周世勋量子力学习题复习资料第六章散射
量子力学答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的,希望能给大家带来帮助量子力学习题与解答 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即mλ T=b 〔常量〕；并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, 〔1〕以与 c v =λ, 〔2〕λρρd dv v v -=, 〔3〕有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度.本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ.但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下： 如果令x=kThcλ ,则上述方程为 这是一个超越方程.首先,易知此方程有解：x=0,但经过验证,此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 把x 以与三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律.据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体〔如遥远星体〕的发光颜色来判定温度的高低. 1．2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长.解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子〔2c E e μ<<动〕,那么如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 在这里,利用了 以与 最后,对作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强；同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现. 1．3 氦原子的动能是kT E 23=〔k 为玻耳兹曼常数〕,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长. 解 根据eV K k 3101-=⋅,知本题的氦原子的动能为 显然远远小于2c 核μ这样,便有 这里,利用了第一章绪论最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T 的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相庆的德布罗意波长就为据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布.1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求：〔1〕一维谐振子的能量；〔2〕在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 已知外磁场H=10T,玻尔磁子124109--⋅⨯=T J M B ,试计算运能的量子化间隔△E,并与T=4K 与T=100K 的热运动能量相比较.解 玻尔——索末菲的量子化条件为其中q 是微观粒子的一个广义坐标,p 是与之相对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈,n 是正整数.〔1〕设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为μ,于是有 这样,便有这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈.此外,根据 可解出 kEx 2±=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移.这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有 为了积分上述方程的左边,作以下变量代换； 这样,便有这时,令上式左边的积分为A,此外再构造一个积分 这样,便有⎰⎰--⋅=-⋅=⋅=+22222cos 2,22ππππθθμμπθμd kE B A kE d kE B A 〔1〕这里ϕ =2θ,这样,就有0sin ==-⎰-ππϕμd kEB A 〔2〕根据式〔1〕和〔2〕,便有 这样,便有 其中π2h h =最后,对此解作一点讨论.首先,注意到谐振子的能量被量子化了；其次,这量子化的能量是等间隔分布的.〔2〕当电子在均匀磁场中作圆周运动时,有 这时,玻尔——索末菲的量子化条件就为又因为动能耐μ22p E =,所以,有其中,μ2q M B =是玻尔磁子,这样,发现量子化的能量也是等间隔的,而且具体到本题,有根据动能与温度的关系式以与可知,当温度T=4K 时, 当温度T=100K 时,显然,两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔.1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现实种转化,光子的波长最大是多少？解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程,如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题,严格来说,需要用到相对性量子场论的知识去计算,修正当涉与到这个过程的运动学方面,如能量守恒,动量守恒等,我们不需要用那么高深的知识去计算,具休到本题,两个光子能量相等,因此当对心碰撞时,转化为正风电子对反需的能量最小,因而所对应的波长也就最长,而且,有 此外,还有 于是,有尽管这是光子转化为电子的最大波长,但从数值上看,也是相当小的,我们知道,电子是自然界中最轻的有质量的粒子,如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子,那么所对应的光子的最大波长将会更小,这从某种意义上告诉我们,当涉与到粒子的衰变,产生,转化等问题,一般所需的能量是很大的.能量越大,粒子间的转化等现象就越丰富,这样,也许就能发现新粒子,这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象,新粒子,新物理.第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中,几率流与时间无关. 证：对于定态,可令可见t J 与无关.2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内<即向原点> 传播的球面波. 解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r J 1与同向.表示向外传播的球面波.可见,r J与2反向.表示向内<即向原点> 传播的球面波.补充：设ikxe x =)(ψ,粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化.其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同.2.3 一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解：t x U 与)(无关,是定态问题.其定态S —方程 在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ψψψ=+-> ③ 由于<1>、<3>方程中,由于∞=)(x U ,要等式成立,必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去.方程<2>可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ 令222mE k =,得 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ④根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得 )0()0(12ψψ=⑤)()(32a a ψψ=⑥ ⑤0=⇒B⑥0sin =⇒ka A ),3 ,2 ,1( 0sin 0==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2=由归一化条件 得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由mn abaxdx a n x a m δππ⎰=*2sin sin),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见E 是量子化的.对应于n E 的归一化的定态波函数为#2.4. 证明〔2.6-14〕式中的归一化常数是aA 1='证：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ〔2.6-14〕由归一化,得 ∴归一化常数aA 1=' #2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置.解：222122)(xxe x ααπαψ-⋅=令0 )(1=dxx d ω,得由)(1x ω的表达式可知,±∞==x x 0，时,0)(1=x ω.显然不是最大几率的位置.可见μωα±=±=1x 是所求几率最大的位置. #2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称：)()(x U x U =-,证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222x E x x U x dx d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换,得)()()()(2222x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-,得)()()()(2222x E x x U x dxd -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知,)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数.