S=，不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=8，n=4，S=，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：B．7．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．50【解答】解：f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=f（2）=f（﹣1）=f（1）=2．故选：B．8．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是减函数D．函数f（x）的图象关于直线对称【解答】解：函数，f（x）的最小正周期为T==π，故A正确；当x=时，y=cos（2×﹣）=0，∴f（x）的图象关于点对称，B正确；x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，f（x）=cos（2x﹣）不是减函数，C错误；当x=时，y=cos（2×﹣）=为最大值，∴f（x）的图象关于x=对称，D正确．故选：C．9．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表气温（°C）2016124用电量14284462（度）由表中数据得回归直线方程y=x+中=﹣3，预测当气温为2℃时，用电量的度数是（）A．70 B．68 C．64 D．62【解答】解：由表格数据得=×（20+16+12+4）=13，=×（14+28+44+62）=37；又回归直线方程y=x+中=﹣3，且过样本中心点（，），所以37=﹣3×13+，解得=76，所以y=﹣3x+76；当x=2时，y=﹣3×2+76=7，即预测当气温为2℃时，用电量的度数是70（度）．故选：A．10．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件B．“x=2”C．若“ｐ∧q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”【解答】解：命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”，故A正确；是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件，故B “ｘ2﹣x﹣2=0”?“x=2，或x=﹣1”，故“x=2”正确；若“ｐ∧q”为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假命题，故C错误；命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”，故D 正确；故选：C．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π【解答】解：设棱柱的高为h，则，∴h=4．∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴BC=如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，由题意，AP=?=1，OP=2，∴OA==，所以球的表面积为：4πＲ2=20π．故选：B．12．（5分）已知函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则转化为函数f1（x）=2x﹣（x＜0）与g′（x）=log2（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，f1（x）=2x﹣（x＜0）只需将y=2x的图象向下平移，g1（x）=log2（x+a）需要将y=log2x的图象向左或右平移|a|，分析可得，a＜，故a的取值范围是（﹣∞，），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则m=﹣．【解答】解：∵向量，，且，∴，解得m=﹣．故答案为：．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于9π．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆锥，其底面面积S==，高h==4，故几何体的体积V==9π；故答案为：9π15．（5分）已知θ为第二象限角，且，则sinθ+cosθ＝．【解答】解：∵，∴=3，∴tanθ＝﹣2，∵θ为第二象限角，∴sinθ＝，cosθ＝﹣，∴sinθ+cosθ＝，故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f（ln2）]，则的最小值为3+2．【解答】解：函数f（x）=，m+n=f[f（ln2）]=f（e ln2﹣1）=f（2﹣1）=log33=1，则=（m+n）（）=3++≥3+2=3+2，当且仅当n=m时，取得最小值3+2．故答案为：3+2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=1，a4=﹣5，数列{b n}满足b1=1，b4=21，且{a n+b n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{a n+b n}的公比为q，∴，∴a n=a1+（n﹣1）d，=1+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+3．∵a1+b1=2，a4+b4=16，∴，∴q=2，∴，∴．（2）S n=b1+b2+b3+…+b n=（21﹣1）+（22+1）+（23+3）+…+（2n+2n﹣3）=（21+22+23+…+2n）+（﹣1+1+3+…+2n﹣3）==2n+1+n2﹣2n﹣218．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）根据正弦定理得：，∴，∴，∵C∈（0，π），∴sinC＞0，∴，即，∵B∈（0，π），∴，（2）∵，∴ac=8，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴12=a2+c2﹣8，即a2+c2=20，∴，∴△ABC的周长为：．19．（12分）已知如图正四面体SABC的侧面积为，O为底面正三角形ABC 的中心．（1）求证：SA⊥BC；（2）求点O到侧面SABC的距离．【解答】（1）证明：取BC的中点D，连结AD，SD，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵△SBC是等边三角形，D是BC的中点，∴SD⊥BC，∵AD∩SD=D，AD，SD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，∵SA?平面SAD，∴SA⊥BC；（2）解：由（1）可知BC⊥平面SAD，∵BC?平面SBC，∴平面SAD⊥平面SBC，∵平面SAD∩平面SBC=SD，过点O作OE⊥SD，则OE⊥平面SBC，∴OE就是点O到侧面SBC的距离．由题意可知点O在AD上，设正四面体SABC的棱长为a，∴，∵正四面体SABC的侧面积为，∴，得a=8．在等边三角形ABC中，D是BC的中点，∴．同理可得．∵O为底面正三角形ABC的中心，∴，，∴在Rt△SAO中，，由，得：，∴，即点O到侧面SBC的距离为．20．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为n（n∈N），则当天的利润y（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率．（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？【解答】解：（1）当n≥17时，Y=17×（100﹣50）=850，当n≤16时，Y=100n﹣17×50=100n﹣850，∴当天的利润y=．n∈N．（2）①由（1）得当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式为：②设“当天利润不低于600”为事件A，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”∴所以当天的利润不低于600元的概率为：（3）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：；若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：，∵，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．21．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）∵==当0＜a＜1时，令f'（x）＜0得a＜x＜1；令f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，所以函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）；当a=1时，恒成立，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，令f'（x）＜0得1＜x＜a；令f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，+∞），单调减区间为（1，a）．（2）由（1）可知，当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1），所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，当a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又注意到，f（4）=ln4＞0所以函数f（x）有唯一零点；当a＞1时，函数f（x）的单调递增是（0，1）和（a，+∞）上，单调递减是（1，a）上，所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，综上，函数f（x）有唯一零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立+4=0，直线l的方程为x 极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ﹣y﹣1=0．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．+4=0及【解答】解：（1）由ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ得：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，即（x﹣1）2+（y ﹣2）2=1，所以曲线C的参数方程为：；（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：==所以当时，点，此时，即，k∈z．所以，所以点P坐标为，点P到直线l的距离最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+m|，m∈R．（1）当m=﹣4时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣4时，f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣4|，x＜1时，不等式可化为1﹣x+2x﹣4＜0，∴x＜3，∴x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为x﹣1+2x﹣4＜0，∴x＜，∴1≤x＜，x＞2时，不等式可化为x﹣1+4﹣2x＜0，∴x＞3，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x＜或x＞3}；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x﹣1＜|2x+m|，∴m＞﹣x﹣1或m＜1﹣3x，∴m≥﹣2．第21页（共21页）。
2015-2016年广东省汕头市金山中学高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．2．（5分）设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1C．2e D．e+23．（5分）已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+47．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．408．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）9．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个10．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为．14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为．16．（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．19．（14分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调递减区间：（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）21．（14分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为：．故选：B．2．（5分）设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1C．2e D．e+2【解答】解：f′（x）=e x+xe x，f′（1）=e+e=2e．故选：C．3．（5分）已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p：x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2；条件q：|x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心O（3，4），半径r==5，点（3，5）和（3，4）两点间的距离d==1＜5，∴点（3，5）在圆内，∴最长弦AC为圆的直径．设AC与BD的交点为M（3，5），∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，垂足为M，所以OM=d=1，∴BD=2BM=2=4，∵S=S△ABD+S△BDC=×BD×MA+×BD×MC四边形ABCD=×BD×（MA+MC）=×BD×AC=×4×10=20．∴S四边形ABCD故选：B．8．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）【解答】解：∵a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a．由题意可得当x≥1时，f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2．而3x2在[1，+∞）上的最小值等于3，故有a≤3．故选：A．9．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．10．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选：C．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，∴AH垂直平面CB1D1，∴②正确；∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，A1H==，∴sin∠A1AH=，∴③错误，根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴④正确；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c，又∵f（x）在x=x1时取得极大值且x1∈（0，1），在x=x2时取得极小值且x2∈（1，2），∴x1、x2是方程3x2+2bx+c=0的两个根，∴；作平面区域如下，（b+）2+（c﹣3）2的几何意义是阴影内的点与点B（﹣，3）的距离，点B到直线3+2b+c=0的距离的平方为=5，由解得，E（﹣，6）；故|BE|2=（﹣+）2+（6﹣3）2=25；故（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25）；故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为﹣．