2.3.2 等差数列的前n项和(二)
等差数列的前n项和2
小结
1.公式的推导方法:倒序求和。 2.公式的特征。
n( a 1 a n ) Sn 2
S n na1 n( n 1) d 2
3.公式的应用。
练习:P122第3、4题。
作业
必做题:习题3.3第1题(1)、(2) 选做题:练习题,第5题。 思考题:在小于100的自然数中,有多少个 数既是4的倍数又是6的倍数,并求 出这些数的和。
解法二:设法同上
12(a b ) S=S12-(a+b)= -(a+b)=5(a+b) 2 10( x1 x10 )
解法三:设法同上∵x1+x10=a+b S
2
5(a b)
(2)求集合M={m|m=7n,n∈N*且m<100}的元素的个数并 求这些元素的和。 分析:在小于100的自然数中,有多少个数能被7整除,并求 这些数的和。
4-----------------5---------------6--------------7------------8----------9--------10-----11-----
求钢管的总数,即求和s8=4+5+6+7+8+9+10+11
Sn=a1+a2+…….+an-1+an Sn=an+an-1+……+a2+a1 两式相加得: 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)…….+(an-1+a2)+(an+a1) =(a1+an)+(a1+d+an-d)+……(an-d+a1+d)+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…… (a1+an)+ (a1+an) =n (a1+an)
高中数学:2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ,其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中,若1a >0,d <0,则Sn 是否存在最大值?若存在,如何求?2. 已知{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,求证:12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广,你能得到什么结论? 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质.(1)若{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…也为等差数列.(2)等差数列{a n }中,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列.(3)等差数列{a n }中,若S m =S p (m≠p),则S m +p =0. (4)在等差数列{a n }中,①若项数为偶数2n ,则S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n +1)(a n ,a n +1为中间两项);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a na n +1.②若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=(2n -1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=nn -1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列,且前n 项和分别是S n 和T n ,则a n b n =n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法: (1)利用二次函数的最值特征求解.S n =n 1a +nn -12d =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n=d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a 1d 2-d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知,当n 取最接近12-a 1d 的正整数时,S n 取到最大值(或最小值),值得注意的是最接近12-a 1d 的正整数有时有1个,有时有2个. (2)根据项的正负来定.若1a >0,d<0,则数列前n 项和有最大值,可由n a ≥0,且1+n a ≤0,求得n 的值 若1a <0,d>0,则数列前n 项和有最小值,可由n a ≤0,且1+n a ≥0,求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中, 125a =,179s s =,求n s 的最大值.解析:方法一:由S 17=S 9,得25×17+172(17-1)d =25×9+92(9-1)d , 解得d =-2,∴S n =25n +n2(n -1)(-2)=-(n -13)2+169, 由二次函数性质得当n =13时,S n 有最大值169. 方法二:先求出d =-2(同方法一), ∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2n -1≥0a n +1=25-2n<0,得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n =13时,S n 有最大值169. 方法三:先求出d =-2(同方法一),1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ,由=得+++=, 而+=+=+= +故+==-,,,故n =13时,Sn 有最大值169.方法四:先求出d =-2(同方法一)得S n 的图象如图所示,由S 17=S 9知图象对称轴n =9+172=13, ∴当n =13时,取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn (A 、B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列,其前12项和354,在前12项中,偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求这个数列的通项公式.解析:方法一:由等差数列的性质可知奇数项a 1,a 3,a 5,…,a 11与偶数项a 2,a 4,a 6,…,a 12仍然成等差数列,设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则 S 偶=a 2×6+6×52×2d=6a 1+36d , S 奇=a 1×6+6×52×2d=6a 1+30d , ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1+66d =354,6a 1+36d 6a 1+30d =3227,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =5.∴a n =a 1+(n -1)d =5n -3.方法二:设奇数项与偶数项的和分别为S 奇,S 偶, ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶+S 奇=354,S 偶S 奇=3227,∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶=192,S 奇=162,∴d=192-1626=5, 又∵S 奇=a 1+a 11×62=3(2a 1+10d)=162, ∴a 1=2,∴a n =a 1+(n -1)d =5n -3.【点拨】等差数列{n a }中,a 1,a 3,a 5,…是首项为a 1,公差为2d 的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是首项为a 2,公差为2d 的等差数列.当项数为2n 时,S 偶-S 奇=nd ,方法2中运用到了这些,利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等差数列求解.3、两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n =2n 3n +1,求a n b n . 解析: 方法一:设a n =a 1+(n -1)d ,b n =b 1+(n -1)e. 取n =1,则a 1b 1=S 1T 1=12,所以b 1=2a 1.所以S n T n =na 1+n n -12d nb 1+n n -12e =a 1+n -12d b 1+n -12e =a 1+n 2d -d22a 1+n 2e -e 2=2n3n +1,故en 2+(4a 1-e)n =32dn 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1-32d +d 2n +a 1-d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1-d2=0,4a 1-e =3a 1-d ,e =32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d =2a 1,e =3a 1.所以a n b n =2n -13n -1.方法二:设S n =an 2+bn ,T n =pn 2+qn(a ,b ,p ,q 为常数), 则S n T n =an +b pn +q =2n3n +1,所以3an 2+(3b +a)n +b =2pn 2+2qn ,从而⎩⎪⎨⎪⎧3a =2p ,3b +a =2q ,b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧a =2q ,b =0,p =3q ,所以S n =2qn 2,T n =3qn 2+qn.当n =1时,a 1b 1=S 1T 1=12;当n≥2时,a n b n =S n -S n -1T n -T n -1=2n -13n -1方法三:1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n =7n +2n +3,设S n 与T n 时,如果设成S n =(7n +2)k ,T n =(n +3)k 则错误.从此 的性质方向讲是正确的.但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数,所以应设为S n =(7n +2)kn ,T n =(n +3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .92、设{}n a 是公差为2的等差数列,若5097741=++++a a a a Λ, 则99963a a a a ++++Λ的值为 ( ) A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若3163=S S ,则=126S S ( ) (A )103 (B ) 31 (C )8 (D )914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511=+b a ,*11,N b a ∈.设n b n a c =(*N n ∈),则数列}{n c 的前10项和等于( )A .55B .70C .85D .1005.等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-11,S 1010-S 88=2,则S 11=( )A .-11B . 11C .10D 。
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小,此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1=-5 ,d =3. ∴a 8=a 6+2 d =1 0 +2×3 =1 6 ,
1 0 ×9 S 10=1 0 a 1+ 2 d =1 0 ×(-5 )+5 ×9 ×3 =8 5 .
1 7 × a 1+a 17
1 7 × a 3+a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17=
2
=
2
=
=3 4 0 .