由于它们描写的是同一个状态,因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c .方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -↔而得其对方,由①经x x -→反演,可得③, )()( x c x ψψ=-⇒④由③再经x x →-反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的. )()( x c x -=⇒ψψ⑤④乘 ⑤,得可见,12=c当1+=c 时,)x ()x ( ψψ=-,)(x ψ⇒具有偶宇称, 当1-=c 时,)()( x x ψψ-=-,)(x ψ⇒具有奇宇称,当势场满足)()( x U x U =-时,粒子的定态波函数具有确定的宇称.# 2.7 一粒子在一维势阱中运动,求束缚态<00U E <<>的能级所满足的方程. 解法一：粒子所满足的S-方程为按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 21101222ψψψμ=+-a x <<∞-① Ⅱ：)()(222222x E x dxd ψψμ=-a x a ≤≤-② Ⅲ：)x (E )x (U )x (dxd 23303222ψψψμ=+- ∞<<x a ③ 整理后,得Ⅰ： 0)(21201=--''ψμψ E U ④ Ⅱ：. 0E2222=+''ψμψ⑤ Ⅲ：0)(23203=--''ψμψE U ⑥ 令 22220212 )(2 E k E U k μμ=-= 则Ⅰ： 01211=-''ψψk ⑦Ⅱ：. 02222=-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213=-''ψψk ⑨ 各方程的解为由波函数的有限性,有 因此由波函数的连续性,有整理<10>、<11>、<12>、<13>式,并合并成方程组,得解此方程即可得出B 、C 、D 、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组有非零解,必须 ∵012≠-ak e∴02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k即 022)(2122122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程.# 解法二：接〔13〕式 #解法三：<11>-<13>)(sin 21122F B e k a k D k ak +=⇒-<10>+<12>)F B (ea k cos D 2ak 21+=⇒-<11>+<13>aik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=⇒<12>-<10>aik 21e)B F (a k sin C 2--=⇒令 ，，a k a k 22==ηξ 则 合并)b ()a (、：212221222k k k k a k tg -=利用ak tg 1atgk 2a k 2tg 2222-= #解法四：〔最简方法-平移坐标轴法〕Ⅰ：110122ψψψμE U =+''- 〔χ≤0〕 Ⅱ：2222ψψμE =''- 〔0＜χ＜2a 〕 Ⅲ：330322ψψψμE U =+''- 〔χ≥2a 〕 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''==+''-==-''(3)0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 3213222222220211211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U 因此由波函数的连续性,有<7>代入<6>利用<4>、<5>,得 #2.8分子间的X 德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 求束缚态的能级所满足的方程.解：势能曲线如图示,分成四个区域求解.k a ctgk k >10 < > 12 < >13 < > 11 < 1 2 2 - = ⇒ - +定态S-方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：)0( )(21112<=+''-x E x U ψψψμⅡ：)0( 222022a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ：)( 233132b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 02442x b E <=+''-ψψμ对于区域Ⅰ,∞=)(x U ,粒子不可能到达此区域,故而 . 0)( 22202=--''ψμψ E U ① 0)( 23213=++''ψμψ E U ②02424=+''ψμψE③ 对于束缚态来说,有0<<-E U∴02212=-''ψψk 2021)( 2 E U k -=μ④03233=+''ψψk 2123)( 2 E U k +=μ⑤04244=+''ψψk 224/2 E k μ-=⑥各方程的解分别为由波函数的有限性,得 ∴xk Fe 34-=ψ由波函数与其一阶导数的连续,得 ∴)(332x k x k e eA --=ψa k D a k C e e A a a x k x k 2232cos sin )()()(33+=-⇒=-ψψ⑦a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133sin cos )()()(33-=+⇒'='-ψψ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+⇒=ψψ⑨b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243cos sin )()(--=-⇒'='ψψ⑩ 由⑦、⑧,得ak D a k C a k D a k C e e e e k k ak a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- <11> 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos (22322232=+-=+D b k b k k kC b k b k k k <12> 令211111k k ee e e a k a k a k a k ⋅-+=--β,则①式变为 联立<12>、<13>得,要此方程组有非零解,必须把β代入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程.#附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解.见附页. 此即为所求方程. #补充练习题一1、设 )()(2221为常数αψαx Aex -=,求A = ？ 解：由归一化条件,有παα1A dy e 1A 2y 22==⎰∞∞--∴πα=A # 2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率.解：基态能量为ω 210=E 设基态的经典界限的位置为a ,则有∴0a 1a ===αμω在界限外发现振子的几率为式中⎰∞--22/221dt et π为正态分布函数⎰∞--=xtdt e x 2/221)(πψ当)2(2ψ时的值=x .查表得92.0)2(= ψ ∴]92.0[⨯-∂=πππω16.0)92.01(2=-= ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16. #3、试证明)x 3x 2(e3)x (33x2122ααπαψα-=-是线性谐振子的波函数,并求此波函数对应的能量.证：线性谐振子的S-方程为)()(21)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ① 把)(x ψ代入上式,有把)(22x dx d ψ代入①式左边,得当ω 27=E 时,左边 = 右边. n = 3)32(3)(332122x x e dxd x x ααπαψα-=-,是线性谐振子的波函数,其对应的能量为ω 27.第三章 量子力学中的力学量3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=,求：> < 22 022 022 0 x a x a x e dx e dx e ααα πα ψ π α π α ω - ∞ - - ∞ - - = + =⎰⎰<1>势能的平均值2221x U μω=； <2>动能的平均值μ22p T =；<3>动量的几率分布函数. 解：<1>⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω<2> ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ或 ωωω 414121=-=-=U E T<3> ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 动量几率分布函数为 #3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ,求：<1>r 的平均值；<2>势能re 2-的平均值；<3>最可几半径； <4>动能的平均值；<5>动量的几率分布函数. 解：<1>ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==<3>电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 ∴0a r =是最可几半径.<4>222ˆ21ˆ∇-==μμ p T <5> τϕθψψd r r p c p ),,()()(* ⎰=动量几率分布函数#3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 ∇在球极坐标中为式中ϕθe e e r、、为单位矢量m n ψ中的r 和θ部分是实数. ∴ϕψψθμe im im r ie J m n m n e )(sin 222---=ϕψθμe r m e m n2sin -= 可见,0==θe er J J#3.4 由上题可知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的. <1>求一圆周电流的磁矩. <2>证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为 这个比值称为回转磁比率.