【解答】解：设曲线y=x2在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=2因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直故两直线的斜率乘积为﹣1，即2×=﹣1所以=﹣故答案为：﹣14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：求导函数：f′（x）=3x2+2x+a，∵函数f（x）既有极大值又有极小值，∴△=4﹣12a＞0，∴a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．（5分）已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为．【解答】解：如图，BF==a，作DD1⊥y轴于点D1，则由=2，得：==，所以，||=||=c，即x D=c，由椭圆的第二定义得||=e（﹣c）=a﹣，又由||=2||，得a=2（a﹣），a2=3c2，解得e==，故答案为：．16．（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．【解答】解：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，则△=4a2﹣16＜0，即a2＜4，解得﹣2＜a＜2；命题q为真命题，则3﹣2a＞1⇒a＜1，根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，，则1≤a＜2；当p假q真时，，则a≤﹣2，∴实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a＜2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，2）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．【解答】解：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，（2分）又sinA＞0，所以，（3分）再由△ABC为锐角三角形得．（5分）（2）由于△ABC的面积为1，可得（6分）又，∴ac=4．（8分）再由余弦定理得a2+c2﹣2accosB=b2 ，（9分）又，，（11分）∴．（12分）18．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4 ①式f′（x）=3ax2+2bx，则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0 ②式由①②式解得a=1，b=3；（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增∴（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．19．（14分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又DC⊥平面ABC，BC⊂平面ACD，∴DC⊥BC，又AC∩DC=D，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD；又四边形CBED为矩形，∴BC∥ED，∴ED⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥C﹣ADE=V三棱锥E﹣ACD=S△ACD•DE=••AC•CD•DE=•AC•BC≤•（AC2+BC2）=•AB2=×42=，当且仅当AC=BC=2时等号成立；∴当AC=BC=2时，三棱锥C﹣ADE的体积最大，为；此时，AD==3，S△ADE=•AD•DE=3，设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥C﹣ADE=S△ADE•h=；∴h=÷（×3）=．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调递减区间：（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx∴f′（x）=2x ﹣．∴f'（1）=1．又∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．（2）因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），由f′（x）=2x ﹣＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（0，）．（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，①当≥e时，即0＜a ≤时，g′（x）=≤0在（0，e]上恒成立，则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=（舍去），②当0＜＜e时，即a ＞时，列表如下：，）由表知，g（x）min=g（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．综上，所求实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．21．（14分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆的离心率为，∴，…（1分）∴，…（2分）∴a2=4，∴椭圆C的方程为．…（3分）（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），设S（x0，y0），∵A为线段MS的中点，∴，…（4分）∴，∴，…（5分）∴△SAB的面积为：．…（7分）（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），则…（8分）由，消得y得x2+4[k（x+2）]2=4，即（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，…（9分）∴，∴，…（10分）将x S代入y=k（x+2），得，即，∴，∴直线BS的方程为：，…（11分）∴，∴…（12分）=，…（13分）当且仅当即k=1时等号成立，∴|MN|的最小值为．…（14分）。
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷 及解析
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±【解答】解：∵，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：B．2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z【解答】解：∵﹣463°=﹣2×360°+257°，∴257°与﹣463°终边相同，由此可得与角﹣463°终边相同的角一定可以写成k×360°+257°，k∈z 的形式，故选：C．3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理==化简已知的比例式得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得cosC===﹣．故选：D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形【解答】解：若，则角C的补角为锐角，角C为钝角，所以是钝角三角形，正确若，则C为直角，故B正确，若，则﹣=0，即（﹣）=﹣（+）（﹣）=0，即=，故△ABC为等腰三角形，故C正确，若，∵=0，对任何三角形都成立，所以D不正确，故选：D．7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴，∵，B∈（0，π），∴cosB=±，当∠B是钝角时，A与B两角的和大于π，∴，∴cosC=﹣cos（A+B）=，故选：A．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对（2）∵F（﹣x）==F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4）∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．【解答】解：∵y=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+a﹣a2，∴该函数的对称轴为：x=a，且当x＜a时函数单调递减，当x＞a时单调递增，∵该函数在区间（2，3）内是单调函数，∴a≤2或3≤a，故答案为：（﹣∞，2]∪[3，+∞）．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．【解答】解：∵0＜α＜，则cos（﹣α）=cosα+sinα＞0，且（cosα+sinα）2=1+sin2α=，∴cosα+sinα=，故答案为：．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=7．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵，在Rt△AEB中，AE=ABsinB=×=，在Rt△AEC中，AC===3，由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD=9+25﹣2×3×5×（﹣）=49，∴AD=7故答案为：7．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f′（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）对于函数，令2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得6kπ﹣≤x≤6kπ+，可得函数的增区间为[6kπ﹣，6kπ+]，k∈Z．（2）∵，∴2sin（α﹣）=﹣，2sinβ=，∴cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=﹣．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）因为，||=1，，∴，∴（3分）又，所以cos2A=．（5分）因为角A为锐角，∴2A=，A=（7分）（2）因为a=，c=，A=，及a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=b2+3﹣3b，即b=﹣1（舍去）或b=4 （10分）故S=（12分）19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b=2x+5，∴，解得：∴f（x）=x2+4x+1；（2）若g（2）=9，则a2=9，解得：a=3，当x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣2，6]，g[f（x）]∈[，729]，若g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，则k≤．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b=，…（2分），由题意可得，函数f（x）的周期，…（3分），再由函数的解析式可得周期，所以ω=1．…（4分）再由函数的最大值为，可得，…（5分），因为b＞0，所以．…（6分）（2）由以及，求得．…（8分），∴…（10分）=…（11分），=．…（12分）．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得：，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴a≠0，函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即（*）…（4分）由f（1）=0得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．将代入（*）得，，∴．…（7分）另解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，∴a≠0，因而函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即…（4分）由此可知a＞0，c＞0，∴．由f（1）=0，得，代入上式得．但前面已推得，∴．由解得．…（7分）（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．…（8分）假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，∴g（m）=﹣5，即，解得m=﹣3或m=．∵＞﹣1，∴m=舍去．…（10分）②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=﹣5，即．解得m=或m=，均应舍去．…（12分）③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，∴g（m+2）=﹣5，即．解得m=或m=，其中m=应舍去．综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（14分）。
广东省汕头金山中学-上学期高三数学期末考试文科
俯视图广东省汕头金山中学2008-2009学年上学期高三期末考试数学(文科)一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知R θ∈，则“3πθ=”是“1cos 2θ=”的（ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D 、既非充分也非必要条件 2、函数y ）A 、RB 、(,2)-∞C 、(],0-∞D 、(],1-∞3、若偶函数()f x 在(,1)-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A 、3()(1)(2)2f f f -<-< B 、3(1)()(2)2f f f -<-< C 、3(2)(1)()2f f f <-<- D 、3(2)()(1)2f f f <-<-4、曲线3y x =在点P 处的切线斜率3k =，则点P 的坐标为（ ）A 、(2,8)--B 、(1,1)--或(1,1)C 、(2,8)D 、11(,)28-- 5、已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A 、4sin(4)6y x π=+ B 、2sin(2)23y x π=++ C 、2sin(4)23y x π=++D 、2sin(4)26y x π=++6、在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A 、122n +- B 、3n C 、2n D 、31n -7、若,x y 满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A 、[]2,6B 、[]2,5C 、[]4,6D 、[]4,5 8、用小立方块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如 图所示，则它需要的小立方块的个数最多是（ ） A 、12 B 、13 C 、14 D 、159、21==,b a c +=，且a c ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ） A 、30︒ B 、60︒ C 、120︒ D 、150︒10、已知函数()21,xf x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）A 、0,0,0a b c <<<B 、0,0,0a b c <≥>C 、22ac -< D 、222a c +<二、填空题（每小题5分，共20分）11、下列四个命题中：①2,2340x R x x ∀∈-+>；②{}1,1,0,210x x ∀∈-+>；③,x N ∃∈使2x x ≤；④,x N ∃∈使x 为29的约数。
汕头市金山中学2016届高三第一学期期末考试(理数)
