如何求解二次函数中的面积最值问题

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如何求解二次函数中的面积最值问题

从近几年的各地中考试卷来看,求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合.使解题具有一定难度,本文以一道中考题为例,介绍几种不同的解题方法,供同学们在解决这类问题时参考.

题目(重庆市江津区)

如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

解答(1)抛物线解析式为

y=-x2-2x+3;

(2)Q(-1,2);

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.

一、补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等,通过对图形的这些直观处理,一般能辅助解题,使解题过程简捷、明快.此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割,变成有利于表示面积的图形.

方法一

如图3,设P点(x,-x2-2x+3)(-3

方法二如图4,设P点(x,-x2-2x+3)(-3

(下略.)

二、“铅垂高,水平宽”面积法

如图5,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的

“铅垂高(h)”,我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法:S△ABC=1

2

ah,即三角形

面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

根据上述方法,本题解答如下:

解如图6,作PE⊥x轴于点E,交BC于点F.设P点(x,-x2-2x+3)(-3

∴点P坐标为(-3

2

15

4

三、切线法

若要使△PBC的面积最大,只需使BC上的高最大.过点P作BC的平行线l,当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时,BC上的高最大,此时△PBC的面积最大,于是,得到下面的切线法.

解如图7,直线BC的解析式是y=x+3,过点P作BC的平行线l,从而可设直线l的解析式为:y=x+b.

=27

8

四、三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得.

解如图8,作PE⊥x轴交于点E,交BC于点F,怍PM⊥BC于点M.设P点(x,-x2-2x+3)(-3

则F(x,x+3).

从以上四种解法可以看到,本题解题思路都是过点P作辅助线,然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解.如此深入挖掘一道题的多种解法,可使我们摆脱题海战术,提高解题能力.同时,善于总结一道题的多种解法能加快解题速度,提高解题效率,也有利于培养我们的钻研能力和创新精神.

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