S 1,n =1 ,
项公式,那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
=
S
n -S
n -1,n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报,24 小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用 20 台同 型号翻斗车,平均每辆车工作 24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用, 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集 25 辆,那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线?
3,n =1,
∴a
n
= 2
n
,n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 .(变条件变结论)将本例中的条件“S n =2 n 2-3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
2.3 第1课时 等差数列的前n项和课件人教新课标
等差数列的前n项和
-1-
第1课时
等差数列的前n项和
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课标阐释
思维脉络
1.掌握等差数列前 n 项和公式的
等差数列的前 n 项和
推导方法.
2.掌握等差数列的前 n 项和公式, 前 n 项和公式 推导
能够运用公式解决相关问题.
应用
3.理解 Sn 与 an 的关系,并能运用 由S 求a
)
答案:①× ②×
(2)①若数列{an}的前 n 项和
1
6
1
5
)
1
Sn=+1,则 a5=
②若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则 an=
课堂篇探究学习
.
.
1
30
解析:①a5=S5-S4= − =- .
②当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当 n=1
(2)①在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a3=7,公差d=2,则
S20=
.
②已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则n=
.
20×19
解析:①由 a3=7,d=2,得 a1=3,故 S20=20×3+ 2 ×2=440.
( + )
(2+10)
②∵Sn= 12 ,∴ 2 =72,解得 n=12.
等差数列的前n项和
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列,
2
则s n,s 2 n - s n,s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
(2)一个等差数列的前10项和为50,后10项和为60,则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时, n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时, n 2m - 1时 s偶 (m 1)am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 :a n与sn的关系
a n 一般地,我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意:an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数)
2
d 数列an 是等差数列,且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1:S n 2
2.3.2等差数列的前n项和的性质课件
2
例 4:已知一个等差数列{an}的通项公式 an=25-5n,求数
列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
错因剖析:解本题易出现的错误就是:(1)由an≥0 得,n≤5
理解为n=5,得出结论:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5), 20-5nn-5 Sn= ;(2)把“前 n 项和”认为“从n≥6 起”的和. 2 事实上,本题要对n 进行分类讨论. 正解:由an≥0 得n≤5,
4-1.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,Sn=12n-n2. (1)求|a1|+|a2|+|a3|; (2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|; (3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解:∵Sn=12n-n2,
∴当n=1 时,a1=S1=12-1=11, 当n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)2=13-2n, 当n=1 时,13-2×1=11=a1,∴an=13-2n. 13 , 由an=13-2n≥0,得 n≤ 2 ∴当1≤n≤6 时,an>0;当n≥7 时,an<0. (1)|a1|+|a2|+|a3|=a1+a2+a3 =S3=12×3-32=27;
-15 解:(1)由题意知 S6= S =-3,a6=S6-S5=-8, 5
5a1+10d=5 ∴ a1+5d=-8
.解得 a1=7,
∴S6=-3,a1=7.
(2)∵S5S6+15=0,
∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 a1+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. ∴d2≥8.
解法五:∵{an}为等差数列, ∴设Sn=a·n2+m=4m2a+2mb=100,
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为:an 2n 1 2 点评:
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式: a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等 差数列吗?如果是,它的首项和公差是什么?
5 【解析】由题意知,等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是,当n取与
最接近的整数即7或8时, S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗?
上页
10
下页
例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5, 4 ,3 ,的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式: a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法:
4.本节基本思想:
(1)若r≠0,则这个数列一定不是等差数列.
(2)若r=0,则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论:数列是等差数列等价于
等差数列的前N项和+(二)教学课件
普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修5)
例2 在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗,一名工人从A处 起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能 运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多 少路程?
解: 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m) 组成了一个数列 0,20,40,60,…,380. 这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和
20 (20 1) S 20 3800( m) 2
答高中课程标准实验教科书《数学》(必修5) 第二章 数列
例3 九江抗洪指挥部接到预报,24时后有一洪峰到达.为确保安全, 指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算, 除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同 型号翻斗车,平均每辆工作24时.但目前只有一辆车投入施工, 其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20分能有一辆车到达, 指挥部最多可调集25辆车,那么在24时内能否构筑成第二道 防线? 解: 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:h) 依次设为:a1,a2,a3,…,a25 . 这是一个等差数列,a1=24,公差d= 1 3 25辆车可以完成的工作量为: 25 24 1 a1 a2 a25 25 24 ( ) 500 2 3 需要完成的工作量为24×20=480 因此,在24小时内能构筑成第二道防线.
4. 由数列的前n项和Sn求数列的通项an
n 1 S1 , an S n S n1 , n 2
普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修5) 第二章 数列
n 1 S1 , an S n S n 1 , n 2
2n 2
且a1 S1 1 3 4
第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 -【教师版】
A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500
答案 D
解析 由 am=a1+(m-1)d,得 99=1+(m-1)×2, 解得 m=50,所以 S50=50×1+50×49×2=2 500.
2 2.记等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d 等于( )
n=1
时,a1=S1=12+12+1=52不符合①式.∴an=
2 2n-1,n≥2,n∈N*.
2
反思感悟 已知前 n 项和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时,a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 求得 an,
最后验证 a1 是否符合 an,若符合则统一用一个解析式表示,不符合则分段表示.
例 1 在等差数列{an}中:
(1)已知 a5+a10=58,a4+a9=50,求 S10;
(2)已知 S7=42,Sn=510,an-3=45,求 n.
解 (1)方法一 由已知条件得
a5+a10=2a1+13d=58,
a1=3,
解得
a4+a9=2a1+11d=50,
d=4.
∴S10=10a1+10×10-1d=10×3+10×9×4=210.
2
2
a5+a10=a1+a10+4d=58, 方法二 由已知条件得
a4+a9=a1+a10+2d=50,
∴a1+a10=42,
∴S10=10a1+a10=5×42=210. 2
(2)S7=7a1+a7=7a4=42,∴a4=6. 2
∴Sn=na1+an=na4+an-3=n6+45=510.∴n=20.
