专题：直线与圆锥曲线--椭圆双曲线抛物线的一些经典题型.doc

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）

【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r 2=2a。第二定义中， r 1=ed1 r 2=ed2。

（ 2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r2 2a ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定

义中， r 1=ed1， r 2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直

接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问

题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是

弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方

法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设

弦的两个端点 A(x 1,y1),B(x 2,y2), 弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦

中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（ 1）x 2 y 2

1(a b 0) 与直线相交于

x 0y0

k 0

。a

2

b

2 A、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 2

b

2

a

（ 2）x 2 y 2

1(a 0, b 0) 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

x0 y0

k 0 a 2 b 2 a 2 b 2

（3） y2=2px（ p>0 ）与直线 l 相交于 A、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0 ),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.

【典型例题】

例1、 (1) 抛物线 C:y 2 =4x 上一点P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为______________

(2)抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。

分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则PH PF ，因而易发现， A

H Q

当 A 、P、 F 三点共线时，距离和最小。P B （ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR ⊥ l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时， F

距离和最小。

解：（ 1）（ 2，2）

连PF

，当

A P F AP PH AP PF

最小，此时

AF

的方程为

y

2 0 (

x

1)

、、三点共线时， 4

3 1

即 y=2

2 (x-1), 代入 y 2

=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为 ( 1

, 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，

2

舍去）

（2）（ 1

,1）

4

过 Q 作 QR ⊥ l 交于 R ，当 B 、Q 、R 三点共线时，

BQ QF BQ

QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为

1，代入 y 2

=4x 得 x= 1 ，∴ Q( 1

,1)

4 4

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例 2、 F 是椭圆

x 2

y 2 1的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。

4

3

（1） PA

PF 的最小值为

y

A P H

（2） PA 2 PF 的最小值为

F 0 F

x

分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径

′

PF 或准线作出来考

虑问题。

解：（ 1） 4- 5

设另一焦点为

F ，则F (-1,0) 连 A F ,P F

PA PF PA

2a PF 2a

( PF

PA) 2a AF 4 5

当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA

PF 取得最小值为 4-

5 。

（ 2） 3

作出右准线 l ，作 PH ⊥ l 交于 H ，因 a 2=4， b 2=3， c 2=1， a=2， c=1， e= 1 ，

2

∴ PF

1

PH ,即2 PF

PH

2

∴ PA 2PF PA PH

当 A 、 P 、 H 三点共线时，其和最小，最小值为

a 2

x A 4 1 3

c

例 3、动圆 M 与圆 C 1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C 2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。

分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A 、M 、 C 共线， B 、 D 、 M 共线）。列式的主要途径是

y 动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC

MD ）。

C

M

D

解：如图， MC MD ，

A 0 B

5x