解：<1> 一圆周电流的磁矩为 A dS J iA dM e ⋅==ϕ 〔i 为圆周电流,A 为圆周所围面积〕<2>氢原子的磁矩为 在CGS 单位制中 cme M μ2 -== 原子磁矩与角动量之比为)( 2SI eL M L M z z z μ-==)( 2CGS ceL M z z μ-= # 3.5 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是IL H 22=,L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量与波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：解：<1>设该固定轴沿Z 轴方向,则有哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 <t H与ˆ无关,属定态问题> 令 222IEm =,则 取其解为 ϕϕφim Ae =)( <m 可正可负可为零>由波函数的单值性,应有 即 12=πm i e∴m= 0,±1,±2,…转子的定态能量为Im E m 222 = <m= 0,±1,±2,…>可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱. 定态波函数为 A 为归一化常数,由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为综上所述,除m=0外,能级是二重简并的.<2>取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为t H与ˆ无关,属定态问题,其本征方程为 <式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数,E 为其本征值> 令 22 λ=IE ,则有此即为角动量2ˆL的本征方程,其本征值为 其波函数为球谐函数ϕθϕθim mm m e P N Y )(cos ),( =∴ 转子的定态能量为可见,能量是分立的,且是)12(+ 重简并的. #3.6 设t=0时,粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能.解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(2121212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ可见,动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0动能μ22n p 的可能值为μμμμ2 2 2 2 022222222 k k k k对应的几率n ω应为 π2)1616 16 164(22222⋅A A A A A 上述的A 为归一化常数,可由归一化条件,得∴ π/1=A∴ 动量p 的平均值为# 3.7 一维运动粒子的状态是 其中0>λ,求：<1>粒子动量的几率分布函数； <2>粒子的平均动量.解：<1>先求归一化常数,由 ∴2/32λ=A动量几率分布函数为 <2> ⎰⎰∞∞---∞∞--==dx e dxd xe i dx x px p xx )(4)(ˆ)(3*λλλψψ #3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a ,如果粒子的状态由波函数 描写,A 为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值.解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示.粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为2)(n C E =ω 先把)(x ψ归一化,由归一化条件, ∴530a A = ∴⎰-⋅⋅=an dx x a x x a n a a C 05)(sin 302π ∴2662])1(1[240)(n n n C E --==πω3.9.设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方与角动量Z 分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.解：在此能量中,氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z 分量的可能值为 其相应的几率分别为41, 43 其平均值为3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为 求粒子的能级和定态函数.解：据题意,在a r ≥的区域,∞=)(r U ,所以粒子不可能运动到这一区域,即在这区域粒子的波函数0=ψ <a r ≥>由于在a r <的区域内,0)(=r U .只求角动量为零的情况,即0= ,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的.即粒子的几率分布与角度ϕθ、无关,是各向同性的,因此,粒子的波函数只与r 有关,而与ϕθ、无关.设为)(r ψ,则粒子的能量的本征方程为 令 222 ,)(Ek rE r U μψ==,得 其通解为波函数的有限性条件知, =)0(ψ有限,则 A = 0 ∴kr rBr sin )(=ψ 由波函数的连续性条件,有 ∵0≠B ∴),2,1( ==n n ka π∴22222an E n μπ = 其中B 为归一化,由归一化条件得 ∴aB 21π=∴ 归一化的波函数rr a n ar ππψsin21)(=# 3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆p x 解： 0=p 3.12 粒子处于状态式中ξ为常量.当粒子的动量平均值,并计算测不准关系?)()(22=⋅p x ∆∆ 解：①先把)(x ψ归一化,由归一化条件,得 ∴πξ212=/ ∴ 是归一化的 ② 动量平均值为 ③?)()(22=⋅p x ∆∆⎰⎰∞∞--∞∞-==dx xedx x x x 2*πψψ 〔奇被积函数〕#3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量.解：设氢原子基态的最概然半径为R,则原子半径的不确定X 围可近似取为由测不准关系得 2224)(Rp ≥∆ 对于氢原子,基态波函数为偶宇称,而动量算符p为奇宇称,所以 又有 222)(p p p -=∆所以 22224)(R p p ≥∆=可近似取 222Rp ≈能量平均值为 re P E s 222-=μ 作为数量级估算可近似取 Re r e s s 22≈ 则有 R e RE s 2222-≈μ 基态能量应取E 的极小值,由得 22se R μ = 代入E ,得到基态能量为 24min 2 s e E μ-=补充练习题二1．试以基态氢原子为例证明：U Tˆˆ或不是ψ的本征函数,而是U T ˆˆ+的本征函数. 可见,的本征函数不是U ˆ100ψ可见,100ψ是)ˆˆ(U T+的本征函数. 2．证明： ±==L L ，6的氢原子中的电子,在︒︒=135 45和θ的方向上被发现的几率最大.解： ΩΩϕθd Y d W m m 2),( = ∴2),(m m Y W =ϕθ±==L L ，6的电子,其1 ,2±==m∴θπθθπϕθ2sin 3215cos sin 815),(222212===±m Y W 当︒︒=135 45和θ时π321512=±W 为最大值.即在︒=︒=13545θθ，方向发现电子的几率最大.在其它方向发现电子的几率密度均在0～π3215之间.3．试证明：处于1s,2p 和3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为00094a a a 和、的球壳内被发现的几率最大<0a 为第一玻尔轨道半径 >. 证：①对1s 态,0/2/3010)1(,0 ,1a r e a R n -===令010=∂∂rW 0321 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ,当0 ,01021=∞==⇒W r r 时，不是最大值.20104)(-=e a a W 为最大值,所以处于1s 态的电子在0 a r =处被发现的几率最大. ②对2p 态的电子02/02/30213)21( ,1 ,2a r e a r a R n -===令021=∂∂rW 03214 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ,当0 ,02121=∞==⇒W r r 时，为最小值.∴04a r =为几率最大位置,即在04a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大.③对于3d 态的电子 03/202/3032)(15811)2( ,2 ,3a r e a r a R n -=== 令032=∂∂rW 03219 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ,当0 ,03221=∞==⇒W r r 时，为几率最小位置.∴09a r =为几率最大位置,即在09a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大. 4. 当无磁场时,在金属中的电子的势能可近似视为其中 00>U ,求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数. 解：设电场强度为ε,方向沿χ轴负向,则总势能为 )0( )(≤-=x x e x V ε,势能曲线如图所示.则透射系数为式中E 为电子能量.01=x ,2x 由下式确定∴εe EU x -=02 令 θε20sin e EU x -=,则有 ∴透射系数])(232exp[00E U e EU D ---≈με5．指出下列算符哪个是线性的,说明其理由.①2224dx d x ； ②[]2； ③∑=nK 1解：①2224dxd x 是线性算符 ②[]2不是线性算符③∑=nK 1是线性算符6．指出下列算符哪个是厄米算符,说明其理由.7、下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数,其本征值是什么？ ①2x , ②xe , ③x sin , ④x cos 3, ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dx d ∴2x 不是22dx d 的本征函数.②xx e e dxd =22 ∴xe 不是22dx d 的本征函数,其对应的本征值为1.③x x dx dx dx d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见,x sin 是22dxd 的本征函数,其对应的本征值为－1. ④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx dx dx d --=-= ∴x cos 3 是22dxd 的本征函数,其对应的本征值为－1. ⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴x x cos sin +是22dx d 的本征函数,其对应的本征值为－1.8、试求算符dxd ie Fix -=ˆ的本征函数. 解：F ˆ的本征方程为 ixFe ce --=φ〔F F是ˆ的本征值〕 9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心,求阱中粒子的波函数和能级的表达式.解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∞≤=2 ,2,0)(a x a x x U方程〔分区域〕：Ⅰ：∞=)(x U ∴0)(=x I ψ)2(ax -≤Ⅲ：∞=)(x U ∴0)(=x III ψ)2(ax ≥Ⅱ：II IIE dx d ψψμ=-2222 令 222E k μ=标准条件：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2()2()2()2(a a a a III II II I ψψψψ ∴0)sin(=+-δkx A ∵0≠A∴0)sin(=+-δkx取 02=-a k δ, 即 2ak =δ∴)2(sin )(ax k A x II +=ψ∴πn ka =) ,2 ,1( =n∴ 粒子的波函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+=2 ,02),2(sin )(a x a x a x a n A x πψ粒子的能级为ak n k E μπμ2222222== ) ,3 ,2 ,1( =n 由归一化条件,得 ∴aA 2=∴ 粒子的归一化波函数为10、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子,当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最〔0a 为第一玻尔轨道半径〕. 证：dr r R dr r s 221010)( :1=ω 令010=drd ω,则得 00210211>=r dr d ω∴011=r 为几率最小处.00112102<=a r dr d ω∴011a r =为几率最大处.令021=drd ω,则得 002242212<=a r dr d ω∴0224a r =为最大几率位置.当 040a r <<时,02102>dr d ω∴0=r 为几率最小位置. 令 032=drd ω,得 同理可知 031=r 为几率最小处.0329a r =为几率最大处.11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.解：2221122)(x xe x ααπαψ-⋅=令01=dxd ω,得01=x ,00221x x ±=±=±=μω 002121>=x dx d ω, ∴01=x 为几率最小处.0212122<±=x dx d ω, ∴0221x x ±=±=为几率最大处. 6．设氢原子处在0301),,(a rear -=πφθψ的态〔0a 为第一玻尔轨道半径〕,求①r 的平均值；②势能re 2-的平均值.解：①⎰⎰⎰∞-=ππφθθπ20002330 sin 10d d dr e r a r a r②⎰∞-⋅⋅-=-023022041dr re a e r e a rs ππ12、粒子在势能为的场中运动.证明对于能量21U U E <<的状态,其能量由下式决定： 〔其中22 Ek μ=〕 证：方程Ⅰ：)0( 21222≤=+-x E U dx d II I Iψψψμ Ⅱ：)0( 02 222A x E dx d II II II<<=+-ψψψμ Ⅲ：)0( 2 2222≥=+-x E U dx d III III IIIψψψμ 令 ,)(2 ,2 ,)(222221E U Ek E U -==-=μβμμα 则得Ⅰ：0222=+I I dx d ψαψ Ⅱ： 0222=+II II k dxd ψψⅢ： 0222=+III III dxd ψβψ 其通解为利用标准条件,由有限性知 ∴xI e C αψ1=由连续性知δψψsin )0()0(1A C II I =⇒=①δαψψcos )0()0(1kA C II I =⇒'='②x III II e D kx A a a βδψψ-=+⇒=2)sin()()(③xIII II eD kx kA a a ββδψψ--=+⇒'='2)cos()()(④ 由①、②,得αδktg =⑤由③、④,得βδkka tg -=+)(⑥而δδδtg tgka tg tgka ka tg ⋅-+=+1)(把⑤、⑥代入,得βδδktg tgka tg tgka -=⋅-+1 整理,得 δβδβtg k tg ktgka -+=-1令 βτktg =∴δτπ+=-ka n由xtg tgxx 21sin +=,得21112sin 2sin U kU k n ka μμπ ----= ### 13、设波函数x x sin )(=ψ,求?][])[(2=-dxd xx dx d ψ 解：ψψ]][[])][()[(dxdx dx d x x dx d x dx d -=原式 14、说明：如果算符A ˆ和B ˆ都是厄米的,那么 <Aˆ+B ˆ>也是厄米的 证：⎰⎰⎰+=+τψψτψψτψψd B d A d B A 2*12*12*1ˆˆ)ˆˆ( ∴Aˆ+B ˆ也是厄米的. 15、问下列算符是否是厄米算符：①x p xˆˆ②)ˆˆˆˆ(21x p p x x x +解：①⎰⎰=τψψτψψd p xd p x x x )ˆ(ˆ)ˆˆ(2*12*1 因为x x p x pˆˆˆχ≠ ∴x p xˆˆ不是厄米算符. ②⎰⎰⎰+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21)]ˆˆˆˆ(21[ ∴)ˆˆˆˆ(21x p p x x x +是厄米算符. ## 16、如果算符βαˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα,求证 ①βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=- ②233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 证：①αβαβαββαˆˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆ2222-+=- ②αββαββαββαˆˆˆ)ˆˆˆ2(ˆˆˆˆ3233-+=- 17、求?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L解：)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆy z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=-= 018、 ?ˆˆˆˆ=-xx L x x L 解：)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆyz y z x x P z P y x x P z P y L x x L ---=- = 0第四章 态和力学量的表象4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元. 解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z py e L r p i y z rp i pp x)ˆˆ()21()(3 #4.2 求能量表象中,一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元.解：基矢：x a n a x u n πsin 2)(=能量：22222a n E n μπ =对角元：sin 202xdx a m x a x a mm ==⎰π 当时,n m ≠⎰⋅⋅=a mn dx ax x a m a x 0)(sin )(sin 2π#4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数. 解：定态薛定谔方程为即 0),()2(),(2122222=-+-t p C p E t p C dp d μμω 两边乘以ω2,得令μωββμωξ1, 1===p p跟课本P.39<2.7-4>式比较可知,线性谐振子的能量本征值和本征函数为 式中n N 为归一化因子,即#4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元.解：2222222221221ˆ21ˆx x x p H μωμμωμ+∂∂-=+= #4.5 设已知在Z L L ˆˆ2和的共同表象中,算符yx L L ˆˆ和的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数.最后将矩阵y x L L 和对角化. 解：x L 的久期方程为∴xL ˆ的本征值为 -，，0 xL ˆ的本征方程 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a ψ设为xL ˆ的本征函数Z L L ˆˆ2和共同表象中的矩阵 当01=λ时,有∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100a a ψ由归一化条件 取 211=a⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210210ψ对应于xL ˆ的本征值0 . 