解 由 Sn=na1+nn-1d, 2
得 na1+nn-1×2=35, 2
《 等差数列的前n项和二》苏教版
数学:《等差数列的前n项和(二)》苏教版等差数列的前n项和(二)教学目标:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;提高学生的应用意识.教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点:灵活应用求和公式解决问题.教学过程:Ⅰ.复习回顾通项公式:an=a1+(n-1)d,求和公式:Sn==na1+d Ⅱ.讲授新课下面结合这些例子,来看如何应用上述知识解决一些相关问题.[例1]求集合M={m|m=7n,n∈N*,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和.分析:满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数,这些元素若按从小到大排列,则是一等差数列.解:由m<100,得7n<100,即n<=14所以满足上面不等式的正整数n共有14个,即集合M中的元素共有14个,将它们从小到大可列出,得:7,7×2,7×3,7×4,...7×14,即:7,14,21,28, (98)这个数列是等差数列,记为{an},其中a1=7,a14=98,n=14则S14==735答:集合M中共有14个元素,它们和等于735.这一例题表明,在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数,它们的和是735.[例2]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的关系,然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式.解:由题意知S10=310,S20=1220将它们代入公式Sn=na1+d,得到解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6所以Sn=4n+×6=3n2+n这就是说,已知S10与S20,可以确定这个数列的前n项和的公式,这个公式是Sn=3n2+n.下面,同学们再来思考这样一个问题:[例3]已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.求证:S6,S12-S6,S18-S12成等差数列,设其k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列吗?解:设{an}的首项是a1,公差为d,则S3=a1+a2+a3S6-S3=a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=S3+9dS9-S6=a7+a8+a9=(a4+3d)+(a5+3d)+(a6+3d)=(a4+a5+a6)+9d=(S6-S3)+9d=S3+18d∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.同理可得Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列.Sk=a1+a2+...+ak(S2k-Sk)=ak+1+ak+2+...+a2k=(a1+kd)+(a2+kd)+...+(ak+kd)=(a1+a2+...+ak)+k2d=Sk+k2d(S3k-S2k)=a2k+1+a2k+2+...+a3k=(ak+1+kd)+(ak+2+kd)+...+(a2k+kd)=(ak+1+ak+2+...+a2k)+k2d=(S2k-Sk)+k2d∴Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是以Sk为首项,k2d为公差的等差数列.[例4]已知数列{an}是等差数列,a1>0,S9=S17,试问n 为何值时,数列的前n项和最大?最大值为多少?分析:要研究一个等差数列的前n项和的最大(小)问题,有两条基本途径;其一是利用Sn是n的二次函数关系来考虑;其二是通过考察数列的单调性来解决.解法一:∵S9=S17,S9=9a1+36d,S17=17a1+136d∴9a1+36d=17a1+136d,8a1=-100d,即d=-a1<0Sn=na1+d=na1+·(-a1)=na1-a1=-a1 (n2-26n)=-a1 (n-13)2+a1∵a1>0,∴当n=13,Sn有最大值.最大值为a1.解法二:由a1>0,d<0,可知此数列为从正项开始的递减数列:a1>a2>a3>a4>......故n在某一时刻,必然会出现负项,此时前n项的和开始减少,因此,要使Sn最大,n必须使得an≥0,且an+1≤0.即解得≤n≤.∴n=13此时,Sn最大,S13=13a1+d=a1.评述:解法一利用Sn是n的二次函数关系,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;解法2是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最大值,方法更具有一般性.[例5]在数列{an}中,a1=1,an+1=,求数列{anan+1}的前n项和.分析:要求数列{anan+1}的前n项和,需要先求数列{an}的通项公式.解:由已知得=+∴{}为首项为=1,公差为的等差数列.∴=1+(n-1)×=,∴an=Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1=++...+=4[(-)+(-)+...+(-)]=4(-)=.[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,...,S12中哪一个值最大?并说明理由.(1)分析:由S12>0,S13<0列不等式组求之.解:依题设有即将a3=12,即a1=12-2d代入上式得解得-<d<-3(2)分析一:写出Sn的表达式Sn=f(n)=An2+Bn.配方确定Sn的最大值.解法一:Sn=na1+d=n(12-2d)+d=[n-(5-)]2-[(5-)]2∵d<0,∴[n- (5-)]2最小时,Sn最大.当-<d<-3时,6<(5-)<6.5∴正整数n=6时,[n- (5-)]2y最小,∴S6最大.分析二:由d<0知{an}是单调递减的,要使Sn最大,应有an≥0,an+1<0.解法二:由d<0,可知a1>a2>...>a12>a13∴要使1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,...,S12中的最大值.由知a6+a7>0,a7<0∴a6>-a7>0,∵a6>0,a7<0.故在S1,S2,...,S12中S6的值最大.解法三:由S12>0,S13<0得, 即也即a6>0且a7<0,∴S6最大.解法四:由a1=12-2d,-<d<-3得,即5.5<n<7∵n∈N*,∴n=6,即S6最大.[例7]首项为正数的等差数列{an},它的前三项之和与前十一项之和相等,问此数列前多少项之和最大?解法一:由S3=S11得:3a1+d=11a1+d,解之得d=-a10∴Sn=na1+d=-a1n2+a1n=-a1(n-7)2+a1故当n=7时,Sn最大,即前7项之和最大.解法二:由解得:<n<,∴n=7,即前7项之和最大.解法三:由d=-a10,知:{an}是递减等差数列.又S3=S11∴a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0,∴a7+a8=0∴必有a70,a80.∴前7项之和最大.评述:解法三利用等差数列的性质,解得简单,易懂.等差数列的前n项和Sn,在d0时有最大值,求当n为何值时,使Sn取最大值,有两种方法:一是满足an0且an+10的n值;二是由Sn=na1+d=n2+(a1-)n,利用二次函数的性质求n的值.[例8]数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6.(1)求从第n项开始有an0;(2)求此数列的前n项和的最大值.分析:对于(1)实质上是解一个不等式,但要注意n∈N*.对于(2)实际上是研究Sn随n的变化规律,由于等差数列中Sn是关于n的二次函数,可以用二次函数方法处理,也可以由an的变化,推测Sn的变化.解:(1)∵a1=50,d=-0.6∴an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.令-0.6n+50.6≤0,解之得:n≥≈84.3由n∈N*.故当n≥85时,an0,即从第85项起以后的各项均小于0.(2)解法一:∵d=-0.60,a1=500由(1)知a840,a850.∴S1S2...S84且S84S85S86...∴(Sn)max=S84=50×84+×(-0.6)=2108.4.解法二:Sn=50n+×(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3(n -)2+当n取接近于的自然数,即n=84时,Sn达到最大值S84=2108.4评述:不是常数列的等差数列,不递增必递减,因而若有连续两项ak,ak+1异号,则Sk必为Sn的最大或最小值.下面对此类问题作一下较为深入的探究.在非常数列的等差数列中,当d0,d0时,如何求Sn的最小、最大值?第一种思考:(1)若d0,且a1≥0,则有0≤a1a2a3...an-1an...∴S1S2S3...Sn-1Sn...∴Sn的最小值是S1.(2)若d0,且a10,则一定存在某一自然数k,使a1a2a3...ak≤0ak+1ak+2...an-1an...或a1a2a3...ak0≤ak+1ak+2...an-1an...则0S1S2...Sk,且SkSk+1Sk+2...Sn...∴Sn的最小值是Sk.(3)若d0,而a10,必存在自然数k使a1a2a3...ak≥0ak+1ak+2...an...或a1a2a3...ak0≥ak+1ak+2...an...则S1S2S3...Sk,且SkSk+1...Sn...∴Sn的最大值是Sk.(4)若d0,且a1≤0,则有0≥a1a2a3...an-1an...∴S1S2S3...Sn-1Sn...∴Sn的最大值是S1.第二种思考:Sn=na1+d=n2+(a1-)n=[n+]2-=[n-(-)]2-(-)2由二次函数的最大、最小值知识及n∈N*,知:当n取最接近-的自然数时,Sn取到最大值(或最小值),值得注意的是最接近-的自然数有时1个,有时2个.[例9]有30根水泥电线杆,要运往1000米远的地方开始安装,在1000米处放一根,以后每50米放一根,一辆汽车每次只能运三根,如果用一辆汽车完成这项任务,这辆汽车的行程共有多少公里?解法一:如图所示:假定30根水泥电线杆存放M处.a1=|Ma|=1000(M)a2=|Mb|=1050(M)a3=|MC|=1100(M)...a6=a3+50×3=1250(M)...a30=a3+150×9(M)由于一辆汽车每次只能装3根,故每运一次只能到a3,a6,a9,...,a30这些地方,这样组成公差为150 M,首项为1100的等差数列,令汽车行程为S,则有:S=2(a3+a6+...+a30)=2(a3+a3+150×1+...+a3+150×9)=2(10a3+150××9)=2(11000+6750)m=35.5(公里)答:这辆汽车行程共有35.5公里.解法二:根据题设和汽车需运送十次,可得一等差数列{an},其中a1=100,d=150,n=10则S10=10a1+d=7750 m所以总共行程为(7750×2+1000×20)m=35.5公里答:略.解法三:根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列,其中a1=(1000+50×2)×2=2200 m,a2=(1000+50×5)×2=2500 m...d=150×2=300 m项数共有10项.