信号与系统-54-§复频域分析

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信号的复频域分析

Re( s ) 0
tu ( t )
n
s
L
L
1 s
2
Re(s) 0 Re(s) 0
1
t u (t )
n!
n 1
te
t
u (t )

L
(s )
2
Re(s)
e
0t
cos 0 t u ( t )

L
s (s 0 )
e
t
f (t ) F ( s )
L
0
0
Re( s )

2）线性加权性质
tf ( t )
L
dF (s) ds
Re( s )
0
五、单边拉普拉斯变换的性质
6. 微分特性
d f (t ) dt
L
f (t ) F ( s )
0 e
( s )t
dt
若

1 s
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
推广到一般情况
F [ f (t )e
t t j t ( j ) t
] f ( t ) e

e
dt
f ( t ) e
dt
令s= +j 定义：
f ( t ) e
L
Re( s ) 1 Re( s )
f 2 (t ) F2 ( s )
L L
2
f 1 ( t ) * f 2 ( t ) F1 ( s ) F 2 ( s )
Re( s ) max( 1 , 2 )
例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。解：

实验六_信号与系统复频域分析报告

实验六_信号与系统复频域分析报告信号与系统是电子信息类专业学科中非常重要的一门基础课程，主要研究信号和系统的性质、特点、表示以及处理方法。

本实验主要是通过对信号与系统复频域分析来深入了解信号和系统的特性和性质。

实验中，我们使用了MATLAB软件进行了信号与系统复频域分析，主要涉及到以下内容：一、信号在复频域中的表达式设x(t)是一个实数信号，那么它在频域的表达式为：$$X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$\omega $是频率，$X(\omega )$是频域中的信号，即信号的频率特性。

对于一个时不变线性系统，它在频域中的表达式为：三、信号与系统的卷积定理在时域中，两个信号$x(t)$和$h(t)$的卷积表示为：$$Y(\omega )=X(\omega )*H(\omega )$$其中，$*$表示频域中的卷积操作。

四、频域的性质频域有许多重要的性质，如频率移位、对称性、线性性、时移性、共轭对称性、能量守恒等等。

这些性质可以为信号的分析和处理提供重要的帮助。

在实验过程中，我们首先使用MATLAB绘制了一个正弦波信号及其频谱图、一个方波信号及其频谱图，以及两个不同的系统频率响应曲线。

然后，我们通过信号和系统的卷积操作，绘制了输入信号和输出信号的波形图及频谱图。

最后，我们通过MATLAB的FFT函数进行了离散频率响应分析，探究了系统的性质和特性。

实验中，我们通过理论知识和MATLAB软件的使用，深入了解了信号与系统的复频域分析。

这对于我们进一步学习和掌握信号与系统的知识，提高我们的理论水平和实践能力具有重要意义。

信号与系统第四章-连续信号复频域分析

j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示）实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )

f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称为衰减因子； e- t 为收敛因子。返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]

f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt

它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ，则此类信号不存在拉氏变换。

第4讲复频域分析

t
f
( 1)
(t )

f ( 1) (0 ) F ( s ) f ( )d s s
若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从 0- 到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根
据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为
( 1) t
(4.2-12)
F ( 1) (0 ) F ( s ) ( 1) f (t ) f ( )d s s (4.2-13) n 1 F ( s) (n) ( m) f (t ) n m 1 f (0 ) n s s m 1
同理： F2(s)=
+ -
-e (t )e dt e
at st -
0
( s a )t
1 ( s a )t dt e sa
0
1 [1 lim e ( a ) t e j t ] t sa 显然，只有当 a时，LT 才存在。 1 F(s)=[ f1 (t )] 1 sa ROC : Re( s ) a
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
例题：求单边正弦和单边余弦信号的LT。
e j0t (t )] [ 1 , Re( s ) 0 s j 0 1 , Re( s ) 0 s j 0
e j0t (t )] [
因此得
2 F2 ( s ) L[ f 2 (t )] s2
7. 时域积分若f(t)←→ F(s)，Re［s］＞ζ0, 则有：
若f(-n)(t)表示从-∞到t对f(t)的n重积分，则有

