艾里光纤出射场的自愈特性
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3 2 2 2 × exp i ( −(xm − vm + sm )xm / 2 + vm sm − ( vmxm / 12) + ( am / 2) )
（2）
s x = x / x0 Ai( sm ) 为艾里函数， am > 0 是截断孔径函数， x x =z / kx02 和 ξ y =z / ky02 表示归一化传输距离， 和 s y = y / y0 为无量纲横向坐标， x0 和 y0 为归一化坐标， vm 与光束的初始入射角度 θ m 相关： θ m = vm / k ( x0 , y0 ) [15]。在 ax = ay = 0.11、x0 = y0 = 5 µm、vm = 0、λ0 = 0.98 µm 和 z = 0 µm 的条件下， 图 1（a）给出了有限能量艾里光束的光强分布情况。从图中可看出，光束能量主要集中于两个分别 沿着 x、y 轴方向分布的边带上，由此可以用其对应的 L 形边带艾里光束（图 1（b） ）来近似理想的 有限能量艾里光束。
愈特性。
4 艾里光纤出射光场的自愈合现象
同贝塞尔光束一样，艾里光束也具有自愈特性[14]。当艾里光束在传输过程中丢失部分信息后， 光束可以通过内部能量的流动来实现重组进而完成自愈。为了分析艾里光纤出射光场的自愈特性， 我们采用公式（3）中的坡印廷横向分量 S ⊥ 来观察在传输过程中内部能量的流动情况。 相对于理想的艾里光束，艾里光纤的出射光场缺失了所有内部光斑，只留下最边沿的两个边带， 因此，艾里光纤出射光场在空间传输过程中会形成流向内部的能量流，如图 4（a）所示，当艾里光 纤出射光场传输 50µm 时，各个旁瓣均存在指向内部的能量流（黑色箭头表示坡印廷横向分量的方 向） 。由于在光束形状上的差异，不同于理想 L 形边带艾里光束存在垂直指向内部的能量流（如图 4 （c）所示） ，艾里光纤出射场指向内部的能量流方向均不垂直指向内部，但同样可以自愈重组形成 内部光斑，如图 4（b）所示。艾里光纤出射光场主瓣的内部能量流将沿着 x-y 平面的 45°轴，从而 实现光束的加速特性，在这一点上，艾里光纤出射光场与 L 形边带艾里光束的特性保持一致，如图 4（b）和（d） 。
(a) Z = 50 µm
(b) Z = 200 µm
(c) Z = 50 µm
(d) Z = 200 µm
图 4 艾里光纤输出光场的在传输距离 Z 处的坡印廷横向分量分布情况： (a) Z = 50 µm；(b) Z = 200 µ； （c）和（d） 为对应的 L 形边带艾里光束的分布情况
当艾里光纤出射光场的主瓣被遮挡（如图 5（a） ）时，旁瓣能量流的方向主要指向主瓣所在位 置，显然这有助于自愈合，如图 5（b）所示。当光束实现自重组时（在 Z = 200 µm 处）将形成新的 主瓣，而该主瓣的内部能量流同样也沿着 x-y 平面的 45°轴，体现出光束的加速特性。相比于主光 瓣被遮挡的 L 形边带艾里光束（如图 5（d） ） ，艾里光纤出射光场指向主瓣方向的能量流更大，最后 自愈形成的主瓣光强也更大，如图 5（b） 、 （c） 、 （e）和（f）所示。
[1, 2]
2 有限能量二维艾里光束及其 L 形边带艾里光束
有限能量的二维艾里光束可以表示为[14]：
ϕ ( x, y , z ) =
其中，
m= x , y
∏ um ( sm , xm )
（1）
u( sm , xm ) = Ai[ sm − (xm / 2)2 − vmxm +iamxm ]exp[am sm − ( amxm 2 / 2) − am vmxm ]
基金资助： 国家自然科学基金 （11274077， 61290314） ； 111 项目 （B13015） ； 中日 S&T 合作项目 （2010DFA-2770） 第一作者简介：邓洪昌（1986-） ，男，博士研究生，Email：denghongchang86@
图 1 艾里光纤光强分布图： （a）二维有限能量二维艾里光束； （b）L 形边带艾里光束
征文专题号：
滨，150001)
摘要：本文分析了二维阵列多芯的微结构艾里光纤出射光场的自愈特性。艾里光纤出射光场 在形状、振幅和相位分布上都与艾里光束的两个最边沿边带光束（L 形边带艾里光束）非常 相似，可用艾里光纤出射光场来近似 L 形边带艾里光束。通过观察光束的坡印廷横向分量发 现，艾里光纤出射场不但保留了 L 形边带艾里光束的大部分光学特性，而且还具有其他独特 的自愈能力。 关键词：衍射；艾里光束；自愈；光波导
在傍轴条件下，艾里光束
的坡印廷矢量可以表示为[10]： （3）
其中， 向分量
为真空阻抗， 表示在 z 轴方向的单位矢量，
和
分别表示坡印廷纵向
和横向分量。由于坡印廷矢量指出了能量流的方向和大小，因此可以通过检测艾里光束的坡印廷横 来观察其重组自愈合现象[14]。
3 艾里光纤及其出射光场