∴Sn=10a1+d=10×2200 m+5×9×300 m=35.5(公里)答:略.[例10]有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同金额,这是零存;则到一定时期到期,可以提出全部本金及利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入金额×[存期+存期×(存期+1)×利率].(1)试解释这个本利和公式;(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么应每月存入多少金额?分析:存款储蓄不是复利计息,若存入金额为A,月利率为p,则n个月后的利息是nAp.解:(1)设每期存入金额A,每期利率p,存的期数为n,则各期利息之和为:Ap+2Ap+3Ap+...+nAp=n(n+1)Ap.连同本金,就得本利和=nA+n(n+1)Ap=A[n+n(n+1)p].(2)当A=100,p=5.1‰,n=12时,本利和=100×(12+×12×13×5.1‰)=1239.78(元)(3)将(1)中公式变形,得A==≈161.32(元)即每月应存入161.32元.评述:这是两道等差数列求和的应用题,对于应用问题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型,然后解此数学问题,最后再回到应用问题作出结论.Ⅲ.课堂练习课本P44练习1,2,3,4Ⅳ.课时小结通过本节学习,要能灵活应用等差数列的通项公式和前n项和公式解决一些相关问题.另外,需注意一重要结论:若一数列为等差数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也成等差数列. Ⅴ.课后作业课本P45习题 4,5,6,7,8。
必修五等差数列前n项和公式的变形及应用
§2.3.2 等差数列前n项和公式的变形及应用学习目标1. 会利用等差数列性质简化求和运算.2. 会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.知识点一 等差数列前n 项和与等差中项的关系 思考 等差数列{a n }中,若a 3=2,求S 5. 答案 S 5=5(a 1+a 5)2=5·a 1+a 52=5a 3=10.梳理 等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2,其中a 1+a n2为a 1,a n 的等差中项,若结合性质“m +n=p +q 得a m +a n =a p +a q ,”还可把a 1+a n 换成a 2+a n -1,a 3+a n -2,….知识点二 等差数列前n 项和的最值思考 我们已经知道当公差d ≠0时,等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ,类比二次函数的最值情况,等差数列的前n 项和S n 何时有最大值?何时有最小值?答案 由二次函数的性质可以得出:当a 1<0,d >0时,S n 先减后增,有最小值;当a 1>0,d <0时,S n 先增后减,有最大值;且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值.梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关.(1)若a 1>0,d <0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值. (2)若a 1<0,d >0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值. (3)若a 1>0,d >0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值;若a 1<0,d <0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值.1.等差数列的前n 项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数.( × )2.等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 3+a n -2)2(n ≥3).( √ )3.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列.( √ )类型一 等差数列前n 项和的性质的应用例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5b 5的值.考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列连续m 项和成等差数列解 (1)方法一 在等差数列中,∵S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列,∴30,70,S 3m -100成等差数列. ∴2×70=30+(S 3m -100),∴S 3m =210.方法二 在等差数列中,S m m ,S 2m 2m ,S 3m 3m 成等差数列,∴2S 2m 2m =S m m +S 3m3m . 即S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210.(2)a 5b 5=12(a 1+a 9)12(b 1+b 9)=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=7×9+29+3=6512.反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪训练1 设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和,求T n .考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题解 设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+12n (n -1)d ,∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1+21d =7,15a 1+105d =75,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =1,a 1+7d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2,d =1.∴S n n =a 1+12(n -1)d =12n -52,∴S n +1n +1-S n n =12,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,其首项为-2,公差为12,∴T n =n ×(-2)+n (n -1)2×12=14n 2-94n .类型二 等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中,若a 1=25,且S 9=S 17,求S n 的最大值. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求等差数列前n 项和的最值解 方法一 ∵S 9=S 17,a 1=25,∴9×25+9(9-1)2d =17×25+17(17-1)2d ,解得d =-2.∴S n =25n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+26n =-(n -13)2+169. ∴当n =13时,S n 有最大值169.方法二 同方法一,求出公差d =-2. ∴a n =25+(n -1)×(-2)=-2n +27. ∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =-2n +27≥0,a n +1=-2(n +1)+27≤0,得⎩⎨⎧n ≤1312,n ≥1212,又∵n ∈N *,∴当n =13时,S n 有最大值169.方法三 同方法一,求出公差d =-2. ∵S 9=S 17,∴a 10+a 11+…+a 17=0. 由等差数列的性质得a 13+a 14=0. ∴a 13>0,a 14<0. ∴当n =13时,S n 有最大值169.方法四 同方法一,求出公差d =-2.设S n =An 2+Bn . ∵S 9=S 17,∴二次函数对称轴为x =9+172=13,且开口方向向下,∴当n =13时,S n 取得最大值169.反思与感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形:①若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值,即所有非负项之和. ②若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值,即所有非正项之和. (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法:①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0来寻找.②运用二次函数求最值.跟踪训练2 已知等差数列{a n }中,a 1=9,a 4+a 7=0.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值?考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值解 (1)由a 1=9,a 4+a 7=0,得a 1+3d +a 1+6d =0,解得d =-2,∴a n =a 1+(n -1)·d =11-2n . (2)方法一 由(1)知,a 1=9,d =-2,S n =9n +n (n -1)2·(-2)=-n 2+10n =-(n -5)2+25,∴当n =5时,S n 取得最大值.方法二 由(1)知,a 1=9,d =-2<0,∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0,则11-2n ≥0,解得n ≤112.∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0. ∴当n =5时,S n 取得最大值.类型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =-32n 2+2052n ,求数列{|a n |}的前n 项和T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 a 1=S 1=-32×12+2052×1=101.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=⎝⎛⎭⎫-32n 2+2052n -⎣⎡⎦⎤-32(n -1)2+2052(n -1)=-3n +104. ∵n =1也符合上式,∴数列{a n }的通项公式为a n =-3n +104(n ∈N *). 由a n =-3n +104≥0,得n ≤1043. 即当n ≤34时,a n >0;当n ≥35时,a n <0.