汕头市金山中学2016届高三第一学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2(1)(1)i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ） A. 5 B.10 C.5 D.253. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅ 4．定义域为R 的函数2009()f x xx a b =++是奇函数的充要条件是（ ）:0A ab = :0B a b +=:0bC a= 22:0D a b += 5．已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是( ) A ．5 B ．8 C.25+ D.171-6. 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212121212121112211111A.C C C C B.C C C C C.C C C C C C D.C C C C m n n m m n n m m n n m m n m n m n +++++++++7．某几何体的三视图如图7-1所示，若这个几何体的体积为24，则h =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58 ．已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ） A ．10≤≤a B ．31≤≤a C ．1≤aD ．3≥a9.设m ，n ∈R ，若直线(m +1)x +(n +1)y －2＝0与圆(x －1)2+(y －1)2＝1相切，则m+n 的取值范围是( ) A．［11 B ．(－∞，11+∞)C．［2-2+］ D ．(－∞，2-2+，+∞)10．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时()22+4f x x x =-，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n --11.已知函数 f (x )=A sin(ωx+φ) (A , ω, φ均为正的常数) 的最小正周期为π, 当x=时, 函数f (x ) 取得最大值,则下列结论正确的是( )A . f (2)< f (-2)< f (0)B . f (0) < f (-2)< f (2)C . f (-2)< f (0)< f (2)D . f (2)< f (0)< f (-2)12．已知函数:2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++,2342015()12342015x x x x g x x =-+-+-- 设函数()(3)(5)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知411e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为 14.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为 .15.已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是 .16、已知函数()23log (1)1132x x kf x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是三．解答题（共6小题，前五题为必答题，每题满分12分，后三题为选做题，每题满分10分） 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. （1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =，b ＝5，求sin sin B C ⋅的值． 18. 数列{}n a 的前n 项和为nS , 已知 nn S a n +=-(*n N ∈) 恒成立.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) ln(1),n n na nb a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求{}n b 的前2n 项和T 2n .19. 在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所PQPB 的值．200y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()0,2-的直线l 与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，若AOB ∠为钝角，求直线l 斜率k 的取值范围；（3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P 作圆O ：222x y +=的两条切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n PDCBA21． 已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ．()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求C ∠BA ．23、选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C:22143x y +=，直线:l 3323x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．24、选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．数学（理科）参考答案DCAD DCBC DBBD ；-12 ；(],1-∞；-2；；17解：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ……2分解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． ……3分 因为0＜A ＜π，所以A ＝3π. ……5分（2）由S ＝12bc sin A＝bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. ……7分 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21， ……9分故由正弦定理得sin B ⋅sin C ＝2sin 5()7A bc a ⋅=. ……12分 18解：（1）由 n n S a n +=-得n=1时， 1111111, 2S a S a a +=-=∴=-…….1分 2n ≥时, 1n n n a S S -=- …….2分1111 (1) ()1n n n n n n n n S a n S a n S a S a ----+=-⇒+=--∴+-+=- 11212(1)1n n n n a a a a --∴=-∴+=+ …….3分1111111100 2212n n a a q a -++=-+=≠∴==≠+ {}1n a ∴+是以12为首项，公比12q =的等比数列 …….4分 1111(1)2n n n a a q -∴+=+=112n n a ∴=- …….6分 (2)ln 2,112n nn n b n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数， …….8分2422111ln 2[13(21)]()22211ln 2[1()]34n n T n n n n=-⋅+++-++++-=-⋅+-- …….12分19．（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . …………1分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . …………………………3分z yxPD CB A（Ⅱ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，D ，(2,22,0)C . ………4分所以(4,22,0)BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. ……………6分 因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC . …………………………………7分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ∴(42,22,44)CQ λλ=---+. ……………8分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(BD =-.因为sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，得3=. 解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. …………12分法2：(II) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ …..4分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥ …..6分因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………7分20.（1）依题椭圆的右焦点为()1,0，上顶点为(，故1c =，b =2a ==，∴ 可求出椭圆标准方程为22143x y +=． ……3分 （2）设直线l 方程为2y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y由222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)1640k x kx +-+=， ∵ 21230k ∆=->，∴ 214k >，又1221643k x x k +=+，122443x x k =+ ∵ AOB ∠为钝角，∴ 0OA OB ⋅<， 即12120x x y y +<， ∴ 1212(2)(2)0x x kx kx +--<，∴21212(1)2()40k x x k x x +-++> ，∴ 222416(1)2404343k k k k k +⋅-⋅+<++，即221216043k k -+<+， ∴ 243k >， 解得233k <-或233k >，∴ 所求直线斜率的取值范围是2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……8分 （3）设点()00,Px y ，则以OP 为直径的圆的方程为()()000x x x y y y -+-=④， ④式与圆O ：222x y +=方程两式相减可得切点弦MN 的方程为002x x y y +=， 令0y =，得02m x =，令0x =得02n y =， ∴ 02x m=，02y n =，又点()00,P x y 在椭圆C 上，∴ 2222143m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22111434m n +=，∴ 221143m n +为定值． ……12分21解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………2分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- …………7分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………12分 22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE ． …4分（Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF ． 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π 7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)． …10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2；3x ， x ≥ 12且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}；…4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x －a 2|＋|x ＋1|＋|x － a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a2| 当且仅当(x ＋1)(x － a 2)≤0且x － a2＝0时，取等号．所以|1＋ a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分ADBFCE。
广东省汕头金山中学高三上学期期末考试——数学文(数
广东省汕头金山中学 2017届高三上学期期末考试数学（文）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．2.已知，与不共线，向量与互相垂直，则实数的值为A. B. C. D.3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．己知命题p ：“a＞b ”是“2a＞2b”的充要条件；q ：，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题 5.已知()()6,2,1m b a -=-=和共线，则圆锥曲线的离心率为 A. B.2 C. D.或26.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为 A ． B ． C ． D ．7 .sin()cos()0,322πππααα++-=-<<则等于( ) A. B. C. D.8．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度第15题图9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y x y y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．无法确定 10．在ABC 中，点D 满足=，当E 点在线段AD 上移动时，若=+，则的最小值是（） A ． B ． C ． D ．11.已知函数的定义域为R ，对于，有，且，则不等式22(log 31)2log 31x xf -<--的解集为 （ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合M={},若对于任意,存在,使得成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={};②M={};③M={};④{(,)2}xM x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则= 14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在，则= ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若互不相等，且，则的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，，且满足. （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）求.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和的中点.（1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积.19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元. （1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件，），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍. （1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆左焦点的直线交于两点,若对满足条件的任意直线,不等式()R PB PA ∈≤⋅λλ恒成立,求的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中），求的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，. (Ⅰ)当时，解不等式；（Ⅱ）若存在实数满足，求的取值范围.参考答案一、选择题：二、填空题：13.1 14. 15. 16. 三、解答题： 17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，，即，┄ ┄┄2分 整理得， ┄┄4分所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，┄┄┄┄┄┄7分 令212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分 21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①②，212222n n n T n +-=+++-⋅，┄┄┄┄┄┄10分整理得. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作交于，连接. ┄┄┄┄1分 ∵点为的中点，∴，又，∴，∴四边形为平行四边形，∴， ┄┄┄┄3分 ∵平面，平面，∴直线平面.┄┄┄┄5分（2）连接，在中，，，，∴2222211132cos 601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，┄┄6分 ∴，∴，∴.┄┄┄┄7分 平面，平面，∴，，平面，平面，∴平面.┄┄┄┄9分11122228PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯⨯=， ∴三棱锥的体积.12分 19.解：（1）当日需求量时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润关于需求量的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间内的概率为.20. 【解析】（1）依题意, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a acba , ……1分解得, ,∴椭圆的标准方程为. …3分 （2）设, ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线垂直于轴时, ,且,此时,21(3,)(3,)PB y y =-=--,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分当直线不垂直于轴时,设直线:,由,得2222(12)4220k x k x k +++-=, ∴, , ……8分∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++ 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++ 2222222224(1)(2)41212k k k k k k k -=+⋅--⋅++++. ……11分要使不等式 ()恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即的最小值为. ……12分21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，()()()'22111x a x a a f x x x x--+=+-=…………………………2分 (1)当时，由得，或，由得，故函数的单调增区间为和,单调减区间为…………4分 (2)当时, ,的单调增区间为…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”。
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高三文科数学期末考试一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合,，则等于A ．B ．C ．D ．[0，5]2. 已知 0.30.3a =， 1.30.3b =，0.31.3c =，则它们的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >> 3. 复数41iz i -=+的共轭复数的虚部为 A ． 52i - B ．52- C ．52i D ．524. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]5. 将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程可以是x = A ．4π-B ．2πC ．6π-D ．3π6. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为123451,1024n S a a a a a =，且243,,a a a 成等差数列，则5S = A ．3316B ．3116C ．23D ．11167. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 8. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥B ．若,,m n αββα⊂⊂⊥，则m n ⊥C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥9. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率AF k =AFM ∆的面积为A ．．． D ．10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．2483π+ B ．88π+ C ．3283π+ D ．32243π+11、函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=， (){|0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()ln(1)2f x x x =-+-与2()8g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是A.179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ⋅= ．14. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“已知甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为16. 已知实数,x y 满足22222x yx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =-> 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos sin (1)22C Aa +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.18. （10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式()0bxy Aeb =<表示，现测得试验数据如下：试求y 对的回归方程。
【全国百强校】广东省汕头市金山中学2016届高三上学期期末考试文数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数13z i =-+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：()()1231-=-2+4z z z i i i ==-+，复数在复平面内所对应的点的坐标为()-2,4，故答案选B. 考点：1、复数的运算；2、复平面内点的坐标.2．集合{}123456U =，，，，，，{}23A =，，{}2650B x Z x x =∈-+<，()A B C U ⋂=（ ） A.{}156，，B.{}1456，，，C.{}234，，D.{}16， 【答案】B考点：1、二次不等式的解法；2、集合的运算.3．在ABC ∆中，,3222bc c b a ++=则A ∠等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得222-,b c a +=根据余弦定理222cos 2b c a A bc +-===150A ∴∠︒.考点：1、余弦定理；2、特殊角的三角函数值.4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．k ＞3？ B ．k ＞4？ C ．k ＞5？ D ．k ＞6？【答案】B考点：程序框图．5．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D.③④【答案】C【解析】试题分析：②不正确，,a c的位置关系有三种，平行、相交或异面；③不正确，,a b的位置关系有三种，平行、相交或异面.考点：空间点线面的位置关系.6．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 【答案】B 【解析】试题分析：在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域，利用线性规划知识可得，在()2,0处min 2Z =，无最大值．考点：线性规划．7．在等比数列{a n }中，3a ，9a 是方程3x 2—11x+9=0的两个根，则765a a a =（ ）A ．33B ．211C ．33±D ．以上皆非 【答案】C考点：1、根与系数关系；2、等比数列的性质.8．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ） A ．2324π-B ．324π-C ．π-24D ．224π-【答案】A 【解析】试题分析：根据该几何体的三视图可知几何体的形状是一个长为4，宽为3，高为2的长方体挖去一个直径为2高为3的圆柱，该几何体的体积为123==242V V V π--，选A. 考点：1、三视图；2、组合体的体积.9、函数()cos lg f x x x =-⋅的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【方法点睛】求解函数图象的问题通常是先根据函数的奇偶性得到图像的对称性，然后再利用特殊点作进一步判断.本题中函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可以排除B 和D ；但是由于没有特殊点，故只能利用极限思想进一步判断，由于当0x →时()0f x >，故选A.在没有特殊点的情况下，极限思想的运用是解决本题的关键所在.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的极限.10．在△ABC -+AB =2, AC ＝1，E, F 为BC 的三等分点，则∙＝（ ） A ．89 B ．109 C ．259 D ．269【答案】B 【解析】-+AB AC ⊥ ，以AB AC，所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则()()()00,20,01A B C ，，，，于是4122,3333E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，4122,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，据此，8210999AE AF ⋅=+= ，故选B ．考点：向量的运算．11．已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是 一个定点,则PQ PN +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5 D1+ 【答案】 A【方法点睛】由题意画出图形，根据N 为抛物线的焦点，可过圆()()22311x y -+-=的圆心M 作抛物线的准线的垂线MH ，交圆于Q 交抛物线于P ，则PQ PN +的最小值等于13MH -=．本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题，利用数形结合是解决本题的关键．考点：1、圆锥曲线的定义、性质与方程；2、圆与圆锥曲线的综合．12．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a <<【答案】A考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数()2x f x e x +-=求导得'()=10xf x e +>，函数单调递增，()()010,110f f e =-<=+>，进一步求得函数()2x f x e x +-=的零点01a <<；同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知2()ln 3g x x x =+-的零点1b >，所以()0()g a f b <<.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如下表所示：若y 与x 的回归直线方程为^332y x =-，则m 的值是 ． 【答案】4 【解析】试题分析：0123342x +++==,118844m m y -++++==，代入方程^332y x =-得4m =. 考点：线性回归方程.14．数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为3，则项数n 的值为_______.【答案】15 【解析】试题分析：n a ===，所以11n S =-+-+= =3，解得15n =.考点：数列求和.15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．【答案】π4考点：1、几何体的外接球；2、基本不等式；3、球的体积和表面积. 【方法点睛】设2BC m =，则有11BB m=，利用直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，从而直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为1R ≥，所以其比表面积的最小值为=4S π.根据直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，设2BC m =，11BB m=，利用均值不等式，确定直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值是关键．16．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(811)(610)0f y x f x y -++-+≤，则当3y ≥时， 函数22(,)F x y x y =+的最小值与最大值的和为 ． 【答案】62 【解析】考点：函数的奇偶性和单调性．【方法点睛】抽象函数不等式问题具有抽象性、综合性、技巧性、隐蔽性等特点，加之解决这类问题时，要求学生基础知识扎实，综合应用数学知识解决问题的能力比较高，一直备受命题者的关注.解决这类问题的关键是如何巧妙地利用函数的性质,把抽象函数不等式中的函数符号f “”全部“脱掉”，转化为具体的不等式(组)来求解，或画出符合题意的一个最简单的、最熟悉的函数()f x 的大致图象，或画模拟图象来求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分） 已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数的图象过点,012π⎛⎫⎪⎝⎭，2cos cos 0121212m πππ-+=，由倍角公式求得12m =；（Ⅱ）利用正弦定理化边为角，求得233B A C ππ=+=，,从而203A π<<，72666A πππ-<-<，进一步求得()f A 的范围.试题解析：（Ⅰ）由()()112cos 21sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭． 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，考点： 1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角恒等变换.18．（本小题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A 图书馆学习的次数和乙 组4名同学寒假假期中去B 图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表 示．（1）如果7x =，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果9x =，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图 书馆学习且学习的次数和大于20的概率．【答案】（1）9x =，272s =；（2）13． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图得乙组同学去图书馆学习的次数，再利用平均数和方差公式即可；（2）用列举法得从学习次数大于8的学生中选2名同学，所有可能的结果有15种，选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的结果有5种，由概率公式计算即可.考点：1、茎叶图；2、平均数、方差公式；3、概率.19．（本小题满分12分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证：PB //平面EFG ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，若存在，求出DQ 的值；若不 存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q ，34=DQ . 