为了得到 L 形边带艾里光束（如图 2（a） ） ，我们设计了如图 2（b）所示的二维阵列多芯微结构 艾里光纤。从图中可以看出，该光纤纤芯由两组相互垂直的纤芯阵列组成，每组纤芯的空间排布都 满足或近似满足艾里函数（如图 2（c） ） 。当向中央纤芯输入高斯光束（GB）后，光波会在纤芯阵列 中不断耦合，经过一定长度之后，就会实现近似立方相位调制，在此处截断光纤就可以得到 L 形边 带近似艾里输出光束，如图 3（a）所示。
1 引言
非扩散传输的光束被称为无衍射光束，1987 年，Durnin 等首次从理论和实验上分析了这种光波 。其中存在着一种十分特殊的无衍射光束—艾里光束（Airy beam），Berry 和 Balazs[3]在量子力 学背景下从理论上推出薛定谔方程具有无衍射的艾里波包解，从而证明了艾里光束的无衍射特性。 但是由于这种光束具有无限能量，因此它只是一个理想化的光束。为了使艾里光束能在实际中得到 应用，Siviloglou 和 Christodoulides 首次以高斯光立方相位调制的方式从理论和实验上得到了有限能 量的艾里光束[4, 5]。这种有限能量的艾里光束同样具备理想艾里光束的三大特性，即：无衍射、自由 加速和自愈特性。基于这些独特的性质，有限能量的艾里光束具有极大的应用潜力，例如：光学微 操纵[6]、等离子体导引[7]和真空电子束加速[8]等。 目前，艾里光纤生成技术主要基于体光学系统[5]，而这种系统存在体积大、成本高和对准难等 缺点，为了克服空间光调制和几何光学器件的限制，我们提出了一种基于二维阵列多芯的微结构艾 里光纤（2D Airy fiber）[9]。利用这种艾里光纤可以在出射纤端形成 L 形边带近似艾里光束，这种光 束同样继承了理想艾里光束的三大特性，本文将对其自愈特性进行细致的研究。
参考文献
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. J. Durnin. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory[J]. J. Opt. Soc. Am. A，1987，4 (4)：651-654 J. Durnin, J. Miceli Jr, J. Eberly. Diffraction-free beams[J]. Physical Review Letters，1987，58 (15)： 1499-1501 M. V. Berry,N. Balazs. Nonspreading wave packets[J]. Am. J. Phys，1979，47 (3)：264-267 G. A. Siviloglou,D. N. Christodoulides. Accelerating finite energy Airy beams[J]. Optics Letters，2007，32 (8)：979-981 G. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu et al.. Observation of accelerating Airy beams[J]. Physical Review Letters，2007，99 (21)：213901 J. Baumgartl, M. Mazilu, K. Dholakia. Optically mediated particle clearing using Airy wavepackets[J]. Nature photonics，2008，2 (11)：675-678 P. Polynkin, M. Kolesik, J. V. Moloney et al.. Curved plasma channel generation using ultraintense Airy beams[J]. Science，2009，324 (5924)：229 J. X. Li, X. L. Fan, W. P. Zang et al.. Vacuum electron acceleration driven by two crossed Airy beams[J]. Optics Letters，2011，36 (5)：648-650 H. Deng,L. Yuan， Design of a novel quasi-Airy beam generator: Airy optical fiber[C]，OFS2012 22nd International Conference on Optical Fiber Sensor, (International Society for Optics and Photonics, 2012), 84218Y-84218Y-84214 10. L. Allen, M. Beijersbergen, R. Spreeuw et al.. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes[J]. Physical Review A，1992，45 (11)：8185-8189