当 =2λ时,有∴⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112a a a ψ由归一化条件 取 211=a∴归一化的⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121 ψ对应于xL ˆ的本征值 当 -=2λ时,有∴⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1112a a aψ 由归一化条件 取 211=a ∴归一化的⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-212121 ψ对应于xL ˆ的本征值 - 由以上结果可知,从Z L L ˆˆ2和的共同表象变到xL ˆ表象的变换矩阵为 ∴对角化的矩阵为S L S L x x +='按照与上同样的方法可得yL ˆ的本征值为 -，，0 yLˆ的归一化的本征函数为 从Z L L ˆˆ2和的共同表象变到yL ˆ表象的变换矩阵为 利用S 可使yL ˆ对角化 #4.6求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为∴)**(2ψψψψμ∇-∇=i J 而 )**(2ψψψψμ∇-∇⋅∇=⋅∇i J ∴*)ˆˆ*(ψψψψωT T ti -=∂∂ 写成矩阵形式为第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.解：这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响.据题意知 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即)(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域, 在0r r <区域,)(r U 可由下式得出, 由于0r 很小,所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ,可视为一种微扰,由它引起的一级修正为〔基态ra Zea Z 02/1303)0(1)(-=πψ〕 ∴0a r <<,故102≈-r a Z e .∴⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε#5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的二级修正.解：取ε的正方向为Z 轴正方向建立坐标系,则转子的哈米顿算符为取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D HL IH-='=,则 由于电场较小,又把H'ˆ视为微扰,用微扰法求得此问题. )0(ˆH 的本征值为2(()))1(21+=IE 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =)0(ˆH 的基态能量为000=）（E ,为非简并情况.根据定态非简并微扰论可知 #5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及,现在受到微扰H'ˆ的作用,微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数.用微扰公式求能量至二级修正值. 解：由微扰公式得得 b H E b H E ='=='=22)1(0211)1(01 ∴ 能量的二级修正值为#5.4设在0=t 时,氢原子处于基态,以后受到单色光的照射而电离.设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε,ε与 ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示.求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率.解：①当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为 ②0=t 时,氢原子处于基态,其波函数为在t 时刻, rp i m e⋅=2/3)21(πφ 微扰 )(2sin )(ˆ t i ti e e ir e t r e t Hωωεωε--⋅=⋅='其中ir e F2ˆ ⋅=ε 在t 时刻跃迁到电离态的几率为对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,其中⎰⎰⋅-==ππτφφead F F r p i kmmk 302/3*1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z 方向, 取ε 、p所在平面为xoz 面,则有 ∴222122)()(sin 4ωωωω--=→mk mk mk m k tF W#5.5基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率.解：对于2p 态,1= ,m 可取1 ,0±三值,其相应的状态为氢原子处在2p 态的几率也就是从100ψ跃迁到121211210 -ψψψ、、的几率之和. 由 ⎰''='t t i mk m t d e H i t a mk 01)(ω⎰=τθεd Y R r t e Y R 0010*1021 cos )( <取ε方向为Z 轴方向>= 0 = 0由上述结果可知,0211100=→W , 0121100=-→W ∴12110021110021010021-→→→→++=W W W W p s 当∞→t 时,其中02343412218 38 3)411(2 )(1a e e e E E s s s==-=-=μμω #5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率.解： 233234mk mk s mk r ce A ω= 由选择定则1±=∆ ,知s s 12→是禁戒的 故只需计算s p 12→的几率而 221221221221z y x r ++=2p 有三个状态,即 121211210 , ,-ψψψ <1>先计算z 的矩阵元 θcos r z = <2>计算x 的矩阵元 )(sin 2cos sin ϕϕθϕθi i e e rr x -+== <3>计算y 的矩阵元 )(sin 21sin sin ϕϕθϕθi i e e r ir y --== <4>计算fs s A 910211052.01023.51--⨯=⨯==τ # 5.7 计算氢原子由2p 态跃迁到1s 态时所发出的光谱线强度. 解：2112212ω ⋅=→→s p p s p A N J若 9210-=p N ,则 W J 1.321= #5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解： 22mk mk mk x r A =∝由 ]212[111+-++=k k k k k x φφαφ1±=⇒k m 时,0≠mk x即选择定则为 1±=-=∆k m m #补充练习三1、 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰 作用,试求基态能级的一级修正.解：基态波函数〔零级近似〕为 ∴能量一级修正为 2、具有电荷为q 的离子,在其平衡位置附近作一维简谐振动,在光的照射下发生跃迁.设入射光的能量为)(ωI .其波长较长,求：① 原来处于基态的离子,单位时间内跃迁到第一激发态的几率. ②讨论跃迁的选择定则.〔提示：利用积分关系a n e x n ax n π1022)12(5312+∞--⋅⋅⋅⋅=⎰ 答：①)(32)(342221022210ωωμπωπωI q I x q s s ==→ ②仅当01≠±=xmk m 时，∆,所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是1±=m ∆〕解：①)( 21ˆ0q e x q F →=ε ∴)(43422022mk mk m k I r q ωπεπω ⨯=→)(3421022210ωπωI x q s=→ <对于一维线性谐振子n r ～i x > 其中 ⎰=dx x x 0*110ψψ一维线性谐振子的波函数为 ∴⎰∞∞---⋅=dx ex xe x x 22222121102)22(ααπααπαψ∴)(32)(32)(2134222222222210ωμωπωαπωαπωI q I q I q s s s ===→ ② 跃迁几率2mk x α,当0=mk x 时的跃迁为禁戒跃迁.可见,所讨论的选择定则为1±=m ∆.#3、电荷e 的谐振子,在0=t 时处于基态,0>t 时处于弱电场τεε/0t e -=之中<τ为常数>,试求谐振子处于第一激发态的几率.解：取电场方向为x 轴正方向,则有 当经过很长时间以后,即当∞→t 时,0/→-τt e .∴)1( 2)(01-=ωτταεi i e t a实际上在τ5≥t 以后即可用上述结果.#第七章 自旋与全同粒子7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 与。
周世勋量子力学习题答案(七章全)
−
h2 2μ
d2 ψ dx2
(x)
+ U (x)ψ
(x)
=
Eψ
6.62559 ×10−34 × 2.997925 ×108 1.380546 ×10−23
= 2.898 ×10−3 m ⋅ k
[注]
ρν
根据
=
8πhν 3 c3
1
hν
e kT − 1
可求能量密度最大值的频率：
x = hν
令
kT
ρν
=
Ax3
1 ex −1
（
A
=
8πk 3T c3h2
3
）
dρν dν
球面波。
2.3 一粒子在一维势场
⎧∞ U (x) = ⎪⎨0
⎪⎩∞
x<0 0≤ x≤a x>a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
[解]：由于势函数U (x) 不随时间变化
体系的状态波函数满足定态 Schrödinger 方程
0
a
− h2 ∇2ψ (x) + U (x)ψ (x) = Eψ (x) 2m
vj = ih [ψ (rv)∇ψ *(rv) −ψ *(rv)∇ψ (rv)] 则有： 2μ 即 vj 仅是空间坐标 (x, y, z) 的函数，与时间无关。
2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
ψ1
=
1 r
eikr
ψ
（2）
2
=
1 e−ikr r
从所得结果说明ψ1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。
m
= 2.43 ×10−12 m = 2.43 ×10−2 A°