西电《信号与系统》§54复频域分析

X
第
例2: y''(t) 5 y'(t) 6 y(t) 2 f '(t) 8 f (t)求H (s), h(t)
7 页
2s 8 H(s) s2 5s 6
h(t ) [4e2t 2e3t ] (t )
例3:
H(s)

s2
2s 8 5s
6
,
y(0
M(s)
B(s)
X
第
3 页
所以： A(s)Y (s) M (s) B(s)F (s)
M(s) B(s)
Y(s)
A( s )
F(s) A( s )
Yzi (s) Yzs (s)
Yzi(s) Yzs(s)
X
例1：描述LTI系统的微分方程为：y(t) 5 y(t) 6 y(t) 2 f (t)
4
暂态响应
稳态响应
第
y(0 )与y(0 )的关系
5 页
若已知
y(i)(0 )
则：y(i)
(0
)

y(i) zi
(0
)

y(i) zs
(0
)
又因为：y
(i) zs
(0
)

0
y(i)
(0
)

y(i) zi
(0
)
y(i) zi
(0
)

y(i) zi
(0
)
所以：y(i)
(0
)

y(i) zi
sL
s
1/SL S域感纳 X
电容s域模型
一般形式串联形式并联形式

信号与系统第四章连续信号与系统的复频域分析(1)(2)

st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域

为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res

双边函数
的收敛域

如果，当然存在共同的收敛域，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数的收敛域
反因果函数的收敛域
双边函数的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当选取的值使 f t e t 当 t 时,

e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：

例如

f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t

e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢，其拉氏变换就存在。

信号与系统第4章信号复频域分析

1 1 F ( s) (a ) s s a t 例4：求 f (t ) Re ct 的LT 2
e s e s F (s) ( > > ) s
4 信号的复频域分析举例说明收敛域的概念：例5：求
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由方程可解得：
t
σ0
0
lim e
t
f (t ) 0
σ
4 信号的复频域分析
1.满足 lim f ( t ) e
t
t
0 σ > σ 0 的信号成为指数阶信号；
它是将不一定绝对可积的信号分解成的变振幅复简谐
信号的振幅密度。称为Laplace Transform，记为LT。
0 0

f (t )e
s t
dt f (t )e

s t
dt f (t )e
0
s t
dt f (t )e
0
s t
dt
4 信号的复频域分析

f ( t ) L [ F ( s )]
1
1 2 j
[
j
j
F ( s )e ds ]
st
4 信号的复频域分析
4. 收敛域
使
4.1.1 拉普拉斯变换
0r

f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t

dt
基本问题：解决不满足绝对可积的信号问题

《信号与系统》中复频域法分析求解电路响应探讨

南路元ｌ牛时域模型ｓ域模型（串联形式）
电阻Ｒ
＋
电容Ｃ
仁
“ ∞ 一
（５）
０ — １
眺
卜— — 。
一
—
。
１
（０一）
∞
一
ｉｉｓＣ
∞ 一
电感Ｌ
ｌ ∞ Ｌ
●——＾ｒＶ、＿ — —— — — —
信号与系统是电子信息工程、通信技术等专业重要的基础课，笔者近年来在辅导学生参加自学考试时发现复频域法分析求解电路题在自考时多次出现，但是学生得分率不高，反映这种题型难，综合性强，有时看到题目就想放弃。现将复频域法分析求解电
路题举例说明，梳理解题思路、分析解题时的注意事项，并将其应用于教学中，提高学生的通过率。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｂａｓｉｓａｎｄｓｔｅｐｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｃｉｒｃｕｉｔｉｎｃｏｍｐｌｅｘ —ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｗａｙｓｔｏｔｈｉｎｋａｒｅａｎｌａｙｚｅｄ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘ —ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｃｉｒｃｕｉｔｉｎＳｄｏｍａｉｎ；ｆｕｌｌｒｅｓｐｏｎｓｅ；ｚｅｒｏｓｔａｔｅｒｅｓｐｏｎｓｅ

第4章连续时间信号与系统的复频域分析

在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0

上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的跳变。而拉氏反变换的积分限并不改变。

信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负，也可为零，因此这些复指数函数可以是增幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似，是一个频谱密度函数，它反映了信号的基本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复频域对信号进行分析。