【解析】试题分析：（1）根据平行公理可证//EF GH ,,,,H G F E ⇒四点共面，再根据//EH PB 由线面平行的判定定理得证；（2）假设存在，在线段AB 上取AQ DQ a ==‘，2121'a a S S EFQ EFQ =⨯⨯==∆∆，利用等体积法3454231121315431312=⇒⨯⨯=+⋅⨯⇒⋅=⋅⇒=∆∆--a a a S HE S V V EFQ AEF EFQ A AEF Q ，可知存在点Q ，34=DQ .考点：1、空间点线面的位置关系；2、等面积法；3、等体积法.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线2x =与椭圆交于,P Q 两点，P 点位于第一象限，,A B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．（1）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （2）当点,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（I ）22182x y +=；（Ⅱ）（1）4；（2）12，详见解析.（Ⅱ）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的方程为12y x t =+，代入椭圆C 的方程化简可得 222240x tx t ++-=，由2244(24)0t t ∆=-->，求得22t -<<．利用韦达定理可得122x x t +=-，21224x x t =-． 在22182x y +=中，令2x =求得()()2,1,2,1P Q -，∴四边形APBQ 的面积 1212APQ BPQ S S S PQ x x ∆∆=+=⋅⋅-121122x x x =⨯⨯-=-==，故当0t =时，四边形APBQ 的面积S 取得最大值为4．（ii ）当APQ BPQ ∠=∠时，PA 、PB 的斜率之和等于零，设PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -， PA 的方程为1(2)y k x -=-，把它代入椭圆C 的方程化简可得222(14)8(12)4(12)80k x k k x k ++-+--=，所以128(21)214k k x k -+=+．同理可得直线PB 的方程为1(2)y k x -=--，212122216416,1414k k x x x x k k --∴+=-=++， AB k ∴()22212121212121216444(2)1(2)111416214k k k k k x x y y k x k x k k x x x x x x k-⋅--+---++--+=====----+． 考点： 1、椭圆的简单几何性质；2、直线与椭圆的位置关系. 21.（本小题满分12分）设函数R m x m x x f ∈+=,ln )(． （1）当e m =(e 为自然对数的底数)时，求)(x f 的极小值；（2）讨论函数3)()('x x f x g -=零点的个数； （3）若对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，求m 的取值范围． 【答案】(1) 2；(2) 23m >，函数()g x 无零点；当2=3m 或0m ≤时时，函数()g x 有且只有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；(3)1+4⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.又(0)0φ=，结合()y x φ=的图像(如图所示)，可知①当23m >，函数()g x 无零点； ②当2=3m 时，函数()g x 有且只有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点．考点：1、导数的应用；2、利用导数求函数的极值、最值；3、恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义.对字母参数分情况讨论，数形结合找函数的零点比较难．利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格． 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何证明选讲如图，在ABC ∆中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ， AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.考点：1、圆的几何性质；2、相似三角形.23．（本题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，A 点的直角坐标为)sin 21,cos 23(αα++（α为参数）．在以原点O 为极 点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．【答案】（1）22((1)4x y -+-=；（2）)4,0(∈m .【解析】考点：1、极坐标方程；2、参数方程.【方法点睛】（1）先由2cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得故动点A 的普通方程.然后由直线l 的极坐标方程得直线l 的直角坐标方程.由平面几何知识可知要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足|2|12m -<，从而得到关于m 的不等式，解得)4,0(∈m .把直线l 的参数方程化为普通方程，把曲线C 的参数方程化为直角坐标方程能够简化解题过程.24．（本题满分10分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤．（1）求实数,a b 的值；（2）解关于x 的不等式： 0x c ax b->-（c 为常数）． 【答案】（1）2,1==b a ；（2）当2>c 时解集为{}2|<>x c x x 或，当2=c 时解集为{}R x x x ∈≠,2|，当2<c 时解集为{}c x x x <>或2|．【解析】试题分析：（1）由题知b ,1为关于x 的方程的两根，由韦达定理得关于a b 、的方程组，解得2,1==b a ；考点：1、二次不等式与二次方程之间的关系；2、二次不等式的解集.：。
2016-2017年广东省汕头市濠江区金山中学高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{﹣2，0，2}C．{0，2，4}D．{﹣2，2}2．（5分）已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．± D．±3．（5分）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或26．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．7．（5分）已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定10．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3•a11=16，则a5=．14．（5分）均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．15．（5分）在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．16．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+…+S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．19．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得如表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500，650]内的概率．20．（12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|2x+t|，t∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≥5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a﹣3|＜2，求t的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{﹣2，0，2}C．{0，2，4}D．{﹣2，2}【解答】解：∵集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴M∩N={﹣2，0，2}．故选：B．2．（5分）已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．± D．±【解答】解：||=3，||=5，与不共线，向量k+与k﹣互相垂直，可得（k+）（k﹣）=0，得k2||2﹣||2=0，k2=，解得k=．故选：D．3．（5分）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A．4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=e x﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．5．（5分）已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或2【解答】解：根据题意，若共线，则有1×6﹣（﹣2）×（﹣m）=0，解可得m=3，则圆锥曲线的方程为：+y2=1，为焦点在x轴上的椭圆，且a=，b=1；则c==，其离心率e===；故选：A．6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d ＞0）；则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20；由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6；所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣=．故选：A．7．（5分）已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故选：C．8．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得g（x）=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，故选：D．9．（5分）已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定【解答】解：由题意，的可行域如图：z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，最优解应在线段BC上取得，故x+ay=0应与直线BC平行∵k BC=1，∴a=﹣1，故选：B．10．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x 1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，即＞0，故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，由不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|，可得f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜2=f（1）+1，∴log2|3x﹣1|＜1，故﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，求得3x＜3，且x≠0，解得x＜1，且x≠0，故选：D．12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3•a11=16，则a5=1．【解答】解：由题意可得a3•a11=a12×212=16，解得a1=2﹣4=，∴a5=a1×24=×16=1．故答案为：1．14．（5分）均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．【解答】解：x+3y=4xy，x＞0，y＞0，∴=4．则x+y=（x+y）=≥=，当且仅当x=y=时取等号．故答案为：．15．（5分）在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，则：AB=3，BC=3m，则利用余弦定理可得：．∴．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（2，2015）．【解答】解：当0≤x≤1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=．当f（x）=1时，由log2014x=1，解得x=2014．若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0，1＜c＜2014，且，即a+b=1，所以a+b+c=1+c，因为1＜c＜2014，所以2＜1+c＜2015，即2＜a+b+c＜2015，所以a+b+c的取值范围是（2，2015）．故答案为：（2，2015）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+…+S n．【解答】（Ⅰ）证明：由条件可知，，即，整理得，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）由（1）可知，，即，令T n=S1+S2+…+S n①②①﹣②，，整理得．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME．…（1分）∵点F为PD的中点，∴，又，∴，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…（2分）∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，…（3分）∴直线AF∥平面PEC．…（4分）（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，，∠DAE=60°，∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=，∴，∴AE2+ED2=AD2，∴ED⊥AB．…（5分）PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，…（6分）PD∩ED=D，PD⊂平面PEF，ED⊂平面PEF，…（7分）∴AB⊥平面PEF．…（8分），…（9分）∴三棱锥P﹣BEF的体积：V P=V B﹣PEF…（10分）﹣BEF=…（11分）==．…（12分）19．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得如表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500，650]内的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥100时，利润为y=60×10+（n﹣10）×40=40n+200；…（2分）当日需求量n＜10时，利润为y=60n﹣（10﹣n）×70=70n﹣100．…（4分）所以利润y关于需求量n的函数解析式为y=…（6分）（Ⅱ）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元．…（9分）若利润在区间[500，650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9．…（10分）则利润在区间[500，650]内的概率为．…（12分）20．（12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．【解答】解：（1）设椭圆Γ的标准方程为（a＞b＞0），则，解得a2=2，b2=1，∴椭圆Γ的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2．①当直线l垂直x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2且y12=，∴=9﹣=．②当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=k（x+1），联立方程组，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=．∴=++4﹣==﹣＜．∵对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，∴λ≥，即λ的最小值为．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时，f（x）≤x恒成立，…（9分）当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．…（14分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），展开为ρ2=4ρ，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x．（2）x2+y2=2y﹣2x配方为+（y﹣1）2=4，可得圆心C，半径r=2．点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|2x+t|，t∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≥5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a﹣3|＜2，求t的取值范围．【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=|x﹣3|+|2x+1|，由f（x）≥5得|x﹣3|+|2x+1|≥5，当x≥3时，不等式等价为x﹣3+2x+1≥5，即3x≥7，得x≥，此时x≥3，当﹣＜x＜3时，不等式等价为﹣（x﹣3）+2x+1≥5，即x≥1，此时1≤x＜3，当x＜﹣时，不等式等价为3﹣x﹣2x﹣1≥5，解集x≤﹣1，得x≤﹣1，综上此时x≥1，或x≤﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（2）f（a）+|a﹣3|=2|a﹣3|+|2a+t|≥|2a+t﹣（2a﹣6）|=|t+6|，则命题f（a）+|a﹣3|＜2，等价为[f（a）+|a﹣3|]min＜2，即|t+6|＜2，则﹣2＜t+6＜2，即﹣8＜t＜﹣4，即t的取值范围是（﹣8，﹣4）．。