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
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三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
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解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
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两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
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跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
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《量子力学教程》 习题解答
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《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
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05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章 态和力学量的表象——第6章
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
量子力学教程习题答案周世勋
习题解答
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
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（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
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第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
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i
[
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i
Et
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i
量子力学习题解答-周世勋
周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。
并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。
解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。
解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。
量子力学教程周世勋_课后答案
量子力学教程周世勋_课后答案(共88页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc e kThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记第1章绪论1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；2．掌握德布罗意波粒二象性关系；3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念图1-1-1 康普顿散射二、原子结构的玻尔理论1经典理论在解释原子结构上的困难（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设表1-1-2 玻尔假设3索末菲量子化条件的推广式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
量子力学答案课后 习题答案详解(周世勋)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程习题答案周世勋
2 n a
a
A2a
∴归一化常数 A 1 a
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2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解： (x)
1 2x2
2xe 2
2
1(x) 1(x) 2
4 2
2
x 2e 2x2
2 3 x e2 2x2
d1 (x) 2 3 [2x 2 2 x3 ]e 2x2
dx
• 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
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目录(mùlù)
• 第一章 绪论 • 第二章 波函数和薛定谔方程(fāngchéng) • 第三章 力学量的算符表示 • 第四章 态和力学量的表象 • 第五章 微扰理论 • 第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子
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《量子力学教程 (jiàochéng)》
习题解答
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
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k mr3
r
J1与
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同向。表示向外传播的球面波。
10
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(2)
J2
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《量子力学教程》周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程-周世勋-第六章散射
（6.2-1）
r h2 k 2 为连续谱。令ψ (r ) = Rl (r )Ylm (θ , ϕ ) ，得径向方程为： 2μ
（6.2-2）
⎡ h 2 1 d 2 d l (l + 1)h 2 ⎤ ⎢ − 2 μ r 2 dr r dr + 2μ r 2 + U (r ) ⎥ U l (r ) = ERl (r ) ⎣ ⎦
uu r
ur
u r
u r
uur
uu r
uu r ⎡ uu r⎤ 1 j0 = ⎢α (r , θ , ϕ ) + β (r ,θ , ϕ )θ 0 ⎥ eikr (1−cosθ ) + cc r0 ⎣ ⎦ uu r ur 设 α ( r , θ , ϕ ) 的幅角为 arg x ，则在 j0 的 ro 分量中必含因子
第六章
散射
6.1 两体碰撞和散射截面
两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在 碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。 如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离） ，则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子 出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒 子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如， 贞瑟福（Rutherford）由对 X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原 子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty）实验证明了原子中有定态。 两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系 的势能仅由相互作用能 U ( r ) 决定。由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为 μ 的 粒子在一个固定于质心位置的势场 U ( r ) 中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为 靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量 E 是连续谱，在弹性散射 中，能量 E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于 r 处的粒子质量大得多，则这个 具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量 E 便化为这个真实粒子的能量。 考虑一束粒子沿 Z 轴正方向向散射中心 C 射束，如下图： 在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写， 所以穿过垂直于 Z 轴平面的 λ 射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒 子数 N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以 C 点为球心以 r 为半径的球面上的面积元 ds 对 C 点张开的立体角为 d Ω ， 则单位时间内散射到 d Ω 内 的粒子数 dn 应与 d Ω 成正比，也与 N 成正比：
第一章(量子力学)汇总
2.黑体只能以 E = hν 为能量单位不连续的发射和吸收能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.