(1)当n ≤34时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-32n 2+2052n ;(2)当n ≥35时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a 34|+|a 35|+…+|a n |=(a 1+a 2+…+a 34)-(a 35+a 36+…+a n ) =2(a 1+a 2+…+a 34)-(a 1+a 2+…+a n )=2S 34-S n =2⎝⎛⎭⎫-32×342+2052×34-⎝⎛⎭⎫-32n 2+2052n=32n 2-2052n +3 502. 故T n=⎩⎨⎧-32n 2+2052n ,n ≤34且n ∈N *,32n 2-2052n +3 502,n ≥35且n ∈N *.反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}. 若原等差数列{a n }中既有正项,也有负项,那么{|a n |}不再是等差数列,求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值,再分段求和.跟踪训练3 已知等差数列{a n }中,S n 为数列{a n }的前n 项和,若S 2=16,S 4=24,求数列{|a n |}的前n 项和T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 设等差数列{a n}的首项为a 1,公差为d ,由S 2=16,S 4=24得⎩⎨⎧2a 1+2×12d =16,4a 1+4×32d =24,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =16,2a 1+3d =12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n (n ∈N *). ①当n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-n 2+10n .②当n ≥6时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-a 6-a 7-…-a n =2S 5-S n =2×(-52+10×5)-(-n 2+10n )=n 2-10n +50,故T n =⎩⎪⎨⎪⎧-n 2+10n ,n ≤5且n ∈N *,n 2-10n +50,n ≥6且n ∈N *.1. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A.13B.35C.49D.63 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 S 7=7(a 1+a 7)2=7·a 2+a 62=7·3+112=49.2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7等于( )A.12B.13C.14D.15 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 B解析 ∵S 5=5a 3=25,∴a 3=5,∴d =a 3-a 2=5-3=2,∴a 7=a 2+5d =3+10=13.故选B. 3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列连续m 项和成等差数列 答案 B解析 ∵a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=2S 6-3S 3=2×36-3×9=45.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5+5a 9=0,且a 9>a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( )A.5B.6C.7D.8 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 B解析 由7a 5+5a 9=0,得a 1d =-173. 又a 9>a 5,所以d >0,a 1<0. 因为函数y =d2x 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2x 的图象的对称轴为x =12-a 1d =12+173=376,取最接近的整数6,故S n 取得最小值时n 的值为6.5. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则该数列的公差为________. 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题 答案 2A1. 等差数列{a n }的前n 项和S n ,有下面几种常见变形(1)S n =n ·a 1+a n 2; (2)S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ; (3)S n n =d2n +⎝⎛⎭⎫a 1-d 2⎝⎛⎭⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2. 求等差数列前n 项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *,结合二次函数图象的对称性来确定n 的值,更加直观.(2)通项法:当a 1>0,d <0,⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0时,S n 取得最大值;当a 1<0,d >0,⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0时,S n 取得最小值.3. 求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和,关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.一、选择题1. 数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( )A.-2B.-1C.0D.1 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和性质其他问题 答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n =An 2+Bn ,∴λ=-1.2. 在等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,则正整数k 为( )A.2 014B.2 015C.2 016D.2 017考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数的对称性及S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k2,解得k =2 016.故选C.3. 若数列{a n }满足:a 1=19,a n +1=a n -3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 B解析 因为a n +1-a n =-3,所以数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以a n =19+(n-1)×(-3)=22-3n .设前k 项和最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0,a k +1≤0,所以⎩⎪⎨⎪⎧22-3k ≥0,22-3(k +1)≤0,即193≤k ≤223.因为k ∈N *,所以k =7.故满足条件的n 的值为7.4. 含2n +1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n +1nB.n +1nC.n -1nD.n +12n考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列奇偶项和问题 答案 B解析 S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=n (a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n +1n .5. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m 等于( )A.38B.20C.10D.9 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为{a n }是等差数列,所以a m -1+a m +1=2a m ,由a m -1+a m +1-a 2m =0,得2a m -a 2m =0,由S 2m -1=38知a m ≠0,所以a m =2,又S 2m -1=38,即(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=38,即(2m -1)×2=38,解得m =10,故选C.6. 已知数列{a n }满足a n =26-2n ,则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A.11或12B.12C.13D.12或13考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 D解析 ∵a n =26-2n ,∴a n -a n -1=-2,∴数列{a n }为等差数列. 又a 1=24,d =-2, ∴S n =24n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+25n =-⎝⎛⎭⎫n -2522+6254. ∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 最大,故选D.7. 已知等差数列{a n }中,a 1 008=4,S 2 016=2 016,则S 2 017等于( )A.-2 017B.2 017C.-4 034D.4 034考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 C解析 因为{a n }是等差数列,所以S 2 016=1 008(a 1+a 2 016)=1 008(a 1 008+a 1 009)=2 016,则a 1 008+a 1 009=2.又a 1 008=4,所以a 1 009=-2,则S 2 017=2 017(a 1+a 2 017)2=2 017a 1 009=-4 034.二、填空题8. 数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n +1,则它的通项公式是________. 考点 a n 与S n 关系 题点 由S n 公式求a n答案 a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,6n -5,n ≥2解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n +1-[3(n -1)2-2(n -1)+1]=6n -5, 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1+1=2,不符合上式,∴an =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,6n -5,n ≥2. 9. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 4=1,S 5=10,则当S n 取得最大值时,n 的值为________. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4=a 1+3d =1,S 5=5a 1+5×42d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =-1,∴a 5=a 1+4d =0,∴S 4=S 5且同时最大. ∴n =4或5.10. 已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =2n 2-30n ,则S n 取最小值时对应的n 值为________. 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值 答案 7或8解析 ∵S n =2n 2-30n =2⎝⎛⎭⎫n -1522-2252,∴当n =7或8时,S n 最小. 11. 若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 013+a 2 014>0,a 2 013·a 2 014<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是________.考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和有关的不等式问题 答案 4 026解析 由条件可知数列是递减数列,故知a 2 013>0,a 2 014<0,故S 4 026=4 026(a 1+a 4 026)2=2 013(a 2 013+a 2 014)>0,S 4 027=4 027(a 1+a 4 027)2=4 027×a 2 014<0, 故使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4 026.三、解答题12. 设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值.考点 等差数列前n 项和最值 题点 求使等差数列前n 项和取最值时的n 值解 (1)由a n =a 1+(n -1)d 及a 3=5,a 10=-9,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n ,n ∈N *.(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n -n 2. 因为S n =-(n -5)2+25,所以当n =5时,S n 取得最大值. 13. 数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2-2a n +1+a n =0 (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求T n .考点 等差数列前n 项和绝对值之和 题点 求等差数列前n 项和绝对值之和 解 (1)∵a n +2-2a n +1+a n =0,∴a n +2-a n +1=a n +1-a n ,∴{a n }是等差数列且a 1=8,a 4=2, ∴d =-2,a n =a 1+(n -1)d =10-2n .(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =8n +n (n -1)2×(-2)=9n -n 2. ∵a n =10-2n ,令a n =0,得n =5. 当n >5时,a n <0;当n =5时,a n =0;当n <5时,a n >0. ∴当n >5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n )=S 5-(S n -S 5)=2S 5-S n =2×(9×5-25)-9n +n 2=n 2-9n +40,当n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =9n -n 2.∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *. 四、探究与拓展14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n 等于( )A.12B.14C.16D.18 考点 等差数列前n 项和性质运用 题点 等差数列前n 项和与中间项的关系 答案 B解析 因为S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40,所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30,由S n =n (a 1+a n )2=210,得n =14. 15. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=-15,S 5=-55.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若不等式S n >t 对于任意的n ∈N *恒成立,求实数t 的取值范围. 考点 等差数列综合 题点 数列与不等式综合解 (1)S 5=5·a 1+a 52=5a 3=-55,∴a 3=-11,∴d =a 3-a 13-1=-11+152=2. ∴a n =a 1+(n -1)d =-15+(n -1)×2=2n -17.(2)由(1)知,a n =2n -17,∴S n =n (a 1+a n )2=n (-15+2n -17)2=n (n -16)=(n -8)2-64, ∴(S n )min =-64. S n >t 对任意n ∈N *恒成立等价于(S n )min >t ,即-64>t . ∴t ∈(-∞,-64).。
高中数学必修5课件:第2章2-3-2等差数列前n项和习题课
第二章 数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+nn-2 1d=d2n2+(a1-d2)n,令d2=A,a1-d2=B,则得 Sn=________.[答案] An2+Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章 数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元,购买当天先付 1 500 元,以后每月交付 500 元,并加付利息,月利率为 0.5%, 若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月,问:
所以S3m=3ma1+3m3m2 -1d=210.
数学 必修5
第二章 数列
方法二:利用公式 Sn=na1+2 an,以及等差数列的性质 p
+q=m+n⇒ap+aq=am+an.
ma1+am=60,
①
由已知有m3ma1a+1+a2am3m==1020S,3m,
② ③
2a2m=am+a3m,
④
由①②③④可得 S3m=210.
【错解】 an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)- 1]=2n,又an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数列每一项与前一项 的差是同一个常数,
∴{an}是等差数列. 【错因】 已知数列的前n项和Sn,求数列的通项an时,需 分类讨论,即分n≥2与n=1两种情况.
数学 必修5
解得a=m202, b=1m0.
所以 S3m=9am2+3bm=210.
数学 必修5
第二章 数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为32∶27,求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解,也可以利用等 差数列前n项和的性质求解.
等差数列的前n项和(二)
15 2 225 (2)因为 S n 2n 30n 2(n ) 2 2
2
又因为n是正整数, 所以当n=7或=8时,Sn最小, 最小值是-112.
2012-12-1
• 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn的最大值. • 由题目可获取以下主要信息: • ①{an}为等差数列.②a1=25,S17=S9. • 解答本题可用二次函数求最值或由通项 公式求n,使an≥0,an+1<0或利用性质求 出大于或等于零的项.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
3 205 3 205 2 2 =-2n + 2 n--2n-1 + 2 n-1
=-3n+104. ∵n=1 也适合上式, ∴数列通项公式为:an=-3n+104(n∈N*).
2012-12-1
(2)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2· 3 ∵a1=1 不符合 an=2· 3
答案:
2012-12-1
A
• 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17= 10,则S19的值为________.
解析: a3+a17=a1+a19=10 19a1+a19 19×10 S19= = 2 =95. 2
答案: 95
2012-12-1
• 4.已知{an}是等差数列,a1+a3+a5 =9,a6=9.求此数列前6项的和.
3 101 S50 50 2600 . 2
根据等差数列前n 项和公式, 得
10 9 1 105 S10 10 3 . 2 2 2
2012-12-1
1 3 15 例 2 在等差数列 an 中,已知 d , an , S n , 2 2 2 求 a1 及 n . 3
等差数列的前n项和二
(D )
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§2.3(二)
2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2
+λ,则λ的值是
(B )
本 讲
A.-2
B.-1
C.0
D.1
栏 目
解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,
开 关
∴λ=-1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§2.3(二)
关
因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当 d>0 时,Sn
有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的
正整数时,Sn 取到最值.
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3(二)
探究 按要求,把下列表格填充完整,并观察使等差数列前n项
和Sn取到最值时序号n的规律.
序号 等差数列 基本量
即22aa11++d3=d=161,2.
解得 ad1==-9,2.
关 所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n (n∈N*).
①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2 +10n.
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3(二)
②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7 -…-an=2S5-Sn
目
开 关
由aann= +1=252-5-2n2n-≤10≥,0,
得nn≤ ≥11321212, .
所以当n=13时,Sn有最大值. S13=25×13+13×123-1×(-2)=169.