2016-2017年广东省汕头市濠江区金山中学高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=，则a2016=．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B=={x|0＜x＜2}，∴A∩B={X|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：A．命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f （x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故A正确，B．设f（x）=x|x|，则f（x）=，则当x≥0时，函数f（x）为增函数，当x＜0时，函数f（x）为增函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则若a ＞b ，则f （a ）＞f （b ），即a |a |＞b |b |成立，则“a ＞b”是“a |a |＞b |b |”的充要条件，故B 正确，C ．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n”的否定形式是“∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0”，故C 错误，D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故D 正确故选：C ．3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD 的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1， 则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S △PAB +S △PAD +S △PCD +S △PBC =2×1+×+2×2+=3+， 故选：B ．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C．6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，F（x）==，且F（﹣x）==﹣F（x）故函数F（x）是奇函数，故选：A．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵将函数=2sin（﹣）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin[（x﹣）﹣]=﹣2cos，∴由2kπ+π≤≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g（x）的单调减区间是：[4kπ+2π，4kπ+4π]，k∈Z，∴当k=﹣1时，函数y=g（x）的一个单调减区间是：[﹣2π，0]，∴由（﹣，﹣）⊂[﹣2π，0]，可得（﹣，﹣）是函数y=g（x）的一个单调减区间．故选：A．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于 4 ．【解答】解：∵|a +b |==∴9+|b |2+2×3×|b |×（﹣）=13 ∴|b |=4或|b |=﹣1（舍） 故答案为：414．（5分）已知数列{a n }满足a n +1=且a 1=，则a 2016= ．【解答】解：∵a n +1=且a 1=，则a 2=2a 1﹣1=，a 3=2a 2=，a 4=2a 3=，a 5=2a 4﹣1=，…， 可得：a n +4=a n ． ∴a 2016=a 503×4+4=a 4=． 故答案为：．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x 0，y 0），使x 0+ay 0+2≤0成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a=0，则不等式x +ay +2≤0等价为x ≤﹣2，此时不满足条件，若a ＞0，则不等式等价为y ≤﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＜0，此时区域都在直线y=﹣x ﹣的上方，不满足条件．若a ＜0，则不等式等价为y ≥﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＞0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方即可．即0+2a+2≤0，解得a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴代入已知等式得：，整理得：a2+c2﹣b2=ac，∴，∵B∈（0，π），∴；（2）在△ABC中，cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴，设b=7x，c=5x，∵BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，∴=25x2+×49x2﹣2×5x××7x×解得x=1，∴b=7，c=5，=bcsinA=×7×5×=10．∴S△ABC18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X的可能取值为0，1，2，3.，，，．故X的分布列为所以．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在△BCD中，∠BCD=120°，CD=BC，所以∠BDC=∠CBD=30°，又△ABD是等边三角形，所以∠ADB=60°，所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即AD ⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC．在△PCD中，，所以PD⊥PC．又因为AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD…（6分）（2）解法一：如图，取CD的中点H，连接PH．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．过点D作PH的平行线l，则l⊥平面ABCD．由（1）知AD⊥DC，故以D为坐标原点O，以直线DA、DC、l分别作为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．又因为△ABD是等边三角形，所以．所以P（0，1，1），，C（0，2，0），，即．所以，，．设平面PAB的法向量为，则由，得．令，得y=1，z=5．故为平面PAB的一个法向量．因为PH⊥平面ABCD，故为平面ABCD的一个法向量．故．设二面角P﹣AB﹣C为θ，则由图可知，所以…（12分）解法二：，取CD的中点H，连接PH，连接HE并延长，交AB于F，连接PF．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．△BCD中，DE=EB，DH=HC，所以EH∥BC，且．故∠HED=∠CBD=30°，又∠BEF=∠HED，且∠DBA=60°，所以∠DBA+∠BEF=90°，故EF⊥AB．又因为PH⊥平面ABCD，由三垂线定理可得PF⊥AB，所以∠PFH为二面角P﹣AB﹣C的平面角．在Rt△BEF中，，所以．故．所以在Rt△PHF中，，故．∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为…（12分）20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），半径r，（r＞0），∵动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴，消去r得x2=4y，故所求轨迹E的方程为x2=4y；（2）实数t是定值，且t=1，下面说明理由，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），由题知Q（0，1），由，消去y得x2﹣4kx﹣4t=0，∴，轨迹E在A点处的切线方程为l1：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x ﹣，同理，轨迹E在B处的切线方程为l1：y=x﹣，联立l1，l2：的方程解得交点坐标P（，），即P（2k，﹣t），，由||•||sin∠APB=||•||=2S△APB得⊥，即•=0，=（﹣2k，2t），=（x2﹣x1，），∴﹣2k（x2﹣x1）+2t•=0，即2k（x2﹣x1）（t﹣1）=0，则2k（t﹣1）=0，则t=1，故实数t是定值，且t=1．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）=a+=，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）=﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a=﹣，故x0=λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t=，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）=lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）=﹣=，令μ=，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）=0，与（*）式不符；若μ=1，解得λ=，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）=0⇔t=1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ=符合题意．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…（3分）由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），∴直线l的参数的标准方程可写成…（6分）代入圆C得：化简得：，∴，∴t1＜0，t2＜0…（8分）∴…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣4时，，∴函数f（x）在（﹣∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）=f（3）=2．max（Ⅱ），即，令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，∴，即，∴当m＞0时，原不等式为（m﹣1）2≤0，解得m=1，当m＜0时，原不等式为（m﹣1）2≥0，解得m＜0，综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．。
广东省汕头市金山中学2016届高三上学期期末考试文科数学试卷
2015-2016学年度高三上学期文科数学期末考试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、复数，，则复数在复平面内所对应的点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限集合，，， A. B. C. D. 3．在中，则等于（） A．60° B．45° C．120° D．150° 4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（） A．k＞3？ B．k＞4？ C．k＞5？ D．k＞6？ 5．用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A. ①②B. ②③C. ①④D.③④ 6．设满足则（） （A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值 7．在等比数列{an}中，，是方程3x2—11x+9=0的两个根，则=（） A． B． C． D．以上皆非 8．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（） A． B． C． D． 9、函数的部分图象是（） A B、 C、 D、 10．在△ABC中，，AB=2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝（） A、 B、 C、 D、 11．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为 A． B． C． D． 12．设函数. 若实数a, b满足, 则 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共小题，每小题5分，20分．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示： 若y与x的回归直线方程为，则m的值是． ．数列的通项公式是，若前项和为，则项数的值为_______ . 中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为． 16、已知函数，且，则当时，函数的最小值与最大值的和为． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分分）的图象过点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在△中，若，求的取值范围． 18、（本小题满分分）名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组名同学寒假假期中去图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示． （1）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差； （2）如果，从学习次数大于的学生中等可能地选名同学，求选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于的概率． 19、（本小题满分12分）平面平面，为正方形，是直角三角形，且，分别是线段的中点 （1）求证：//平面； （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点． （I）求椭圆的方程； （）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点． （）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （）当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由． 设函数(1)当(为自然对数的底数)时，求的极小值；(2)讨论函数零点的个数；(3)若对任意，恒成立，求的取值范围．22、23、24三题中任选一题作答。