3. 热力学与统计物理学----热现象理论
二、经典物理学的困难
进入20世纪以后，经典理论在解释一些新的试验结果 上遇到了严重的困难，晴朗的物理学天空飘着几朵乌 云：
1、黑体辐射问题－紫外灾难
2、光电效应--光照射到金属材料上，会产生光电子。但 产生条件与光的频率有关，与光的强度无关.
3、原子的稳定性问题－原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约 为1ns.
内容
第一章 绪论
第二章 波函数和 Schrödinger 方程
第三章 量子力学中的力学量 第四章 态和力学量表象 第五章 微扰理论 第六章 散射 第七章 自旋与全同粒子
参考：周世勋教材 高等教育出版社 曾谨言教材(卷I) 科学出版社
第一章 绪论
§1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 微粒的波粒二象性
•Planck 辐射定律成 功的解释了实验
对
Planck
辐射定律的讨论： d
8 h 3
C3
exp(h
1 / kT
)
1
d
•1.当 ν 很大（短波）时，因为 exp(hν /kT)-1 ≈ exp(hν /kT)， 于是 Planck 定律 和 Wien 公式一致.
d
8h
C3
3
exp(h
【课后习题】量子力学期末复习专题(仅供参考)
量子力学期末复习专题（仅供参考）第一章 量子理论基础1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么epE μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmmm E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第二章 波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与 无关。
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：222122)(x xex ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(xxex ex x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231xex x dxx d ααπαω--=令0 )(1=dxx d ω，得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
周世勋量子力学考研题库
周世勋量子力学考研题库量子力学是物理学中一个重要的分支，它描述了微观粒子如原子、分子、光子等的行为。
周世勋教授是中国著名的物理学家，他的研究在量子力学领域有着深远的影响。
以下是一个关于周世勋量子力学考研题库的示例内容：量子力学基本概念1. 波函数：波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数，通常用希腊字母ψ表示。
波函数的绝对值平方给出了粒子在某一位置被发现的概率密度。
2. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学中描述波函数随时间演化的基本方程。
它是一个非相对论性的波动方程。
3. 不确定性原理：由海森堡提出，表明无法同时准确知道粒子的位置和动量。
这是量子力学的一个基本特性。
4. 量子态叠加原理：量子态可以是不同态的线性组合，这种性质是量子力学区别于经典物理的重要特征。
5. 量子纠缠：量子纠缠是量子力学中的一个现象，指两个或多个粒子的量子态无法独立描述，即使它们相隔很远。
量子力学基本问题1. 单缝衍射问题：当粒子通过一个狭缝时，会在屏幕上形成衍射图样。
请解释这一现象，并用波函数描述粒子的行为。
2. 双缝干涉实验：当粒子通过两个狭缝时，屏幕上的干涉图样如何形成？解释量子力学中的干涉现象。
3. 量子隧道效应：在经典物理中，粒子无法穿越势垒。
但在量子力学中，粒子有一定的概率穿越势垒。
请解释量子隧道效应。
4. 量子测量问题：测量在量子力学中扮演着特殊的角色。
请讨论测量对量子态的影响，以及波函数坍缩的概念。
5. 量子纠缠与量子信息：量子纠缠在量子信息科学中有着重要应用。
请讨论量子纠缠在量子计算和量子通信中的应用。
量子力学应用1. 量子计算：量子计算机利用量子比特（qubits）进行计算，可以解决某些传统计算机难以解决的问题。
2. 量子通信：量子通信利用量子纠缠和量子隐形传态实现信息的安全传输。
3. 量子模拟：量子模拟器可以模拟其他量子系统的行为，用于研究复杂的物理现象。
4. 量子传感器：量子传感器利用量子效应提高测量的精度，应用于精密测量领域。
周世勋量子力学习题及解答（ＰＤＦ）
量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hc v v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kT hc kThc e kT hc ehc λλλλλπρ⇒0115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
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第六章 散射1．粒子受到势能为2)(r ar U =的场的散射，求S 分波的微分散射截面。
[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。
注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。
因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：0))1()((12222=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l lR r l l r V k drdR r dr d r其中l R 是波函数的径向部分，而E k r U r V 2222),(2)(ηημμ==令r r x R l l )(=，不难把矢径波动方程化为02)1(2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+''l l x r r l l k x ημα再作变换 )(r f r x l =，得0)(221)(1)(2222=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'+''r f r e k r f r r f ημα这是一个贝塞尔方程，它的解是)()()(kr BN kr AJ r f p p +=其中222221ημα+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l p 注意到)(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数∞→=rN R p l ，不符合波函数的标准条件。
所以必须有0=B故)(1kr J r AR p l =现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求得相角位移l δ，由于：)2sin(1)42sin(1)(l lkr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=∴21221224222l d l l p l ημππππδ当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-=2122l l ημαπδ又因l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=02)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπη∑∞=-=02)(cos l l P k θπμαη注意到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222112)(cos 1)(cos 1cos 211l l l l l lr r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθρ如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有∑∞===-02sin21)(cos )cos 1(21l l P θθθ故2sin21)(2θπμαθηk f -=微分散射截面为θθαμπθθαμπθθd Ed k d f 2csc 82sin41)(2222242222ηη==由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。
