2.3.2 等差数列的前n项和(二)

练习：
1、在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，
则a7+a8+a9=______5_____； 2、在等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则S12=___1_5__；
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小结：
1、利用前n项和求通项的方法：
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
2、等差数列前n项和的一个重要性质：
Sn na1n(n21)d
练 （习1）：若在S等5 =差25数，列a2{=a3n，}中则，S10=__1_0_0___； （2）若 S12=21，则 a2+a5+a8+a11=___7____.
思考：若 a3 3 ，则 S5
a5 10
S 精品课件 9
1 6
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例 5、 设 正 项 数 列 {an}的 前 n 项 和 满 足 Sn1 4(an1)2， 求 解 ： 数 当 列 n {a n}2 的 时 通 ， 项 a n 公 式 S n S n 1 1 4 [ ( a n 1 ) 2 ( a n 1 1 ) ]
整 理 得 ( a n a n 1 ) ( a n a n 1 2 ) 0
∴
a1+d= -18 a1+3d= -10
解得a1= -22，d=4
Sn
22n
n(n1)4 2
2n2 24n
2(n6)272
∴当n=6时，Sn取最小值-72
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思考：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=13， 且S3=S11，求此数列前n项和的最大值。
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练习：在等差数列{an}中，若a2=-61，a5=-16，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
5 n 40 0 得7 7
a n1 0
5 (n 1) 40 0
7
7
解得7≤n≤8
∴当n取7或8时，Sn最大
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的前n
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=pn2+qn进行配方，求二次函数的最值， 此时n应取最接 2近q p ______的正整数值；
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值， 此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值， 此时可由an≤0 且an+1 ≥ 0求出n
解：∵ a2=-61，a5=-16
∴ a1+d=-61 a1+4d=-16
解得a1=-76，d=15
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
令 an =15n-91≤0 ，解a得n+1 =15(n+1) -91≥0
5 1 n6 1
15
15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
n (n 1 ) S n n a 1 2d 6 ( 7 6 ) 1 5 1 5 2 3 1
5， n 1 an 2n1，n 2
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等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n1)d 2
若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
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等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 an) 2
ana1(n1)d
a n0 a n + a n 10 a n a n 1 2 0 ， 即 a n a n 1 2 数 列 { a n } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列
当 n 1 时 ， a 1 S 1 1 4 (a 1 1 )2 ,解 得 a 1 1 a n a 1 (n 1 )d 2 n 1
故 an=
S1， n=1 Sn-Sn-1，n≥2
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例3、已知数列{an}的前n项和为S n
n2
Leabharlann Baidu
1 2
n
求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项
和解公：差当分n别≥是2时什，么a？nSnSn1
n21n[(n1)21(n1)]
2
2
2n 1 ①
2
当n=1时，
a1
S1
12
113 22
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例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
解 ： 设 该 等 差 数 列 的 前 n 项 和 S n A n 2 B n , 则 S10 100A10B310 S20 400A20B1220
解 得 A3,B1 Sn 3n2n S 3 0 3 9 0 0 3 0 2 7 3 0
2(S12S6)12a1102d, S6(S18S12)12a1102d 即 2 (S 1 2 S 6 ) S 6 (S 1 8 S 1 2 )
∴S6，S12-S6，S18-S12也是等差数列
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一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
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作业：
1、课本P46A组第6题
2、在一等差数列中，若前 15 项的和为 90，前 30 项 的和为-270。 （1）求能使前 n 项和 Sn 为负数的最小的项数 n； （2）求前 n 项和 Sn 中的最大值，并求出 Sn 取最
大值时项数 n 的值。
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练习：已知数列an 的前 n 项和 Sn 3 2n ，求 an
5 (n 15)2 1125 14 2 56
当n取与15最接近的整数即7或8时， 2
Sn取最大值 精品课件
例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 ,
77
项和为Sn，求
使解得2S：n最∵大由的题序意号知n，的a值1=.5，公差d
=
5 7
an5(n1)(7 5)7 5n4 7 0
由 an 0
∵a1也满足①式
∴数列{an}的通项公式为
an
2n
1 2
这是首项为 3 ，公差精品课为件 2的等差数列
2
若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
注意：（1）这种做法适用于所有数列；
足an.
（2）用这种方法求通项需检验a1是否满
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例，求3变该式数、列已的知通数项列公{式an}，的这前个n项数和列为是等S差n 数n列2 吗 12？n 1
分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r ∵当n>1时，an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q 又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
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一、复习回顾
1、前n项和公式
形式1: 形式2:
Sn
（ n a1 2
an)
Sn
na1
（ nn1)d 2
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一、复习回顾
2、在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其
余两个量 . Snna1（ nn21)d
ana1(n1)d
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
3、数列{an}是等差数列 SnA n2B n(A0)
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练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-18，a4=-10
的值；
注意：当数列中有一项为0时精品课，件 n应有两解.
思考：等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 S6，S12-S6，S18-S12
是等差数列吗？
S6 6a1 15d ,
证明：∵依题意可得
S12 12a1 66d ,
S18 18a1 153d ,
S 1 2 S 6 6 a 1 5 1 d ,S 1 8 S 1 2 6 a 1 8 7 d
an
5 2
,
n
2n
1 1 ,n 2
2
45页探究题
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探究： 一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r， 其列S 吗中n ？p 、若qA 是、n ，r2 为 则常B 它数n （ 的，首A 且为 项p与≠常 公0数 ，差那） 分么 别这是{ 个a 什数n 么} 列等 ？一差 定数 是列 等差数
结论：知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求 解
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例3、已知数列{an}的前n项和为 S n
n2
1 2
n
求该数列
的通分项公析式：，∵这S个n=数a1+列a是2+等…差+a数n，列吗？
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2)
特别地，当n=1时，a1=S1
数 列 { a n } 的 通 项 公 精式 品课件为 a n 2 n 1
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例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 , 77
项和为Sn，求
的前n
使解得：Sn由最题大意的知序，号an1的=5值，.公差d=
5 7
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n 14 14