广东省汕头市届高三数学上学期期末教学质量监测试题文【含答案】
汕头市2015-2016学年普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}2,3,4,5 2.已知向量()1,2a =，()23,2a b +=，则b =（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()5,6D ．()2,0 3.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．2155i -- B ．2155i -+ C ．1255i - D ．1255i + 4.从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．235.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6.已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（R x ∈），下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数 C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．132n -⎛⎫⎪⎝⎭B ．12n - C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭8.执行如图1所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A． B ．12π C ．24π D ．48π10.下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ）A ．2log y x =B ．22y x =- C ．21xy =- D ．3y x =-11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,0x x f x g x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()7g f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2-12.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，3z x y m =++的最大值为4，则m 的值为 ．14.已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为 ．15.已知正项等比数列{}n a 的公比2q =，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为 ．16.下列有关命题中，正确命题的序号是 ．（1）命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”． （2）命题“R x ∃∈，210x x +-<”的否定是“R x ∀∈，210x x +->”． （3）命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题． （4）若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，b =1c =，3cos 4B =． （I ）求sin C 的值； （II ）求C ∆AB 的面积． 18.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =． （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图3所示．（I ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率； （II ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离．21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x a x x =-+-． （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5所示，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD//AP ，D A ，C B 相交于点E ，F 为C E 上一点，且2D F CE =E ⋅E ．（I ）求证：C F E ⋅EB =E ⋅EP ；（II ）若C :3:2E BE =，D 3E =，F 2E =，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程是122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （I ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．（其中0ρ≥，02θπ≤<） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式211x x a ---≤． （I ）当3a =时，求不等式的解集； （II ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．汕头市2015-2016学年普通高中毕业班质量监测数学（文科）参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．提示： 11.()()()712-7-7log 3f f +==-=-，()()()()()3127333log 2gf g f f +⎡-⎤=-=-=-=-=-⎣⎦故选D. 12.()2f x x =在[10]-，单调递减，如图所示，易得1a >， 依题意得log 31log 51a a<⎧⎨>⎩，∴35a <<，故选C..二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13. -4 14. 31yx =+ 15. 3216. ⑷三、解答题：本大题共6小题，满分70解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由3cos 4B =且0B π<<，得sin B =，……3分 又由正弦定理：sin sin c bC B =得：sin 8C =．……6分 （Ⅱ）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅得：232124a a =+-⋅， 即23102a a --=，解得2a =或1-2a =（舍去），………………4分 所以，11sin 122244ABCSa c B =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=……………………6分 18．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a = ①……………1分又由46a a +=26得12+826a d = ②……………………2分由①②解得1=13a d =， 32n a n ∴=-……………………3分 324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又 即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b = 12n n b -∴=……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1322n n na b n -=-……………………1分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-……………………2分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-……………………3分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+……………………6分19．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解: （Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=…………………………4分 所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ………………………6分 （Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………1分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………4分 其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种………5分所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………6分 20．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分） 解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,115MA MA MC MC ∴=====……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥， ……4分又11AC AC E =从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分（Ⅱ）过点Ａ作1AH AC ⊥于点H ， 由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC 平面111AAC C AC =，而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离． ……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，116AA AC AC ==，1134AA AC AH AC ⋅∴===即点A 到平面1A MC……6分 21．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）由题知()()()2'2110a a x x f x x x-+-+=>……………………1分当1a ≠-时，由()'0f x =得()221+1=0a a x x +-且=9+8a ∆，12x x ==……………2分①当1a =-时，所以)(x f 在()0,1上单调递增在()1,+∞上单调递减………………3分②当1->a 时， )(x f 在()20,x 上单调递增； 在上()2,+x ∞上单调递减 ………4分③当98a ≤-时，)(x f 在()0,+∞上单调递增……………5分 ④当918a -<<-时，)(x f 在()()120,,x x +∞和上单调递增； 在上()12,x x 上单调递减……………………6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证()()2ln 11xf x a x a x<--+-+在），（∞+0上恒成立,只需证ln ln 1xx x a x-<--+在），（∞+0上恒成立, ……………………1分令a xxx g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（， 因为xxx x F -=-=111)(', 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F ,……………2分由a x xx g -+-=1ln )(得21ln ()x g x x -'=-=2ln 1(0)x x x->, 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增, ………………3分所以a e e g x g -+-=≥11)()(,……………………4分 又1<a ，1111->->-+-∴e a e ，即min max )()(x g x F <,……………………5分所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立, 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………………6分22．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（Ⅰ）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………2分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………5分 23．（本小题满分10分）(注：第(1)问4分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，0y --=，……………………2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分（Ⅱ）方法一：曲线C 的普通方程为2240x y x +-=.………………2分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4分 所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………2分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………4分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分24．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解: （Ⅰ）由题意可得：3112≤---x x ，当21≤x 时，3,3112-≥≤-++-x x x ，即213≤≤-x ； ……………………2分 当121<<x 时，3112≤-+-x x ，即35≤x 即121<<x ；……………………3分当1≥x 时，3112≤+--x x ，即13x ≤≤ ……………………4分∴该不等式解集为{}33≤≤-x x . …………5分（Ⅱ）令112)(---=x x x f ，有题意可知：min ()a f x ≥……………………2分又1,21()32,12,1x xf x x xx x⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩21min)(-=∴xf，……………………4分1-2a∴≥. ……………………5分11。
高2019届高2016级广东省汕头市金山中学高三(上)9月月考文科数学试题及试题解析
高2016级广东省汕头市金山中学 高三(上)9月月考数学(文科)试题数学注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.设全集 ,集合,则 等于 A. B. C. D.2.已知平面向量,则向量 的模是 A. B. C. D.5 3.下列命题正确的是A.命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题B.命题“若 ,则 ”的逆命题为真命题C.命题“ ”的否定是“ ”D.“ ”是“ ”的充分不必要条件 4.设{a n }是有正数组成的等比数列, 为其前n 项和。