2．慢速粒子受到势能为⎩⎨⎧><=a r a r U r U 当当,0,)(0的场的散射，若0,00><U U E ，求散射截面。
[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。
在a r >处，方程为2210l l l(l )x k x r +⎡⎤''+-=⎢⎥⎣⎦其中222ηE k μ=在a r <处，则有2210l l l(l )x k x r +⎡⎤'''-+=⎢⎥⎣⎦其中202)(2ηE U k -='μ 而波函数是r x R l l =在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为0020=+''>x k x ar0020=-''<x k x ar其解分别为当a r >时， )sin(00δ+=kr B x 当a r <时，0x Ashk r A c hk r '''=+由于在0→r 时，r x R 00=有限，但1cos 0−−→−'→r r k 当η故 0='A 即)(0a r rk Ash x <'=在a r =处，波函数0R 及其微商必须连续，因此得出)sin(0δ+='ka B a k Ash)sin()cot(0202δδ+-+='-''ka a Bka k a B a k sh a A a k ch k a A用前式除后式可得)cot(coth 0δ+=''ka k a k k即)(0δ+'='ka tg k k a k tg ηka a k tg k k tg -⎪⎭⎫⎝⎛''=∴-η10δ因此S 分波的辐射截面是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-ka a k tg k k tg k k Q η1220220sin 4sin 4πδπ当速度较小时，0→k ，可以近似地认为2002ηU k k μ=='这时有0tghka tghk a =000ktghk a ka k δ∴=-20022020144⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a k a k tg a k Q ηπδπ假如∞→0U ，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于121)(100022020200−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→k a k a k tg a k a k tg a k a k tg 当ηηη204Q a π∴=3．只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能4)(r r U α=的场散射时的散射截面。
[解] 当只考虑0=l ，即S 分波时，令r R α=，则x 满足的方程是：0242=-''r xx ημα为了解此方程，作如下代换，令)()(r f r r x =，由于)(121)(r f r r f r x +'='23)(41)()(-⋅-'+''=''r r f r r f r f r x可将原方程化为0411223272=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'+''r r d f r f f r ημ即04112242=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+''r r d f r f f ημ为了化简方程，再作变换，令ξμα12ηi r =注意到22212ξμαξμαξξξηηd df i r i d df dr d d df dr df =-==drd d df i d f d i dr d d df i d d dr f d ξξμαξξμαξξμαξξ222222222ηηη+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μαξξξμαξηηi d df i d f d方程可以化为04111222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++ξξξξd df d f d这是21阶的贝塞尔方程，它的解是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r i H r f 12)()1(21ημα式中)1(H表示第一类汉克尔函数，按定义为[])()(sin )()1(ξξπξπp p ip p J J ep iH ---=当1<<ξ时，)1(2)(+=p J p pP Γξξ当0,→∞→ξr 时⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−--∞→2122322sin )(21212121)1(21ΓξΓξπξi i H r 当 而πΓΓπΓ21212123,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴r x i H r r f r x ημ2)()1(21当r 很大时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241222ηημαμαr x 常数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==r c C r r r x R 21412412212)(常数常数ηημαμα另一方面r kr r kr C kr kr C R )sin()0cos()0sin(021δ-=-+-=常数当1<<kr 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+≅r C C R 21常数 其中412241212,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ηημαμαC C01202δμαδ===∴k k C C tg η散射截面222208424k k Q ηηπμαπμαπδ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==上述解的条件是,1<<kr 即112<<=r i ημαξ亦即要求 k r 12<<<<ημα4．用玻恩近似法求粒子在势能220)(r eU r U α-=场中散射时的散射截面。
[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式2)()(θθf q = 而⎰∞--=0222sin 2)(drkre r K f rαμθη [见教材（55-23）式]其中2sin 4222θk K =，θ为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。
在本题中220)(re U r U α-=⎰∞--=∴02022sin 2)(drKre r K U f r αμθη⎰∞--+--=02)(2222dre e r K U iiKrr iKrr ααμη⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2422422222222222drree K U i dr ree K U i iK r K iK r K ααααααμμηη注意到⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0222222222222222dreiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα⎰∞-+=+=03224212222απααπααiK iK dx xe x又⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-0002222222222222222dr eiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα32421απαiK +-=2222432034222)(αααπμαπμθK K e U iK e K U i f ---=⋅=∴ηη而2sin 4222θK K =2226420224)()(ααπμθθK eU f q -==∴η5．利用玻恩近似法求粒子在势能20s Ze r,r a U(r )r b,r a ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩场中散射的微分散射截面，式中22sa b Ze =[解] 由势能)(r U 的形状容易看出，计算)(θf 时只需计算由a →0的积分即可。