第3章3 频域采样定理

h(n)
x(n)
重 叠 保 留 法
小
结
频域采样定理； 频域采样定理； 用DFT计算序列的线性卷积 DFT计算序列的线性卷积 重叠相加法、 重叠相加法、重叠保留法
小
作业
结
P93： ： 13、 、
14、 、
18
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算循环卷积 1、用DFT计算循环卷积 由时域循环卷积定理
y ( n ) = x1 ( n ) ⊗ x2 ( n ) ⇔ Y ( k ) = X 1 ( k ) ⋅ X 2 ( k )
用DFT计算循环卷积 DFT计算循环卷积
3.4 离散傅立叶变换的应用
m = −∞ ∞
∑ h(m) ⋅ x(n − m)
yc ( n ) = x ( n ) ⊗ h( n ) = ∑ h( m) x (( n − m )) L ⋅ RL ( n )
关系： 关系： yc ( n Leabharlann Baidu =
q = −∞
∑ y (n + qL) ⋅ R (n)
l L
+∞
m =0
两者相等的条件： 两者相等的条件： L ≥ N + M − 1
线性卷积与循环卷积
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算线性卷积 2、用DFT计算线性卷积
h(n) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT
L点 IDFT x(n) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
y(n)
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理
1、频域采样定理的内容 列长为Ｍ，对它的ｚ Ｍ，对它的 对于有限长序列 x(n) ，列长为Ｍ，对它的ｚ 变换在单位圆上等间隔采样Ｎ点，得到 X (k ) ，只 变换在单位圆上等间隔采样Ｎ 有当Ｎ Ｍ 有当Ｎ≥Ｍ时， x N (n) = IDFT[ X (k )] = x(n) 即可以由频域采样恢复原序列 x(n) ，否则产 生时域混叠现象。 生时域混叠现象。
k =0 +∞
=
∑ h ( n ) *[ x ( n ) ⋅ R
k =0
+∞
M
( n −kM )] =
∑y
k =0
+∞
k
(n)
3.4 离散傅立叶变换的应用
h(n) 0 n N x 0(n) M y 0(n) N＋ M－ 1
N－ 1
x 1(n) M
x 2(n) M
n
n
y 1(n) N＋ M－ 1 y 2(n) N＋ M－ 1 y(n)＝ y 0(n)＋y 1(n)＋y 2(n)＋ … 2M 3M ＋ N － 1 M
3.3 频域采样定理
二、频域采样信号
DFT与ZT的关系 的关系： 由DFT与ZT的关系：
X (k ) = X (z )
z =e
2π = j k N
n =−∞
∑
∞
x(n)WNkn ,
k = 0,1,⋯ , N − 1
就是对 x(n) 的频谱 X (e jω ) 在区间 X(k) 上进行Ｎ点等间隔采样得到的频域 上进行Ｎ点等间隔采样得到的频域 [0 , 2π ) 采样信号； 采样信号；
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理
2、说明 时域采样定理和频域采样定理具有对偶性： 时域采样定理和频域采样定理具有对偶性： 一个域的采样，导致另一个域的周期延拓； 即：一个域的采样，导致另一个域的周期延拓； 为了不失真地恢复原信号， 为了不失真地恢复原信号，时域采样要求信 有限带宽，频域采样要求信号有限时宽 有限时宽； 号有限带宽，频域采样要求信号有限时宽； 根据时宽----带宽不确定原理：时宽×带宽=1 =1， 根据时宽----带宽不确定原理：时宽×带宽=1， 时宽----带宽不确定原理
第3章 章 离散傅立叶变换
回顾上次课的主要内容
序列的循环移位性质： 序列的循环移位性质：
若只观察区间0≤n≤N- 这一主值区间时， 若只观察区间0≤n≤N-1这一主值区间时， 当序列移位ｍ位时， 当序列移位ｍ位时，从一端移出主值区间的序 列值，又从另一端按顺序依次移进主值区间内。 列值，又从另一端按顺序依次移进主值区间内。
目的要求： 目的要求：
理解频域采样定理； 理解频域采样定理； 了解用DFT计算线性卷积的方法。 DFT计算线性卷积的方法 了解用DFT计算线性卷积的方法。
