椭圆规范标准方程

椭圆标准方程

【知识点】

知识点一 椭圆的定义

(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.

(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件

结论

2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在

【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定

【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋

x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x2

25＋y2

16

＝

1.

椭圆标准方程的两种形式 焦点位置

标准方程

焦点

焦距

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.

如方程为y 25＋x 2

4＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.

类型一：椭圆的定义

【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.

【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.

即

x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3，

整理得x 2

94

－y 2

27

4

＝1(x <0).

方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆.

设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，

【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.

类型二：求椭圆的标准方程

命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程

【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－1

2)的椭圆的标准方程.

方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0).

依题意有⎩

⎪⎨

⎪⎧

1

3

2

a

2

＋13

2

b 2

＝1，

0＋－12

2

b 2

＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2＝

1

5，b 2

＝1

4.

由a>b>0知不合题意，故舍去

②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a

2＋

x 2

b 2

＝1(a >b >0).

①2<2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).

依题意有⎩

⎪⎨

⎪⎧

13

2

a 2

＋

13

2

b 2

＝1，

－12

2

a 2

＋0＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝

1

4，b 2

＝1

5.

所以所求椭圆的标准方程为y 214

＋x 2

1

5

＝1.

方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).

则⎩⎪⎨⎪⎧

1

9m ＋1

9n ＝1，

14n ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝5，

n ＝4.

所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214

＋x 2

1

5

＝1.

【变式】求与椭圆x 225＋y 2

9＝1有相同焦点，且过点(3，

15)的椭圆方程.

据题可设其方程为x 225＋λ＋y 2

9＋λ＝1(λ>－9)，

又椭圆过点(3，

15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为

x 236＋y 2

20

＝1.