信号与系统-54-§复频域分析

2s 8 5s
6
s
4
2
2 s3
h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)
s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
三、系统的s域框图
时域框图基本单元
s域框图基本单元(零状态)
I(s) 0 U(s) 0
例
如图所示电路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =δ(t)，起
始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。
uC(t)
iL(t)
1/s
1/s
uS(t)
1F 0.5Ω
iS(t) 1H u(t)
IS(s)
US(s) 0.5Ω
s
U(s)
2/s
系统函数H(s) = L [h(t)]
即
H
(s)
def
Yzs
(s)
F(s)
例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响 应
yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解：
H
(s)
Yzs (s) F(s)
s2
yzi(t)
5 e j26.6 5 e j26.6
s j
s j
yzs (t)
y(t)= 2e–2t (t) – e–3t (t) - 4e–2t (t) + 2 5 cos(t 26.6)] (t)
暂态分量
稳态分量
二、系统函数H(s)
yzs(t)= h(t)*f (t)
Yzs(s)= L [h(t)]F(s)
∫
f(t)
y(t) t f ( ) d
s–1
F(s)
Y(s) = s–1F(s)
f1(t) + +
∑
f2(t)
y(t) = f1(t)+ f2(t)
F1(s)+ ∑
+ Y(s) = F1(s)
F2(s)
+F2(s)
a
f(t)
y(t) = a f (t)
F(s) a Y(s) = a F(s)
例3 已知时域框图，列出微分方程
已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)， 求系统的全响应y(t)和yzi(t) 、yzs(t)。
解： 方程取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y, (0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 2sF (s) 6F(s)
整理得：
Y (s)
sy(0
)
y'(0 ) 5y(0 s2 5s 6
)
2(s 3) s2 5s 6
F(s)
Yzi(s)
Yzs(s)
Fra Baidu bibliotek
将F (s)
5s 代入得 s2 1
Y
(s)
Yzi
(s)
Yzs
(s)
(s
s4 2)(s
3)
s
2
2
5s s2 1
Y(s) 2 1 4 s2 s3 s2
(s)
1 sL
U
(s)
iL
(0 s
)
u(t) L d iL (t) dt
U(s)= sLIL(s) –LiL(0-)
IL(s)
或
sL
iL(0 -)/s
U(s)
IL(s) sL LiL(0 -)
或 U(s)
3、电容元件的s域模型
i(t) C uC(t)
i(t) C d uC (t) dt
UC
(s)
1
s2X(s) sX(s)
∑
s∫-1
s∫-1
X(s)
4
Ff (ts))
3
2
∑
Yy(ts)) s域的代数方程
解 画出s域框图, 设最右边积分器输出为X(s)
s2X(s) = F(s) – 3sX(s) – 2X(s)
X
(s)
s2
1 3s
2
F(s)
Y(s)
=
4X(s)
+
s2X(s)
s2 4 s2 3s
1 sC
I (s)
uC
(0 s
)
I(s)=sCUC(s) – CuC(0-)
1
1
I(s)
1 sCI(s)
uC (10 ) ssC
uC (0 ) s I(s)
或
I(s)sC
sC
或CuC(0 -) CuC(0 -)
UC(s) UC(s)
UC(s) UC(s)
4、s域KCL、KVL方程
i(t) 0 u(t) 0
n
m
ai y(i) (t) bj f ( j) (t)
i0
j0
系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),…，y(n-1) (0-)。
思路：利用微分定理对微分方程两边取拉氏变换。
若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j)(t)←→ s j F(s)
n
m
ai y(i) (t) bj f ( j) (t)
2
F(s)
微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)
四、电路的s域模型
1、电阻元件的s域模型
i(t) R u(t)
I(s) R U(s)
u(t)= R i(t)
U(s)= R I(s)
电阻元件的
s域模型
2、电感元件的s域模型
iL(t) L
u(t)
IL
解 画出电路的s域模型
Us(s)=1/s， Is(s)=1
sU (s) U (s) 1U (s) 2 1
0.5 s
s
U (s)
s2
s2 2s 1
s
1 1
3 (s 1)2
u(t) = e–t(t) – 3te–t(t) V
小结：用拉氏变换法求电路响应的步骤
• 由0-等效电路，确定初始状态量uc(0-)、iL(0-) ； • 画s域等效电路； • 列s域方程（代数方程）； • 解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)； • 拉氏反变换求u(t)或i(t)。
i0
j0
时域的微分 方程
n
n
i1
m
[ ai si ]Y (s) ai[ si1p y( p) (0 )] [ bj s j ]F(s)
i0
i0 p0
j0
Y (s) Yzi (s) Yzs(s)
s域的代数 方程
例1 描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)
本节小结
• 微分方程的变换解
• 系统函数H(s) • 系统的s域框图 • 用拉氏变换法分析电路
§5.4 复频域分析
• 微分方程的变换解
• 系统函数H(s)
• 系统的s域框图
• 用拉氏变换法分析电路
Yun Liu, Information College, Zhongkai University of Agriculture and Engineering
一、微分方程的变换解
描述n阶系统的微分方程为