图 2 艾里光纤示意图： （a）L 形边带艾里光束； （b）二维艾里光纤； （c）艾里光纤纤芯阵列的空间排布
图 3 艾里光纤的出射光场： （a）横截面光场振幅分布图； （b）X 轴向上的振幅和相位分布图； （c）对应理想二维有限能量艾里光束传输到 70mm 处的振幅和相位分布
L 形边带艾里光束作为一种近似的艾里光束同样具备理想艾里光束的大部分光学特性。从图 3 （b）和（c）可以看出，艾里光纤的出射光场的光强和振幅在 X 轴向上的分布与理想有限能量艾里 光束非常相似。这样，艾里光纤出射光场在形状、振幅和相位分布上都十分近似于 L 型边带艾里光 束，因此可以推断出艾里光纤出射光场也同样继承或部分继承了艾里光束的无衍射、自由加速和自
5 结论
本文通过光束的坡印廷横向分量来分析艾里光纤出射光场的重组自愈合特性。由于艾里光纤出 射光场的形状、振幅和相位分布都与理想二维有限能量艾里光束的两个最边沿边带（L 形边带）非 常相似，因此我们用艾里光纤出射光场来近似 L 形边带艾里光束。通过分析艾里光纤出射光场的坡 印廷横向分量发现，在传输过程中，艾里光纤出射光场和 L 形边带艾里光束的自愈特性存在许多相 同点和不同点。它们都存在指向光束内部的能量流，但由于在光束形状上的差异，不同于理想 L 形 边带艾里光束存在垂直指向内部的能量流，艾里光纤出射场指向内部的能量流方向均不垂直指向内 部，但它们都会自愈重组形成内部光斑，并且主瓣的内部能量流都沿着 x-y 平面的 45°轴，体现出 光束的加速特性。当艾里光纤出射光场和 L 形边带艾里光束的主瓣被遮挡时，它们都会实现自重组 形成新的主瓣，并且该主瓣的内部能量流都沿着 x-y 平面的 45°轴，但不同之处在于，艾里光纤出 射光场指向主瓣方向的能量流更大，最终自愈形成的主瓣光强也更大。总之，艾里光纤出射场不但 保留了 L 形边带艾里光束的大部分光学特性，而且还具有其他独特的自愈能力。
(a) Z = 0 µm
(b) Z = 50 µm
(c) Z = 200 µm
(d) Z = 0 µm
(e) Z = 50 µm
(f) Z = 200 µm
(b)
图 5 主光瓣被遮挡的艾里光纤输出光场在传输距离 Z 处的坡印廷横向分量分布情况： (a) Z = 0 µm；(b) Z = 50 µm； (c) z = 200 µm； (d)、(c)和(e)为对应的主光瓣被遮挡的 L 形边带艾里光束的分布情况
（2）
s x = x / x0 Ai( sm ) 为艾里函数， am > 0 是截断孔径函数， x x =z / kx02 和 ξ y =z / ky02 表示归一化传输距离， 和 s y = y / y0 为无量纲横向坐标， x0 和 y0 为归一化坐标， vm 与光束的初始入射角度 θ m 相关： θ m = vm / k ( x0 , y0 ) [15]。在 ax = ay = 0.11、x0 = y0 = 5 µm、vm = 0、λ0 = 0.98 µm 和 z = 0 µm 的条件下， 图 1（a）给出了有限能量艾里光束的光强分布情况。从图中可看出，光束能量主要集中于两个分别 沿着 x、y 轴方向分布的边带上，由此可以用其对应的 L 形边带艾里光束（图 1（b） ）来近似理想的 有限能量艾里光束。
愈特性。
4 艾里光纤出射光场的自愈合现象
同贝塞尔光束一样，艾里光束也具有自愈特性[14]。当艾里光束在传输过程中丢失部分信息后， 光束可以通过内部能量的流动来实现重组进而完成自愈。为了分析艾里光纤出射光场的自愈特性， 我们采用公式（3）中的坡印廷横向分量 S ⊥ 来观察在传输过程中内部能量的流动情况。 相对于理想的艾里光束，艾里光纤的出射光场缺失了所有内部光斑，只留下最边沿的两个边带， 因此，艾里光纤出射光场在空间传输过程中会形成流向内部的能量流，如图 4（a）所示，当艾里光 纤出射光场传输 50µm 时，各个旁瓣均存在指向内部的能量流（黑色箭头表示坡印廷横向分量的方 向） 。由于在光束形状上的差异，不同于理想 L 形边带艾里光束存在垂直指向内部的能量流（如图 4 （c）所示） ，艾里光纤出射场指向内部的能量流方向均不垂直指向内部，但同样可以自愈重组形成 内部光斑，如图 4（b）所示。艾里光纤出射光场主瓣的内部能量流将沿着 x-y 平面的 45°轴，从而 实现光束的加速特性，在这一点上，艾里光纤出射光场与 L 形边带艾里光束的特性保持一致，如图 4（b）和（d） 。
(a) Z = 50 µm
(b) Z = 200 µm
(c) Z = 50 µm
(d) Z = 200 µm
图 4 艾里光纤输出光场的在传输距离 Z 处的坡印廷横向分量分布情况： (a) Z = 50 µm；(b) Z = 200 µ； （c）和（d） 为对应的 L 形边带艾里光束的分布情况