4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域

若满足

0
| f (t )e t | dt

则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t

( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。

信号与系统的频域分析

信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。

频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。

一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。

傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。

在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。

二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。

傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。

傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。

通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。

三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。

在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。

在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。

在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。

四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。

这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。

熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。

五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。

傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。

连续信号与系统的复频域分析

https://
2023 WORK SUMMARY
THANKS
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率域的表示，通过积分将时间函数与其复指数函数相乘，得到频谱函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的分量，便于分析信号的频率成分和特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和系统从时域转换到复频域的方法。通过在复频域内分析信号和系统的性质，可以更方便地处理信号的频谱、系统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。例如，在通信领域中，信号的调制和解调过程通常需要在复频域内进行。在控制领域，系统的稳定性分析和控制策略的设计也需要用到复频域分析。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性

数字信号处理第4章信号与系统的复频域分析

有的零点和极点以及比例因子bm，就可以确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励，稳定系统产生的响应在任何时候都是有界的。也就是要求系统的冲激响应有界（随着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的冲激响应的时域性质可由系统函数的极点位置确定，因此，系统的稳定性可由系统函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时，随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2

复频域分析实验报告

一、实验目的1. 理解复频域分析的基本原理和概念。

2. 掌握利用拉普拉斯变换进行系统分析的方法。

3. 学习使用MATLAB进行复频域分析，包括拉普拉斯变换和逆变换的计算、系统函数的求解以及系统响应的绘制。

4. 理解系统稳定性、频率响应和时域响应之间的关系。

二、实验原理复频域分析是信号与系统分析中的一种重要方法，它通过拉普拉斯变换将时域信号和系统转换到复频域进行分析。

在复频域中，信号和系统的特性可以更直观地表示，便于分析和设计。

拉普拉斯变换是一种积分变换，它将时域信号f(t)转换为复频域信号F(s)。

其定义如下：\[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \]其中，s是复数，称为复频率。

拉普拉斯逆变换将复频域信号F(s)转换为时域信号f(t)。

其定义如下：\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\gamma -j\infty}^{\gamma + j\infty} F(s)e^{st} ds \]其中，γ是拉普拉斯变换的收敛带。

通过拉普拉斯变换，可以将线性时不变系统（LTI）的时域微分方程转换为复频域的代数方程，从而简化系统分析和设计。

三、实验内容及步骤1. 拉普拉斯变换和逆变换的计算使用MATLAB进行以下信号的拉普拉斯变换和逆变换计算：- 单位阶跃信号 u(t)- 单位冲激信号δ(t)- 指数信号 e^{-at}2. 系统函数的求解根据给定的系统微分方程，求解其系统函数H(s)。

3. 系统响应的绘制- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的幅度响应和相位响应。

- 利用MATLAB绘制系统对单位阶跃信号的响应和单位冲激信号的响应。

4. 系统稳定性分析- 根据系统函数H(s)的极点分布，判断系统的稳定性。

- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的零极点图，直观地观察系统稳定性。

5. 频率响应分析- 利用MATLAB绘制系统函数H(s)的频率响应，分析系统的带宽和截止频率。

信号与系统复频域分析

实验五信号与系统复频域分析一、实验目的1.学会用MATLAB 进行部分分式展开；2.学会用MATLAB 分析LTI 系统的特性；3.学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。

二、实验内容与步骤1、求信号)()(3t u te t f t -=的拉普拉斯变换。

f=sym(' t*exp(-3*t)'); F=laplace(f) 实验结果： F =1/(s+3)^22、求函数23795)(223+++++=s s s s s s F 的部分分式展开式,以及反变换。

format rat; num=[1,5,9,7]; den=[1, 3,2];[r,p]=residue(num,den) 实验结果： r =-1 2 p =-2 -1 反变换：F=sym('(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2)'); ft=ilaplace(F) ft =dirac(1,t)+2*dirac(t)-exp(-2*t)+2*exp(-t)4、已知一个因果系统的系统函数为)2)(1()(++=s s ss H ，该系统的零点和极点分别位于？从时域和零极点分布特征两个方面说明该系统是否是稳定的系统？从频率响应特性上看，该系统具有何种滤波特性？ num=[1,0]; den=[1,3,2]; sys=tf(num,den); figure(1);pzmap(sys); title('零极点分布图') t=-10:0.02:10;f=t./(t.^2 + 3* t + 2); figure(2);plot(t,f) xlabel('s') ylabel('H(s)')title('H(s)的时域波形图') [H,w]=freqs(num,den); figure(3);plot(w,abs(H)) xlabel('\omega') title('频率响应图')5、输入因果的系统函数12211)(232++++=s s s s a s H ① 此处a 取1，执行程序。

连续时间信号与系统的复频域分析课件

子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1