因此Sn的最大值为169.
研一研·问题探究、课堂更高效
方法三 由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0, 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
2.3.2 等差数列前N项和公式
所 S20 − S16 = S4 + (5 −1) ×32 = 129 以 因 a17 + a18 +⋯+ a20 = S20 − S16, 则 为
a17 + a18 +⋯+ a20的 为 。 值 129
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1 1、已知数列{a n }且a n > 0,n ∈ N ,前 n项的和 s n 满足 s n = ( a n + 4) 2 8 (1)求该数列的通项,并 判断该数列是否为等差 数列
∗
1 (2)若有 bn = a n − 30,求数列{bn } 的前 n项和Tn的最值与此时的 n值。 2
解 根 上 解 : 据 例 得
(n = 1 ) p + q + r an = ) 2 pn − p + q (n〉1
只 r = 0时 数 {an}才 等 数 有 , 列 是 差 列 首 为 a1 = p + q,公 为 d = 2 p 项 : 差 : 如 数 {an} 前n项 是 数 为0, 是 果 列 的 和 常 项 且
2、 用an: 助 项 式an的 负 况 前n项 Sn的 利 借 通 公 正 情 与 和 变 情 ,an ≤ 0且an+1 ≥ 0 化 况
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例 : 知 列{an}是 差 列 sn是 前n项 和 3 已 数 等 数 , 其 的 。 求 :s6 , (s12 − s6 ), (s18 − s12 )也 等 数 证 成 差 列
解 设 差 列 项 a1,公 为d, 有: : 等 数 首 为 差 则 s6 = 6a1 +15d s12 = 12a1 + 66d s18 = 18a1 +153d ∴s12 − s6 = 6a1 + 51d s18 − s12 = 6a1 + 87d ∴(s12 − s6 ) − s6 = 36d = (s18 − s12 ) − (s12 − s6 ) ∴s6 , s12, s18也 等 数 , 差 36d 成 差 列 公 为
等差数列前n项和(二)
课堂小结
•回顾从特殊到一般的研究方法;
•体会方程思想与函数思想在等差数列中的运用;
•注重思维的发散性,倡导勇于探索的学习方式。
作业布置
A必做题:课本118页,习题3.3 5、6、7、8 B选做题:(1)在等差数列中,前4项之和为124,后四 项之和为156,所有项和为210,求项数n。 (2) 一个等差数列前 12 项和为 354 ,前 12 项中偶数项与 奇数项和之比为32:27,求公差d。 C思考题: 由数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,… 前4项的值,推测第n项 an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n1)+…+3+2+1的结果,并给出证明。
变题1.设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0, Sn为其前n项和,问:该数列前多少项 的和最小? 变题2.等差数列{an}中,a1<0,Sn为其前n项 和,S9=S12,问:该数列前多少项的和 最小? 变题3.等差数列{an}中,前n项和Sn的最大值 为S7,|a7|<|a8| ,求使Sn>0的n的最 大值。
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干系/他の本意是出手相救/假设结局别如意/他还别如当初别出那各手/虽然他们之间从没什么谈论过名分问题/可是霍沫是各兰心蕙质の女子/怎么可能想别到那壹层关系?所以当王爷提出/名分/问题の时候/由于她早早就深思熟虑过/当即没什么 丝毫迟疑地回复道:/回爷/那壹辈子/霍沫真是啥啊念想也没什么/若别是十三爷/霍沫现在也就是孤魂野鬼壹各/若别是您/霍沫现在也就是贫尼壹名/两位爷の救命、知遇之恩/霍沫就是壹辈子给您们当牛做马也
2.3.2 等差数列前N项和公式(2)
5 6n 5 n 2 12 12
1 4 2 3
当n 1时,a1 S1 3
59 12
不满足an
(n 12 所以数列an 的通项公式为: an 6n 5 12
返回
2.在等差数列an 中,Sn为前n项和,公差d 2 且S4 1 ,求:a17 a18 a19 a20的值
2 2 1.已知数列an 的前n项的和为:Sn 1 n 3 n 3, 4
求数列通项公式。
2 2 2 1 2 解:根据 S n 1 n n 3 与 S ( n 1 ) (n 1) 3(n1) 4 3 3 n 1 4
2 2 2 2 1 当n1时,an S n S n 1 ( 1 n n 3 ) [ ( n 1 ) 3 (n 1) 3] 4 3 4
例3. 己知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数 列的前n项和的公式吗?
解:由题意知
S10 10(a1 a10 ) 310 2
得
a1 a20 S 20 20 1220 2
a1 a10 62;
①
②
则
所以
a1 a20 122; ②-①,得 10 d 60
能不能把此结论推广到 一般情况:如果 an 为等差数列, sk , s2k sk , s3k s2k 也成等差数列。( k Z )
公差为原来公差的 k 2倍
2 2 1.已知数列an 的前n项的和为:Sn 1 n n 3 , 4 3
求数列通项公式。
2.在等差数列an 中,Sn为前n项和,公差d 2 且S4 1,求:a17 a18 a19 a20的值
高二数学等差数列的前n项和2(新编201911)
与公差分别是什么?
练习:
已知数列{an}的前n项和为
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地,如果一个数列{an}的前n项 和为Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常 数,且p≠0,那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是,它的首项与公差分别 是多少?
2.3 等差数列的 前n项和 (二)
主讲老师:
复习引入
等差数列的前n项和公式:
复习引入
等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
;pe融资
探究:
一般地,如果一个数列{an}的前n项 和为Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常 数,且p≠0,那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是,它的首项与公差分别 是多少?