3.3 频域采样定理
回顾时域采样定理
连续信号与理想采样信号频谱之间的关系： 连续信号与理想采样信号频谱之间的关系：
1 ∞ ˆ X a (jΩ ) = ∑ X a (jΩ − jkΩ s ) T k = −∞
采样信号X (k ) 的反变换 x N (n) 实际上是原序 以周期Ｎ 列 x(n) 以周期Ｎ进行周期延拓得到的周期序列 的主值序列。 的主值序列。
3.3 频域采样定理
3.3 频域采样定理
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理 回答上述两个问题： 回答上述两个问题：
(1)对一个频域采样信号，其对应的时域信号是 (1)对一个频域采样信号， 对一个频域采样信号 原时域信号周期延拓形成的； 原时域信号周期延拓形成的； 周期延拓形成的 (2)采样后若能不失真地恢复原信号， (2)采样后若能不失真地恢复原信号，采样速率 采样后若能不失真地恢复原信号 必须大于或等于原信号的时宽； 必须大于或等于原信号的时宽；即频域采样 点数必须大于时域采样点数； 点数必须大于时域采样点数；
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算线性卷积 2、用DFT计算线性卷积 h(n)和x(n)都是有限长序列 长度分别是N 都是有限长序列， 设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M
yl ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) =
L −1
3.3 频域采样定理
三、x N (n) 与 x(n) 的关系
xN (n) = IDFT[X (k )],
x N ( n) = ~ ( n) ⋅ R N ( n ) = x
∞
n=0,1,⋯ , N − 1
r = −∞
∑ x(n + rN ) ⋅ R
N
( n)
x N (n)与 x(n) 的关系为： 的关系为：
n
n
0
n
h(n)
x(n)
重 叠 相 加 法
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
3、无限长序列的线性卷积 (2)重叠保留法： (2)重叠保留法： 重叠保留法 步骤： 步骤： 将x(n)分段，各段长M，前一段与后一段有N-1 x(n)分段，各段长M 前一段与后一段有N 分段 点重叠； 点重叠； 以每段的起点为原点作L=N+M 点循环卷积； L=N+M以每段的起点为原点作L=N+M-1点循环卷积； 各段前(N 1)个点丢掉 第一段除外) 后面(N (N- 个点丢掉( (N各段前(N-1)个点丢掉(第一段除外)，后面(N-1) 个也丢掉(最后一段除外) 相加得：h(n)*x(n)。 个也丢掉(最后一段除外)，相加得：h(n)*x(n)。
为了唯一、不失真地恢复原连续信号， 为了唯一、不失真地恢复原连续信号，采样 频率与信号最高截止频率之间的关系： 频率与信号最高截止频率之间的关系：
Ω s ≥ 2Ω c
3.3 频域采样定理
两个问题： 两个问题：
1.原时域序列和由频域采样信号恢复地时 1.原时域序列和由频域采样信号恢复地时 域序列的关系是什么？ 域序列的关系是什么？ 2.为了唯一、不失真地恢复原时域序列， 2.为了唯一、不失真地恢复原时域序列， 为了唯一 采样速率与原信号时宽的关系是什么？ 采样速率与原信号时宽的关系是什么？ 即时域采样点数和频域采样点数之间的 关系？ 关系？
序列的循环卷积定理： 序列的循环卷积定理：
若Y (k ) = X (k ) ⋅ H (k ) 则y (n) = x(n) ⊗ h(n)
本次课的主要内容
本次课的主要内容： 本次课的主要内容：
频域采样定理； 频域采样定理； 利用DFT计算序列的线性卷积。 DFT计算序列的线性卷积 利用DFT计算序列的线性卷积。
3、无限长序列的线性卷积 将长序列分段计算：重叠相加法、 将长序列分段计算：重叠相加法、重叠保留法 (1)重叠相加法： (1)重叠相加法： 重叠相加法 x(n)均匀分段 每段长度取M 均匀分段， 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则：
y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) = h ( n ) * ∑ xk ( n )