当艾里光纤出射光场的主瓣被遮挡（如图 5（a） ）时，旁瓣能量流的方向主要指向主瓣所在位 置，显然这有助于自愈合，如图 5（b）所示。当光束实现自重组时（在 Z = 200 µm 处）将形成新的 主瓣，而该主瓣的内部能量流同样也沿着 x-y 平面的 45°轴，体现出光束的加速特性。相比于主光 瓣被遮挡的 L 形边带艾里光束（如图 5（d） ） ，艾里光纤出射光场指向主瓣方向的能量流更大，最后 自愈形成的主瓣光强也更大，如图 5（b） 、 （c） 、 （e）和（f）所示。
[1, 2]
2 有限能量二维艾里光束及其 L 形边带艾里光束
有限能量的二维艾里光束可以表示为[14]：
ϕ ( x, y , z ) =
其中，
m= x , y
∏ um ( sm , xm )
（1）
u( sm , xm ) = Ai[ sm − (xm / 2)2 − vmxm +iamxm ]exp[am sm − ( amxm 2 / 2) − am vmxm ]
基金资助： 国家自然科学基金 （11274077， 61290314） ； 111 项目 （B13015） ； 中日 S&T 合作项目 （2010DFA-2770） 第一作者简介：邓洪昌（1986-） ，男，博士研究生，Email：denghongchang86@
图 1 艾里光纤光强分布图： （a）二维有限能量二维艾里光束； （b）L 形边带艾里光束
征文专题号：
滨，150001)
摘要：本文分析了二维阵列多芯的微结构艾里光纤出射光场的自愈特性。艾里光纤出射光场 在形状、振幅和相位分布上都与艾里光束的两个最边沿边带光束（L 形边带艾里光束）非常 相似，可用艾里光纤出射光场来近似 L 形边带艾里光束。通过观察光束的坡印廷横向分量发 现，艾里光纤出射场不但保留了 L 形边带艾里光束的大部分光学特性，而且还具有其他独特 的自愈能力。 关键词：衍射；艾里光束；自愈；光波导
在傍轴条件下，艾里光束
的坡印廷矢量可以表示为[10]： （3）
其中， 向分量
为真空阻抗， 表示在 z 轴方向的单位矢量，
和
分别表示坡印廷纵向
和横向分量。由于坡印廷矢量指出了能量流的方向和大小，因此可以通过检测艾里光束的坡印廷横 来观察其重组自愈合现象[14]。
3 艾里光纤及其出射光场
为了得到 L 形边带艾里光束（如图 2（a） ） ，我们设计了如图 2（b）所示的二维阵列多芯微结构 艾里光纤。从图中可以看出，该光纤纤芯由两组相互垂直的纤芯阵列组成，每组纤芯的空间排布都 满足或近似满足艾里函数（如图 2（c） ） 。当向中央纤芯输入高斯光束（GB）后，光波会在纤芯阵列 中不断耦合，经过一定长度之后，就会实现近似立方相位调制，在此处截断光纤就可以得到 L 形边 带近似艾里输出光束，如图 3（a）所示。
1 引言
非扩散传输的光束被称为无衍射光束，1987 年，Durnin 等首次从理论和实验上分析了这种光波 。其中存在着一种十分特殊的无衍射光束—艾里光束（Airy beam），Berry 和 Balazs[3]在量子力 学背景下从理论上推出薛定谔方程具有无衍射的艾里波包解，从而证明了艾里光束的无衍射特性。 但是由于这种光束具有无限能量，因此它只是一个理想化的光束。为了使艾里光束能在实际中得到 应用，Siviloglou 和 Christodoulides 首次以高斯光立方相位调制的方式从理论和实验上得到了有限能 量的艾里光束[4, 5]。这种有限能量的艾里光束同样具备理想艾里光束的三大特性，即：无衍射、自由 加速和自愈特性。基于这些独特的性质，有限能量的艾里光束具有极大的应用潜力，例如：光学微 操纵[6]、等离子体导引[7]和真空电子束加速[8]等。 目前，艾里光纤生成技术主要基于体光学系统[5]，而这种系统存在体积大、成本高和对准难等 缺点，为了克服空间光调制和几何光学器件的限制，我们提出了一种基于二维阵列多芯的微结构艾 里光纤（2D Airy fiber）[9]。利用这种艾里光纤可以在出射纤端形成 L 形边带近似艾里光束，这种光 束同样继承了理想艾里光束的三大特性，本文将对其自愈特性进行细致的研究。
参考文献
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. J. Durnin. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory[J]. J. Opt. Soc. Am. A，1987，4 (4)：651-654 J. Durnin, J. Miceli Jr, J. Eberly. Diffraction-free beams[J]. Physical Review Letters，1987，58 (15)： 1499-1501 M. V. Berry,N. Balazs. Nonspreading wave packets[J]. Am. J. Phys，1979，47 (3)：264-267 G. A. Siviloglou,D. N. Christodoulides. Accelerating finite energy Airy beams[J]. Optics Letters，2007，32 (8)：979-981 G. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu et al.. Observation of accelerating Airy beams[J]. Physical Review Letters，2007，99 (21)：213901 J. Baumgartl, M. Mazilu, K. Dholakia. Optically mediated particle clearing using Airy wavepackets[J]. Nature photonics，2008，2 (11)：675-678 P. Polynkin, M. Kolesik, J. V. Moloney et al.. Curved plasma channel generation using ultraintense Airy beams[J]. Science，2009，324 (5924)：229 J. X. Li, X. L. Fan, W. P. Zang et al.. Vacuum electron acceleration driven by two crossed Airy beams[J]. Optics Letters，2011，36 (5)：648-650 H. Deng,L. Yuan， Design of a novel quasi-Airy beam generator: Airy optical fiber[C]，OFS2012 22nd International Conference on Optical Fiber Sensor, (International Society for Optics and Photonics, 2012), 84218Y-84218Y-84214 10. L. Allen, M. Beijersbergen, R. Spreeuw et al.. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes[J]. Physical Review A，1992，45 (11)：8185-8189
图 2 艾里光纤示意图： （a）L 形边带艾里光束； （b）二维艾里光纤； （c）艾里光纤纤芯阵列的空间排布
图 3 艾里光纤的出射光场： （a）横截面光场振幅分布图； （b）X 轴向上的振幅和相位分布图； （c）对应理想二维有限能量艾里光束传输到 70mm 处的振幅和相位分布
L 形边带艾里光束作为一种近似的艾里光束同样具备理想艾里光束的大部分光学特性。从图 3 （b）和（c）可以看出，艾里光纤的出射光场的光强和振幅在 X 轴向上的分布与理想有限能量艾里 光束非常相似。这样，艾里光纤出射光场在形状、振幅和相位分布上都十分近似于 L 型边带艾里光 束，因此可以推断出艾里光纤出射光场也同样继承或部分继承了艾里光束的无衍射、自由加速和自
5 结论
本文通过光束的坡印廷横向分量来分析艾里光纤出射光场的重组自愈合特性。由于艾里光纤出 射光场的形状、振幅和相位分布都与理想二维有限能量艾里光束的两个最边沿边带（L 形边带）非 常相似，因此我们用艾里光纤出射光场来近似 L 形边带艾里光束。通过分析艾里光纤出射光场的坡 印廷横向分量发现，在传输过程中，艾里光纤出射光场和 L 形边带艾里光束的自愈特性存在许多相 同点和不同点。它们都存在指向光束内部的能量流，但由于在光束形状上的差异，不同于理想 L 形 边带艾里光束存在垂直指向内部的能量流，艾里光纤出射场指向内部的能量流方向均不垂直指向内 部，但它们都会自愈重组形成内部光斑，并且主瓣的内部能量流都沿着 x-y 平面的 45°轴，体现出 光束的加速特性。当艾里光纤出射光场和 L 形边带艾里光束的主瓣被遮挡时，它们都会实现自重组 形成新的主瓣，并且该主瓣的内部能量流都沿着 x-y 平面的 45°轴，但不同之处在于，艾里光纤出 射光场指向主瓣方向的能量流更大，最终自愈形成的主瓣光强也更大。总之，艾里光纤出射场不但 保留了 L 形边带艾里光束的大部分光学特性，而且还具有其他独特的自愈能力。
(a) Z = 0 µm
(b) Z = 50 µm
(c) Z = 200 µm
(d) Z = 0 µm
(e) Z = 50 µm
(f) Z = 200 µm
(b)
图 5 主光瓣被遮挡的艾里光纤输出光场在传输距离 Z 处的坡印廷横向分量分布情况： (a) Z = 0 µm；(b) Z = 50 µm； (c) z = 200 µm； (d)、(c)和(e)为对应的主光瓣被遮挡的 L 形边带艾里光束的分布情况