这个数列一定是等差数列. 首项a1=p+q 公差d=2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
;vc融资
;投资基金
;
雷次宗《豫章记》一卷 郭璞注《山海经》二十三卷 王琰《宋春秋》二十卷 《武德律》十二卷 《晋建武以来故事》三卷 《先儒传》五卷 王涯《唐循资格》五卷 杜预《刑法律本》二十一卷 圈称《陈留风俗传》三卷 崔日用《姓苑略》一卷 薛图存《河南记》一卷 又《薛常侍传》二卷 尚书右丞段宝玄 《诸葛传》五卷 段龟龙《凉记》十卷 杨佺期《洛城图》一卷 总七家 沈约《梁
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5 (n 15)2 1125 14 2 56
当n取与15最接近的整数即7或8时, 2
Sn取最大值 精品课件
例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 ,
77
项和为Sn,求
使解得2S:n最∵大由的题序意号知n,的a值1=.5,公差d
=
5 7
an5(n1)(7 5)7 5n4 7 0
由 an 0
精品课件
例 5、 设 正 项 数 列 {an}的 前 n 项 和 满 足 Sn1 4(an1)2, 求 解 : 数 当 列 n {a n}2 的 时 通 , 项 a n 公 式 S n S n 1 1 4 [ ( a n 1 ) 2 ( a n 1 1 ) ]
整 理 得 ( a n a n 1 ) ( a n a n 1 2 ) 0
练习:
1、在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=-3,a4+a5+a6=1,
则a7+a8+a9=______5_____; 2、在等差数列{an}中,已知S4=2,S8=7,则S12=___1_5__;
精品课件
小结:
1、利用前n项和求通项的方法:
S1, n=1 an= Sn-Sn-1,n≥2
2、等差数列前n项和的一个重要性质:
a n0 a n + a n 10 a n a n 1 2 0 , 即 a n a n 1 2 数 列 { a n } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列
当 n 1 时 , a 1 S 1 1 4 (a 1 1 )2 ,解 得 a 1 1 a n a 1 (n 1 )d 2 n 1
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一、复习回顾
1、前n项和公式
形式1: 形式2:
Sn
( n a1 2
an)
Sn
na1
( nn1)d 2
精品课件
一、复习回顾
2、在等差数列 {an} 中,如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其
余两个量 . Snna1( nn21)d
ana1(n1)d
an
5 2
,
n
2n
1 1 ,n 2
2
45页探究题
精品课件
探究: 一般地,如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r, 其列S 吗中n ?p 、若qA 是、n ,r2 为 则常B 它数n ( 的,首A 且为 项p与≠常 公0数 ,差那) 分么 别这是{ 个a 什数n 么} 列等 ?一差 定数 是列 等差数
结论:知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求 解
精品课件
例3、已知数列{an}的前n项和为 S n
n2
1 2
n
求该数列
的通分项公析式:,∵这S个n=数a1+列a是2+等…差+a数n,列吗?
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2)
特别地,当n=1时,a1=S1
解:∵ a2=-61,a5=-16
∴ a1+d=-61 a1+4d=-16
解得a1=-76,d=15
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
令 an =15n-91≤0 ,解a得n+1 =15(n+1) -91≥0
5 1 n6 1
15
15
∴当n=6时,Sn取最小值,此时
n (n 1 ) S n n a 1 2d 6 ( 7 6 ) 1 5 1 5 2 3 1
Sn na1n(n21)d
练 (习1):若在S等5 =差25数,列a2{=a3n,}中则,S10=__1_0_0___; (2)若 S12=21,则 a2+a5+a8+a11=___7____.
思考:若 a3 3 ,则 S5
a5 10
S 精品课件 9
1 6
精品课件
作业:
1、课本P46A组第6题
2、在一等差数列中,若前 15 项的和为 90,前 30 项 的和为-270。 (1)求能使前 n 项和 Sn 为负数的最小的项数 n; (2)求前 n 项和 Sn 中的最大值,并求出 Sn 取最
大值时项数 n 的值。
精品课件
练习:已知数列an 的前 n 项和 Sn 3 2n ,求 an
一般地,若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列 Sn,S2n-数列 SnA n2B n(A0)
精品课件
练习:在等差数列{an}中,若a2=-18,a4=-10,则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值,最小值是多少?
解:∵ a2=-18,a4=-10
故 an=
S1, n=1 Sn-Sn-1,n≥2
精品课件
例3、已知数列{an}的前n项和为S n
n2
1 2
n
求该数列
的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项
和解公:差当分n别≥是2时什,么a?nSnSn1
n21n[(n1)21(n1)]
2
2
2n 1 ①
2
当n=1时,
a1
S1
12
113 22
∵a1也满足①式
∴数列{an}的通项公式为
an
2n
1 2
这是首项为 3 ,公差精品课为件 2的等差数列
2
若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的
通项公式为
S1, n=1 an= Sn-Sn-1,n≥2
注意:(1)这种做法适用于所有数列;
足an.
(2)用这种方法求通项需检验a1是否满
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例,求3变该式数、列已的知通数项列公{式an},的这前个n项数和列为是等S差n 数n列2 吗 12?n 1
5, n 1 an 2n1,n 2
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等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n1)d 2
若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的
通项公式为
S1, n=1 an= Sn-Sn-1,n≥2
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等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 an) 2
ana1(n1)d
∴
a1+d= -18 a1+3d= -10
解得a1= -22,d=4
Sn
22n
n(n1)4 2
2n2 24n
2(n6)272
∴当n=6时,Sn取最小值-72
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思考:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,首项a1=13, 且S3=S11,求此数列前n项和的最大值。
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练习:在等差数列{an}中,若a2=-61,a5=-16,则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值,最小值是多少?
的值;
注意:当数列中有一项为0时精品课,件 n应有两解.
思考:等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列 S6,S12-S6,S18-S12
是等差数列吗?
S6 6a1 15d ,
证明:∵依题意可得
S12 12a1 66d ,
S18 18a1 153d ,
S 1 2 S 6 6 a 1 5 1 d ,S 1 8 S 1 2 6 a 1 8 7 d
分析:当n=1时,a1=S1=p+q+r ∵当n>1时,an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q 又∵当n=1时,an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时,a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列, 此时首项a1=p+q,公差d=2p(p≠0)
5 n 40 0 得7 7
a n1 0
5 (n 1) 40 0
7
7
解得7≤n≤8
∴当n取7或8时,Sn最大
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的前n
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:
(1)利用Sn=pn2+qn进行配方,求二次函数的最值, 此时n应取最接 2近q p ______的正整数值;
(2)利用等差数列的增减性及an的符号变化, 当a1>0,d<0时,Sn有最大值, 此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值; 当a1<0,d>0时,Sn有最小值, 此时可由an≤0 且an+1 ≥ 0求出n
2(S12S6)12a1102d, S6(S18S12)12a1102d 即 2 (S 1 2 S 6 ) S 6 (S 1 8 S 1 2 )
∴S6,S12-S6,S18-S12也是等差数列
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一般地,若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n ,…
也为等差数列。
数 列 { a n } 的 通 项 公 精式 品课件为 a n 2 n 1
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例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 , 77
项和为Sn,求
的前n
使解得:Sn由最题大意的知序,号an1的=5值,.公差d=
5 7
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n 14 14
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例4、已知一个等差数列的前10项的和是310,前20 项的和是1220,求该数列前30项的和。
解 : 设 该 等 差 数 列 的 前 n 项 和 S n A n 2 B n , 则 S10 100A10B310 S20 400A20B1220
解 得 A3,B1 Sn 3n2n S 3 0 3 9 0 0 3 0 2 7 3 0