已知, ,则A.B.C.D.5.若函数为奇函数,则 A. B. C.0 D.26.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是A.B.C.D.7.已知p 为直线 上的点,过点p 作圆O ： 的切线,切点为M ,N ,若 ,则这样的点p 有A.0个B.1个C.2个D.无数个8.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A.B. C. D.9.已知函数的周期为 ,当时,方程恰有两个不同的实数解 ,则A.2B.1C.D.10.运行如图所示的程序框图,若输出的S 的值为480,则判断框中可以填A. B. C. D.11.已知函数 ,若曲线 上存在点 使得 ,则实数a 的取值范围是A. B.C. D.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12.在四面体ABCD中,底面ABC,的面积是6,若该四面体的顶点均在球O的表面上,则球O的表面积是A. B. C. D.13.函数的图象可能是下面的图象______填序号二、填空题14.复数z满足,则复数z的共轭复数______.15.已知实数x,y满足约束条件则的最大值等于______.16.是P为双曲线：上的点,分别为C的左、右焦点,且与y轴交于Q点,O为坐标原点,若四边形有内切圆,则C的离心率为______.三、解答题17.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.求A；若,且的面积为,求的周长.18.如图,三棱柱中,平面.证明：平面平面；若,求点到平面的距离.19.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出1吨该商品可获利润万元,未售出的商品,每1吨亏损万元根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以单位：吨,表示下一个销售季度的市场需求量,单位：万元表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.Ⅰ根据频率分布直方图,估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小；Ⅱ根据直方图估计利润T不少于57万元的概率.20.已知抛物线E：的焦点为F,为x轴上的点.过点P作直线l与E相切,求切线l的方程；如果存在过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.21.已知函数.求函数的单调递增区间；若,且,求实数a 的取值范围.22.已知圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为为参数,点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P、Q两点.写出圆C的直角坐标方程；求的值.23.已知函数.解不等式；若关于x的不等式只有一个正整数解,求实数a的取值范围.高2016级广东省汕头市金山中学高三(上)9月月考数学(文科)试题数学答案参考答案1.C【解析】由A中的不等式变形得：2x＞1=20,得到x＞0,即A=(0,+∞),∵全集U=R,∴∁U A=(﹣∞,0],由B中的不等式变形得：﹣ ≤x﹣ ≤ ,即﹣ ≤x≤ ,∴B=[﹣1,5],则(∁U A)∩B=[﹣1,0].故选：C.2.C【解析】因为向量,故选C.3.A【解析】对于A,原命题为真命题,∴逆否命题为真命题,故正确；对于Ｂ,逆命题为“若,则”,当时不成立,故错误；对于C,命题“”的否定是“”,故错误；对于D,由得到,∴“”是“”的必要不充分条件,故错误,故选：A4.【解析】5.D【解析】【分析】求出的值,从而求出的值即可.【详解】设,则,故,故时,,由,故,故选：D.【点睛】本题考查了函数求值问题,考查函数的奇偶性问题,是一道基础题.6.C【解析】记个红球分别为个黑球分别为,则随机取出两个小球共有种可能：,其中两个小球同色共有种可能,,根据古典概型概率公式可得所求概率为,故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于难题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出：先…. ,再…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7.B【解析】连接,则四边形为正方形,因为圆的半径为原点(圆心)到直线距离为符合条件的只有一个,故选B.8.B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选：B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.9.B【解析】函数,由周期,可得,且的对称轴为方程恰有两个不同的实数解,则,故选B.10.B【解析】执行一次,,执行第2次,,执行第3次,,执行第4次,,执行第5次,,执行第6次,,执行第7次,跳出循环,因此判断框应填,故选B.11.B【解析】因为曲线在上递增,所以曲线上存在点, 可知,由,可得,而在上单调递减,,故选B.12.D【解析】四面体与球的位置关系如图所示,设为的中点,为外接球的圆心,因为,由余弦定理可得,由正弦定理可得由勾股定理可得,又,在四边形中,,计算可得+=,则球的表面积是=,故选D.【方法点晴】本题主要考查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式,属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型,既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系,做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上,圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.13.C【解析】因为,所以函数的图象关于点(2,0)对称,排除A,B。
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2015-2016学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵z1=﹣3+i，z2=1﹣i，∴z1z2=（﹣3+i）（1﹣i）=﹣2+4i，对应点的坐标为（﹣2，4），位于第二象限，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解是解决本题的关键．2．集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁∪（A∪B）={1，5，6}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三角形的内角，可得A的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 否故退出循环的条件应为k＞4？故答案选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；③中a、b还可以相交；④是真命题，故答案应选：C【点评】在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．6．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．7．在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=，a3+a9=＞0，∵a3a9=（a6）2，则a6=±则a5a6a7=（a6）2a6=±3，故选：C【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．8．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．9．函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性排除BD，再根据x的变化趋势排除C．【解答】解：由于f（x）=﹣cosx•lg|x|，∴f（﹣x）=﹣cos（﹣x）•lg|﹣x|=﹣cosx•lg|x|=f（x），故函数f（x）是偶函数，排除B，D；又当x→0时，lg|x|→﹣∞，cosx→1，∴f（x）→+∞，故排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+1【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），∴N与F重合．过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3．故选：A．【点评】本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．的值是4．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．【解答】解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．14．数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和学为3，则项数n的值为15．【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】把已知的数列的通项公式分母有理化，作和后由前n项和等于3得答案．【解答】解：由，得=，由，得，n=15．故答案为：15．【点评】本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣A1B确定1C1外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径的最小值是关键．16．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣8x+1）+f（x﹣6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值的和为62．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用奇偶性的定义和求导，判断单调性，可得f（x）在R上为增函数．且为奇函数．由条件可得f（y2﹣8x+1）≤﹣f（x﹣6y+10）=f（﹣x+6y﹣10），则有y2﹣8x+11≤﹣x2+6y ﹣10，运用配方可得（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，由圆的知识，及F（x，y）=x2+y2的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，即可得到最值之和．【解答】解：易知f（x）=x+sinx（x∈R），f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，又f′（x）=1+cosx≥0，则f（x）在R上为增函数．所以f（y2﹣8x+1）+f（x2﹣6y+10）≤0，即为f（y2﹣8x+1）≤﹣f（x2﹣6y+10）=f（﹣x2+6y﹣10），则有y2﹣8x+11≤﹣x2+6y﹣10即x2+y2﹣8x﹣6y+21≤0，即为（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，又y≥3，则（x，y）对应可行域是以（4，3）为圆心，2为半径的上半圆面，函数F（x，y）=x2+y2的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方．连接点（2，3）和（0，0）的距离为，连接原点和圆心（4，3）延长交半圆于P，则PO的距离为+2=7，即有F（x，y）min=13，F（x，y）max=49，其和为62．故答案为：62．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数y=f（x）化简，得f（x）=sin（2x﹣）﹣+m，再将M点坐标代入，可得m=；（2）利用正弦定理，将ccosB+bcosC=2acosB化简整理，得cosB=，所以B=．由此得到函数f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，），再结合正弦函数的图象与性质，可得f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴=sin2x﹣（1+cos2x）+m=sin2x﹣cos2x﹣+m=sin（2x﹣）﹣+m∵函数y=fx）图象过点M（，0），∴sin（2•﹣）﹣+m=0，解之得m=（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB∵B+C=π﹣A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA∴sinA=2sinAcosB∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=由（1），得f（x）=sin（2x﹣），所以f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，）∵﹣＜2A﹣＜，∴sin（2A﹣）＞sin（﹣）=﹣，sin（2A﹣）≤sin=1因此f（A）的取值范围是（﹣，1]【点评】本题给出三角函数的表达式，在图象经过已知点的情况下求参数m的值，在△ABC 中研究f（A）的取值范围，着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【专题】图表型．【分析】（1）如果x=7，直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差．（2）求出所有的基本事件共有4×3个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的基本事件有10个，根据古典概型概率计算公式求得结果．【解答】解：（1）如果x=7，则乙组同学去图书馆学习次数的平均数为=9，方差为S2==3.5．（2）如果x=9，则所有的基本事件共有=15个，满足这两名同学的去图书馆学习次数大于20的基本事件有：（9，12），（11，12），（12，9），（12，9），（12，12），共有5个，故两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率为=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．19．平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出DQ的值；若不存在，请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）假设相等，根据等积式求出即可．【解答】解：（1）取AB中点H，连接EH，HG，如图示：E、F、G、H分别是PA、PD、CD、AB中点⇒EF∥AD，AD∥GH⇒EF∥GH⇒E、F、G、H四点共面又E、H分别为PA、AB的中点⇒EH∥PB，而EH⊂平面EFG所以PB∥平面EFG…（6分）（2）在线段AB上取AQ′=DQ=a，则S△AEF=×1×1=，S△EFQ=S△EFQ′=×1×a=，由V Q﹣AEF=V A﹣EFQ⇒S△AEF•HE=•⇒ו=××⇒a=．即存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，此时DQ=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查距离的计算，是一道中档题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】（1）欲证明E是BC的中点，即证EB=EC，即要证ED=EC，这个可通过证明∠CDE=∠C得到；（2）因由相似三角形可得：AB2=AE•AF，AB2=AD•AC，故欲证AD•AC=AE•AF，只要由AB=AB得到即可．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD⊥AC，又∠B=90°，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，所以∠CDE=∠C，得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是R t△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AAFB，于是有，即AB2=AE•AF，同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段．属于基础题．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．（2015秋•汕头校级期末）在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由题意写出A的参数方程，把两式移项平方作和得答案；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解．【解答】解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为，∴，把两式移项平方作和得：；（2）由，得，即，∴2x﹣．如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，则圆C的圆心C（）到直线2x﹣的距离小于1．即，解得．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015春•黄冈期末）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．【点评】该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．。